Расчет гибких стержней, обладающих изгибной жесткостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

19 90

№ 5

УДК 624.071.3

629.7.015.4.023

РАСЧЕТ ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ, ОБЛАДАЮЩИХ ИЗГИБНОИ

ЖЕСТКОСТЬЮ

Р. А. Мирошник

Гибкие стержни широко распространены в самых различных областях техники, таких, как текстильное производство, линии электропередач и канатные дороги, шланги для перекачки жидкости, упругие элементы приборов и др. Расчет напряженно-деформированного состояния гибких стержней в случае больших перемещений связан с решением нелинейных дифференциальных уравнений.

В работах [1, 4, 5, 7] решены различные краевые задачи для абсолютно гибких стержней (нитей). Для гибких стержней, обладающих изгибной жесткостью, получено решение ограниченного круга задач [2, 6]. Одна из трудностей решения такого рода задач связана с заданием с достаточной степенью точности нулевого приближения задачи [8].

В настоящей статье используется один из возможных алгоритмов [5] для численного решения различных нелинейных краевых задач механики гибких стержней.

Дифференциальные уравнения равновесия плоских гибких стержней с учетом изгибной жесткости запишем в виде:

— сое у;

¿0?

то ¿о»

= ЭШ !р

йМ<>

¿5°

(1)

где безразмерные переменные (с индексом «О» наверху) равны

х

Т

5" =

0 & ~ ггч1

ОЬ

А.

"41'

М1

41

Чъ

М0=~Ш

g mg Р

Е.]

х, у — декартовы координаты элемента стержня; £7 — изгибная жесткость сечения стержня; в — дуговая координата; / — длина стержня; <32, М — нормальная, перерезывающая сила и изгибающий момент в поперечном сечении стержня; <?1, (?2 — проекции на естественные оси е1 и е2 распределенных внешних сил, действующих на единицу длины стержня.

с

Рис. 1

Рассмотрим равновесие гибких стержней, один из концов которых закреплен, а к другому приложена сосредоточенная сила. Такого рода задачи возникают, в частности, при расчете гибких элементов систем дозаправки летательных аппаратов. При отсутствии изгибной жесткости стержня (нить) — эта задача носит название задачи Крылова [3], ее численное решение приведено в [4].

Сосредоточенная сила, приложенная к свободному концу стержня, передается через какое-либо тело, прикрепленное к этому концу. На рис. 1 показано два возможных варианта крепления указанного тела к гибкому стержню — шарнирное и моментное. При шарнирном креплении (рис. 1,а) направление и величина силы известны из условий равновесия и не зависят от формы гибкого стержня.

Указанная сила является в большинстве случаев результатом взаимодействия тела с потоком жидкости или газа, куда помещен гибкий стержень. Угол наклона тела <р* находится из уравнения равновесия моментов относительно точки В (рис. 1, а).

Kasp b cos 9* — -Xagp b sin <p* — G a sin <¡>* = 0 , (2)

где a, b — координаты соответственно центров тяжести и давления тела; G — вес тела.

Модуль Тк и направление силы <рк действующей на тело, находятся с помощью известных аэродинамических характеристик тела Хаэр (?а) и Каэр (<f¡¡)

__у _G

Tk = Vxl3p + (Уавp - G)3; tg ъ = а^азр . (3)

В рассматриваемой задаче граничные условия имеют вид (начало интегрирования на левом конце стержня в точке А):

при s° = 0, ,*о=у>= Aí» = 0;

при5°=1, М° = 0; (4)

Т% сое П^ЯЧь с0* ?1 + <?2А 3'П «1 ;

т\ в1п ?* = (??*81п ь — 0°2ксов ь'

где

<?1»

■2 й

• погонная масса

ер! — угол наклона гибкого стержня в точке В на правом конце; т -стержня; <¿1 к, <3г ь — значения силовых факторов <31 и (?2 в точке В.

Значения <р1, являются неизвестными величинами, вычисляемыми

в конце интегрирования при =1.

Следуя [5], вектор неизвестных параметров К при итерационным методом Ньютона

_ у(Ь) _ ург- 1 ф

где

«0 = 0 будем искать

(5)

V =

0? <?2

Ф =

ЙФ! дФг дФг

д<? Щ

дФ2 дФ2 дФ,

ду Щ

дФ3 дФ3 дФ3

ду

(6)

Ф, = М°; Ф2 = Т°к сое % - С?° к со в

■ <?2 к 8,п К >

Ф3 = Г

к 5'П Ь + $2 к со* ?1 •

Из-за трудности задания достаточно точного нулевого приближения вектора начальных параметров У, чтобы добиться сходимости зависимости (5), вместо граничных условий (4) записываются новые граничные условия

Ф — ХФ0 = 0 . (7)

Эти граничные условия при Х=0 совпадают в (4), а при к= 1 удовлетворяются тождественно при задании произвольного начального приближения вектора неизвестных начальных параметров Ко-

В зависимости (7) Ф0—значение вектора невязки Ф, вычисленного при К=К0.

Решение задачи начинают с Я=1 и по шагам ДЯ (ЛЯ — малая величина) движутся до Я=0, что и будет решением искомой задачи.

На рис. 2 и 3 показаны результаты расчета формы и продольного усилия (?? для гибкого стержня в потоке воздуха при его различной изгибной жесткости а.

В расчете приняты следующие зависимости для аэродинамических сил, действующих на элемент стержня:

<7? = 0; (8)

где К0 — аэродинамический коэффициент.

Приведенные результаты получены при числовых данных К0=0,5; 7^ = 1,5; Фа =15°. Эти результаты для гибких стержней сравниваются с аналогичными для нити (а=~) [4].

Рассмотрим моментное закрепление тела к гибкому стержню на правом конце (см. рис. 1,6), когда углы ф* и ф1 равны и заранее неизвестны.

При этом граничные условия имеют вид:

при «0 = 0, л0 = уо = = 0 ;

при $0 :

<?2 * = *°аЭр 8«П ?1 + ( Кэр СО® ?! ; М° = У°эр 6° сое ?! + Л°эр Ы> вт «Р, -б» я° сое ?! ,

0,8 х° 1,0

0,1 0,2 0,3 X"

<Хг1

«.=500

Рис. 4

где

а Ь б

дО= - ; ¿0= - ; (70 = -

I I

X.

X,

аэр .

аэр

аэр

^аэр . Я

При численном решении краевой задачи векторы У и Ф записывают в виде (6), где компоненты вектора невязки Ф равны

Фх = О? * - Х°лэр со* <Р! + (Ка°эр - со) 51п ь ;

Ф2 = 0» к - Х°аэр мп - (Ка°эр - О«) соз Ь ;

Фз = М°к- Х°эр 60 <?! - Га°эр 60 сое <Р! + бо до сое <р,.

(10)

Для гибкого стержня, у которого оба конца закреплены (рис. 4), должны быть удовлетворены следующие граничные условия: а) для шарнирного закрепления

= уо = м° = 0 ; |

= х%- у* = у»; М° = 0 ; /

при = 0, х° = = М° = 0 ; при 5° = 1, = .

б) для заделок на концах

при 5° = 0, х° = у0 = 0; ср = уд-,

при 50=1, х0 = х°к; у° = у£; =р = ?й Векторы К и Ф в зависимости (6) равны:

(П>

(12)

13Г

а) для граничных условий (11)

/ 9 \

Г= О? |; Ф= ; (13)

V 0S

б) для граничных условий (12)

х° — х

Ф = | уо_уО (И)

9 — 9в

На рис. 4 показаны результаты численного интегрирования уравнений (1) при граничных условиях (11) с использованием зависимостей (13), что соответствует шарнирному закреплению концов стержня. Приведенные на рисунке формы тяжелого гибкого стержня соответствуют его различной изгибной жесткости а.

Для сравнения на рис. 4 приводится форма абсолютно гибкого стержня (а=°°), располагающегося по цепной линии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Григорьянц М. С., Мирошник Р. А. Определение натяжения и формы троса, провисающего в плоскости потока. — Изв. вузов, Машиностроение, 1981, № 3.

2. Валишвили Н. В., Светлицкий В. А. Определение форм равновесия ленточного радиатора. — МТТ АН СССР, 1981, № 3.

3. К р ы л о в А. Н. О равновесии шаровой мины в течении. — Собр. соч., т. 9, 1948.

4. Мирошник Р. А. Определение натяжения и формы нити с одним закрепленным концом. — Расчеты на прочность. — М.: Машиностроение, 1986, вып. 27.

5. М и р о ш н и к Р. А. Определение формы и натяжения двухопор-ной нити, натягиваемой известной силой на конце. — Расчеты на прочность. — М.: Машиностроение, 1987, вып. 28.

6. П о п о в Е. П. Теория и расчет гибких упругих стержней. — М.: Наука, 1986.

7. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1978.

8. Шаманский В. Е. Методы решения нелинейных краевых задач на ЭЦВМ. — Киев: Наукова думка, 1966.

Рукопись поступила 18/VIII 1988 г.