CC BY
6(аоо ао1 ао2 \
йщ а11 а12 I задает функцию <р(х,у) соотношением <р(х,у) = аху. а20 а21 а22)
Доказательство. В статье [4] доказано, что множество замкнутых классов трехзначной логики, содержащих функцию максимума для частичного порядка {(0,2),(1,2)}, континуально. В этой же статье описана структура по включению этих классов. Легко проверить, что суперпозицией из этой функции получается функция ■0(ж1,ж2) и наоборот.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Макаров A.B. О гомоморфизмах функциональных систем многозначных логик // Математические вопросы кибернетики. Вып. 4. М.: Наука, 1992. 5-29.
2. Макаров A.B. Описание всех минимальных классов в частично упорядоченном множестве Lf всех замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 1. 65-66.
3. Макаров A.B., Макаров В.В. Счетность числа замкнутых надклассов некоторых минимальных классов в частично упорядоченном множестве Lf всех замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 1. 62-64.
4. Боков Г. В. Решетка замкнутых классов трехзначной логики, содержащих функцию максимума для нелинейного частичного порядка / / Мат-лы XII Между нар. семинара "Дискретная математика и ее приложения" имени академика О. Б. Лупанова. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2016. 187-190.
Поступила в редакцию 24.10.2018
УДК 621.81: 539.4
РАСЧЕТ АБСОЛЮТНО ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ, НАГРУЖЕННЫХ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ СИЛАМИ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА ИЛИ ЖИДКОСТИ
З.М. Аркания1, Н.В. М ард а л с и г г г в и л и 2
Разработан алгоритм расчета абсолютно гибких стержней (шлангов), нагруженных сосредоточенными силами и находящихся в потоке воздуха или жидкости. Изложенный алгоритм позволяет решать задачи статики с учетом потока жидкости, движущегося в шланге. При помощи данного алгоритма определяются как равновесная форма стержня, так и осевое усилие в стержне при произвольном направлении вектора скорости внешнего потока жидкости; также можно оценить прочность стержня.
Ключевые слова: гибкий стержень, прочность, сосредоточенная сила, поток воздуха, поток жидкости, аэродинамическая сила.
An algorithm is developed to numerically study the flexible rods (hoses) loaded by concentrated forces and situated in an air or liquid flow. The developed algorithm allows one to solve the static problems with consideration of a liquid flow in a hose. This algorithm can be used to determine an equilibrium rod shape and an axial force in the rod when the velocity vector of the external liquid flow is directed arbitrarily. It is also possible to estimate the rod's strength.
Key words: flexible rod, strength, concentrated force, air flow, liquid flow, aerodynamic force.
При расчетах стержней, длина которых существенно больше диаметра поперечного сечения, можно пренебречь жесткостью на изгиб и на кручение и пользоваться моделью абсолютно гибкого
1 Аркания Зураб Мушниевич — канд. техн. наук, доцент Кутаис. гос. ун-та им. Ак. Церетели, e-mail: zurabi. arkaniaQmail .ru.
2 Мардалеишвили Нодар Варламович — канд. физ.-мат. наук, доцент Кутаис. гос. ун-та им. Ак. Церетели, e-mail: nodarmardQmail.ru.
стержня, так как нри таком допущении погрешность составляет не более 5 7%. Абсолютно гибкие стержни получили широкое распространение в самых различных областях техники. К ним в прикладной механике принято относить провода линии электропередачи; шланги для перекачки жидкости, шланги для подъема полезных ископаемых со дна моря; ленты в лентопротяжных механизмах; ленточные радиаторы; космические тросовые системы и т.д. В этих случаях на стержень одновременно действуют сосредоточенные силы и распределенные аэродинамические силы, поэтому можно ожидать существенного увеличения максимального значения напряжения в стержне, что может вызвать их разрушение. В связи с этим работы, посвященные методам расчета таких стержней, являются важными и актуальными. Областью механики абсолютно гибких стержней (шлангов) интенсивно занимались проф. В.А. Светлицкий и его ученики [1 3]. Они исследовали много численные задачи статики и динамики абсолютно гибких стержней, нагруженных сосредоточенными силами. В настоящей работе предложен алгоритм расчета абсолютно гибких стержней, нагруженных сосредоточенными силами и находящихся в потоке воздуха или жидкости.
На рис. 1 представлена расчетная схема шланга, предназначенного для подъема грунта со дна моря, когда шланги, имеющие поплавки, нагружаются сосредоточенными силами Архимеда Pi, P2,..., Pn, действующими па поплавки конечных размеров. Поток жидкости, действующий на поплавки, вызывает сосредоточенные силы Fi, F2,..., Fn, которые при определении равновесной формы шланга и натяжения необходимо учитывать. Заменив на рис. 1 силы Pj и Fj их равнодействующими, получим шланг, нагруженный известными сосредоточенными силами P(1), P(2),..., P(n).
Модули сил Fi, F2,..., Fn определяются экспериментально для каждой конкретной формы сосре-
Fj
ра скорости потока vo. Для других форм сосредоточенных масс, отличных от сферы, направление сил Fj можно в зависимости от угла а определить экспериментально. Для отыскания форм равновесия стержня и осевого усилия при действии внешнего потока жидкости и сосредоточенных сил (без учета внутреннего потока) используются уравнения равновесия стержня на участках между точками приложения сосредоточенных сил, которые в безразмерной форме имеют вид [1|:
1 au) _ х _ n - Oil /-123 i - Ti1 m
+ Чах i 0 2г — U, ~ Q{j)> J — >h UJ
а уравнения равновесия поплавков в проекциях на декартовы оси координат представляются следующим образом:
-Q^(sj) + Q(l+l)(£j) + Fjióu cos a + ¿3* sin a) + 52lP, = 0, i = 1,2,3, j = lji. (2)
Здесь Q = Q(e) — осевое усилие в стержне, Q(j)(ej) и Q(j+1)(ej) — осевые усилия в стержне в конце j-vо и в начале (j + 1)-го участков стержня соответственно; Q.щ проекции осевого усилия Q на координатные оси; Pj, j = 1 ,п, величины сосредоточенных сил; е безразмерная дуговая координата; еk, к = 1 ,п, дуговые координаты точек приложения сосредоточенных сил; 8%j, i, j = 1, 2, 3,
символ Кроиекера; qj) — аэродинамическая (гидродинамическая) распределенная нагрузка; Xi — декартовы координаты точки осевой линии шланга. Величины гидродинамических сил Fj для сферических поплавков в безразмерной форме имеют вид [2]:
р = * cpBVpDl j 8migl
Здесь c — гидродинамический коэффициент; Dk — диаметр поплавка; рв — плотность воздуха или жидкости; vo — скорость внешнего потока; mi — масса единицы длины стержня; l — длина стержня. Проекции гидродинамических распределенных сил, когда вектор скорости потока vo параллелен плоскости Oxix3, запишем следующим образом [2]:
Qax 1 = Qno sin (fia cos а + cos (pa(qw cos (pa - qno sin (fia)
Qax2 = cos <A*(<?io cos (pa - 2qno sin ipa)
dx3
Qax3 = qno sin ipa sin (i + cos ipa (qio cos ipa - qnosm(pa) —,
где
dxi dx2 . cnpBdvO cipBdv2 sign(cos ша)
cos Lpa = — cos (x -\ — sin ex, qn0 = —--, qw =-7;-•
de de 2mi g 2mig
Здесь ci и cn — аэродинамические коэффициенты; d — диаметр шланга; qio, qno — проекции полной распределенной гидродинамической силы qa на направление касательной и на плоскость, перпендикулярную осевой линии стержня, соответственно.
Решение уравнений (1) должно удовлетворять краевым условиям
xi = x2 = x3 = 0, если e = 0;
i 2 3 (3)
xi = xik, x2 = x2k, x3k = 0, если e = 1,
уравнениям равновесия поплавков (2) и условиям стыковки участков шланга:
х?(е3)=х^+1\е3), г = 1,2,3, j =T^¡. (4)
Нетрудно видеть, что систему уравнений (1) можно переписать в следующем виде:
(j)
dxí - fWfnü) nU) nU) Jiï Jïï Jïï) dÇ{3) __(5)
= f3+i(Qxi> Qx2> Qx3 ) X1 ix2 3 )' ^ = 1)2,3, j = l,n-\-l. Введя обозначения xi = Y¿, QXi = Y3+Í, i = 1, 2, 3, систему уравнений (5) запишем в таком виде:
dY
(j)
de
= г = ТД j = Т^ГТ1, (6)
при этом краевые условия (3), условия стыковки участков стержня (4) и уравнения равновесия поплавков (2) примут форму
Y1(0) = 0, lf+1)(1)= Xik, (7)
= Y (j+1)(e(j))' (8)
-Y3+ij + Ysj+1) (ej) + Fj(Sii cos a + sin a) + 5^ = 0. (9)
Здесь ¿ = 1,2,3, j = 1, п.
Если на каждом отрезке [ej-1, ej ] ввести обозначения
С = l~ei~\ = Y?\e) = Yi(ej-i + fai ~ ej-i)), j = M + 1,
ej - ej-1
то систему уравнений (6) и условия (7) (9) можно представить следующим образом:
цр) (о) = о, Цр+1)(1) = х,
ц(р)(1)= иГ> ;(о)
(р+1).
-и3+Д1) + (0) + р (¿1,0С8 а + ¿3* 81п а) + ¿2* Рр = 0,
т-Р+1)
(10)
(11) (12) (13)
х'дс 0 ^ £ ^ 1, г = 1,2,3, ■] = 1 ,п, а аг^ координаты иравох'о конца стержня.
Краевая задача (10) (13) решается методом конечных разностей. В этой связи каждый интервал 0 ^ ) ^ 1 разбивается на шр- равных частей. Тогда длина каждого отрезка будет равна Лр = 1/тр
и)
координаты точек деления ^ = г/тр, г = 0а система уравнений (10) с условиями (11)
(р)
хтельно неизвестных Цг =
уравнений:
(13) относительно неизвестных Цр) = Ц(р) ({р)) приведется к следующей системе алгебраических
ир) - и
р)
*,г—1
= Р (р)(и (р) и (Р) и (Р) ^
= Vй 1 ,г—0.5, и2,г—0.5, • • • , и6,г—0.5,1 ,
(р)
(р)
(14)
и(р) = 0 (р)
и (п+1) = X
иг,тп+1 = '
и (р) = и
Р+1)
(15)
(16)
0,6
-и3+*,т7- + и3++,0) + Р (¿1* СС8 а + ¿3* 81п а) + ¿2*Рр = 0, (17)
^е = (и^+и^/2 = 0,3
г = 1,2,3, ;) = 1,п, г = 0, тр
Из уравнений (14) необходимо определить неизвестные
ир), которые удовлетворяют условиям (15)—(17). Для решения этой задачхх используется метод Ньютона. Задаются некоторые начальные приближения и*(р), далее на каждой 0
(р)
итерации получаем поправку г к данному приближению
и*(р), такую, что уравнения (12) и условия (15)—(17) для уточ-
(р) (р)
ненного решения и* г + 7/
г(Р)
г(р)
Г(р) (С(р)
итерации, удовлетворяются с точностью до ххервохх) порядка
(р) (р)
разложения в ряд по 7> г , т.е. относительно по правок г . В ххтох'е получаем систему линейных уравнений в виде
0,3
4
¡¿/*\ ^ 0,3 0,6
^Уд=0м/с У 1
1Тч),75
■ х3
ир + яр? - и
(р)
* , г— 1
+ 7 (р)
+ , г—1
Рис. 2. Формы особой линии стержня при различных скоростях потока
_ Р(р)(и(р) и(р) и(р) \ _
1и1, г—0.5' и2, г—0.5' • • • ' и6, г—0.5^
(р)
(р)
6
др-
Е|гЙ-о.5к..ДСо.5)С.5 = °. Г = 0,Ш7, 1 = 1,11 + 1, г = 1,6,
9=1 9
(р)
(р)
и,
* , т^ ' * , т. (р) (р) (р+1) (р+1)
(р) + 7 (р) = и (р+1) + 7 (р+1) ^ + Z;,mj = и*,0 + 7*,0 '
-и^т, - ОДт + и3+Т,0 + ^ + Рр (¿1* С08 а + ¿3* 81п а) + ¿2*Рр = 0,
(18)
(19)
(20)
^ 4?-0.5 = (4г + 4Г-1)/2. а в (1Э) (2°) = 1'2,3, 1 = 1,77,
Таким образом, на каждой итерации получаем линейную краевую задачу относительно нсвя-(р)
зок 79>г • Если па некоторой итерации эти невязки становятся достаточно малыми и при этом урав-нсния (18) хх условия (19) (20) удовлетворяются с заданной точностью, то итерационный процесс прекращается.
- (у.(р)
(р)
В качестве примера было рассмотрено численное решение уравнений равновесия стержня с сосредоточенными силами (n = 9) при следующих размерных значениях параметров: l = 200 м, X1k = 120 м, X2k = 120 м, mi = 12,9 кг/м* d = 0,2^ м, qw = q„o = 270 Н/м, рв = 1000 кг/м, Dk = 1,94 м, Pi = 5,96 кН, Si = 20 м — длина участков между поплавками. Численное решение уравнений проводили с точностью А = 10-3. На рис. 2 показаны формы осевой линии стержня в зависимости от модуля и направления вектора скорости потока vo- (В частности, показаны проекции
осевой линии стержня на координатные плоскости 0x1x3 и OxiX2 для случая скорости потока воды v0 = 0; 0,75; 1,5 при а = 45°. Когда v0 = 0, то Fi = 0 qí = 0 и осевая линия стержня находится в вертикальной плоскости Ox 1X2, а проекции осевой линии стержня имеют вид, представленный на рис. 2.) На рис. 3 приведены графики Q при а = 45° для случаев vo = 0 (кривая 1); 0,75 (кривая 2)] 1,5 (кривая 3). Графики осевого усилия испытывают скачки в точках приложения сосредоточенных сил.
Изложенный метод решения нелинейных уравнений равновесия абсолютно гибкого шланга, нагруженного сосредоточенными силами и распределенными гидродинамическими силами, позволяет определит как форму осевой линии шланга, так и осевое усилие при произвольном направлении вектора скорости внешних) потока жидкости. Для учета внутреннего потока жидкости достаточно к найденным значениям Q(e) добавить (P + nW2), где P — давление в жидкости; n — безразмерная масса жидкости; W — скорость внутреннего потока жидкости (усредненная по сечению).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Светплицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ, 2001.
2. Светплицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982.
3. Arkania Z.M., Badzgaradze A.G. About the method of calculation of the hoses loaded with concentrated forces // Int. J. Problems Mech. 2008. N 6. 72 76.
Поступила в редакцию 20.01.2018
Рис. 3. Графики осевого усилия в стержне при различных скоростях потока: 1 — v0 = 0; 2 0,75: 3 1,5 м/с
УДК 539.3
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ ОДНОЙ ВОЗМОЖНОЙ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
К. В. Квачев1
Показывается эквивалентность классической постановке одной возможной постановки задачи теории упругости в терминах напряжений в области достаточно общего вида.
Ключевые слова: упругость, краевая задача, постановка в напряжениях.
An equivalence of a possible formulation of an elasticity problem in terms of stresses to a classical one is shown for domains of sufficiently general form.
Key words: elasticity, boundary valne problem, formulation in stresses.
В случае, когда на всей поверхности деформируемого твердого тела заданы усилия, удобно и с вычислительной точки зрения выгодно краевую задачу ставить в терминах напряжений [1|. Известны классическая постановка в напряжениях, а также постановка Победри [2, 3], устраняющая
1 Квачев Кирилл Вадимович капд. физ.-мат. паук, вед. пауч. сотр. ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, e-mail: k vaclievkirillOyandex .ru.
