Математическая модель плоскопараллельного обтекания пластинки потоком воздуха Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Ю. С. Бондаренко // Известия ЮФУ. Технические науки. -№ 8(121). - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - С. 6-13.

10. Сухинов, А. И. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко // Известия ЮФУ. Технические науки. -№ 8(121). - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - С. 32-44.

11. Сухинов, А. И. А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководных водоемов / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко // Известия ЮФУ. Технические науки. - № 8(121). - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - С. 159-167.

12. Чистяков, А. Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки - № 8(97). - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. - С. 75-82.

УДК 531.38 ББК 22.21

С. А. Шретер

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНКИ ПОТОКОМ ВОЗДУХА1

Аннотация. Рассмотрена задача о поведении гибридной системы в потоке воздуха. Идея ее решения состоит в сведении исходного уравнения равновесия Кирхгофа к системе уравнений гамильтонова типа, функция Гамильтона которой нормализована в определенном числе членов.

Ключевые слова: гамильтонов подход, преобразование Биркгофа, изгиб стержня, математическая модель, аэродинамические силы.

S. A. Shreter

MATHEMATICAL MODEL OF PLANE-PARALLEL FLOW PAST A PLATE AIR FLOW

Abstract. Consider the problem of the behavior of hybrid system in a stream of air. The idea of the solution consists in reducing the original equilibrium equation of Kirchhoff to the system of equations Hamiltonian type, where the Hamiltonian function is normalized in a certain number of members.

Key words: Hamiltonian approach, Birkhoff transformation, bending the rod, the mathematical model, the aerodynamic forces.

Постановка задачи. Рассмотрим эксперимент по определению зависимости аэродинамических параметров от конечных перемещений точек упругого стержня. Стержень помещают в набегающий поток воздуха. Нижний конец стержня жестко защемлен, к его верхнему концу жестко прикреплена абсолютно твердая пластинка. Предполагается, что поток воздействует только на пластинку, изгиб стержня происходит в одной плоскости. Начальное положение стержня определяется заданием угла наклона стержня в=ц/ по отношению к скорости набегающего потока (см. рис.1). Пластинка (также как и тело произвольной формы) отличается от точки тем, что направление силы воздействия потока на тело R может не совпадать с направлением вектора V скорости потока. Поэтому силу воздействия R потока на пластинку представим в виде суммы двух векторов: R=S+P, где S - сила сопротивления, Р -подъемная сила, SUF, PJJ7. Для аэродинамических сил возьмем зависимости [7]:

S=s{a)VV% . P=p{a)V{ixV)p/2 ,

где р - плотность воздуха, а - угол атаки пластинки, i ( Ш') - единичный вектор, лежащий в плоскости пластинки. Функции s(a), р(а)~ коэффициенты аэродинамических сил, зависят от формы и размеров пластинки и определяются экспериментально. Общие свойства этих функций:

s(a) > sQ >0,а р(а) меняет свой знак при а=0 и а=ж/ 2 (р(Р)=р(х/2)=0).

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и

динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров», научный руководитель А. А. Илюхин.

Цель работы: построить математическую модель эксперимента по продуву пластинки, закрепленной на упругом стержне, в аэродинамической трубе. Решить уравнение равновесия конструкции, установить зависимость между аэродинамическими силами и углом поворота пластинки

(текущим углом атаки пластинки аг).

Построение математической модели. К стержню кроме силы К приложен момент: р 1

М=^(а)У(/?сов(а)+л8ш(аг)), где с1(а) - расстояние от центра давления до точки крепления

пластинки и стержня. Воспользовавшись точным уравнением упругого равновесия при плоском изгибе для первоначально прямого стержня (у/=сои.?г) постоянного сечения (1:>=сои.ч1 ). запишем уравнение равновесия в виде

dM 3

~dT

-R2 =0

d0

Здесь Мъ = II у - проекция внутреннего момента на бинормаль, /= ^ , И2 - проекция силы К на нормаль. Подставив все необходимые проекции, получим уравнение равновесия Кирхгофа представленной системы:

2

В^+^У2 зт(|9)+-рУ2 сов(<9)=0 dl2 2 2

Понизим порядок уравнения равновесия Кирхгофа и получим интеграл 1(0).

т\2

В

-psV2 cos(0)+ppV2 sin($)-C=0 -1/2

I = у/В С psV2 cos(0)-ppV2 sin(0)+C d0

(1)

(2) (3)

где С - постоянная, определяемая начальными условиями.

Математическая модель и ее свойства. Потребуем, чтобы точка перегиба совпадала с точкой крепления о . Это будет разделяющий случай между различными выпуклостями стержня.

Тогда при 1=0 кроме условия 0=у/ появляется еще одно граничное условия . Из (2) следует

2 2 C=ppV sin(tf/)-psV cos (у/)

Преобразуем интеграл (3), сделав замену z=tg0/2(zQ=tgt/// 2). i = 2у/в j.

1+z2 psV2 (1-z2 )-ppV22z+C(\+z2)

-1/2

dz

(4)

(5)

Запишем дискриминант выражения, стоящего в квадратных скобках (5), и подставим вместо

2 4 2

С его значение (4): Б=р V лхтО//)+/>с<^0//) .Рассмотрим ситуацию, когда !> обращается в нуль.

Это будет, если sVsm(i//)+pVcos(y/)=0. Условие V>0 означает, либо р(аТ)> 0 и ctg(y)<0 , либо р(аг) < 0 и ctg(y/)>0 . Могут возникнуть следующие случаи:

1. Если 0 <ат < 90°, то р(ат) > 0 . Следовательно 90° <(//<180°.

2. Если 90° < аг <180° , то р(ат) < 0 . Следовательно 0<if/<90°.

3. Если ат = 0,90° ,180° то р(ат) = 0. Следовательно (¿/=0,180°.

Выразив cosi (!) и si и (О) чсрс! tg(6! 2) и подставив в (5), получим интеграл, который при D=0 примет вид

р

рг(ат)

s2(aT)

2^

1--V^

2W 4 2

и щ tg2~tg2

-1/2

dd

(6)

Вычислив интеграл, входящий в (6), получим зависимость 1(0)

1—W

ln

(О (И .

cos---—1

U 2)

чЛ п

cos--— +1

1.2 2

N—1/2

где W=2*signsin| BsUt^

2 )\pp2(aT)

.^Atg2^ ltg2l" 2

W

2

l

*

Полученный интеграл при в=ц/ расходится. Это означает, что в этой точке должно выполняться равенство I = <» . Однако, в том случае, когда в=ц/ имеем другое равенство -1 = 0. Это позволяет сформулировать свойство: в точке крепления O стержня точка перегиба появиться не может.

Это свойство важно для определения различных форм, которые может принять упругая линия деформированного стержня.

Для преобразования уравнения (1) к системе двух уравнений Гамильтона [1] поступим формально: выберем обобщенную координату в (в качестве в возьмем угол Od) наклона касательной оси стержня к оси Ох.Ох I'), укажем сопряженный координате импульс рв и приведем соответствующую такому выбору функцию Гамильтона. Введя, таким образом, сопряженные переменные в и рд=В— вместо уравнения равновесия (1) получим систему двух уравнений: dl

dB dH 1 dpn dH 1 тл ■ 1 Tr2

Если взять функцию Гамильтона H в виде

H=^pe2~\psvl ™m+\ppV2 Sin(£) (8)

то уравнения (7) будут уравнениями гамильтонова типа [1] с соответствующей функцией Гамильтона (8).

Канонической заменой £=e+S,р^=рд , где cosS=рД/р2 + s2 , из системы (7) получим:

а функция Гамильтона (8) в канонических переменных примет вид:

2

Я=——^ДсоэСО 2В 2

Построение решения уравнения равновесия. Система (9) допускает тривиальное решение 4"=0,/>^=0. Решение, отличное от тривиального, найдем методом нормальных форм. Разложим

функцию Гамильтона н в ряд по степеням канонических переменных С.р^ , удерживая в разложении члены до четвертого порядка включительно.

2

Н=Н2+Н4,Н2 = 1^+-КС2,Н4=-—КС4 (10)

2В 4 48

Введем безразмерные величины:

с 4вк у 2 В Л к ' к

И, тем самым, представим разложение (10) в безразмерном виде.

н<=х-Р<2+1-{а--{А 2 2 12

В дальнейшем штрихи опустим и в результате получим функцию Гамильтона для новых переменных:

Н=^Р(2+С2)-^С4 (П)

Для последующих преобразований удобно ввести комплексно-сопряженные канонические переменные р=р^+гС,д=р^-1С, причем необходимо учесть валентность такого преобразования

Н=-2Ш . Здесь Я — новая функция Гамильтона, которая в новых переменных р и с/ имеет вид:

H=—i

1 АЛ Ъ (- 2 2 л 3 4 pq-— р -4р q+6p q -4pq +q У6

(12)

При отсутствии соответствующих резонансов в системе (9), функцию Гамильтона Н (12) каноническим преобразованием приведем к нормальной форме в членах до четвертого порядка включительно [2; 3; 4]. В качестве канонического преобразования выберем преобразование Бирк-гофа с порождающей функцией £4:

dS4(u,v) dS4(u,v). 4 з 2 3 4

р=иЛ--—--,q=v--—-- , <J4=<Jo4v +"22м v +"31м v+o40m

dv du

Специальным выбором коэффициентов порождающей функции

1 1 4 - 3.т 3 1 4ч Лд=—(—■V -2mv +2М V—и ) 4 96 4 4

приводим функцию Гамильтона (12) к нормальному виду в переменных u и v

H*=—i

1 2 2

uv--и v

16

(13)

Следует указать, что приведенная таким образом к нормальному виду функция H *, определяемая равенством (13), не тождественна функции H (12), преобразованной к переменным u и v . Необходимо помнить, что приведение функции Гамильтона исходной системы (7) к нормальной форме осуществлялось лишь в членах до четвертого порядка включительно [3]. Поэтому рассматриваемая система с функцией Гамильтона (13) есть лишь приближение исходной системы (7).

Система дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона (13) допускает общий интеграл r=uv=const, а это дает возможность представить ее точное решение в явном виде

, s iml . ... -iml дн»

v = {a+ib)e ,u={a-ib)e , m=i-=const

d(uv)

где m зависит как от параметров стержня, так и от граничных условий [3]:

1 1 1 2 2

m=i{-i+i-uv)=\--uv=\--{a +b ). Записав результирующее преобразование к исходным переменным и подставив найденные зависимости для и и v, в результате получим зависимость /У - и ¿Г' от дуговой координаты l:

pV=(a~—(a2+b2)a)cos(ml)+(-b+—(a2+b2)b)sm(ml) +—a(a2-3b2)cos(3ml)+—b(b2-3a2)sm(3ml) 16 16 32 32

CH-b-—(a2+b2)b)cos(ml)+(-a~—[a2 +b2)a)sm{ml) +—6(62-3a2)cos(3ra/)+—a(a2-3b2 )sm(3ml) 16 16 96 96

Откуда находим решение поставленной задачи: ar=au+\[2£\ I, )-ö-y/ .

Для определения постоянных интегрирования a и b воспользуемся граничными условиями. Перепишем граничные условия в новых переменных и f .

psm(«o-^+V2r'), где Y=L

Заменим уравнения системы для p'¿- и ,*" приближенными уравнениями, которые получаются после разложения до третьего порядка по a и b всех входящих в уравнения и зависящих от a и b функций. Воспользуемся граничными условиями и будем иметь нелинейную систему уравнений для нахождения a и b .

-—(96+9a 2+5b 2)=—(w+S), 96 2

11 3 2 1 1 3 2

(—sinr+-7cosr-—sin37)a¿¿>+(-—cosr+-7sinr-—cos37)a¿>¿+ 16 8 32 16 8 32

11 1 3 1 1 1 3

+(--cosJh—7sin7--cos37)a +(—sinJH—7cos7+—sin37)bJ +

16 8 32 16 8 32

+a cosY-b sin Y=^^ dY sin (an-w—JzC '),таеС=( —1 sin Y+ 1Y cos Y -2 L 16 8

1 2 1 1 1 2 1 1

cos37)a¿¿>+(-—sinr+-7sinr+—sin37)a¿>¿+(-—sin7+-rcos7-32 16 8 32 16 8

1 3 1 1 1 3

--sin37)a +(--eos Y—Y sin7+—cos37)¿>-¿eos Г-a sin Г

96 16 8 96

Обратное преобразование Биркгофа. Построенное решение задачи зависит от постоянных

интегрирования а и Ь, и при непосредственной подстановке граничных значений дает систему

нелинейных алгебраических уравнений. Однако, когда известны значения исходных переменных в

одной точке при 1=0 нет необходимости решать нелинейную систему. Явный вид а и /> можно

получить, используя обратное преобразование Биркгофа [3, 6]:

13 2 3 1 323

-6РЧ +2р ),л>=д+—(-2д +6р ^-р ) 96 96

Возвращаясь к исходным переменным, получим систему для нахождения неизвестных постоянных, где р' ~ и _Г' вычисляются при 1=0 :

^_6( ^1)( ^+2С +У4')3)

Если же значения р и С' заданы в некоторой текущей точке /=/7 , то правые части необходимо поделить соответственно на е-""' и е™'. Однако в этом случае возникают определенные трудности при вычислении а и Ь, т. к. т зависит от а и Ь . Поэтому задача о нахождении

постоянных интегрирования решается значительно проще, когда и С' заданы при/=0 [3].

Решение с помощью последовательных приближений. В том случае, когда р'~ и С' не

заданы одновременно в одной точке, необходимо решать нелинейную систему. Ее предлагается решать методом последовательных приближений [6]. Как показали вычисления в этом случае, каждый шаг итерации уточняет значение искомого угла на один знак после запятой.

Ь.рад

___

(/ ----

/ / Xх / / / - —

.' / _/ / А. У -----

/ —

—-,- -■-1

---100 мс

--90 м/с

— - 80 м'с

--70 м'с

-50 м'с

/. м

Рис. 2. Сравнение решений 6=0(1) при соответствующих скоростях

На рис. 2 представлены графические зависимости 6=6(1) при различных значениях скорости потока для полученного решения при следующих параметрах стержня и пластинки:

р=\,293кг/м3 ,ц/=45° ,а0=30° ,Р=0,Зм,с]=0,05м,В=П,34кг-м3 /с2.

; 1 ) 1—

( ! / 1 / / / /

/ / 1 V / / .

// ---100 м с --90 м с — - 80 м'с --70 м'с -50 м с

// ¿У

0 0. >2 0 И 0. М 0.08 0. ■ I ■ 0 0.12 0. 4 0 16

Рис. 3. Упругая линия деформированного стержня при соответствующих скоростях потока

На рис. 3 приведены формы упругой линии деформированного стержня, просчитанные при разных скоростях набегающего потока. Все вычисления проводились при тех же самых параметрах стержня и пластинки, что были указаны выше.

Представление решения в виде отрезка ряда по скорости. Запишем уравнение равновесия (1) относительно изменения угла наклона касательной к оси стержня у=6-ц/

,2

5V2 рУ2 сов(>+к)=0 (14)

М2 2 2

при /=0:1/=0 ; при / = Ь : В — \к = М (15)

Граничные условия в задаче будут:

. СIV

1а

В силу того, что в уравнение (14) входит скорость потока V гладким образом, решение задачи (14), (15) представимо в виде степенного ряда по V :

у{1У)=1Г„-.,и„{1Уп (16)

Найдем зависимость угла атаки пластинки от скорости набегающего потока: аг=а0+ук. Заменим уравнение (14) приближенным: разложим тригонометрические функции в ряд по V и подставим (16). Далее оставим в разложении члены содержащие V . После группировки коэффициентов при степенях V получим уравнение:

где коэффициенты д.- имеют вид:

Р м1

2

У2щ2=—С'-^+(з$т(ц;)+рсо$(ц/))=0 (17)

р а2

^ 2 В с^" и V :д3=--^-+(58т((//)-рсо8(|//))/и1=0

Р М

Запишем граничные условия для дифференциальных уравнений (17)

л

1=0'. /и„=0,п=\,2,3 ; 1=1: У2:^=-^-а{з&ш{а())+рсо&{а0)) (18)

с11 2 В

я/ 2 В

Имея дифференциальные уравнения второго порядка (17) и два граничных условия (18) для каждого уравнения, можем найти коэффициенты //„ ряда (16). Таким образом, будет найдена

2 3

приближенная зависимость угла атаки от скорости набегающего потока: аТ=а,Л+^\' +//3(' . Стоит отметить, что поток воздуха оказывает стабилизирующее воздействие на пластинку, если с ростом скорости потока угол атаки уменьшается [5,6].

Заключение. После проведения необходимых вычислений было произведено сравнение решений 6=6(1), полученных разными методами. Все представленные графические зависимости 0=6(1), были получены при следующих параметрах стержня, пластинки и потока:

р=1,293кг/.м^,(г/=450,ао=300,£=0,3л4,^=0,05л4. Пластинка рассматривалась абсолютно твердая прямоугольной формы с размерами ОАмхОЗм (большая сторона расположена вдоль потока). Стержень стальной длины ¿=0,3м с прямоугольным сечением 0,006.мх0,003.м, меньшее из ребер сечения направлено вдоль потока.

а. ¥=50м/с б. У=10м!с в. ¥=100м/с

/ у

// //

// у'

// ■ // //

--,-

// ¿У

// //

0 0 0.3

---Численное решение методом гк£45-В ряд по скорости

--Гам ильтонов подход

Рис. 4. Сравнение решений 0=0(1), полученных разными методами

На рис. 4 приведены графики решений 0=0(1), полученные при указанных скоростях набегающего потока. На графиках пунктирной линией указано решение, полученное с помощью га-мильтонова подхода, сплошной линией - в виде отрезка ряда по скорости набегающего потока. Для выяснения какой из приближенных методов адекватнее описывает поведение построенной модели, было проведено численное решение методом гЫ45 (Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядка). Оно обозначено на рисунках линией "точка-тире". Из рис. 4 видно, что при малых скоростях потока (до 40-50 м/с), расхождение решения, полученного с помощью гамильтонова подхода и численного решения методом гЫ45, достаточно мало (порядка 0,5-1,0 градуса). С ростом же скорости потока решения сильнее отклонятся друг от друга и при скорости Г=90-100д//с разница решения 0(1) (на верхнем конце стержня) достигает уже 5-6 градусов. Это расхождение можно объяснить недостаточным количеством членов в разложении функции Гамильтона. На рисунках также продемонстрировано сильное расхождение решений, полученных с помощью отрезка ряда по скорости набегающего потока, с решениями гамильтоновым и численным методом, как при малых скоростях, так и при больших. Это расхождение происходит из-за специфики самого метода «разложения в ряд по скорости», который при росте скорости очень быстро отклоняется от «истинного» решения.

Вывод: гамильтонов подход дает достаточно близкое к «истинному» решение, но при математическом моделировании заставляет каждое решение получать с помощью последовательных итераций, что не всегда удобно для реализации. Второй подход через представление решения в виде отрезка ряда по скорости дает аналитические формулы для всех решений, однако его применение целесообразно лишь при малых скоростях потока.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гантмахер, Ф. Р. Лекции по аналитической механике / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Физматлиб, 2002. -264 с.

2. Нелинейный анализ поведения механических систем / Г. В. Горр и др. - К.: Наукова думка, 1984. -288 с.

3. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А. А. Илюхин. -К.: Наукова думка, 1979. - 216 с.

4. Илюхин, А. А. Нормальные колебания твердого тела около положения равновесия / А. А. Илюхин,

A. М. Ковалев // Механика твердого тела. - 1976. - Вып. 8. - С. 65-71.

5. Илюхин, А. А. Приближенное решение задачи о равновесии пластинки на упругом стержне в потоке воздуха / А. А. Илюхин, С. А. Ступко // Механика твердого тела. - 2000. - Вып. 30. - С. 242-246.

6. Илюхин, А. А. Поведение пластинки на упругом стержне в аэродинамическом потоке / А. А. Илюхин, С. А. Шретер // Научно-технический вестник Поволжья. -2011. - Вып. 6. - С .43-47.

7. Локшин, Б. Я. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде / Б. Я. Лошкин,

B. А. Привалов, В. А. Самсонов. - М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 1986. - 86 с.