ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ ОДНОЙ ВОЗМОЖНОЙ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

В качестве примера было рассмотрено численное решение уравнений равновесия стержня с сосредоточенными силами (n = 9) при следующих размерных значениях параметров: l = 200 м, X1k = 120 м, X2k = 120 м, mi = 12,9 кг/м* d = 0,2^ м, qw = q„o = 270 Н/м, рв = 1000 кг/м, Dk = 1,94 м, Pi = 5,96 кН, Si = 20 м — длина участков между поплавками. Численное решение уравнений проводили с точностью А = 10-3. На рис. 2 показаны формы осевой линии стержня в зависимости от модуля и направления вектора скорости потока vo- (В частности, показаны проекции

осевой линии стержня на координатные плоскости Ox 1Ж3 и Ox 1X2 для случая скорости потока воды v0 = 0; 0,75; 1,5 при а = 45°. Когда v0 = 0, то Fi = 0 q« = 0 и осевая линия стержня находится в вертикальной плоскости Ox 1X2, а проекции осевой линии стержня имеют вид, представленный на рис. 2.) На рис. 3 приведены графики Q при а = 45° для случаев vo = 0 (кривая 1); 0,75 (кривая 2)] 1,5 (кривая 3). Графики осевого усилия испытывают скачки в точках приложения сосредоточенных сил.

Изложенный метод решения нелинейных уравнений равновесия абсолютно гибкого шланга, нагруженного сосредоточенными силами и распределенными гидродинамическими силами, позволяет определит как форму осевой линии шланга, так и осевое усилие при произвольном направлении вектора скорости внешних) потока жидкости. Для учета внутреннего потока жидкости достаточно к найденным значениям Q(e) добавить (P + nW2), где P — давление в жидкости; n — безразмерная масса жидкости; W — скорость внутреннего потока жидкости (усредненная по сечению).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светплицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ. 2001.

2. Светплицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение. 1982.

3. Arkania Z.M., Badzgaradze A.G. About the method of calculation of the hoses loaded with concentrated forces // Int. J. Problems Mech. 2008. N 6. 72 76.

Поступила в редакцию 20.01.2018

Рис. 3. Графики осевого усилия в стержне при различных скоростях потока: 1 — v0 = 0; 2 0.75: 3 1.5 м/с

УДК 539.3

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ ОДНОЙ ВОЗМОЖНОЙ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

К. В. Квачев1

Показывается эквивалентность классической постановке одной возможной постановки задачи теории упругости в терминах напряжений в области достаточно общего вида.

Ключевые слова: упругость, краевая задача, постановка в напряжениях.

An equivalence of a possible formulation of an elasticity problem in terms of stresses to a classical one is shown for domains of sufficiently general form.

Key words: elasticity, boundary valne problem, formulation in stresses.

В случае, когда на всей поверхности деформируемого твердого тела заданы усилия, удобно и с вычислительной точки зрения выгодно краевую задачу ставить в терминах напряжений [1|. Известны классическая постановка в напряжениях, а также постановка Победрн [2, 3], устраняющая

1 Квачев Кирилл Вадимович капд. физ.-мат. паук. вед. пауч. сотр. ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, e-mail:

k vaclievkirillOyandex .ru.

кажущееся несоответствие количества неизвестных компонент симметричного тензора напряжений числу уравнений в области и числу граничных условий и лучше приспособленная для применения современных численных методов. В [4] обсуждается неэквивалентность некоторых постановок задачи теории упругости в напряжениях классической постановке. Большой обзор по этой тематике содержится также в [5].

В работе [6] показано, что эквивалентность классической постановки и постановки, основанной на диагональной тройке уравнений совместности Бельтрами-Мичелла, вообще говоря, зависит от формы области V изотропного упругого тела. Математически вопрос сводится к установлению правомерности (либо неправомерности) следующего перехода:

д(9р - 9а)

дх7

0 ^ ~ 9«)

dV дхТ

= 0, (a,e,Y) = {(1, 2, 3); (2, 3,1);(3,1, 2)} (1)

V

для любых трех дифференцируемых вплоть до границы дУ функций qр(ха,х7). В [6] проведены рассуждения для параллелепипеда.

Покажем, что переход (1) от системы трех равенств, заданных на границе дУ, к системе этих же равенств во всей области V справедлив для области V достаточно общего вида. Введем в V векторное поле ai с декартовыми координатами:

, ч Г д(92 - 9з) д(91 - 9з) д(qi - 92) \

ai{xi,x2,x3) = <---, ---, ---} .

[ дх1 дх2 дхз )

Вычислим ротор этого векторного поля, учитывая, что 9р не зависит от хр:

д2

rota1=2 f е2. (2)

дх1дх3

Докажем, что (2) есть тождественный нуль в V. Предположим, что это не так и rot ai = 0 в некоторой точке K € V. Поскольку обе части (2) не зависят от Х2, вдоль направления в2 значение

V

Следовательно, существует точка M € dV, в которой rot ai = 0, т.е. д292/(дх1дхз) = 0 в M. Пусть для определенности д292/(дх1дхз) > 0 в M. Введем еще одно предположение: будем считать, что граница области такова, что применима формула Стокса:

J rot a1 ■ dS = j) a1 ■ dr. (3)

S dS

Рассмотрим на dV окрестность точки M и будем предполагать непрерывность векторного поля a!^!,х2,хз), а потому неравенство д292/(дх1дхз) > 0 справедливо в некоторой окрестности точки M. Возьмем в качестве S в формуле Стокса (3) такую произвольную окрестность. По условию векторное поле a1^1, х2, хз) обнуляется на границе V. Тогда левая часть соотношения (3) отлична от нуля, а правая равна нулю. Полученное противоречие означает, что rot a1 = 0, или д292/(дх1дхз) = 0 V

Если рассмотреть теперь векторные поля

f \ Г д(9з - 92) д(91 - 9з) д(91 - 92) \

а2(ж1,ж2,жз) = ---, ---, ---> ,

[ дх1 дх2 дхз J

, ч Г д(92 - 9з) д(91 - 9з) д(92 - 91) \

аз(ж1,ж2,жз) = <-^-, -^-, -^-> ,

[ дх1 дх2 дхз )

то аналогично можно доказать, что д29з/(дх1дх2) = 0 и д291 /(дх2дхз) = 0. Из полученных соотношений следует

9в|v = А«(х„) + A7(х7), (а, в, y) = {(1,2,3); (2,3,1); (3,1, 2)},

где A.1, A2 и Аз — некоторые функции одного переменного.

Таким образом, переход (1) справедлив и эквивалентность постановок доказана.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 15-01-00848а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

2. Победря Б.Е. Новая постановка задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях // Докл. АН СССР. 1980. 253, № 2. 295-297.

3. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

4. Pobedrya В.Е., Georgievskii D.V. Equivalence of formulations for problems in elasticity theory in terms of stresses // Russ. J. Math. Phys. 2006. 13, N 2. 203-209.

5. Бородачев H.M. Решения пространственной задачи теории упругости в напряжениях // Прикл. механ. 2006. 42, № 8. 3-35.

6. Георгиевский Д.В. Общие решения неэквивалентных классической систем теории упругости в напряжениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 6. 26-32.

Поступила в редакцию 20.09.2018