Седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938.5+515.164.15

СЕДЛОВЫЕ ОСОБЕННОСТИ СЛОЖНОСТИ 1 ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

А. А. Ошемков1

Исследуются свойства седловых особенностей ранга 0 и сложности 1 для интегрируемых гамильтоновых систем. Ранее автором был построен инвариант (/„-граф), позволяющий решить задачу полулокальной классификации седловых особенностей ранга 0 для любой сложности. В данной работе получен более простой вид инварианта для особенностей сложности 1, а также описаны некоторые свойства таких особенностей в алгебраических терминах. Кроме того, приведен список седловых особенностей сложности 1 для систем с тремя степенями свободы.

Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, отображение момента, невырожденные особенности, топологические инварианты.

Properties of saddle singularities of rank 0 and complexity 1 for integrable Hamiltonian systems are studied. An invariant (/„-graph) solving the problem of semi-local classification of saddle singularities of rank 0 for an arbitrary complexity was constructed earlier by the author. In this paper, a more simple form of the invariant for singularities of complexity 1 is obtained and some properties of such singularities are described in algebraic terms. In addition, the paper contains a list of saddle singularities of complexity 1 for systems with three degrees of freedom.

Key words: integrable Hamiltonian systems, momentum mapping, non-degenerate singularities, topological invariants.

1. Введение. Один из основных методов топологического анализа интегрируемой гамильтоновой системы заключается в исследовании особенностей соответствующего ей отображения момента. Их также можно рассматривать как особенности слоения Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты совместных поверхностей уровня первых интегралов системы. Этот подход к исследованию топологии интегрируемых систем подробно описан в [1] (см. также [2]).

Локальная структура невырожденных особенностей описывается теоремой Элиассона [3], а именно каждая невырожденная особая точка интегрируемой гамильтоновой системы однозначно характеризуется ее рангом r и типом (ш1,ш,2,шз), где целые числа Ш\,Ш2,Шз равны соответственно количеству эллиптических, гиперболических и фокусных компонент особой точки (см. [1, 2, 4]).

Более сложная задача — изучение особенностей с полулокальной точки зрения, т.е. не в малой окрестности особой точки, а в окрестности содержащего ее особого слоя. Одним из важных результатов о полулокальной структуре особенностей интегрируемых гамильтоновых систем является теорема Н. Т. Зунга [5] о представлении невырожденной особенности в виде почти прямого произведения простейших особенностей. Различные подходы к классификации особенностей интегрируемых систем описаны в работах [6-9], где, в частности, получены списки особенностей малой сложности. (Подробное описание этих результатов можно найти также в [1, 2, 4].) Отметим, что наиболее сложным случаем в задаче классификации особенностей интегрируемых гамильтоновых систем является случай гиперболических (или седловых) особенностей.

В работе автора [4] построен полный инвариант, позволяющий решить задачу полулокальной классификации седловых особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем, а именно каждой невырожденной седловой особенности ранга 0 сопоставлен некоторый комбинаторный объект (/„-граф). Тем самым задача полулокальной классификации седловых особенностей ранга 0 свелась к задаче перечисления /„-графов. В результате в работе [4] описан простой алгоритм получения списков седловых особенностей ранга 0 для данного числа степеней свободы и данной сложности.

В настоящей работе исследуются свойства седловых особенностей ранга 0 и сложности 1 (т.е. с одной особой точкой на слое). Для особенностей сложности 1 общая конструкция, указанная в работе [4], упрощается, что позволяет дать более простое описание инварианта для этого случая, а также описать

1 Ошемков Андрей Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oshemkov@mech.math.msu.su.

некоторые свойства особенностей сложности 1 в алгебраических терминах. Кроме того, в работе исправлены ошибки в списке особенностей сложности 1 для систем с тремя степенями свободы (см. таблицу), полученном В. В. Калашниковым [9].

2. Описание инварианта. Подробное обсуждение необходимых определений и утверждений содержится в работе [4]. Напомним кратко некоторые из них.

Симплектическое многообразие (M, и) — это гладкое 2п-мерное многообразие M, на котором задана невырожденная замкнутая 2-форма и (симплектическая структура). Любая гладкая функция H на симплектическом многообразии (M, и) задает векторное поле sgrad H (косой градиент функции H), двойственное дифференциалу функции H относительно симплектической формы и. Форма и задает также скобку Пуассона на пространстве гладких функций на М по формуле {/,<?} = (w-1)4Говорят, что функции коммутируют, если их скобка Пуассона тождественно равна нулю.

Функции Fi ,...,Fn на симплектическом многообразии (M, и) задают интегрируемую гамильтонову систему, если они попарно коммутируют относительно скобки Пуассона и функционально независимы, а поля sgrad Fi,..., sgrad Fn полны на M. Связные компоненты совместных поверхностей уровня функций Fi,...,Fn образуют слоение на M (с особенностями), называемое слоением Лиувилля, соответствующим интегрируемой гамильтоновой системе (M, и, Fi,..., Fn).

Точка x называется гиперболической особой точкой ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы (M, u,Fi,..., Fn), если dFi (x) = ... = dFn(x) = 0, билинейные формы d2Fi(x),... , d2Fn(x) линейно независимы и существует линейная комбинация Aid2Fi(x) + ... + And2Fn(x), для которой корни ее "характеристического многочлена"

n

X(t) = det £ Ai d2Fi(x) - t • и

Vi=i /

попарно различны и вещественны.

Рассмотрим гиперболическую особую точку x ранга 0 для интегрируемой гамильтоновой системы (M,u,Fi,...,Fn). Пусть L — особый слой слоения Лиувилля, содержащий точку x, а U — его окрестность (не содержащая других особых слоев), инвариантная относительно гамильтонова действия группы Rn, порожденного полями sgrad Fi,..., sgrad Fn. Слоение Лиувилля на U будем называть гиперболической особенностью ранга 0. Количество гиперболических особых точек ранга 0 на слое L называется сложностью данной особенности.

Будем говорить, что две гиперболические особенности ранга 0 на Ui и U2 полулокально лиувилле-во эквивалентны, если существует диффеоморфизм Ф: Ui ^ U2, отображающий каждый слой слоения Лиувилля на Ui в слой слоения Лиувилля на U2.

Как и в работе [4], мы рассматриваем гиперболические особенности, у которых все слои слоения Лиувилля компактны и для которых выполнено "условие нерасщепляемости" (отметим, что для особенностей сложности 1 это условие всегда выполнено). Такие особенности будем называть просто седловыми особенностями.

В работе [4] каждой седловой особенности сопоставлен некоторый граф специального вида (называемый /„-графом) и доказано, что /„-граф, рассматриваемый с точностью до эквивалентности, является полным инвариантом для задачи классификации седловых особенностей с точностью до полулокальной лиувиллевой эквивалентности.

Приведем соответствующие определения и формулировку теоремы классификации.

Определение 1. Пусть В — конечный граф, множество ребер которого разбито на n непересекающихся семейств (раскрашено в n цветов), причем некоторые из ребер ориентированы. Будем называть такой граф /п.-графом, если для него выполнены следующие условия:

(a) для каждой вершины графа В имеются ровно 3 полуребра каждого из n цветов, которые инцидентны вершине и среди которых одно неориентированное, одно входящее и одно выходящее (в частности, степень любой вершины равна 3n); тем самым неориентированные ребра каждого из n цветов задают инволюции Ti,..., тп, а ориентированные ребра — некоторые перестановки ¡i,...,in на множестве вершин графа В;

(b) перестановки, соответствующие ребрам разного цвета, коммутируют, т.е.

TiTj = Tj Ti, Ti^j = ¡ij Ti, ¡¡j = ¡ij fr (i = j);

(c) действие группы Zn на множестве вершин графа В, порожденное перестановками Ti,... ,тп, свободно, т.е. любая комбинация перестановок Ti,...,Tn (которые коммутируют в силу условия (b)) является инволюцией без неподвижных точек.

Из условия (с) определения 1 следует, что любой /^граф имеет 2nk вершин. Число k называется сложностью /^графа.

Отметим, что в определении /„-графа мы не предполагаем, что нумерация семейств (цветов) фиксирована. Иными словами, говоря, что два /„-графа В и В' изоморфны (т.е. "одинаковы"), мы имеем в виду, что существует биекция множества вершин графа В в множество вершин графа В', при которой ребра одного графа переходят в ребра другого (неориентированные — в неориентированные, а ориентированные — в ориентированные с сохранением ориентации) так, что образы ребер из одного семейства /„-графа В принадлежат одному семейству /„-графа В'.

Ясно, что любой /„-граф полностью определяется набором перестановок т\,ц,\,... ,т„,л„ на множестве вершин (удовлетворяющих условиям (Ь) и (с) определения 1).

На множестве /„-графов естественно ввести следующее отношение эквивалентности. Это связано с тем, что построение /„-графа, соответствующего данной седловой особенности, зависит от выбора "камеры" в образе отображения момента и симплектической структуры (подробности см. в [4]).

Определение 2. Два /„-графа В и В' называются эквивалентными, если набор перестановок, задающих В', можно получить из набора перестановок Т\,ц,\, ...,т„,л„, задающих В, применяя операции замены ¡г на ¡-1 или на тгЛг (для некоторого % = 1,...,п).

Теорема 1 [4]. Две седловые особенности интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им /„-графы эквивалентны. При этом любой связный /„-граф соответствует некоторой седловой особенности.

3. Седловые особенности сложности 1. В случае сложности 1 условия, накладываемые на рассматриваемые особенности, и описание инварианта можно упростить.

Во-первых, очевидно, что "условие нерасщепляемости" автоматически выполнено для гиперболических особенностей сложности 1 (см. определение 9 в [4]).

Во-вторых, в каждом классе эквивалентности /„-графов сложности 1 можно однозначно выбрать "простой" /„-граф (см. определение 3 и предложение 1). Для простого /„-графа соответствующие ему перестановки ц,\,...,ц,„ являются инволюциями (лемма 1). Отсюда, в частности, следует, что для особенностей сложности 1 теорему 1 можно упростить, заменив в ней "эквивалентность" /„-графов на "изо-морфность" (теорема 2). Еще одним следствием является описание сомножителей минимальной модели для особенностей сложности 1 (предложения 2 и 4).

В-третьих, перестановки Т1,..., т„, соответствующие /„-графу сложности 1, задают на множестве его вершин структуру аффинного пространства, относительно которой перестановки ¡1,...,Л„ также являются аффинными преобразованиями (следствие 1 и предложение 3). Это позволяет переформулировать теорему классификации для особенностей сложности 1 в алгебраических терминах (теоремы 3 и 4) и упростить алгоритм их перечисления (результат вычислений для малого числа степеней свободы приведен в предложении 5).

Перейдем теперь к точным формулировкам и доказательствам указанных утверждений.

Пусть В — /„-граф сложности 1, определяемый набором перестановок Т1,Л1 , ...,т„,л„ на множестве его вершин. Из условия (с) определения 1 следует, что неориентированные ребра /„-графа В образуют подграф, изоморфный 1-мерному остову п-мерного куба, где ребра каждого из п цветов параллельны, т.е. инволюцию т% (% = 1,...,п) можно рассматривать как сдвиг каждой вершины вдоль неориентированного ребра цвета %.

Определение 3. Будем говорить, что /„-граф В сложности 1 является простым, если для каждого % = 1,...,п любые две вершины, соединенные ориентированным ребром цвета %, лежат в одной и той же гиперграни куба, перепендикулярной неориентированным ребрам цвета %.

Лемма 1. Если В — простой /„-граф сложности 1, то каждая из соответствующих ему перестановок ¡1, . ..,л„ является инволюцией (или тождественной перестановкой).

Доказательство. Пусть а и Ь — вершины /„-графа В, соединенные ориентированным ребром цвета %, т.е. Ь = ¡¿(а). Так как В — простой /„-граф, то существует путь, идущий из а в Ь и состоящий из неориентированных ребер, цвет которых отличен от %, т.е. Ь = 3 ... т^к(а), где jl,...,]к = %. Получаем

¡¿(Ь) = ¡¿3 ... тзк (а) = Т3! ... тзк¡¿(а) = Т3! ... тзк (Ь) = Т3! ... тзкТ3! . . . тзк (а) = а

поскольку ¡г коммутирует с инволюциями ,..., Тзк . □

Предложение 1. Среди /„-графов, эквивалентных данному /„-графу В сложности 1, существует ровно один (с точностью до изоморфизма) простой /„-граф.

Доказательство. Пусть N — одна из двух гиперграней, перпендикулярных всем неориентированным ребрам цвета %. Рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 1, получаем, что перестановка ¡г переводит все вершины, лежащие в гиперграни N, либо в гипергрань N, либо в параллельную ей гипергрань N'. Таким образом, заменяя, если необходимо, ¡г на мы построим /„-граф (эквивалентный В),

для которого условие простоты выполнено для ребер цвета г. Поступая так для каждого г = 1,...,п, получим простой /„-граф, эквивалентный В.

Докажем теперь, что эквивалентные простые /„-графы изоморфны. Согласно определению 2, переход к эквивалентному /„-графу представляет собой последовательность операций, каждая из которых является заменой перестановки Цг либо на Ц-1, либо на т^. Учитывая, что Тг и Цг — инволюции (лемма 1), получаем, что имеются всего три варианта применения этих операций — замена Цг на ТгЦг, на ЦТ или на ТгЦгТг. Первые два варианта нарушают свойство простоты /„-графа, а последний приводит к изоморфному /„-графу (изоморфизм осуществляется перестановкой Тг). □

Замечание 1. Существование канонического представителя (простого /„-графа) среди эквивалентных /„-графов сложности 1 связано с тем, что для особенностей сложности 1 камеру в образе отображения момента можно выбрать некоторым каноническим образом, учитывая, что ¿-тип особенности сложности 1 однозначно определен (определение ¿-типа см. в [1, 4, 8]).

Из предложения 1 следует, что для особенностей сложности 1 общую теорему 1 можно уточнить таким образом:

Теорема 2. Две седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им простые /„-графы изоморфны. При этом любой простой /„-граф соответствует некоторой седловой особенности сложности 1. □

Таким образом, задача классификации седловых особенностей сложности 1 эквивалентна задаче перечисления простых /„-графов.

Еще один удобный способ описания особенностей интегрируемых гамильтоновых систем основан на теореме Н. Т. Зунга [5] о представлении особенностей в виде почти прямых произведений (см. также [1, 2, 4]). Используя предложение 1 и результаты работы [4], легко доказать следующее утверждение (содержащееся также в работе В. В. Калашникова [9]).

Предложение 2. Для седловой особенности сложности 1 оомножителями в ее минимальной модели могут быть только атомы В, С2, , Р4 (соответствующие им /-графы представлены на рисунке).

|0>| (О—о О О О О О ^ (о—0

в А С2 Р4

Образующие минимальной модели для особенностей сложности 1 Доказательство. Рассмотрим седловую особенность сложности 1 и соответствующий ей простой /„-граф В. Сомножители минимальной модели данной особенности задаются /-графами (т.е. /1-графами), которые являются связными компонентами подграфов, образованных ребрами одного цвета /„-графа В (см. [4, предложение 4 и лемма 9]). Поскольку /„-граф В простой, каждый такой /-граф Гг задается парой перестановок Тг,Цг, где Тг — инволюция, а Цг — инволюция или тождественная перестановка. Это означает, что ориентированные ребра /-графа Гг образуют либо петли, либо циклы длины 2.

Рассуждения, аналогичные доказательству леммы 1, показывают, что каждая перестановка ТгЦгТгЦг является инволюцией или тождественной перестановкой (если рассматривать ТгЦгТгЦг как новые перестановки К, то для них, очевидно, выполнены условия леммы 1).

Перебирая все варианты, получаем, что /-граф Гг может иметь либо только две петли (атом В), либо две петли и один цикл длины 2 (атом ^1), либо два цикла длины 2 (атом С2), либо четыре цикла длины 2 (атом Р4). □

4. Алгебраическое описание особенностей сложности 1. Дадим еще одну интерпретацию /„-графов сложности 1, удобную для их перечисления.

Набор инволюций Т1,...,Т„ задает на множестве вершин /„-графа В структуру п-мерного аффинного пространства над полем Z2. Действительно, если а и Ь — вершины /„-графа В, то Ь = Т^1 .. .Т„п(а), где набор из нулей и единиц (е1,..., е„) £ однозначно определен. Тем самым каждой паре вершин а, Ь сопоставляется элемент V £ Z„, который можно рассматривать как "вектор, соединяющий а и Ь". Будем записывать это соответствие в виде Ь = а + V или Ь — а = V. Множество вершин /„-графа В с указанной структурой аффинного пространства обозначим через А„. (Здесь и далее мы обозначаем элементы аффинного пространства А„, т.е. вершины /„-графа, через а, Ь,..., а элементы линейного пространства Z„, ассоциированного с А„, — через V, \у,....)

Перестановки Т1,...,Т„ являются образующими подгруппы сдвигов в группе СА(п, Z2) биективных аффинных преобразований пространства А„. Оказывается, перестановки Ц1,...,Ц„ также являются аффинными преобразованиями пространства А„. Это вытекает из следующего простого утверждения.

Лемма 2. Пусть Ь — (п — 1)-мерное подпространство в 2". Если отображение К : А" ^ А" коммутирует со всеми сдвигами на элементы подпространства Ь, то К является аффинным преобразованием, причем его дифференциал Т = СК действует на Ь тождественно.

Доказательство. По определению отображение К является аффинным преобразованием тогда и только тогда, когда для любых а £ Ап и V £ выполнено соотношение

К(а + V) = К(а) +

где Т — линейный оператор на 2". Рассмотрим в элемент е £ Ь. Любой элемент V £ имеет вид V = VL + Аё, где V}L £ Ь и А £ 22. Учитывая, что К коммутирует со сдвигом на лг^, получаем

К(а + V) = К(а + VL + Ае) = К(а + Ае) + VL = К(а) + А(К(а + е) — К(а)) + VL,

где последнее равенство, очевидно, верно при А £ {0,1} = 22. Проверим, что К(а + е) — К(а) не зависит от а £ Ап. Действительно, если Ь = а + = а + ^ + цё, где ^ £ Ь и ц £ 22, то

К(Ь + е) — К(Ь) = К(а + ь + ^е + е) — К(а + ь + це) = К(а + (, + 1)ё) — К(а + це) = К(а + е) — К(а).

Полагая Те = К(а + е) — К(а) и Т'^ = V для любого V £ Ь, получаем требуемое утверждение. □

Следствие 1. Каждая перестановка ¡л. (г = 1,...,п) является невырожденным аффинным преобразованием Qi : Ап ^ Ап. □ Таким образом, каждому /п-графу В сложности 1 сопоставлен набор аффинных преобразований Р\,... Рп, Ql,..., Qn £ СА(п, ^2), удовлетворяющих следующим условиям: (А1) Р1,... ,Рп образуют базис в подгруппе сдвигов группы СА(п, 2^); (А2) Ql,..., Qn попарно коммутируют; (А3) Р.Qj = QjР. при г = э. Если рассматривать такие наборы с точностью до сопряжения в группе СА(п, ^2) и перенумерации базисных элементов, то указанное соответствие будет взаимно однозначным, точнее, верно следующее утверждение (ср. [4, предложение 6]).

Предложение 3. Наборы аффинных преобразований Р1,..., Рп, Ql, ...^п и Р-1,..., Рп, Q1,..., Qn, удовлетворяющие условиям (А1) - (А3), задают изоморфные /п-графы В и В' сложности, 1 тогда и только тогда, когда существуют а £ Бп и д £ СА(п, 2), для которых Р' = дРа.9-1 и Q'i = gQa(i)9-1 при всех г = 1,...,п.

Доказательство. Утверждение следует из того, что любое отображение д : Ап ^ Ап, переводящее набор базисных сдвигов Р1,...,Рп в некоторый набор базисных сдвигов, является аффинным преобразованием. □ 5. Матричная форма инварианта. Зафиксируем набор Р1 ,...,Рп и выберем базис в!,..., еп в 2", в котором каждое преобразование Р.' : Ап ^ Ап является сдвигом на вектор е.. Тогда любой /п-граф сложности 1 задается набором преобразований Ql,..., Qn £ СА(п, 22), удовлетворяющих условиям (А2) и (А3).

Для каждого элемента V £2" будем обозначать через V1,..., V"" его компоненты в базисе ё1,..., еп. Обозначим через Ь. подпространство в 2", состоящее из векторов V, для которых V' = 0. Если V £ Ь., то будем говорить, что V перпендикулярен е., и писать

Зафиксируем некоторую вершину ао £ Ап. Каждое подпространство Ь. определяет пару параллельных аффинных подпространств N. Э ао и N Э ао. Следующее утверждение показывает, что преобразование Qi, ограниченное на каждое из аффинных подпространств N. и N'i, является сдвигом.

Лемма 3. Пусть Ql,..., Qn удовлетворяют условиям (А2) и (А3), где Р1 ,...,Рп — сдвиги на базисные векторы ёl,...,ёn соответственно. Тогда для каждого Qi (г = 1,...,п) существуют у., £ 2", такие, что

Qi(a) = а + уесли а £ N., и Qi(a) = а + ъ., если а £ N1'. (1)

В частности, сЩ. : 2" ^ 2" имеет вид с^.(V) = V + viti, где ^ = у. + ъ. и ti = 0.

Доказательство. Положим Qi(aо) — ао = у. и Qi(aо + е.) — (ао + е.) = ъ.. Тогда формулы (1) имеют место ввиду того, что Qi коммутирует с любым сдвигом на ёj при э = г. Равенство ^ = 0 следует из того, что с^. — невырожденный оператор. □

Таким образом, каждый /п-граф В сложности 1 задается набором векторов У1, ¿1,..., уп, ъп £ 2", определенных формулами (1). Ясно, что условие простоты /п-графа В эквивалентно тому, что у.^ё. и (г = 1,...,п). Это означает, что для простого /п-графа каждый из векторов у1, ¿1,...,уп,ъп задает сдвиг в соответствующей ему гиперграни куба (рассматриваемой как аффинное подпространство в А").

Каждая пара векторов у г, ¿г определяет соответствующую перестановку Цг на множестве вершин /„-графа В и тем самым задает один из сомножителей в минимальной модели особенности, соответствующей этому /„-графу. Из доказательства предложения 2 вытекает, что этот сомножитель может быть описан следующим образом в терминах векторов у г, ¿г.

Предложение 4. Пусть набор векторов у1 ,¿1,... ,у„,£„ £ Z„ задает простой /„-граф В сложности 1. Тогда г-й сомножитель в соответствующей минимальной модели есть

1) атом В, если у г = ¿г = 0;

2) атом С2, если у г = ¿г = 0;

3) атом если у г = 0, ¿г = 0 или у г = 0, ¿г = 0;

4) атом Р4, если уг = 0, ¿г = 0 и уг = ¿г. □

Набор векторов у1, ¿1,..., у„, ¿„, задающих структуру /„-графа, не произволен. Эти векторы должны

удовлетворять условию "коммутирования", т.е. условию, эквивалентному условию (А2) для соответствующих им преобразований ^1,..., Q„. Найдем вид этого условия в координатной форме.

Лемма 4. Пусть у1, ¿1,..., у„, ¿„ £ Z„. Набор аффинных преобразований Qг : А„ ^ А„ (г = 1,..., п), заданных формулами (1), удовлетворяет условию (А2) тогда и только тогда, когда для любых г,] £ {1,...,п} выполнены следующие соотношения:

у} (уг + ¿г) = ¿5 (уг + ¿г) = у (уг + ¿г) = ¿3 (у3 + ¿3). (2)

Доказательство. Пусть ао £ А„ и V £ Z„. Формулы (1) можно переписать в следующем виде:

Qг(aо + V) = ао + V + + 1)уг + vгzг. Применим преобразование Qj Qг к произвольной точке а = ао + V £ А„:

Qj Qг(aо + V) = Qj (ао + V + + 1)уг + vгZi) =

= ао + V + + 1)уг + vгZг + ((V + (V + 1)уг + vгZг)j + 1)у + + (vг + 1)уг + vгZг)jZj =

= ао + V + + 1)уг + vгZг + (vj + (vг + 1)у3 + + 1)у + (V3 + (vг + 1)у3 + )Zj.

Приравнивая полученное выражение к аналогичному выражению для QгQj (ао + V), приходим к соотношению

((V3 + 1)у3 + V3 ¿3 )(уг + ¿г) = ((vг + 1)у3 + vг ¿3 )(уг + ¿г),

которое верно для любого вектора V. Рассматривая все возможные значения vг, V3 £ Z2, получаем равенства (2). □

Замечание 2. Пару векторов у г, ¿г £ Z„ можно рассматривать как "векторное поле" на А„, заданное соответствующими сдвигами на паре параллельных гиперграней куба (т.е. на паре аффинных подпространств в А„). Если определить стандартными формулами производную полинома вдоль векторного поля и коммутатор векторных полей на А„, то соотношения (2) эквивалентны тому, что поля и коммутируют.

Переформулируем теперь теорему 2, описывающую классификацию седловых особенностей сложности 1, в терминах векторов у г , ¿г.

Как и выше, рассмотрим аффинное пространство А„, в котором фиксирована "система координат" (элемент ао £ А„ и базис в!,..., в„ £ Z„), как множество вершин графа. Неориентированные ребра цвета г соединяют вершины а и а + вг, а ориентированные ребра цвета г идут из а в Qг(а), где Qг определено формулами (1). Из лемм 3 и 4 следует, что если у1,¿1,...,у„,¿„ удовлетворяют соотношениям (2), то мы получим некоторый /„-граф сложности 1. Рассмотрим (п х п)-матрицы у и ¿, столбцами которых являются у1,..., у„ и ¿1,...^„ соответственно, и обозначим построенный /„-граф через В(у, ¿).

Из определения 3 очевидно, что /„-граф В(у, ¿) является простым тогда и только тогда, когда все диагональные элементы матриц у и z равны нулю.

Теорема 3. 1) Каждая пара (п х п)-матриц у, элементы которых у3, ¿г £ Z2 удовлетворяют условиям (2) и соотношениям уг = = 0, задает седловую особенность сложности 1, соответствующую /„-графу В(у, ¿), причем любая седловая особенность сложности, 1 задается таким образом.

2) Две седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда пару матриц у, задающую одну особенность, можно получить из аналогичной пары матриц, задающей другую особенность, применяя следующие операции:

(1) сопряжение матриц у и z при помощи некоторой матрицы перестановки;

(л) замену столбца уг в матрице у на Zi и замену Zi в матрице z на уг для некоторого г = 1,...,и.

Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы 2 и определения /„-графа в(у, z). Второе утверждение следует из предложения 3. Операция (1) соответствует перенумерации базисных элементов в!,..., еп, а операция (и) — замене вершины ао £ Ап на вершину ао + е^. □

Применяя операции (1) и (и) из теоремы 3, можно привести матрицы у и z к некоторому "простому" виду, чтобы сократить перебор при составлении списка седловых особенностей сложности 1. Для описания этого вида удобнее использовать матрицу t = у + z вместо одной из матриц у, z (ясно, что пары матриц у, z и t, у однозначно определяют друг друга).

Лемма 5. Пусть элементы матриц у, z удовлетворяют условиям (2) и соотношениям у\ = zi = 0. Тогда, применяя операцию (1), матрицы t = у + z и у можно привести к следующему виду:

к0 к1 кт к0 к1 кт

0 Тг Т -1 т

0 0

у

и V

0

и

и

(3)

где 1 ^ к0 ^ п, каждая из матриц Т1,..., Тт состоит из одинаковых ненулевых столбцов, матрица и любая с нулями на диагонали, матрица V любая, а каждая из матриц Wl,..., Wm симметричная с нулями на диагонали (в частности, если ко = п, то t = 0 и у = и).

Доказательство. Для матриц t, у условия (2), очевидно, можно переписать следующим образом:

tгt•

0,

у^г

Vг,2 £ {1,...,п}.

(4)

Первое из соотношений (4) означает в точности следующее: для любого г = 1,...,п матрица t имеет либо нулевой г-й столбец, либо нулевую г-ю строку. Перенумеруем базисные векторы в!,..., еп (т.е. применим операцию (1)) так, чтобы первые ко столбцов матрицы t были нулевыми, а все остальные п — ко столбцов — ненулевыми. Тогда последние п — ко строк матрицы t будут нулевыми. Группируя ненулевые столбцы, получаем требуемый вид для матрицы Ь.

Докажем, что после применения указанных преобразований матрица у также примет требуемый вид. Рассматривая второе из соотношений (4), получаем следующие варианты. Если г,] ^ ко, то соотношение выполнено, т.е. на матрицу и не наложено никаких условий, кроме уг = 0. Если г ^ ко, а / > ко, то у? = 0, так как ^ = 0, а ^ = 0. Это означает, что левый нижний блок матрицы у нулевой. Наконец, если г, 2 > ко, то tг и ^ — ненулевые векторы. Поэтому в случае tг = tj получаем уг- = у3- = 0, а в случае

и = t

- получаем уг

у-.

□

Из леммы 5 следует, что теорема 3 может быть уточнена следующим образом.

Теорема 4. 1) Каждая пара матриц Ь, у вида (3) задает седловую особенность сложности 1, соответствующую /„-графу ©(у, у + ^ причем любая особенность сложности, 1 задается таким образом.

2) Две седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда пару матриц Ь, у вида (3), задающую одну особенность, .можно получить из аналогичной пары матриц, задающей другую особенность, применяя следующие операции:

(1') сопряжение матриц t и у при помощи некоторой матрицы перестановки;

(И') замену столбца у г в матрице у на у г + t¿ для некоторого г = 1,...,п. □

Теорема 4 показывает, что имеется взаимно однозначное соответствие между седловыми особенностями сложности 1 и классами эквивалентности пар матриц t, у вида (3) относительно операций (1') и (11'). Отметим, что выбрать некоторый "канонический" представитель в каждом таком классе эквивалентности вряд ли возможно. Например, следующее утверждение показывает, что в случае t =0 эта задача эквивалентна нахождению некоторой "канонической" нумерации вершин произвольного графа.

Следствие 2. Для интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы количество седловых особенностей сложности 1, для которых сомножителями минимальной модели являются лишь атомы В и С 2, равно количеству ориентированных графов с п вершинами без петель и кратных 'ребер.

Доказательство. Согласно предложению 4, рассматриваемые особенности соответствуют случаю t = 0. Поэтому каждая из таких особенностей задается лишь матрицей у. Более того, из леммы 5 следует, что в этом случае у = и, где и — любая матрица с нулями на диагонали, причем операция (И') ее не меняет. Матрицу и можно рассматривать как матрицу смежности некоторого графа, а операцию (1') — как перенумерацию его вершин. □

Отметим также противоположный случай, когда t имеет максимальное число ненулевых столбцов. Следствие 3. Для интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы количество сед-ловых особенностей сложности 1, для которых сомножителями минимальной модели являются один атом В и п — 1 атомов Р4, равно количеству неориентированных графов без петель и кратных 'ребер, число вершин которых равно п — 1, причем ни одна из вершин не является изолированной.

Доказательство. Из предложения 4 следует, что для рассматриваемых особенностей у матриц t и у ровно один нулевой столбец. Если такие матрицы имеют вид (3), то ко = 1 и т = 1. Отсюда получаем, что и = 0, а Т\ — матрица размера 1 х (п — 1), все элементы которой равны 1. Учитывая операцию (11'), можно считать, что V = 0. Таким образом, каждая особенность указанного вида задается симметричной (п — 1) х (п — 1)-матрицей с нулями на диагонали и без нулевых столбцов. Такую матрицу можно рассматривать как матрицу смежности неориентированного графа. □

Используя теорему 4, легко предъявить алгоритм перечисления седловых особенностей сложности 1 для данного числа степеней свободы п: необходимо перебрать все пары матриц t, у вида (3), а затем устранить из полученного списка лишние пары, применяя операции (1') и (11'). В следующем утверждении указано количество таких особенностей для малых значений п, полученное при реализации этого алгоритма на компьютере.

Предложение 5. Для интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы количество попарно неэквивалентных седловых особенностей сложности 1 при п =1, 2, 3, 4 равно 1, 4, 32, 622 соответственно. □ Результатом работы алгоритма является, конечно, не количество, а список особенностей. Для п = 1 это атом В (см. рисунок). Описание четырех особенностей для п = 2 в виде комплекса, круговых молекул и почти прямых произведений дано в [1, т. 2, теоремы 9.5, 9.6], а соответствующие /2-графы приведены в [4, рис. 5]. Случай п = 3 рассмотрен в следующем разделе.

6. Список особенностей для трех степеней свободы. Согласно теореме 4, седловые особенности сложности 1 задаются парами матриц t, у вида (3). В случае трех степеней свободы имеются ровно четыре матрицы t требуемого вида (с точностью до операции (1'), т.е. с точностью до сопряжения матрицами перестановок):

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

ъ = 0 0 0 , = 0 0 0 = 0 0 1 ^у = 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Теперь для каждой из этих матриц t выпишем соответствующие матрицы у, попарно не эквивалентные относительно операций (1') и (11'). При этом для каждого столбца матрицы у укажем соответствующий ему сомножитель в минимальной модели особенности (см. предложение 4). Для матрицы ^ получаем 16 вариантов (ср. следствие 2):

Б Б Б

В В С2

Б Б С2

Б С2 С2

Б С2 С2

Б С2 С2

Б С2 С2

Б С2 С2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

С2 С2 С2

С2 С2 С2

0 11 10 0 0 0 0

0 0 1 10 0 0 10

для матрицы — Б Б Бг

8 вариантов: Б Б Р±

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0

для матрицы ^ц

6 вариантов: Б Б Бг

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 1

0 0 1

0 0 0

В С2С2

0 1 1

0 0 1

0 1 0

ВС2В1

0 1 0

0 0 0

0 0 0

ВС21?1

0 1 0

0 0 0

0 0 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

С2С2С2

0 1 1

1 0 0

1 0 0

ВС2Р4

0 1 0

0 0 1

0 0 0

С'2 Сг-Ох

0 1 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 1

0 1 0

С2 С2 С2

0 0 1

1 0 0

1 1 0

С2В£>1

0 0 0

1 0 0

0 0 0

В В Ра

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

С2С2С2

0 0 0

1 0 1

1 1 0

С2ВР4

0 0 0

1 0 1

0 0 0

ВС2Р4

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 11 0 0 0 0 10

С2 С2 С2

0 10 10 1 110

С2 С2Б1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

С 2 С 2 Ра

0 1 1

1 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 0

С2 С2 С2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

С2С2 Ра

0 1 0

1 0 1

0 0 0

для матрицы Ьгу — 2 варианта (они соответствуют двум неориентированным графам с двумя вершинами; ср. следствие 3):

В П1Б1 В Р4 Ра

Таким образом, всего имеется 32 седловые особенности сложности 1. Для каждой пары матриц Ь, у из этого списка можно построить соответствующий /э-граф Э(у, z) и минимальную модель особенности (процедура построения минимальной модели особенности по ее /„-графу описана в [4, предложение 4 и лемма 9]).

В таблице для описанных выше 32 особенностей указаны их минимальные модели. Отметим, что аналогичный список был получен В. В. Калашниковым в работе [9], но приведенная там таблица содержит ошибки. Общее количество особенностей, перечисленных В. В. Калашниковым, также равно 32, но 7 особенностей в его таблице встречаются по два раза, а 7 особенностей пропущены.

Укажем номера одинаковых особенностей из таблицы В. В. Калашникова (см. [9], а также [1, т. 1, табл. 9.4] и [2, табл. 5], где приведена более подробная информация):

№ 6 = № 8, № 10 = № 16, № 11 = № 13, № 20 = № 23, № 24 = № 27, № 25 = № 28, № 26 = № 30.

В нашей таблице сохранена нумерация особенностей из работы [9], но вместо особенностей с номерами 8, 13, 16, 23, 27, 28, 30 указано 7 новых (кроме того, атом Р4 в работе [9] обозначен через ^).

Седловые особенности сложности 1 для трех степеней свободы

№ п/п Сомножители Действие Группа

1 Вх Вх В (1с1, 1с1, М

2 С2х В хС2 (а, а/3), (а/3, \<1, а) Z2 ех2

3 Вх Вх Б! (а, ¡с1, а) ъ2

4 В х В хС2 (а, ¡с1, а) ъ2

5 С2хС2х С2 (а, \(1, а/3), (¡с1,а, а/3), (а/3, а/3, а) ъ2®ъ2® ъ2

6 В1хС2х С2 (а, \(1, а/3), (¡с1,а, а/3), {\А,а/3,а) ъ2®ъ2® ъ2

7 В х С2 х С2 (¡<1, а, а/3), (а, а/3, а) ъ2®ъ2

8 Вх Вх Б! (а, а, а) ъ2

9 Й1 х А х В (а,1с1,а), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2

10 Вх В! хС2 (1(1, а, а/3), (а, ¡(1, а) ъ2®ъ2

11 с2х В! х В (а,1с1,а), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2

12 С2хС2х С2 (а,1(1, а/3), (¡с1,а, а/3), (а/3,1(1, а) ъ2®ъ2® ъ2

13 В х В х Р4 (¡с1,а,72(3), (а,¡с!,/?) ъ2®ъ2

14 В х С2 х С2 (1(1, а, а/3), (а, ¡(1, а) ъ2®ъ2

15 С2 х С2 х В (а,1с1,а), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2

16 В х В х Ра (а, а, 72/3), (а,1(1,(3) ъ2®ъ2

17 С2хС2х С2 (а, а/3, а/3), (а/3, а, а/3), (а/3, а/3, а) ъ2®ъ2® ъ2

18 С2хС2х С2 (а, а/3,1(1), (а/3, а, а/3), (а/3, а/3, а) ъ2®ъ2® ъ2

19 РА х РА х В (/3,7/3, а), (72/3, 7/3,1(1), (7/3,/3,а), (7/3,72/3, ¡(1) С?16

20 С2хС2х Ра (а, а/3,1(1), (а/3, а, 1(1), (а/3, а/3, ¡3), (а/3, ¡(1,72/3) ъ2®ъ2®ъ2® ъ2

21 С2хС2х С2 (а, а/3,1(1), (а/3, а, а/3), (а/3,1(1, а) ъ2®ъ2® ъ2

22 С2 х С2 х В (а, а/3, а), (а/3, а, а) ъ2®ъ2

23 В х В хС2 (а, а, а) ъ2

24 Бг х С2 х В (а, а/3, а), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2

25 Ра хС2х В (/3,0/3,1(1), ("/2/3,1(1, а), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2® ъ2

26 Ра хС2х В (/3,а/3,а), (-у2/3,1(1, а), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2® ъ2

27 С2хС2х £1 (а, а/3,1(1), (а/3, а, 1(1), (а/3, а/3, а) ъ2®ъ2® ъ2

28 С2хС2х С2 (а, а/3, а/3), (¡с1,а, а/3), (¡с1, а/3, а) ъ2®ъ2® ъ2

29 Ра х В хС2 (/3, а, а/3), (-у2/3,1(1, а/3), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2® ъ2

30 С2хС2х Ра (а, а/3,1(1), (а/3, а, 1(1), (¡с1, а/3, /3), (а/3, ¡(1,72/3) ъ2®ъ2®ъ2® ъ2

31 С2хС2х С2 (а, а/3,1(1), (¡с1,а, а/3), (а/3, ¡с1,а) ъ2®ъ2® ъ2

32 С2 х С2 х В (а, а/3, а), (¡с1, а, а) ъ2®ъ2

В третьем столбце таблицы описано действие группы на сомножителях минимальной модели, а именно для каждой из образующих группы (приведенной в четвертом столбце) и каждого из сомножителей

минимальной модели (приведенных во втором столбце) указано соответствующее преобразование. В терминах /-графов, соответствующих атомам B,D\,C2, P4 (см. предложение 2 и рисунок), такое преобразование однозначно задается образом какой-то "отмеченной" вершины /-графа.

В третьем столбце использованы следующие обозначения: а (для атомов B,D\,C2) — центральная симметрия, в (для атомов C2,P4) переводит отмеченую вершину /-графа в вершину, соединенную с ней ориентированным ребром, а y (для атома P4) переводит отмеченную вершину в вершину, соединенную с ней двухзвенным путем, состоящим из ориентированного и неориентированного ребра.

Автор благодарен академику РАН А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-01-00748), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3224.2010.1), программы РНП (грант 2.1.1.3704), программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (ГК 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация: В 2 т. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

2. Bolsinov A.V., Oshemkov A.A. Singularities of integrable Hamiltonian systems // Topological methods in the theory of integrable systems / Ed. by A.V. Bolsinov, A.T. Fomenko, A.A. Oshemkov. Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2006. 1-67.

3. Eliasson L.H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case // Comment. math. helv. 1990. 65. 4-35.

4. Ошемков А.А. Классификация гиперболических особенностей ранга нуль интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2010. 201, № 8. 63-102.

5. Zung N.T. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities // Compos. math. 1996. 101. 179-215.

6. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. Классификация четырехмерных гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек, I; II; III // Матем. сб. 1992. 183, № 12. 141-176; 1993. 184, № 4. 103-138; 1995. 186, № 10. 89-102.

7. Матвеев В.С. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло // Матем. сб. 1996. 187, № 4. 29-58.

8. Bolsinov A.V., Matveev V.S. Integrable Hamiltonian systems: Topological structure of saturated neighborhoods of nondegenerate singular points // Tensor and vector analysis. Geometry, mechanics, and physics / Ed. by A.T. Fomenko, O.V. Manturov, V.V. Trofimov. Amsterdam: Gordon and Breach Sci. Publ., 1998. 31-56.

9. Калашников В.В. Простые гиперболические особенности пуассоновых действий // Топологические методы в теории гамильтоновых систем / Под ред. А.В. Болсинова, А.Т. Фоменко, А.И. Шафаревича. М.: Факториал, 1998. 115-126.

Поступила в редакцию 23.12.2009

УДК 511.7+519.2

О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ К ПРЕДЕЛЬНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ

Р. Н. Бояринов1

Получены новые оценки скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин.

Ключевые слова: случайная величина, распределение случайной величины, скорость сходимости.

New estimates of the rate of convergence to the limiting distribution for nonnegative random variables are obtained.

Key words: random variable, distribution of random variable, rate of convergence.

В работах [1-4] доказаны теоремы о распределении значений некоторых арифметических функций,

1 Бояринов Роман Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: roma_boyarin@yahoo.com.