Об энергоподобных функционалах Ляпунова в задачах устойчивости бистабильных плазменных систем зерноперераба тывающей промышленности Текст научной статьи по специальности «Физика»

МИСХОДИТ ! ВО ВСЄХ го пива и ) скорость

13.

образцах язоамило-I содержания. При цих спир-

■ида обра-овленных

Ычно на-м несоло--93%) на

жазывает глового и акаплива-

са броже-іой сыво-в 4-5 раз м несоло-

зменя не остав об-

пиртов в в преде-

Т.М., Лев-

'ктов, обра-пива, полу-|ья // Изв. 2-3. - С.

нствование женого яч-]ром, 1971.

( солода и .7, 68. нова Т.А.

чной сыво-ва // Изв. 1-3. —

шого сусла сыворотки -№ 1. —

ная молоч-ром-сть. —

пиртов для к метод их ром, 1970.

- М.: Гос-

: Пищевая

664.727.05:536.2

ОБ ЭНЕРГОПОДОБНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ■ БИСТАБИЛЬНЫХ ПЛАЗМЕННЫХ СИСТЕМ ЗЕРНОПЕРЕРАБАТЫВАЮЩЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

С.В. УСАТИКОВ, А.Ю. ШАЗЗО

Кубанский государственный технологический университет

Для разработки экологически чистых и ресурсосберегающих технологий, в том числе в зерноперерабатывающей промышленности, перспективно использование низкотемпературных плазменных установок [1, 2].

При создании таких установок для обработки зерна (дезинсекция и др.) возникают многие специфические аспекты устойчивости плазмы, распределений температурных полей и т.п., требующие углубленного теоретического и практического исследования. Это, в частности, вопросы безопасности и стабильной работы плазмотронов, например, при пылевыделении в зерновой массе, когда очаговое превышение ПДК пыли в волноводах или рабочей зоне пожароопасно.

Равновесная плотная плазма является бистабильной системой, имеющей несколько устойчивых к малым возмущениям состояний. Однако возмущения могут быть не малыми и часто носят локальный очаговый характер: из-за различных неоднородностей, примесей, чужеродных предметов, случайных отклонений режимных параметров. Такие возмущения могут приводить к смене состояния системы, которая имеет для нее катастрофически глобальный характер, поскольку часто вызывается несоизмеримо малыми возмущающими порциями энергии, сосредоточенными к тому же в очень малой области. В одних устройствах смена состояний находит полезное применение, в других является помехой и очень нежелательна, часто опасна.

Математический аппарат для анализа устойчивости ”в большом” дает прямой метод Ляпунова, обобщенный на системы с распределенными параметрами. Он позволяет избежать громоздких и ’’слепых” численных расчетов основных уравнений процессов, дает аналитическое соотношение для исследуемых величин. В данной работе на основе трехмерной теплопроводностной модели с помощью энергоподобных функционалов Ляпунова получены аналитические соотношения для критических очаговых возмущений, вызывающих смену состояния бистабильной плазмы в лазерном и СВЧ-лучах, в постоянном электрическом поле. Обсуждается также применение методов теории горения и взрыва в ’’задачах зажигания” плазмы инородными локальными источниками тепловыделения.

Рассмотрим уравнение баланса энергии газа в электромагнитном поле [3]

где

рср^ = div(lV7) + WST) ~ W2(T), р, ср — плотность и теплоемкость;

(1)

t — время;

T=T{x,y,z,t)— температурное поле газа;

Я = Х(Т) — коэффициент теплопроводности; W,{T) — джоулево тепловыделение;

W2(T) — теплопотери.

Тепловыделение для лазерного или СВЧ-лучей и постоянного электрического поля имеет соответственно вид

W,(T) = SjuJT) и W,{T) = Е2а(т), (2)

где S0 — поток энергии излучения;

— коэффициент поглощения излучения частоты со;

Е — электрическое поле; а=о(Т) — проводимость плазмы.

Теплопотери могут быть из канала луча радиуса R в окружающую среду Т0 либо в виде излучения в плоском канале между охлаждаемыми пластинами, параллельными постоянному электрическому полю (при оптически прозрачной плазме):

W2(T)~^ix(T - Г0) либо W2(T) = Ап2еГ2, (3)

где

пе — электронная плотность, определяемая термодинамическим уравнением Саха.

Граничные условия для (1) определяются тем, что плоский канал толщиной 2Я с анодом и катодом по торцам предполагается имеющим пластины, поддерживаемые при постоянной температуре Т^ Вдоль же своей плоскости канал, а также лазерный и СВУ-лучи предполагаются бесконечными со стремящимися к нулю тепловыми потоками.

При определенном диапазоне величин Б* или Е разность тепловыделения и теплопотерь «^(Г) --Ж2{Т) из (2), (3) имеет характерный нелинейный Л?-образный вид. Нули кривой - \РГ2 означают наличие стационарных пространственно однородный состояний; нижнее устойчивое, холодное состояние газа Т1, неустойчивое 7, и верхнее устойчивое, плазменное состояние 7^. Для плоского канала плазменное состояние Т3 определяется уравнением (1), из которого в силу стационарности и симметрии удается получить первый интеграл (здесь ось у — поперек канала)

const = —

/дТ\

+ ][Wi{T)-W2(T)\dT. (4)

Известно [3], что если разность площадей над и под осью Т для АГ-образной кривой на

отрезке от Т1 до 7"3 отрицательна, то возможно инициирование бегущей волны плазменного фронта и перехода из состояния Т{ в состояние 73. Это критические значения потока энергии излучения 50 или электрического поля Е. В дальнейшем величины 50 или Е считаются выше критических.

1. Очаговые возмущения температуры газа, когда к некоторому моменту времени режимные параметры вернулись к номинальным и следы их отклонений от номинала остались только в виде измененного температурного поля газа, моделируются начальным условием для (1)

Тг=о = Тх + рд^.м{х, у, г), (5)

где р —параметр возмущений, имеющий

смысл величины перегрева в очаге,

б**» = д^х’ У> г> — БИД возмущений, сосредоточенных в сфере малого (по сравнению с размерами канала) диаметра АЬ; внутри сферы <5возм = 1- вне сферы <5бозм = 0.

Задача определения критических условий инициирования плазмы, т.е. смены состояния 7, на Т3, сводится к следующей: при каких величинах параметра р решения краевой задачи (1), (5) стремятся с течением времени к режиму Г, (очаг гаснет), а при каких — к режиму Г3 (очаг разрастается и формируется плазменный фронт). Точнее, необходимо найти критические значения ркр в зависимости от АЬ, пограничные между этими двумя процессами.

В [4] предложен для этой цели функционал Ляпунова типа действия по Гамильтону в виде кратного интеграла по области £2, занятой газом:

; Л7’] = /я|||¥Г|2-/[^(7)-

£2 *■ 1 - №2(Г)\с1Т}с1х йу йг, (6)

для которого стационарное уравнение (1) является уравнением экстремалей Эйлера—Лагранжа или Эйлера—Остроградского. Для локальных очаговых возмущений эффективно предложенное в [5] условие для определения р :

= 0

й2/

< 0.

(7)

йр " “ йр

Это условие имеет ясный физический смысл. Функционал (6) представляет собой энергоподобный ’’горный рельеф”, в котором область притяжения состояния Т1 (когда очаг гаснет) образует как бы впадину — ’’долину” с дном в точке ТОбласть притяжения состояния Г3 (когда очаг разрастается и формируется плазменный фронт) также образует ’’долину , соединенную с Г, водоразделом- ’перевалом”. Из одной области-’’долины ’ в другую можно попасть только минуя этот водораздел. Если двигаться по направлению вектора (5В03М из (5), то нац(6) образуется ’’тропинка” 1(р), вершина которой на водоразделе и означает достижение ркв. Условие (7), очевидно, означает максимум ’’тропинки” ]{р).

Очевидны также недостатки (7): гарантируется локальный максимум, а не глобальный. Только (7) не гарантирует попадания на вершину ’’перевала”,

необходимо еще сравнение с ’’седловидными точками” неустойчивых стационарных режимов, определяемых из (4). Кроме того, полезна проверка полученных соотношений методом установления — путем целенаправленного численного решения исходной краевой задачи (1), (5).

Подставив (5) и (6) в (7), с помощью формулы Лейбница получим приближенную обратную зависимость АЬ от ркр:

„ с!Х(Т. + р ') 4 АЛ(7\ + рщ)р^ + 2 &„-■■■ 1,т^-

(8)

щт.+р^-щт.+р^

где при фиксированном ДЬ необходимо брать меньший корень р. Здесь к — размерность задачи: к - 1 для лазерного и СВЧ-лучей, & = 3 для плоского канала с постоянным электрическим полем.

Соотношение (8) применимо только до превращения максимума / из (6) в точку перегиба, т.е. при АЬ, большей определенной величины. Численное решение (методом конечных разностей) исход1 ной краевой задачи (1), (5) показывает, что при уменьшении ДЬ величина рК? продолжает увеличиваться. При увеличении размера очага ДI величина критического перегрева р в очаге принимает асимптотическое значение Т2, равное температуре неустойчивого режима. Величина же Т2, очевидно, сильно зависит от электрического поля Е или потока энергии излучения 50.

2. Возмущения, вызванные инородными локальными источниками тепловыделения, оказывающими длительное воздействие, математически моделируются граничным условием для (1), здесь ось у — вдоль канала:

Т = Т

у-0 ВОЗМ

(9)

и имеют глубокую аналогию с ’’задачами зажигания” теории горения и взрыва [6]. Требуется определить критическую пороговую температуру 7" источника, чтобы при очаг становился

Кр , ВОЗМ кр ЛПГ1

локальным (и газ в канале лазерного и Сд^-излу-чений — холодным) неограниченно долго, а при ГВ03М>Гкр через некоторое время происходил переход в плазменное состояние.

Очевидно, что этот переход не произойдет, если возможно такое состояние газа, в котором все выделяющееся в очаге тепло отводится в остальную холодную массу газа с необходимой скоростью. Если же такой стационарный режим невозможен, альтернативой ему является режим нестационарного формирования и распространения плазменного фронта. Таким образом, необходимо провести анализ точек бифуркации режимов, описываемых линиями уровня интеграла (4).

Точка бифуркации соответствует адиабатическому состоянию поджигающей стенки при критическом режиме реагирования горючей смеси [6]. Следовательно, из (4) получаем для определения пороговой температуры ГКр уравнение

$№Х{Т) - №2(Т)]<1Т = 0,

(10)

что графи и под оськ на отрезю Таким с водностно на устойч] щениям б МЫ, персп чистых и ботки зер: подобных аналитич« мущений ле, приво, лазерного получено в ’’задаче ными ист соотноше! ботке плавающей п

Л.В. АНИС

Алтайский , им. И.И. По

Одним действия гигроскоп его анато!

Нами 1 зерна, ядр двух круп Равнов< ределяли в эксикак при темпе На рис воды ядро

У/р. %

УС ------

20

10 --------:

1ИДНЫМИ точ-

>ежимов, опта проверка становления ого решения

;ью формулы ратную зави-

г.+РуГ

здимо брать :рность зада-*, к = 3 для ическим по-

0 до превра-ерегиба, т.е. шы. Числен-1стей) исход1. 1ет, ЧТО При ч; жает увели-ага ДЬ вели-

епринимает температуре 2, очевидно, юля Е или

)ДНЫМИ ло-

ления, ока-математиче-:ем для (1),

(9)

ши зажига-Требуется ■емпературу становился

1 СВЧ-шпу-олго, а при ходил пере-

ойдет, если отором все я в остальной скоро-жим невоз-жим неста-зстранения яеобходимо симов, опи-4).

!батическо-и критиче-смеси [6]. тределения

что графически означает равенство площадей над и под осью Т для Л?-образной кривой ])Р1(Т)~ №2(Т) на отрезке от Т{ до Т .

Таким образом, на основе трехмерной теплопро-водностной модели теоретически проанализирована устойчивость к очаговым температурным возмущениям бистабильной низкотемпературной плазмы, перспективной для разработки экологически чистых и ресурсосберегающих технологий переработки зерна. Развит метод использования энергоподобных функционалов Ляпунова и получены аналитические соотношения для критических возмущений плазмы в постоянном электрическом поле, приводящих к смене стационарных состояний лазерного и СВЧ-лучей. Методами теории горения получено выражение для пороговой температуры в ’’задаче зажигания” плазмы инородными локальными источниками тепловыделения. Выведенные соотношения могут быть использованы при разработке плазменных установок для зерноперерабатывающей промышленности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Низкотемпературная плазма. ВЧ- и СВУ-плазмотроны. Т. 6. / С.В. Дресвин, А.А. Бобров, В.М. Лелёвкин и др.

— Новосибирск: Наука, 1992. — 320 с.

2. Ермекбаев С.Б., Пунков С.П., Изтаев А.И. Влияние СВЧ-обработки на содержание микрофлоры зерна пшеницы // Изв. вузов. Пищевая технология. — 1992. — № 5-6. — С. 83-84.

3. Райзер Ю,П. Физика газового разряда. — М.: Наука, 1992

— 536 с.

4. Сигов А.С., Чечеткин В.Р. Об асимптотической эволюции начального температурного профиля в системах с двумя устойчивыми положениями теплового равновесия //Докл. АН СССР, — 1985. — 285. — № 2. — С. 360-365.

5. Ковалев С.А., Усатиков С.В. Оценка устойчивости режимов кипения с помощью функционала Ляпунова / / Теп-лофиз. высоких температур. — 1991. — 29. — № 4. — С, 730-737.

6. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Мах-виладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва.

— М.: Наука, 1980. — 478 с.

Кафедра общей математики Кафедра технологии переработки зерна и комбикормов

Поступила 29.05.97

664.788.3.001.573

АНАЛИЗ ИЗОТЕРМ СОРБЦИИ ПАРОВ ВОДЫ ЗЕРНОМ ГРЕЧИХИ И ПРОСА

Л.В. АНИСИМОВА , чихи (кривые /, 2, 3 соответственно) при темпера-

Алтайский государственный технический университет туре 20 С. Из графика видно, что в зерне гречихи

им. И.И. Ползунова наибольшей гигроскопичностью обладает ядро, на-

именьшей — плодовые оболочки. Для анатомиче-

Одним из путей изучения механизма взаимодействия зерна с водой является исследование гигроскопических свойств как целого зерна, так и его анатомических частей.

Нами исследованы гигроскопические свойства зерна, ядра, плодовых оболочек, цветковых пленок двух крупяных культур — гречихи и проса.

Равновесную влажность зерна и его частей определяли статическим тензиметрическим методом в эксикаторах над насыщенными растворами солей при температуре 20, 30 и 40°С.

На рис. 1 приведены изотермы сорбции паров воды ядром, зерном и плодовыми оболочками гре-

У/р» %

Рис. 1

ских частей зерна проса выявлены аналогичные зависимости: равновесная влажность ядра при всех изученных значениях относительного давления паров воды выше равновесной влажности цветковых пленок. С ростом температуры гигроскопичность обеих культур снижается. Разницу в гигроскопических свойствах анатомических частей зерна гречихи и проса можно объяснить различиями в их химическом составе и структуре.

С целью получения математической модели процесса сорбции экспериментальные данные обработали на ПЭВМ. Расчет проводили по экспериментальным точкам с включением дополнительной теоретической точки О (исходя из предпосылки, что при относительном давлении паров воды р/р0

- 0 равновесная влажность материала = 0).

Поскольку взаимодействие зерна с водой имеет сложный характер (при сорбции наблюдаются мо-номолекулярная, полимолекулярная адсорбция, капиллярная конденсация и другие процессы [1-3]), для описания изотерм сорбции использовали полиномиальную зависимость. Обработка результатов исследований показала, что экспериментальные данные с достаточной степенью точности описываются полиномом третьей степени вида

= а0 + а,(р/ро) + а2(р/ро)2 + а3(р/р/,

где УУр — равновесная влажность материала (на общую массу), %; р/ра — относительное давление паров воды;

а0,а,,а2,я3 — коэффициенты уравнения, зависящие от материала и температуры.