CC BY
30
I МАТЕМАТИКА УДК 517.51, 517.9
ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ УСЛОВИЙ КОШИ-РИМАНА
Н. А. Швемлер, Т. Г. Латфуллин
ON INVARIANCE OF THE GENERALIZED CAUCHY-RIEMANN EQUATIONS
N. A. Shvemler, T. G. Latfullin
Рассматриваются отображения класса С1 областей пространства R2, удовлетворяющие обобщенной системе уравнений Коши-Римана. Найдены достаточные условия замкнутости класса таких отображений относительно операций сложения, суперпозиции и обратного отображения. Во второй части статьи найдены условия, при которых существуют отображения, удовлетворяющие обобщенным условиям Коши-Римана с наперед заданной матрицей коэффициентов системы.
The С1 class of mappings domains in R2, satisfying the system of generalized Cauchy-Riemann equations is considered. Sufficient conditions for the closure of this class relative to the operations of addition, superposition and reverse mapping were found. The second part of the paper introduces the found conditions for which there are maps that satisfy the generalized Cauchy-Riemann system with a given coefficient matrix of the system.
Ключевые слова: условия Коши-Римана, обобщенная система Коши-Римана, свойства решений обобщенной системы Коши-Римана.
Keywords: Cauchy-Riemann equations, generalized Cauchy-Riemann equations, properties of generalized Cauchy-Riemann equations.
Введение
Пусть G - область в R2. Для заданной матрицы
A =
a
11
a
12
a,
13
a
14
a
21
a , v P1
a
22
a
23
a
24
a
P 2
ap3 ap4 y
(1)
циентов, чтобы обобщенная система уравнений Коши-Римана имела только линейные решения.
1. Условия замкнутости класса CR 2
В этой части всюду будем считать, что / (х, у ) = (и ( у) V ( у))
и 8 (л у ) = ( р (л у ) Ч (л у))
класса СЯ?2 = СЯ?2 (В) с матрицей коэффициен-
обозначим через СЯ^ = СЯ^ (А) класс непрерывно-дифференцируемых отображений
/: а ^Я2, /(л,у) = (и(л,у),V(л,у)),
частные производные координатных функций которых удовлетворяют обобщенным условиям Коши-Римана:
а 11и л + а 12и у + а 13Ул + а 14Уу = 0 а 21и х + а 22иу + а 23Ул + а 24Уу = 0 (2)
ар 1ил + ар 2 иу + ар з V* + ар 4 Vy =
Здесь а - действительные постоянные, р - количество уравнений, а их, иу, ух, уу - частные производные по соответствующим переменным. Имеет смысл рассматривать обобщенные условия Коши-Римана лишь в том случае, когда ранг матрицы (1) равен количеству строк и р < 4, иначе единственное решение системы (2) будет нулевым.
Предметом исследования в статье служат отображения, удовлетворяющие обобщенной системе уравнений Коши-Римана. Ранние работы по этой тематике восходят к авторам [1; 4 - 6]. В статьях [2; 3] найдены ответы на вопросы: когда такие отображения являются отображениями с ограниченным искажением; какими свойствами должна обладать матрица коэффи-
из тов:
B =
^ ^ал a ^
(3)
Ч 2 ^3 4
в в вз в^ Утверждение 1. При любых значениях элементов матрицы В алгебраическая сумма Дх,у) + §(х,у) отображений f(x,y) и g(x,y) принадлежит классу
ся2 (в).
► Так как отображения Дх,у) и g(x,y) удовлетворяют одной и той же обобщенной системе Коши-Римана, то
а1ил + а2иу + а3Ух + а4уу = 0, вих +в2пу + в?Ул +ву = 0
и
арх +а2 ру +азЧл +а4Чу = 0,
врл +в ру + взЧл +вЧу = 0..
Следовательно,
/ (л у) + 8 (л, у ) =
= (и (л; у) + р (л, у ) V (л, у) + ч (л, у)) будет удовлетворять следующей системе:
140 Н. А. Швемлер, Т. Г. Латфуллин
агпх + а2пу + а3Ух + а4уу +
+ахрх + а2 Ру + а3^х + а4 ду = 0,
+Р2Пу +вух + Р Уу +
+в рх+в2 ру+в д* + в ду =
После перегруппировки слагаемых
а ( + р )* + а2 (и + р) у +
+а3 ( + д )* +а4 ( + д ) = 0, в ( + Р)* + в2 ( + Р)у + +Рз (V + д )* + в4 (V + д ) = 0
получим систему Коши-Римана для отображения (4). ◄
Утверждение 2. Если выполнено одно из следующих условий на коэффициенты:
1. а1 = 1, а2 = 0, а3 = 0, а4 =— 1,
р, = 0, р 2 = 1, р3 =р3, рл = 0;
2. а1 = 1, а 2 = 0, а3 =а3, а 4 =—1,
Р1 = 0, р 2 = 1, Рз =—1, вл = 0; тогда суперпозиция / ° g отображений f и g принадлежит классу сл? (в).
► После преобразования методом Гаусса матрицы коэффициентов (3) можно прийти к одному из трех возможных вариантов:
a)
b)
c)
Остальные случаи, с учетом равноправия координатных функций и с точностью до перестановки строк, будут равносильными.
Координатные функции и и V отображения / ° g примут вид:
U (* у )=и (р(* у) д (* у)) V (* у )=У (р (• у) д (* у)).
Значит,
(5)
Г1 0 тз т4 ^
V 0 1 пз П4у
' т1 1 0 т4 ^
V п1 0 1 П4у
(1 т2 0 т4 ^
V 0 П2 1 П4 у
и* = и*р* - +иуд*
иу = и*ру ■ + иуду
V* = ^уд*
= V р + *Гу V д . уЧу
Рассмотрим случай (а), которому соответствуют равенства:
р* = -тзд* - т4ду, ру =-пзд*- п4ду.
(6)
(7)
Подставляя (6) в (5) получим:
и*=-тзид - т4и*ду+иуд*,
иу = -пзи*д* - п4и*ду+иуду,
К* = -тзу*д*- т4 У*ду + м*,
V =-пзу*д*- п4у*ду + ^.. Учитывая (а), получим систему, которая после перегруппировки слагаемых примет вид:
д* (-тзи* + иу + (-т32 - т4п3 ) ^ + т3Уу ) +
+ду (-т4и* + (-тзт4 - т4п4 ) V* + п4уу ) = а
д* (-Пзи* + (-Пзтз - П4Пз ) ^ + ПзУу ) +
+ П4Уу ) = 0.
-П4и* + иу + (-Пзт4 - П4 )) + П4Уу } = '
Приравнивая коэффициенты при частных производных координатных функций отображения $ к соответствующим коэффициентам матрицы (а), приходим к двум системам:
- тз = 0
-тз - т4пз = пз
тз = п4 - т4 = 1
-тзт4 - т4п4 = пз
-пз = 1
-пзтз - п4пз = тз
пз = т4
-П4 = 0
п4 = п4
разрешая которые находим коэффициенты соответствующие условиям 1, 2 доказываемого утверждения.
В случае (Ь), проделав аналогичные действия, получим уравнения:
тз = 0, т4 = -1, пз = пз, п4 = 0, (8.1)
т з = т з, т 4 = -1, п з =-1, п 4 = 0. (8.2)
рх (-тпиу - т1т4У* ) +
+ду (-т4и* + (1 - т1п4 ) иу - т42+ т4Уу ) = 0
р.* (П1и* - п1иу + (1 - т1П4 ) ^ - ПУу ) +
+ду (-П1П4иу - т4П4У* ) = 0
и соответствующие им условия на коэффициенты:
Ш1П[ = -1
т1т4 = 0
т4 =-п1 т1п4 = 1
т42 = -1
т4 = п4
т1п1 = 0 т1т4 = -1
т4 = -т1 т1п4 = 0
т42 = 0
т4 = п4
т1 = п1
п2 = -1
т1п4 = 1
п1 = -т4 п1п4 = 0
т4 п4 = -1
п1 = п1 п12 = 0 т1п4 = 0
П = -п4 п1п4 =-1 т4 п4 = 0
Нетрудно показать, что ни одна из этих систем не имеет действительных корней.
В последнем случае (с) суперпозиция У ° 8 удовлетворяет системе:
ру (-П2иу + т4Ул ) +
+Чу (-т4ил + (т2 - п4 )иу + т4Уу ) = 0, ру (П2ил + (П4 - т2 )л - П2^ ) + +Чу (у +(п4 - т4 )л ) = 0.
Приравнивая, как и выше, коэффициенты при частных производных, получим следующие условия:
п2 = П2 т4 = 1 т4 =-1
т2 - п4 = т2
т4 = п4
п2 =1
п4 = т2
п2 = -т4
п2 = п2 п4 - т4 = 1
- * 0.
Утверждение 4. Обозначим через ф линейное отображение ф (л, у) = (р£ + Чп, ^ + п), где р, q, г, 8 - постоянные. Тогда композиция У о ^ принадлежит классу СЯ?, (С), где
С =
С а^ - а2ч а2р - а1г а35 - а4ч а4р - а3г ^
Ъ^ - Ъ2ч Ъ2 р - Ъ/ Ъ35 - Ъ4ч Ъ4 р - Ь3г ► Координатные функции отображения ^ = У ° ф обозначим как и и V, тогда
и (£п) = и (л (,п)> у (,п)),
К (д,п) = V (л (£п), у (д,п)).
Значит
ир= и лР + и уд, и = и л + и у ,
д л д у* д' п л п у^ П у = V лд + V уд, V = V л + V у .
д ^^ у^д > п л п у?п
Откуда
Г рил + = ид Г PVл + =
Первая из представленных систем не имеет действительных корней, а решение второй системы: m 2 = 0, m 4 = -1, п 2 = 1, п 4 = 0 - приводит нас к частному случаю (8.1). ◄
Утверждение 3. Если а1 = -а 4, Р1 = -Р 4 и
отображение f(x,y) имеет обратное У 1 (л, у), то
последнее также принадлежит классу СЯ22 (В ).
► Из существования обратного отображения вытекает условие:
[Чил + 8Ыу = и п
[^л + = V
Решив полученные системы, находим:
¿ид- Ги п ри п - Чид
ил = _ ,. _ , иу =---1
р5 - гч
р5 - гч
V =
^ ^ = рКп -ЧКд
(10)
(9)
Обозначим через И, V и р, q координатные функции тождественного Д^^у^^У) и обратного Г1 отображений соответственно, тогда из определения обратного отображения вытекают соотношения:
их = 1 иу = 0 V = 0 Ку = 1.
Используя тот же прием, что и в доказательстве утверждения 2, и с учетом условия (9), получим требуемые соотношения:
а 1 ^ а 1, а 2 = а 2, а 3 ^ а 3, а 4 ^ а 1,
Р1 =Р1, Р 2 = Р2, Р3 =Р3, Р 4 =-Р1^
р5 - ГЧ р-ГЧ
Используя выражения (10), получим условия Ко-ши-Римана для пары функций И, V переменных Е, , п:
(а - а2ч) ид + (а2р - а1г) и + + (а3 5 - а4 ч ) V + (а4 р - а3г ) V п = 0, (Ъ^-Ъ2ч)ид+(Ъ2р-Ъ,г)и + ◄ +(Ъ3 5 - Ъ4 Ч )д+(Ъ4 р - Ъъг ) = 0..
Следствие. Если Дх,у) удовлетворяет классическому условию Коши-Римана
а1 = 1, а2 = а3 = 0, а4 = -1,
то композиция У ° ф
Ъ = 0, Ъ2 = Ъ3 = 1, Ъ4 = 0,
удовлетворяет условию:
5ид- ги + ЧКд- рКп = 0,
-Чид+ ри п + ГК = 0.
с=
Утверждение 5. Пусть у (и, V) - линейное ото-
б - Га Р]
бражение с матрицей I, тогда композиция
и З]
у ° / принадлежит классу СЩ (С), где
Гсф-оу оЗ-а^у аа-арв а4а-ар ЪЗ-Ъ^у Ъ2З-ЪАу Ъъа-ЪрР Ъ4а-Ъ2Р у
► Координатные функции отображения Ф = у о f обозначим как И и V, тогда
и (*, у) = аи (*, у)+рv (*, у), V(*, у)=/и(*, у) + Я(*, у) . Значит
Ги* = аи* + р Шу = аиу + 1К* =Уи* + З* , [К =Уиу + З .
и* =
Решив полученные системы, находим:
зи* -ру*
а.р-у8
а* -и*
иу =
^ =
зиу -рКу
аР-уЗ
аКу -уиу
(11)
ар-уЗ у аР-у5
Используя выражения (10), получим условия Ко-ши-Римана для пары функций и , V переменных х, У:
(С1б - СзГ) и* + (С2б - С4Г) иу +
+ (аза-а1Р) V* +(а4а-а2Р)Ку = 0, (б- ЪзУ))* + ((З-\у)иу + ^
+(Ъза-Ъ1р)Гх + (Ъ4а-Ъ2Р)Уу = 0. ^
Следствие. Если f(x,y) удовлетворяет классическому условию Коши-Римана
а1 = 1, а2 = аз = 0, а4 = -1,
Ъ = 0, Ъ2 = Ъз = 1, Ъ4 = 0,
то композиция / удовлетворяет условию:
бих + уиу-рух-а¥у = 0 -уих + диу + аУх -Р¥у = 0.
Утверждение 5. Если Дх,у) удовлетворяет классическому условию Коши-Римана
а = 1, а = а = 0, а = -1, Гр д]
Ъ = 0, Ъ2 = Ъз = 1, Ъ4 = 0,
а р =
у =
а
У 3
- линейные преобразования, то ото-
бражение / °р принадлежит классу СЯ^(С), где
С =
г Ss-уд ур-Зг ад -Рs Рг-ар -уз -Зд уг + 3р аз +Рд -аг-Рр
(12)
Заметим, что первая строка матрицы (12) состоит из элементов произведения матриц
(
а
Р
-у -З
Л (
д
- з
тов произведения
- р ]
а
а вторая строка из элемен-
р]Г з -г ]
-У -З
-р ]
2. Условия существования отображений класса СК 2 (а)
Пусть задана матрица А. Зададимся вопросом: существуют ли отображения класса СЩ (А) ?
Утверждение 6. Для заданной ненулевой матрицы А существует линейное преобразование плоско-
сти р с матрицей
Гр д]
V г 3 ]
и отображение Б, удов-
летворяющее классическому условию Коши-Римана, такие, что композиция ¥ ° <р принадлежит классу
СЩ2 (А).
► Пусть И, V - координатные функции отображения Б. Так как Б удовлетворяет классическому условию Коши-Римана:
\и* = V
\иу = -V* ,
а матрица Якоби для композиции будет иметь следующий вид:
Г и и ] Г
ч-иу и* у
л
р д
V' V
= Г ри* + гиу ди* + и ^ -риу + ги* -диу + Мх |
Тогда условие Коши-Римана с матрицей А за-
пишется в виде:
а (ри* + гиу) + а2 (ди* + и) + +аз (ги* - риу) + а4 (* - диу) = 0, Ъ (ри* + гиу) + Ъ2 (ди* + зиу) + +Ъз (ги* - риу) + Ъ4 (* - диу ) = 0.
Приведем подобные:
( а1 р + а2д + азг + а4 з ) и* +
+ (а1г + а2 з - аз р - а4 д) иу = 0,
(Ъ1 р + Ъ2д + Ъзг + Ъ4 з) и* +
+(Ъ1г + Ъ2 з - Ъз р - Ъ4д) иу = 0.
Рассмотрим алгебраическую линейную систему уравнений:
(13)
а1 р + а2 ч + а3г + а4 5 = 0 а1г + а2 5 - а3 р - а4 ч = 0 Ъ1 р + Ъ2ч + Ъ3г + Ъ4 5 = 0 Ъ1г + Ъ2 5 - Ъ3 р - Ъ4 ч = 0
Если эта система имеет ненулевое решение, то существует отображение, принадлежащее классу
СЯ2 (А), при этом в качестве Б подойдет любое
отображение, удовлетворяющее классическому условию СЯ. Система (13) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю.
В случае, когда определитель не равен нулю, в качестве Б подходят только линейные отображения. Тогда Их и Иу постоянны, и хотя бы одно из этих чисел, например, и% Ф 0 . ◄
Заметим, что для отыскания р, q, г, 8 достаточно решить систему:
а1г + а25 - а3 р - а4 4 = 1
а1 р + а2ч + а3г + а45 = -и у/ил .
Ъ1г + Ъ2 5 - Ъ3 р - Ъ4 ч = 1
Ъ1 р + Ъ2ч + Ъ3г + Ъ4 5 = -и /ил
Поставим и решим еще две задачи, касающиеся существования отображений, удовлетворяющих обобщенным условиям Коши-Римана.
Задача 1. Пусть отображение Г принадлежит
классу СЯ^ (А) . При каких условиях найдется линейное преобразование ф , с которым ¥ = У ° ф удовлетворяет классическому условию Коши-Римана.
Решение. Пусть
Ср ЧЛ
V Г 5 У
матрица преобразова-
ния ф . Согласно утверждению 4 композиция Б принадлежит классу СЯ2 (С) с матрицей
С =
С а15 - а2ч а2р - а1г а35 - а4ч а4р - а3г ^
Ъ15 - Ъ2ч Ъ2р - Ъ1Г Ъ35 - Ъ4Ч Ъ4р - Ъ3Г
Из предположения, что Б удовлетворяет классическому условию Коши-Римана, получаем систему: - а2ч - а4 р + а3г = 0
Ъ2 р - Ъ1г + Ъ35 - Ъ4 ч = 0
а2 р - а1г = 0
а3 5 - а4 Ч = 0
Ъ15- Ъ2Ч = 0
Ъ4 р - Ъ3 г = 0.
Перепишем систему в стандартном виде:
а4р + а2ч - а3г - а15 = 0 Ъ2 р - Ъ4 ч - Ъ1г + Ъ3 5 = 0 а2 р - а1г = 0 а4 ч - а3 5 = 0 Ъ2Ч - Ъ15 = 0 Ъ4 р - Ъ3г = 0 Обозначим
а
В =
-а.
Ъ -Ъ -Ъ
0 0 а
-а1 -Ъ3 0 0
-а1 ^
Ъ3 0 0
-а
-Ъ
1 У
Так как нас интересуют только ненулевые решения системы (14), а они существуют лишь тогда, когда, ранг матрицы В меньше 4.
Ответ: задача 1 имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы В меньше 4.
Заметим, что если третья и четвертая строки матрицы В линейно независимы, или линейно независимы пятая и шестая строки, то ранг матрицы В равен 4. Задача 2. Пусть отображение Г принадлежит
классу СЯ2 (А) . При каких условиях найдется линейное преобразование у, с которым Ф = у ° У удовлетворяет классическому условию Коши-Римана.
С а
Решение. Пусть матрица преобразова-
^ 8)
ния у. Согласно утверждению 5 композиция Ф принадлежит классу СЯ2 (С) с матрицей
Са5-а3у а28-а4у аа-а^Р аАа-а2Р ч Ъ18- Ъ3у Ъ28- ЪАу Ъ3а- Ъ1в Ъ4а- Ъ2Р У
Из предположения, что Ф удовлетворяет классическому условию Коши-Римана, получаем систему:
а18 - а3у - а4а + а2Р = 0 Ъ28 - Ъ4х + Ъ3а - Ъ1Р = 0 а28 - а4х = 0 а3а- а1Р = 0 Ъ18- Ъ3у = 0 Ъ4а- Ъ2Р = 0.
Перепишем систему в стандартном виде:
С =
а4/- a2ö = 0 a3a - aß = 0 b3y- blS = 0 b4a- b2ß = 0.
a4a - a2ß + a3y - aj6 = 0 b3a - bß - b4Y + b2ö = 0
Система (15) имеет ненулевые решения лишь когда ранг матрицы В меньше 4.
Ответ: задача 1 имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы В меньше 4.
(15)
Заключение
Обозначим
a3 -a1 0 0
a^2 a3 ai
-b1 b4 b2
-b2 0 0
-a1 0 0
0 b3 -b1
В статье найдены достаточные условия замкнутости класса СЩ22 относительно операций сложения,
суперпозиции и обратного отображения. Также представлено, как изменяются обобщенные условия Ко-ши-Римана после линейных преобразований отображений. Во второй части найдены условия, при которых существуют отображения принадлежащие классу
СЩ22 с заданной матрицей коэффициентов системы.
А также поставлены и решены две задачи касающиеся существования отображений принадлежащие классу
CR2.
0 0 a4 -a.
Литература
1. Векуа И. Н. Об одном свойстве решений обобщенной системы уравнений Коши-Римана // Сообщ. АН ГССР. 1953. Т. 14. № 8. С. 449 - 453.
2. Латфуллин Т. Г. Квазикомфорные отображения, удовлетворяющие условиям, подобным условиям Коши-Римана // Труды Международной конференции Ломоносовские чтения на Алтае. 2014. С. 323 - 327.
3. Латфуллин Т. Г. Когда однородная система УЧП первого порядка имеет линейное решение // Сб. науч. ст. Международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае». 2012. С. 314 - 318.
4. Морев И. А. Об одном обобщении уравнений Коши-Римана и гармоничности моногенных гиперкомплексных функций // Известия вузов. Математика. 1958. № 3. С. 176 - 182.
5. Ward J. A. From Generalized Cauchy-Riemann Equations to Linear Algebras Proceedings of the American Mathematical Society. Vol. 4. № 3. (Jun., 1953). P. 456 - 461.
6. Williams K. P. A Generalization of the Cauchy-Riemann Equations. The Annals of Mathematics, 2nd Ser. Vol. 30. № 1/4. (1928 - 1929). P. 206 - 210. Jstor.
Информация об авторах:
Швемлер Наталья Александровна - аспирант кафедры математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета, shvemler.natalya@mail.ru.
Natalia A. Shvemler - post-graduate student at the Department of Mathematical Analysis and Functions Theory, Institute of Mathematics and Computer Sciences, Tyumen State University.
(Научный руководитель - Т. Г. Латфуллин). (Academic айу1«ог - T. G. Latfullin).
Латфуллин Тагир Гумерович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета, tlatfullin@yandex.ru.
Tagir G. Latfullin - Doctor of Physics and Mathematics, Professor at the Department of Mathematical Analysis and Functions Theory, Institute of Mathematics and Computer Sciences, Tyumen State University.
Статья поступила в редколлегию 10.08.2015 г.
