CC BY
32
УДК 533.6.013
А. М. Наумов, А. И. Соколов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЖЕСТКИХ ПРОВОДОВ, НАХОДЯЩИХСЯ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА
Изложен алгоритм численного решения нелинейных уравнений равновесия проводов линий электропередачи, находящихся в стационарном потоке воздуха. Провод представлен как нерастяжимый стержень, имеющий крутильную и изгибные жесткости. Приведены выражения для аэродинамических сил при произвольном направлении вектора скорости потока воздуха, которые учитывают непрерывное изменение осевой линии провода в пространстве при нагружении. Нелинейные уравнения решены численно при использовании метода последовательного нагружения с оценкой точности полученных численных результатов.
Для передачи энергии на большие расстояния из-за относительно небольшой стоимости широко применяют линии электропередачи (ЛЭП). Одним из основных элементов ЛЭП являются провода. Провод представляет собой стержень, имеющий малые изгибные и крутильную жесткости, которыми, как правило, пренебрегают и рассматривают его как абсолютно гибкий стержень. Однако при рассмотрении аэродинамической устойчивости проводов приходится учитывать крутильную и изгибные жесткости, а также необходимо знать положение равновесия и внутренние силовые факторы провода в потоке.
В настоящей работе рассматривается нерастяжимый провод круглого поперечного сечения, жестко закрепленный на концах (рис. 1).
Уравнения равновесия провода в потоке воздуха. Безразмерные уравнения равновесия в связанной системе координат для жесткого провода имеют вид [1]
^ + ж х д + я = 0; ап
dM
drj
+ ж х M + ei x Q = 0;
(1)
T dO (i)
Lq-—+ L®Q — ж = 0;
dn du
— + ж x u + (Iii — 1)ei + l2ie2 + laies = 0; dn
M = А(ж — ж^),
где d/dn — локальная производная (далее тильда опускается); n — безразмерная координата; Q — вектор внутренних сил; ж — вектор кривизны; q — вектор распределенных (безразмерных) внешних сил; M — вектор внутренних моментов; ei? e2, e3 — базисные орты связанной системы координат; O — вектор углов поворота связанных осей;
ж0 — вектор начальной кривизны; и — вектор перемещений; крутильная (Ап) и изгибные (А22, А33) жесткости; — элементы матрицы Ь;
" Aii 0 0 cos cos 0 — sin
A = 0 A22 0 ; Li = — sin 1 0
0 0 A33 sin cos 0 cos
L
cos cos $3
— sin sin cos
cos sin cos + + sin sin
cos cos sin sin cos — — cos sin
cos sin sin — — sin cos
cos sin sin sin sin + cos cos
Безразмерные величины связаны с размерными следующими соотношениями: 8 = /п; др = т0д/д; Мр = т0д/2М; ир = /и; яр = т0дя; жр = ж//; Ар = т0д/3А. Здесь / — длина провода; т0 — масса единицы длины провода; д — ускорение свободного падения. Величины с индексом "р" — размерные.
Безразмерная распределенная нагрузка я = — Ь + яа, где яа —
3
аэродинамическая нагрузка (яа = ^ е^); 12 — безразмерная сила
¿=1
тяжести.
Аэродинамическую силу можно представить как яа = яа1 + яап, где Яа1 — распределенная нагрузка, направленная по касательной к осевой
линии стержня; qan — распределенная нагрузка, ортогональная осевой линии стержня. Поэтому qa1 и qan можно рассматривать как следящие нагрузки.
Компоненты qa можно представить следующим образом:
Qai = Qio cos2 ^asign(sin
qa2 = Qno sin Va(l2i cos a + ¿23 sin a);
Qa3 = Qno sin <£a(¿3i cos a + /33 sin a),
1 c1pdv2 1 cnpdv2
где cos ^a = ¿11 cos a + ¿13 sin a; qio = --; Qno = --; ci, Cn —
2 mog 2 mog
аэродинамические коэффициенты; p — плотность потока; v — скорость потока; d — диаметр провода.
Решить систему нелинейных уравнений (1) можно только численными методами, например методом последовательных нагружений, ко-
N
гда приложенные к проводу силы представляют в виде q = ^ Aq(j),
j=i
где Aq(j) — сила, приложенная к проводу на каждом шаге нагружения; N — число нагружений.
Аэродинамическая сила Aqaj) на каждом шаге нагружения приводит к изменению напряженно-деформированного состояния (НДС) стержня, которое можно определить из линеаризованных уравнений равновесия, учитывающих предыдущие нагружения (Aq(1) + ... + + Aq(j-1)).
Предположим, что нам известно решение системы нелинейных уравнений (1) на (j — 1)-м шаге нагружения, т.е. известны Q(j-1), M(j-1), ffi(j-1), L(j-1) и q(j-1). Получим уравнения равновесия на следующем шаге нагружения j при нагрузке Aq(j), полагая, что все неизвестные векторы получат малые приращения, т.е. Q(j) = Q(j-1) + +AQ(j), M(j) = M(j-1)+AM(j), ®(j) = ®(j-1)+A®(j) и q(j) = q(j-1) + + Aq(j). Матрица перехода от декартовой системы координат к связанной, используемая в выражении для определения приращения нагрузок, записывается в виде L(j) = AL(j) • L(j-1), где
1 -ё? -
AL(j) = -ё? 1 ё?
1
№ — малые углы поворота базиса {в^} относительно базиса (в^}.
Подставим выражения в систему уравнений (1) и исключим состояние равновесия, соответствующее предыдущему шагу нагружения, тогда, учитывая только линейные слагаемые, зависящие от приращений, получаем линеаризованную систему уравнений равновесия на
j-м шаге нагружения: dAQ(j)
dn dAM(j) dn
+ Affi(j) x Q(j-i) + ffi(j-i) x AQ(j) + Aq(j) = 0; + Affi(j) x M(j-i) + ffi(j-i) x AM(j) + ei x AQ(j) = 0;
dO(j) dn
du(j) dn
+ ffi(j-i) x O(j) - Affi(j) = 0;
+ ж
(j-i) x u(j) — $3j)e2 + $2j)e3 = 0;
ДМ(,) = АДж(Л.
До нагружения стержня потоком НДС зависит только от распределенной силы тяжести (т0д), поэтому в качестве первого приближения (до нагружения потоком) можно рассматривать провод как абсолютно гибкий стержень, т.е. д(0) = ^10)е10 и М(0) = 0. Форма осевой линии абсолютно гибкого стержня — плоская кривая (цепная линия), кривизна которой равна ж(0) = ж30)е30 [1, 2].
Приращение нагрузки можно записать в виде
Дя(Л = Д(Л + Дя1Л. (3)
Сила тяжести учитывается в уравнениях равновесия абсолютно гибкой нити, поэтому на каждом шаге следует учитывать изменение проекции силы тяжести, вызванное поворотом связанных осей, т.е.
(j-i)
i2
Agj) = — (AL(j) — EU l
'22-i) \ = A(j)
,(j-i)
32
$2j) $3j)
где Aj =
-l32
(j-i)
l32 0
/(j-i) -li2
l(j-i) -l22
(j-i) i2
122 112 0 Для рассматриваемого круглого сечения приращение аэродинамических сил можно записать в виде
Aqfj) = Agio cos2 i)sign(sin i))
Y(j) Za2
,C0
^(j-i)n(j-i)
nO sin у
Aqa3) = Aqno sin tpa
i(j'-i)
Aqa2) = Aqno sin i) (l2i i) cos а + l2"3 'sin a)
(l3i-i) cos а + l3j3-i) sin a),
0
l
(j = ¿ii cos a + ¿(3 ^ sin a; Aqi0 = 1 Cipdv^. =
2 m0gN'
где cos ^a
1 Onpdv2
2 m0gN
Аэродинамические силы зависят от геометрической формы осевой линии нелинейно, поэтому они вычисляются для формы осевой линии на (j — 1)-м шаге.
Систему (2) можно записать в векторно-матричной форме как
dY(j) + A(j) Y(j) = bj), (4)
dn
где Y(j) = { AQ(j) AM(j) 0(j) uj) }T; b(j)= { —Aqij) 0 0 0
A(j) =
A1
0 0
a-1aqq)
Aj + A-iA(j)
-A-1 0
M
0 0 0 A(f)
Aj =
A(j) = AM =
0 -„3j-1)
„(j-1) 0
-„2j-i) „(j-1) „i
0 -M3(j-i) m2(3-1) M3(j-i) 0 -Mlj-1)
A(j)
al
0
AjP
Ai
„(j-1)
„2
-ffi?'-i) 0
-M2(j-i) M1(2-1)
0
0 Q3j-1) 1 0 0 0
A(j) = aq = -Q3j-1) 0 Qlj-1) ; Ai = 0 0 -l
• -Qlj-1) 0 0 i 0
Общее решение неоднородного уравнения (4) имеет вид
у(о) = кО) СО) + У(О (5)
В выражении (5) КО) — фундаментальная матрица решений однородного уравнения (К(0) = Е); СО) — вектор констант; у(О) — частное решение неоднородного уравнения.
Для определения вектора констант СО) используются граничные условия, которые для жесткого закрепления концов провода имеют следующий вид:
<) = 0;
и°° = 0-
u(0) = 0-
= 0;
u(j) = 0 u(i) = 0-
Полученное решение на каждом шаге нагружения можно уточнить, используя алгоритм итераций (уточняя приращение вектора кривизны при каждой итерации). При итерациях на каждом шаге нагружения получаем уравнения равновесия
ауот
dn
+ A(j)(k)Y(j)(k) = b(j),
где индекс к — номер итерации;
у0')(*) = { ДдО'Х*) ДМ(^)(^) 0О')№ и0')« }]
A
A(j)(k)
A-1Ag)(k)
A
(j)(k) L
Ai Aj)(k) + A-1AMM)(k)
—A-
A
(j)(k)
Ai Aj)(k)
(6)
A
(j)(k) _
„(j-1)(fcj-l)
-3
+Дж:
(j)(k-1) 3
3(j-1)(kj-1 )_ Дж(^')(к-1)
(j)(k-1)
AQ _
(j-1)(fc,-1) _Q3
^(j-1)(fc,-1) Q2
(j-1)(fc,-1) Q3
rl(j-1)(fcj-1) _Q1
(j-1)(fc,-1) _Q2
g(j-1)(fcj-1)
A
(j)(k) _ L_
-i.
(j-1)(fcj-1)
22
(j-1)(fcj-1)
(j-1)(fcj-1)
-l
12
-l
(j-1)(fcj-1)
П 7 (j-1)(kj-1)
0 l12
(j-1)(fcj-1)
A
(j)(k) _ M _
-M,
(j-1)(fcj-1)
M3j 1)(kj-1)+AM3j)(k-1) _M
f(j)(fc-1)
(j-1)(k,-1^ дм ü)(k-1)'
-AM,
(j)(k-1)
M
(j-1)(fcj-1 )
M
(j-1)(fcj-1)
+AM
(j)(k-1)
M
(j-1)(fcj-1)
AM
(j)(k-1)
+AM1 0
(j)(k-1)
0
1
0
0
0
0
ж
0
0
0
0
0
0
0
32
22
32
0
0
0
На первой итерации (к = 1) Дж^)(0) и ДМг(^)(0) следует положить равными нулю.
Решение уравнения (6) аналогично выражению (5). Для определения констант С(^)(й) на каждой итерации используются следующие граничные условия:
У(0) = 0; и(0) = 0; У(1) = 0; и(1) = 0.
Число итераций kj на ] -м шаге нагружения выбирается из условия относительной сходимости:
Y(j)(kj) _ Y(j)(kj-i)
Y(j)(kj)
< e, (7)
где е — заданная точность.
Результаты численного решения. В качестве примера был рассмотрен провод диаметром а = 0,01 м, плотностью р0 = 7800 кг/м3, длиной / = 20м, с координатами правого конца (0,9/; 0,1/; 0) и (0,7/; 0,4/; 0). Были взяты следующие аэродинамические коэффициенты: с1 = 0,1 и сп = 1,2. Скорость ветра V = 30 м/с, угол набегания потока а = 90°, плотность потока р = 1,25 кг/м3. Требуемая точность решения (7) е = 5%. При численном решении уравнения (6) рассматривалось десять нагружений (^ = 10).
Результаты численного решения приведены на рис. 2... 4. На рис.2,а; 3,а и 4,а представлены проекции осевой линии на координатные плоскости (см. рис. 2, а) и внутренние силовые факторы (см. рис. 3, а; 4, а) при координатах точки закрепления правого конца провода (0,9/; 0,1/; 0). На рис.2,б; 3,б и 4,б приведены проекции осевой линии на координатные плоскости (см. рис. 2, б) и внутренние силовые факторы (см. рис. 3, б; 4, б) при координатах закрепления правого конца провода ( 0,7/; 0,4/; 0 ).
Вывод. Изложенный алгоритм позволяет получить приближенное численное решение нелинейных уравнений равновесия жесткого провода с заданной точностью, находящегося в стационарном потоке. Алгоритм численного решения нелинейных уравнений позволяет учесть и растяжимость провода. Напряженно-деформированное состояние жесткого провода при конечных отклонениях точек осевой линии позволяет исследовать динамическую устойчивость провода в потоке, так как уравнения малых колебаний провода зависят от его статического состояния.
0,05 0
-0,05 -0,1
У
<
1 / / / / / /
\\ \ \ \ / / /
\ \ ч__ У
0
0,2
-0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 х
/
1 / / / / /
ч ' __^
0,2 0,4
0,6
Рис. 2. Проекции осевой линии на координатные плоскости:
1 и 2 — деформированное и исходное состояние; а — 0,9I; 0,1/; 0;
б — 0,71; 0,41; 0
и
120 100 80 60 40
со
о-
сч 20
О
О1
к
о -20 -40 -60
100 80 60 40
/ \
N
1 \
\ ч
ч \ s V
\ NN
* \ \
\ V \
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
а Л
0,9
1
к N
\
\ N N \ \
V \ \
\ * \
О1
5 20 <5 о
-20
-40
"6°0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
■п
б
Рис. 3. Зависимость компонент вектора Q от безразмерной осевой координаты п:
1 — Qь 2 — Q2; 3 — Qз
10
Щ -10
kSP
20
-30
-40
-50
-60
1 \ / 2 / 1 /
V ч \ / / / / *
/ / \ \ \ \
/ 1 1 \ \ \ \
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,f
а 11
0,9
20
10
щ -1C
^ "20
-30
-40
-50
-60
-70
\ Ч 2 / / / /
\ ч ч / t /
_ ___ , _____.л -------
г / / \ 3 N \ \
/ / / \ \ \ \
1 1 1 1 \ \
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
11
б
Рис. 4. Зависимость компонент вектора М от безразмерной осевой координаты п для разных координат точки закрепления провода:
а — (0,91; 0,11; 0); б — (0,71; 0,41; 0); 1 — Шх; 2 — М2; 3 — М3
Статья подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00103).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Светлицкий В. А. Механика стержней: В 2-х т. Т. Статика. - М.: Высшая школа, 1987. -320 с.
2. Светлицкий В. А. Механика абсолютно гибких стержней. - М.: Изд-во МАИ, 2001. -432 с.
Статья поступила в редакцию 5.05.2007
Александр Игоревич Соколов родился в 1980 г., окончил в 2005 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор двух научных работ в области механики пространственно-криволинейных стержней.
A.I. Sokolov (b. 1980) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2005. Post-graduate of "Applied Mechanics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 2 publications in the field of mechanics of spatial curvilinear rods.
Андрей Михайлович Наумов родился в 1963 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1986 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 10 научных работ в области пространственно-криволинейных стержней.
A.M. Naumov (b. 1963) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1986. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Applied Mechanics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 10 publications in the field of mechanics of spatial curvilinear rods.
