О расчете по прямому методу Ляпунова очагового инициирования плазменного фронта "сжигания" лазерного и свч-л у чей Текст научной статьи по специальности «Физика»

562.3

|)ЛЯ и й-эле-

[СКОГО

за из-маль-мето-раня-тбора й ин-;ерна,

1НН0Й

оль и горах, зссор-го тарных чного

систе-

абото-

60’С,

ности

ояние

ажен-

себя

)0ТКИ,

осста-•алью, >е воз-

ости

Едок-схема вторичного преобразователя (контролера) Вторичный преобразователь ВП

I. Клавиатура 2. Цифровое табло

Ка. ЦТ

3. Блок обработки, хранения и обмена информации БОН

-------------- -------------------

4. Блок восстановления сигналов и разветвления питаидих налряасений ЕВСР

НС1| КС2| КСЗ КС4| КС5! КС6 КС7 КС8 КСЗ КС10 1 КС II КС12| КС13

Рис. 2

духа в помещении от -30 до 60°С, при относительной влажности воздуха от 20 до 95 /о.

Условия работы системы:

режим работы датчиков непрерывный — при контроле численности насекомых-вредителей и дискретный — при определении температуры, относительной влажности воздуха межзернового пространства и скорости их изменения во времени;

питание датчика — от вторичного преобразователя;

вторичный преобразователь обеспечивает питание датчиков, сбор поступающей от них информации в унифицированной аналоговой форме, преобразование поступающей информации в унифицированную цифровую форму, ее хранение, выдачу (по запросу — при диалоговом режиме работы или во времени — при автоматизированном контроле) и видеоотражение на табло в цифровом виде.

Кроме того, вторичный преобразователь должен располагать дополнительными каналами выдачи информации на центральный пульт, видеотерминал или процессор и управления по контролируемым показателям — в среднем по системе и по каждому датчику в отдельности.

При эксплуатации датчики не обслуживаются.

Ремонт и наладка системы производятся слесарем КИП шестого разряда.

Категория взрывоопасности помещений, где будет находиться контролируемая масса зерна и семян и эксплуатироваться система, — ПП.

ВЫВОДЫ

1. Действующие и используемые в практике хранения зерна в мини-элеваторах методы и средства контроля и оценки состояния хранящегося материала недостаточно механизированы, трудоемки и не обеспечивают достоверности получаемой информации.

2. Предложенная технология дистанционного контроля и оценки зерна, хранящегося в элеваторах, исключает ручной труд лаборантов, более оперативна и обеспечивает достоверность оценки состояния хранящегося зерна.

3. Автоматизированная информационная система, при соответствующей адаптации, может быть использована и для контроля качества семян сельскохозяйственных культур.

Кафедра хранения зерна и элеваторной промышленности

Поступила 22.11.96

664.727.02.001.24

О РАСЧЕТЕ ПО ПРЯМОМУ МЕТОДУ ЛЯПУНОВА ОЧАГОВОГО ИНИЦИИРОВАНИЯ ПЛАЗМЕННОГО ФРОНТА "СЖИГАНИЯ” ЛАЗЕРНОГО И СВЧ-ЛУЧЕЙ

С.В. УСАТИКОВ, АЛО. ШАЗЗО

Кубанский государственный технологический университет

Использование равновесной плотной (низкотемпературной) плазмы для самых различных практических целей и в технике имеет широкие перспективы, Мощности современных СбУ-плазменных установок уже вполне достаточны для проведения

крупномасштабных плазмохимических процессов, многие из таких установок внедрены в производство [1]. Для зерноперерабатывающей промышленности особенно актуально использование СБЧ-плазмотронов в технологии дезинсекции зерна.

При создании установок для дезинсекции зерна важное значение имеет изучение устойчивости к конечным возмущениям бистабильных систем,

имеющих два и более устойчивых к малым возмущениям состояния, к которым, безусловно, относится и низкотемпературная плазма. Возмущения, как правило, носят локальный очаговый характер. В 1961 г. описано явление, которое наблюдается в СЗУ-передатчиках, работающих в непрерывном режиме: в волноводе внезапно вспыхивает локализованный разряд и плазменное образование движется вдоль волновода по направлению к генератору [2]. В 1963 г. обнаружены волны ионизации в волноводах [3]. При создании локализованной плазмы в волноводе, наполненном инертным газом, плазменный фронт отрывается от места образования и движется к источнику СВУ-излучения. В 1969 г. принудительное поджигание лазерной искры было осуществлено в опытах [4]. Этот режим медленного расширения лазерной искры известен как ’’световое горение”. Успехи в описании указанных явлений связаны с теорией, включающей в себя аналогию с горением [5, 6]. Известно решение задачи о возникновении пламени от очага воспламенения конечных размеров [7]. Эта глубокая аналогия решений уравнений (и реальных процессов) с теорией ламинарного пламени распространяется также и на теплообмен при кипении [8]. Таким образом, изучение устойчивости к конечным возмущениям в плазмотроне должно включать результаты не только физики плазмы, но и теории горения и теплообмена при кипении.

Устойчивость к конечным возмущениям первоначально предложено определять с помощью функционала Ляпунова {типа действия по Гамильтону) [9]. Математической базой для этого служит обобщение прямого метода Ляпунова на системы с распределенными параметрами [10]. Такой подход дает общий и единообразный метод решения задач подобного класса. Однако широкому применению его мешали громоздкость определения ’’перевальных точек” достаточного условия Ляпунова (неустойчивых к малым возмущениям режимов) и часто со слишком большой ’’перестраховкой” достаточность этого условия. Поэтому в [11] предложено заменить достаточное условие Ляпунова более простым ’’правилом знаков” — по знаку величины функционала Ляпунова в начальный момент времени. Однако это условие — еще более ’’перестраховочное”, как отмечено там же [11], к локальному очаговому возмущению его применить невозможно.

Для преодоления указанных трудностей практического применения прямого метода Ляпунова в [12] предложено определять критическую величину заданного класса возмущений, зависящих от параметра, из условия равенства нулю производной функционала Ляпунова по этому параметру (и отрицательности второй производной). Для ’’перевальных точек” это условие, очевидно, выполняется, но. строго говоря, не является ни необходимым, ни достаточным. Кроме того, оно применимо только до превращения максимума функционала в точку перегиба. Поэтому в [ 12] полученные результаты проверялись численными расчетами исходной краевой задачи.

В данной работе на основе явления ’’светового горения” показана корректность применения предложенного в [12] условия к задачам устойчивости при локальных очаговых возмущениях состояния газа в СВУ-волноводах плазмотронов. Полученные аналитические выражения для критической вели-

чины возмущении температуры в очаге в зависимости от его размеров могут быть использованы при создании промышленных образцов установок для дезинсекции зерна.

Рассмотрим известную постановку идеализированной одномерной задачи [5, 6] — уравнение баланса энергии газа в световом канале лазерного луча, пренебрегая схождением сфокусированного луча и ослаблением падающего потока излучения при углублении в плазму:

’ді дх дх

УГ.ХТ)], (1)

где Т =

Т(х, і)

температурное поле в зависимости от времени ? и координаты х вдоль светового канала; р, ср — плотность и теплоемкость при постоянном давлении;

X — коэффициент теплопроводности;

50 — поток энергии лазерного излучения;

коэффициент поглощения света частоты со (рис. 1 а),

„(т)

ШТ)

я

:Х(Т~ г0)

(2)

где ¥/2(7’) — теплопроводностные потери энергии из светового канала радиуса Я в окружающую среду с температурой Т0;

А — численный коэффициент порядка двойки.

Отметим, что в дальнейшем X считается не зависящей от Т. Это может сказаться только на количественной, а не качественной стороне дела. В [11] указано обобщение функционала Ляпунова на случай сильной нелинейной зависимости X от Т.

Поскольку в дальнейшем возмущения предполагаются сосредоточенными в малой области, примем пространственную координату х неограниченной, а тепловой поток на бесконечности стремящимся к нулю:

дТ

дх

-> О

(3)

Кривые тепловыделения при поглощении света 5МШ{Т) и потерь 'М'ЛТ) показаны на рис. 1 б (3„ = 200 кВт/см2; Я = 0,02 Вт/(см-К); Я = 0,1 см). Точки их пересечения / и 3 означают наличие двух устойчивых к малым возмущениям пространственно однородных состояний с температурами Т1 и Тг соответственно, а точка 2 — неустойчивого состояния с температурой Г2, являющейся одной из ’’точек перевала” для применения достаточного условия Ляпунова [9].

При достаточно больших потоках энергии излучения 50, очевидно, существует величина температуры Т , при которой заштрихованные площади на рис. Т б равны. Это соответствует изученному в [7] случаю /У-образной нелинейности, при которой различные Я-образные (финитные) начальные профили температуры вида рис. 1 в (локальный очаг возмущений температуры: 1,3 — устойчивые к малым возмущениям режимы, 2 — неустойчивый режим) приводят с течением времени (при £-» 00 ) решения (1) — (3) либо к режиму Г,

1

см

V

\¥

I-

’В 01

(плазм послел плазм* ростьк Крої еще р< их кар (с нул логии ки ”м назове

максич в оснс хорош< Этот р требуе! Ляпуні времеь дит ЭТ( же, на форми| режим По

[ВИСИ-

эваны

новок

[зиро-

яение

'рного

иного

чения

, (1)

угости

вдоль

т по-

[ти;

^луче-

1та ча-

(2)

энер-уса Я рату-

зядка

я не (о на дела, шова Я от

пола-

при-

ГІЧЄН-

земя-

(3)

:вета 1 б 0,1 ичие гранди Г[ [ВОГО

дной

:ного

ізлу-

тера-

дади

іому

сото-

ьные

>ный

івьіє

'ЙЧИ-

(при

|У Г1

’’теоремы равных площадей” (см., например, [5, 6]). Это критическая величина потока энергии излучения, ниже которой инициирование плазменного фронта локальными очагами невозможно и при которой нормальная скорость распространения фронта обращается в нуль (соответствует указанным в [5]).

°к

1.5-

СМ

1.5

1

бцоїн

0.5

О

В 2* !0 1

1 * 1 МО5

д ат йх о Т2 \тт — ЇИ- -

у , V, 2 х АЬ ) -1-Ю5 - Ч / -

-г -і а і Рис. 1 -МО5 л —л-*

IX

О

К

(плазма гаснет), либо к режиму Тг, причем в последнем случае к Т3 приводит распространение плазменного фронта с постоянной нормальной скоростью (решение в виде бегущей волны).

Кроме режимов 1, 2, 3 на рис. 1 б, возможны еще режимы, не зависящие от времени. Полную их картину дает первый интеграл стационарного (с нулевой левой частью) уравнения (1). По аналогии с движением без трения материальной точки ’’массы” Я под действием ’’силы” ^2~50м(У назовем его ’’интегралом энергии:

- Рис. 2

При дальнейшем уменьшении 50 фазовый портрет (4) качественно меняется: режим рис. 2 а, ’’опирающийся” на Т{ и только локально повыша-= Т3, заменяется на режим, ”опи-

шах

на

То и только с одним локальным

' йТ

йх

+ 1[8^0)(Т) - ЩТ)]с1Т = сопз! . (4)

Фазовый портрет (4) показан на рис. 2. В случае Тгплх<Тг существует неустойчивый режим с одним максимумом температуры, равным (рис. 2 а), в основном сохраняющий температуру Г,, что хорошо моделирует локальный очаг возмущений. Этот режим и есть та ’’перевальная точка”, кбторая требуется для применения достаточного условия Ляпунова. Ясно, что если в начальный момент времени температура во всех точках не превосходит этот режим, то плазменный очаг гаснет. Если же, наоборот, превосходит, то очаг разрастется до формирования плазменного фронта и перехода к режиму Тг.

ющиися до рающийся” минимумом.

Таким образом, инициирование плазменного фронта локальными очагами возможно только при значениях 5р, больших критической величины, определяемой из условия Ттгх = Т3. Рассмотрим этот случай, моделируя локальный очаг температурных возмущений начальным условием

Тг=0 = Т1 + ^возм^)> (5)

параметр возмущений, имеющий смысл величины перегрева в очаге; вид возмущений, например, рис. 1 в:

где

<5.

Р — ц(^) —

По

мере г

3’

• (6)

Задача определения критических условий инициирования плазменного фронта сводится к следующей: при каких величинах параметра р решения краевой задачи (1-3), (5-6) стремятся с течением времени к режиму Т. (очаг гаснет), а при каких уменьшения 50 возможен случай — к (возникает плазменный фронт). Точнее,

= Га, что соответствует уравнениям известной

необходимо наити критические значения р в

зависимости от АЬ, пограничные между этими двумя процессами.

Для данной задачи функционал Ляпунова [9-12] имеет вид

Л71=Л|

/дТ\

дх

-}[з^(,Т)-ЩТ)Ытух.(7)

Следуя [12], для определения величин рк? и АЬ применим условие максимума / из (7) по параметру Р

й![Т + рд \ Л

—тР—■°" 1?

По формуле Лейбница, подставив (7) получим

< О

(8) В (8),

dJ

dp

-fJ¥

dd_

dx

■ ~ dx . (9)

Теперь необходимо подставить в (9) конкретный вид возмущений с5В03Ы(х) из (6). Чтобы избежать громоздких выкладок, проведем следующее приближенное (погрешность несколько процентов) рассуждение. Можно понимать (6) как очаг возмущений малого размера АЬ с величиной возмущений р и средней производной, равной 2р/АЬ. Тогда (9) приближенно можно записать в виде

- ALlS^JT.+p) - WJJ^pj)**0 ,(10)

dJ АХр dp A L

откуда получаем обратную зависимость AL от рк

-V "■

Д L

41р,

(11)

^(Т'і+^-ВД+Ркр)

где при фиксированном АЬ необходимо брать меньший корень

Заметим, что (ТО) имеет ясный физический смысл: критические условия инициирования соответствуют равенству характерного теплового потока из очага в^оль светового канала (в (10) первое слагаемое) и ’ лишнего” тепла в очаге, которое не может быть отведено в окружающую среду (в (10) второе слагаемое). При преобладании ’’лишнего” тепла возникает самоподдерживающаяся волна плазменного фронта (если, напомним, Т,пгх = Т3).

Рис. 3

Зависимость ркр от АЬ (11) показана на рис. 3. Условие (8) применимо только до превращения максимума У из (7) в точку перегиба (точка 4 на рис. 3). Из (11) видно, что точка 4 достигается при максимальной разности между 8фа и Ш2, которая легко определяется по рис. 1 б. Близость фазовой кривой” (5-6), (11) к режиму на рис. 2 гарантирует пересечение сепаратрисы вблизи ’’переваль-

ной точки”. По мере удаления от нее — левее точки 4 на рис. 3 — соотношение (11) становится неприменимым. Численное решение (методом конечных разностей) исходной краевой задачи (1-3), (5-6) показывает, что при уменьшении АЬ величина руг, продолжает увеличиваться и левее точки 4 [12]. Отметим, что при АЬ, намного меньших R, само уравнение (1) становится неприменимым.

Из рис. 3 видно также, что достаточно быстро при увеличении размера очага АЬ величина критического перегрева р в очаге принимает асимптотическое значение Т2, равное температуре неустойчивого режима 2 на рис. 1 б.

В заключение отметим, что по аналогичной схеме могут быть рассмотрены: инициирование плазменного фронта в СВУ-волноводах плазмотронов, волны разряда в плоском канале при постоянном электрическом поле, волны ионизации в СВЧ-волноводах.

ВЫВОДЫ

1. На основе анализа явления ’’светового горения” показана корректность применения производной по параметру от функционала Ляпунова к задачам устойчивости при локальных очаговых возмущениях состояния газа в СБ¥-волноводах плазмотронов.

2. Полученные аналитические выражения для критического очага возмущения температуры в СВ¥-волноводах могут быть использованы для повышения безопасности при разработке промышленных установок для дезинсекции зерна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бобров А.А., Лелевкии В.М., Лысое Г.В. СВ^-плазмот-роны: основные схемы, характеристики, особенности применения. — М.: ЦНИИ ’’Электроника”, 1991. — 16 с.

2. Beust W., Ford W.L. Arcing in CW transmitters // Microwave J., MTT. — 1961. — № 10. — P. 91.

3. Bethke G.W., Ruess A.D., Frohman E. Dynamic coupling of high microwave power with schock-produced plasmas / / Phys. Fluids. — 1963. — 6. — P. 594.

4. Бункин Ф.В., Конов В,И., Прохоров A.M., Федоров

B.Б. Лазерная искра в режиме медленного горения” // Письма в ЖЭТФ. — 1969. — 9. — С. 609.

5. Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов,— М.: Наука, 1974. — 308 с.

6. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. — М.: Наука, 1992. - 536 с.

7. Канель Я.И. О стабилизации решения уравнений теории горения при финитных начальных функциях / / Мат. сб.

— 1964. — 65. — № 3. — С. 398-413.

8. Афанасьев С.Ю., Жуков С .А. Исследование критических условий инициирования перехода из пузырькового режима кипения в пленочный // Теплофизика высоких температур. — 1995. — 33. — № 2. — С. 268-272.

9. Ковалев С.А., Рыбчинская Г.Б., Вильке В.Г. Об устойчивости теплообмена при кипении к возмущениям конечной величины //' Теплофизика высоких температур.

— 1973. — 11. — № 4. — С. 805-809.

10. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1990. — 320 с.

11. Сигов А.С., Чечеткин В.Р. Об асимптотической эволюции начального температурного профиля в системах с двумя устойчивыми положениями теплового равновесия // Докл. АН СССР. — 1985. — 285. — № 2. —

C. 360-365.

12. Ковалев С.А., Усатиков С.В. Оценка устойчивости режимов кипения с помощью функционала Ляпунова / / Теплофизика высоких температур. — 1991. — 29. — № 4. — С. 730-737.

Кафедра общей математики Кафедра технологии переработки зерна и комбикормов

Поступила 13.02.97