CC BY
18
УДК 539.371
Трехмерная модель линейно упругого тела со структурой
А.Ф. Ревуженко
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, Новосибирск, 630091, Россия
В классической теории упругости предполагаются выполнение закона Гука и существование частных производных перемещений по координатам. Ослабление последнего предположения приводит к моделям с внутренней структурой. Построена трехмерная упругая модель с двумя структурными уровнями. На микроуровне элементы среды испытывают локальные изгибы. Рассмотрены вклад локальных изгибов в деформации и повороты на макроуровне, кинематические условия совместности, а также постановка краевых задач, обеспечивающих единственность решения.
Ключевые слова: теория упругости, структура, упругий потенциал, условия совместности, единственность решения
DOI 10.24412/1683-805X-2021-3-26-35
Three-dimensional model of a structured linearly elastic body
A.F. Revuzhenko
Chinakal Institute of Mining SB RAS, Novosibirsk, 630091, Russia
The classical theory of elasticity implies the validity of Hooke's law and the existence of partial coordinate derivatives of displacements. Reduction of the latter assumption leads to models with internal structure. A three-dimensional elastic model with two structural levels is developed. Microscopic elements of the medium experience local bending. Consideration is given to the contribution of local bending to macroscopic deformation and rotation, the kinematic compatibility conditions, and the formulation of boundary value problems to ensure a unique solution.
Keywords: theory of elasticity, structure, elastic potential, compatibility conditions, uniqueness of a solution
1. Введение
Как известно, классические теории упругости структурных параметров не содержат. Это значит, что наличие реальных микро-, мезо- и макроуровней деформирования среды в данных теориях не учитывается. Вместе с тем открытия последних десятилетий показывают, что учет структурных уровней имеет принципиальное значение для описания процессов деформирования и разрушения твердых тел [1, 2].
Обратимся к истокам построения классической теории упругости. В ее основе лежат две предпосылки: 1) среда предполагается сплошной; 2) считается, что поле перемещений является до-
статочно гладким, т.е. компоненты перемещений имеют все необходимые частные производные по координатам. Определенные комбинации частных производных выбираются в качестве мер деформаций. Дальше вся теория строится на этой основе. Предположение о гладкости часто считается само собой разумеющимся [3]. Тем не менее необходимость его ослабления (и, как следствие, необходимость учета структуры материала) видна даже из соображений общего характера.
Действительно, возьмем элементарный объем среды 21 х 21 х 21, выделенный координатными плоскостями декартовых координат Ох1х2х3 (рис. 1). Его кинематика описывается шестью векторами
© Ревуженко А.Ф., 2021
(1)
(2)
Рис. 1. Элементарный объем в декартовой системе координат
смещений, которые можно отнести к центрам граней (18 степеней свободы):
и(А) _ (VА), и2(а), щ(а)}, и( в), и(С), и (в), и (м), и (n).
Определяющие уравнения не должны зависеть от смещения и поворота элемента среды как жесткого целого (6 степеней свободы). Остается 12 кинематических характеристик, инвариантных относительно жестких смещений и поворотов. Смещениям (1) соответствуют шесть векторов сил, которые отнесем к (2/)2 и будем считать приложенными к центрам граней (18 степеней свободы, моментные напряжения исключаем):
t (А) = (Ч( А), *2( А), *з( А)},
г (В), г (с), г ( в ), г (м), г (N).
В статике (ограничимся этим случаем) должны выполняться шесть уравнений равновесия: три уравнения на силы и три на моменты. Остается 12 степеней свободы на силовые характеристики.
Следовательно, определяющих уравнений должно быть двенадцать. В классической теории упругости шесть уравнений следуют из закона Гука. При этом необходимости в формулировке еще шести уравнений не возникает вследствие предположения о гладкости поля перемещений (для плоского случая этот вопрос подробнее рассмотрен в [4]). Последнее означает, что предположение о гладкости не должно приниматься как само собой разумеющееся, но должно подвергаться анализу не менее тщательному, чем анализ собственно определяющих уравнений. Поэтому имеет смысл построение различных версий теории, в которых данное предположение в той или иной степени будет ослаблено.
2. Энергетическое тождество
Рассмотрим данную возможность для трехмерной модели линейно упругого тела. Прежде всего, выберем 12 кинематических характеристик, инвариантных относительно жесткого смещения и поворота элементарного объема. В качестве первых шести естественно взять относительные удлинения материальных волокон АС, ВВ, MN и сдвиги между ними:
и1( А) - и1(С)
712 _
713
723 =
11 2/ '
_ и2(В) - и2(В)
£ 22 2/ ! >
и3( М ) - и3( N)
833 _ " 2/ ,
и2( А) - м2(С) + и1( В) - и1( В )
2/ ?
и3( А) - и3(С) + и1( М )- - и1( N)
2/
«3( В )■ - и3( В) + и2( М) - и2( N)
(3)
2/
Для оставшихся шести выберем также наиболее простой, линейный вариант: и (А) + и (С) и (В) + и (В)
2 2 и( А) + и(С) и (М) + и (N)
_ (к31, К32, К33}, = (к21, к22, к23 }.
(4)
2 2 Данные характеристики можно назвать локальными изгибами. Для симметрии введем еще три характеристики изгибов, зависимые от (4): и(В) + и(В) и(М) + и(N) _ к к }
2 2 -(кп, к12, кш. (5)
В качестве неинвариантных характеристик естественно ввести следующие шесть, которые имеют смысл поворота и смещения элемента как целого:
_ и3( В) - и3 (В) - и2 (М ) + и2 (N)
4/ ,
^ 2 _
а
и1 (М ) - и1 (N) - и3 ( А) + и3 (С)
4/ !
_ и2(А)-и2(С)-и1(В) + и1(В) 1 4/ ,
и1 _ -[м1( А) + и1( В) + М1(С) 6
+ и1 (В) + и1( М ) + и1 (N)],
и2 =— [и2( А) + и2(В) + и2(С) 6
+ и2 (О) + и2(М) + и2 (N)],
из = ![и3( А) + и3( В) + и3(С) 6
+ и3(О) + и3(М) + и3( N)].
Таким образом, вместо исходных кинематических переменных (1) теперь можно использовать переменные (3), (4) и (6), причем в определяющих уравнениях могут фигурировать шесть переменных (3) и любые независимые шесть из девяти переменных (4), (5). Указанные соотношения можно обратить:
и1( А) = /в11 +1 к31 +1 к21 + и1,
(7)
U2(A) = 2fyl2 + |К32 + |К22 + Ю3 + U2'
U1(C) = -/Вц + 3К31 +3К21 +U1' 1 2
U3 (N) = -/В33 +3 К33 - 3 К23 + U3.
Здесь и ниже для сокращения записей часть однотипных соотношений не приводится. Вычислим удельную энергию деформирования W. Из определения следует, что
2/ • W = t( A) • u( A) +1( B) • u(B) + t(C) • u(C)
+1(D) • u(D) + t(M) • u(M) +1(N) • u(N). (8) Используя (8) и предположение о существовании упругого потенциала, можно построить замкнутую систему конечно-разностных уравнений и затем переходить к решению краевых задач. В этой системе в качестве неизвестных будут фигурировать переменные
'i(AIjk), ti(BIjk), ti(Cl]k),..., t3(Nl]k), (9)
Ui(Al]k)' щ(вук)' Ui(Ciß)' ..•' U3(Nß)' (10)
где индексы l, j, k идентифицируют центр каждого элементарного объема. В конечно-разностных уравнениях принятые выше обозначения неизвестных (9), (10) являются вполне приемлемыми и особой роли не играют. Однако при переходе к континуальным уравнениям вопрос с обозначениями становится существенным. Действительно, если / ^ 0, то все точки Aljk, Bljk, Nljk стремятся к центру соответствующего элементарного объема (l, j, k). Значит, расстояние между ними становится бесконечно малым. Вопрос: для каких пар точек а и ß разность f(а) - f(ß) можно записать через производную, умноженную на расстояние от
а до в, а для пар а, в это недопустимо? Здесь/— это любая компонента векторов из списка (9) или (10). Обратимся вначале к (10). Предположим, что производные перемещений по координатам существуют. Тогда через производные можно выразить приращения любых компонент для любых пар близких точек а, в, например,
CUi
Ui( A) - Ui(C) =-i 2/,
ox1
Ui(B)-Ui(C) Ä + ^ |/.
^ OX1 OX2
(11)
(i2)
Этот результат является не таким тривиальным, как это может показаться на первый взгляд. Действительно, для площадок А и С компонента щ — это нормальная компонента к обеим площадкам А и С. Поэтому вычисление приращения щ при переходе от С к А через производную представляется вполне естественным. При переходе же от С к В ситуация другая. Компонента щ на площадке С — это по-прежнему нормальная к площадке компонента. Однако для площадки В щ — это уже касательная компонента смещения. Тем не менее для нее переход осуществляется также через производные и1 по пространственным координатам.
Таким образом, для перемещений совершенно неважно о нормальной или касательной к площадке компоненте смещения идет речь. Имеет значение только ось, на которую проектируется вектор смещения.
Обратимся теперь к напряжениям (9). Точно так же, как и для перемещений, предположим существование частных производных по координатам. Возьмем для примера компоненту ^ — аналог смещения щ. Для ^ формула (11) безусловно верна. Однако формула (12) для ^ является совершенно бессмысленной (несмотря на существование частных производных ^ по хь х2). Более того, принятые для напряжений обозначения
t (А) = ст^ С^^t (С) = -с^ -а^^
г(В) = ^ ^ а23} (13)
К О) = {-а2^— С23}
t(М) = {а3^ аз2, а33}, t(N) = -а32, -С33}
не позволяют даже ставить вопрос о формулах типа (12) для tl. Согласно (13), через производные можно выразить разности только тех функций, у которых оба индекса одинаковы. Например, разности ^(А) - t\(C) соответствует производная от Эоц/Эх1, а разности ^(С) - ^(В) — никакой производной не соответствует. Нетрудно сформулиро-
вать общее правило: так как в обозначениях (13) второй индекс указывает на направление проектирования силы, а первый — на пару параллельных между собой граней элементарного объема, то через производные выражаются разности компонент напряжений, которые относятся только к параллельным граням элементарных объемов.
Ослабим теперь предположение о существовании частных производных компонент перемещений. Тогда для перемещений (10) придем точно к тому же результату, который дает теория для напряжений (13). Покажем это. Существование производной у функции означает, что локально функция может рассматриваться как линейная. Наличие частных производных у перемещений означает, что локально деформация среды является аффинной. Верно и обратное: отказ от аффинности означает и ослабление предположения о гладкости. Обратимся к определениям локальных изгибов (4), (5). Наличие локальных изгибов — это прямое следствие локальной неаффинности деформаций. При I ^ 0 алгебраическая конечно-разностная система переходит в замкнутую систему, если принять, что
u(A) + u(C) ^ u* u(B) + u(D)
v,
u( M) + u( N) 2
■> w,
где u , v, w — три различных поля перемещений. (Для плоского случая данный вопрос рассмотрен в [4].)
Можно дать следующую интерпретацию данных полей. Взаимодействие элементарных объемов можно представить себе так, как это показано на рис. 2. Каждый элементарный объем — это шар радиуса l. Шары образуют правильную кубическую упаковку с координационным числом, равным 6. При l ^ 0 можно принять, что контакты семейства A-C находятся в близких между собой состояниях. Поэтому можно предположить, что поле смещений u*, которое им соответствует, является гладким. Точно также можно предположить, что поля v и w, относящиеся к контактам семейств B-D и M-N, также являются гладкими. Таким образом, ослабление предположения о гладкости выразилось в том, что вместо одного локально-неафинного поля перемещений введено три гладких поля. Обозначения их компонент аналогичны обозначениям для компонент напряжений (13):
Рис. 2. Структура среды на микроуровне
и(А) = {и**(А), и*, и*}, и(С) = {и**(С), и**, и*}, и(В) = {ц(В), «2, »з}, и(П) = {ц(П), «2, из},(14) и(М) = ^(М), ^3}, и(N) = N), w2, w3}. Использование для перемещений различных букв и , и, w равносильно использованию второго индекса для обозначения напряжений (13). Ниже индекс будем опускать.
3. Модель линейно упругого тела со структурой
Перейдем теперь к построению замкнутой модели. Сделаем предельный переход при I ^ 0. Из (3)-(5) следует, что = дих
Л1
дх1
'22
ди2 У12 =— +
du.
дх1 дх
^ Yi3
_ди2 дх2 ди3 + д^ дх, дх3
'33
_д^3
дх3
, У 23
ди3 öw2
+
дх2 дх3
u - v _ (к u - w _ (к
31, к32
21, к 22
!, к33}, к 23},
(15)
v - w _ (кll, K12, к13}
Qi _-1 2
ди3 öw2
V дх2
дх
3
с
Q 2 _1
2 2
дж ди3
_Ч
Vдx3
дх
1 У
Q3 _-32
ди2 ди
V дх1
дх-
2 У
U _
u + v + w
3
Техническая сторона дальнейших выкладок сводится к следующему. Подставим (7) в (8) и выразим удельную энергию Ж через сумму кинематических переменных (3), (4), (6), умноженных на соответствующие силовые переменные. Последние представляют собой определенные и однозначно определяемые комбинации напряжений (2).
К31
<^(Б) Т Г
Рис. 3. Локальный изгиб элементарного объема
Однозначно они определяются сделанным выше выбором инвариантных кинематических переменных (3), (4). Дальше воспользуемся обозначениями (13), (14), равенствами (15) и условием отсутствия моментных напряжений с^- = с, /, ] = 1-3.
В результате получим следующее выражение для удельной энергии:
д
Ж = — (апщ 2 +^1зиз) дх1
+ ^ (а12 + а 22 ^2 + а 23^3) дх2
д ,
+ — (а13 + а23 ^2 + а33 Щ)
дх3
foil , да12 + дх1 дх2
да
13
дх
u1 + и1 + w
1
,
да
,
дх1 да13
12 +да22 , да 23
3
\
дх2
,
да
23
дх1 дх2
,
дх-да
и2 + и2 + w2
3
\
33
дх-
u3 + + w3
+
>11
ди1 дх1
- + а
22
ди2 дх2
- + а
33
+ а
( ди3 дw1 ^ + —1
+
Vдxl дх3 У _v
+
13
да12 да
:3 У 3
дw3 дх3 ( ди2 + а12 -¡Т Vдxl
да11 да12 ] и1
дх1 дх2 У
ди1
22
+
+
дх1 да
11
дх' да
и
-U2
2
\
13
v дх1
да
13
дх да
3
U1 - w]
- +
да13 да
\
23
дх1
+
3
\
да
12
дх' да
и3 -и3
2
\
23
v дх1
дх
3
и2 - w2
3 У
33
v дх1
дх
u - w^
- +
'3 У /
да12 да
13
v дх2
дх-
и1 - w1
'3 У
+
да22 да дх2 дх-
23
w
'3 У
+
да23 да
33
дх2 дх3
w
(16)
2 ^3 У
Полученное равенство (16) имеет тот же смысл, что и любое тождество типа а2 - Ь2 = (а - Ь)(а + Ь), т.е. 0 = 0. Поэтому все символы в (16) можно менять на любые другие, например, сгу на ёсгу, щ на и т.д.
Далее, все слагаемые в (16) имеют ясный механический смысл. Слагаемое в первой квадратной скобке — это работа объемных сил (со знаком «-») на средних перемещениях. Второе слагаемое — работа напряжений на деформациях и третье слагаемое — это работа «изгибных напряжений» на локальных изгибах. Рассмотрим подробнее смысл слагаемого
да11 да
12
и1 -и1
дх1 дх2 у
Сделаем сечение элементарного объема плоскостью х3 = const и разложим граничные напряжения на две составляющие так, как это показано на рис. 3. Стрелками указаны положительные направления. Компоненты напряжений, которые дают нулевую проекцию на ось Ох1 — не изображены. Ясно, что
N =
T = ■
ап(A) -ап(С) ~ _дац 2
а 21 (D)-а21( B)
дх1 да
21
дх2
X ,= ап( А) + ап(С) 2
т, _ а 21( В) + а 21( В) 2
Напряжения N и Т направлены в противоположные стороны. Поэтому в уравнениях равновесия будет фигурировать их разность, т.е.
21*
N - T
да11 да
+ -
21
дх1 дх2
В частном случае плоской деформации и отсутствия массовых сил имеем N = Т. Изгиб же элемента связан с самой величиной N = 0.5^ + Т), т.е. с
дсп дс
21
дх2
(17)
дх1 ^2
Равенство (16) показывает, что эта связь имеет место и в общем случае. Остальные слагаемые в (16) имеют аналогичный смысл. Таким образом, именно разности типа (17) совершают работу на разностях введенных выше полей перемещений, т. е. на локальных изгибах.
Перейдем теперь к определяющим уравнениям. Заменим в тождестве (16) и^ на йи, и рассмотрим сумму двух последних квадратных скобок в (16). Предположим (определение упругого тела со структурой), что данное выражение есть полный дифференциал некоторой функции П = П(^11,..., у23^.^ из-^зХ П — упругий потенциал.
Отсюда и из (16) следуют уравнения
дП
дс23 дс
с11 =-
33
дП
дв1
дх2
дх3
(18)
-11 —2 -3 д(и3
За счет выбора потенциала можно описать широкий класс упругих сред с ослабленным предположением о существовании частных производных.
Рассмотрим самый простой вариант, когда зависимость напряжений от деформаций описывается изотропным законом Гука, а зависимость от локальных изгибов линейна. В этом случае
ди1 .дх1
П = X Г ди1 + ди9 2 1
2 V дх1 дх2
-I2+Г Т + Г дwз >
Л ч дх2 ) 1дхз )
Г дщ + CWLI2. +Г диз
1дх1 дх3 ) V дх2
^3
дх3
ди2 дх1
ди1
дх2
д^2 дх3
+ ^[^1 - и>1)2 + (и2 - и>2)2 + (и3 - ^3)2
+ (и1 -^,1)2 + (и2 -^2)2 + (и3 -^3)2 + (и1 - ^,1)2 + (и2 -^2)2 + (и3 - ^3)2]
и уравнения (18) принимают следующий вид:
уззй
ди1 1
дХГ = Е [с11 -У(с22 дх1 Е
ди>2 1 г ! -Г2 = ~Б[с22 -у(с11
дх0 Е
сзз)],
д^3 1 г . ч,
-г3 = ~Б[с33 -у(сп +C22)],
дх3 Е
ди2 ди1 с12 ди3 дw1 с
(19)
13
дх1 дх2 ц ' дх1 дх3 ц
ди3 = с23
дх2 5х3 ц
дс11 дс12
. дх1 дх2 ,
'дс12 дс22
V дх1 дх2
'дс13 дс23
ч дх1 дх2
дс11 дс13 ^
дх1 дх3 )
дс12 дс23 '
. дх1 дхз .
дс13 дсззЧ
дх1 дхз ,
'дс12 дс13
ч дх2 дхз
ГдС22 дс23
V дх2 дхз
Г дс23 дсзз
V дх2 дхз
(20)
и1 -и1 = £
и2-и2 = £ и3 -и3 = £
и1 - = и2 - W2 = £ и3 - ^3 = £
и1 - Щ =£
и2 - ^2 = £ и3 - Щ = £
где Е, V, X = (v/(1 + v))(E/(1 - 2v)), ц = Е/2(1 + V), £ — упругие постоянные.
Параметр I = у[ЕЁ, имеет размерность длины и является характерным структурным параметром среды. Из девяти уравнений (20) независимыми будут только шесть. Система замыкается уравнениями равновесия (в стандартных обозначениях):
+ X = 0,
дс11 дс12 1 12 + дс13
дх1 д%2 дхз
дс12 + дс22 + дс23
дх1 дх2 дхз
дс13 дс23 + 23 ■ + дсзз
дх1 дх2 дхз
+ X 2 = 0,
+ X3 = 0.
(21)
Таким образом, имеем пятнадцать независимых уравнений из (19)-(21) относительно следующих пятнадцати неизвестных: оц, о22, о33, о12, 023, 013, Щ, и2, и3, ^1, и2, и3, W1, W2,
При £ = 0 уравнения (20) переходят в следующие:
и1 -и1 = 0, и2 -и2 = 0, и3 -и3 = 0,
и1 - м'1 = 0, и2 - = 0, и3 - = 0.
Это и есть те шесть уравнений, которые равносильны предположению о существовании частных производных компонент одного поля перемещений по координатам. Замкнутая система уравнений при этом переходит в классическую.
4. Условия совместности деформаций и локальных изгибов
В классической теории упругости большую роль играют условия совместности деформаций — тождества Сен-Венана. Они носят чисто кинематический характер и являются следствием определений деформаций через смещения. Соотношения (7) определяют три поля смещений через деформации, повороты, локальные изгибы и одно осредненное поле смещений. Здесь также должны быть условия совместности, связывающие между собой деформации и локальные изгибы.
Условия совместности можно получить таким образом. Возьмем два элементарных объема с центрами (хь х2, х3) и (х1 + 21, х2, х3) (рис. 1, 2). Определим по формулам (7) для первого из них компоненту перемещения и1 в точке А, а второго — компоненту перемещения и1 в точке С. Совместность, т.е. отсутствие в теле трещин и перехлестов, требует тождественного совпадения данных компонент, т.к. фактически речь идет о разных обозначениях одной и той же материальной точки тела. Таким образом,
-/811 + 3К31 + 3К21 + и1(Х1 + 21, ^ Х3)
= /811 + 3К31 + ~К21 + Ц1(Х1, Х2, Х3) . (22)
Отсюда и из аналогичных равенств для остальных компонент и граней следует, что
ди1 = , 8 -К31 -К21
_ 11 8х1 8х1 3
8Ц2 , 8 2к32 - К22
8х2 8х2 3
8Ц3 3 _ ^ 1 8 -К33 + 2к23
8х3
33
8х3
ди 2 + 8Ц
8х1 дх2
8 -К32 - К22
(23)
8 2к31 К21
8х1
8х2
8и3 +8и1 = 7 - 8 К33 + К23 + 8 -К31 + 2к21 '-/13
8х1 8х3
= 723 +
8х1
8х3
8и 2 8и3
8х3 8х2
8 2к33 - К23 | 8 -К32 +2К22
8х,
8х3
^ -> 3 ^
Таким образом, шесть выражений в правых частях определяются только через три функции Ць и2, и3. Ясно, что соответствующие условия совместности будут совпадать с тождествами Сен-Венана, если в них деформации ец, ... заменить на
8 -К31 - К21
11
8х1 3
Из соотношений (7), (22) следуют также формулы, связывающие повороты с производными от среднего поля перемещений и производными от локальных изгибов:
= 1 Г8Цэ -Ц
2 ^ 8х2 8х2
, 8 -2К33 + К23 8 К32 - 2к22
8х,
8х3
^ = -8из
21 8х3 8х1
8 К31 2к21 8 К33 +К 23
8х3 6 8х1
о3 = 1 -8Ц1
2 ^ 8х1 8х2
8 К32 + К22 8 2к31 + К21
8х1
8х2
Видно, что вектор поворота определяется ротором среднего поля смещений и поправками, которые вносят локальные изгибы элементарных объемов.
5. Постановка краевых задач
В классической модели фигурирует одно поле перемещений. Поэтому вопрос о корректных краевых задачах решается самым естественным образом. А как быть с тремя полями перемещений?
Рассмотрим краевые условия, обеспечивающие единственность решения. Прежде всего, отметим, что при 2, = 0 среда является изотропной, а при 2, Ф 0 — анизотропной. В этом смысле можно сказать, что среда является изотропной по отношению к напряжениям-деформациям и анизо-
тропной по отношению к градиентам напряжений — локальным изгибам, т.е. анизотропия вносится наличием структуры. Можно дать различную интерпретацию этого типа анизотропии. Например, можно представить элементарный объем как регулярную упаковку идеально упругих частиц микроуровня (см. рис. 2). Такая интерпретация наряду с известными моделями открывает дополнительные возможности использования трехмерных уравнений для исследования зернистых сред [5, 6], механики кристаллических решеток [7-11] и наноматериалов [12-16]. Как отмечалось, комбинация упругих постоянных имеет
размерность длины. Это значит, что в модели учитывается структура материала. Модели сред со структурой посвящена обширная литература. Отметим только фундаментальную монографию [17] и обзор [18], ряд работ процитирован ниже.
Вернемся к системе (19)-(21), в которой фигурируют три гладких поля смещений, имеющих вполне определенный механический смысл. Нетрудно получить систему относительно одного среднего поля перемещений (6) (возможны различные подходы к выбору процедуры осреднения
[19]). Для этого подставим (15) в (23) и заменим правые части равенств правыми частями (19),
(20). В результате получим шесть определяющих уравнений:
ди1 1 [ ( Л =~Б [с11 -У(с22 дх1 Е
сзз)]
(
д 2с
11
д 2с
12
д 2с
Л
13
(24)
V дт" дх. дт_ дг. дг_
Видно, что деформации, определенные по среднему полю перемещений, связаны как с напряжениями (законом Гука), так и со вторыми производными напряжений и их координатами. Поэтому модель (21), (24) можно отнести к моделям градиентного типа [20-24]. К этому классу можно отнести также модели, в которых используются производные дробных порядков и производные высших порядков [25, 26].
Поскольку в уравнениях (21), (24) фигурируют только напряжения и одно среднее поле перемещений, то можно было бы ожидать, что корректными будут задачи, когда на границе заданы либо средние смещения, либо напряжения и др. Оказывается, что это не так. Единственность решения будет иметь место только для краевых условий, заданных относительно напряжений либо компонент одного их трех введенных выше компонент
смещений. Для доказательства обратимся к выражению (16) для удельной энергии Ж. Проинтегрируем его по области V, занятой упругим телом. В результате получим
IЖЛУ = | [( с11и1 +с12и2 + с13и3)п1
V а
+ (с12и1 +с22и2 + с23и3)п2
+ +с2^2 + с3^3)п3^а, (25)
где а — граница области V; п = {п1, п2, п3} — внешняя нормаль к границе.
Дальше, как обычно, предположим, что у системы есть два решения. Рассмотрим разность решений. Система линейна и поэтому она сохранит свой вид и для решения-разности. Считаем, что (25) записано для решения-разности. Подставим выражение для Ж из правой части (16) в интеграл (25). В результате под знаком объемного интеграла получим выражение, которое будет всегда неотрицательным. Действительно, для решения-разности первая квадратная скобка в (16) равна нулю, т.к. для обоих решений объемные силы одинаковы. Остальные слагаемые сводятся к сумме квадратов в силу определяющих уравнений. Таким образом, единственность решения будет иметь место для всех краевых задач, в которых обеспечивается равенство нулю подынтегрального выражения (25) во всех точках границы а.
Краевые условия совпадают с традиционными только для случая, когда область V ограничена поверхностью а, составленной из участков, параллельных координатным плоскостям. Например, когда V — это куб |х1|, |х2|, |х3| < 1. Тогда на гранях |х1| = 1 может быть задан вектор {и1, и2, и3}, на гранях |х2| = 1 — вектор {и1, и2, и3}, на гранях |х3| = 1 — вектор w2, w3}. Очевидно, что могут быть заданы не смещения, а напряжения или определенные комбинации компонент смещений и напряжений. Главное, чтобы для решения-разности подынтегральное выражение в (25) равнялось нулю.
Рассмотрим теперь общий случай. Здесь уместно вспомнить о линиях тока энергии в деформируемом теле [27-29]. Введем вектор Е с компонентами
Е1 = - (с11и1 +с12и2 +С13изХ
Е2 = -(с12и1 +С 22и2 +С23изХ (26)
Е3 = -(с13^ + с23^ +с23^.
Каждая из компонент равна удельной работе, совершаемой напряжениями на площадках с нормалью вдоль соответствующих координатных
осей. В обозначениях (26) равенство (25) можно записать таким образом:
| ЖйУ = -| E -п^.
V а
Направление E — это направление наибольшей плотности тока энергии. Значение модуля вектора равно этой плотности. Причем в любом другом направлении п плотность тока энергии — это скалярное произведение ф • п). Следовательно, через площадки с нормалью п, ортогональной E, энергия не передается. На этом языке условие равенства нулю подынтегрального выражения в левой части приобретает ясный смысл: равенство E • п = 0 означает, что для решения-разности поток энергии скользит вдоль границы а и, следовательно, в область V энергия не поступает.
Теперь возникает вопрос: как реализовать подобные краевые условия? Как отмечалось, среда по отношению к локальным изгибам является анизотропной. Такой вид анизотропии может реализоваться для среды, которая на микроуровне представляет собой определенную упаковку упругих частиц (см. рис. 2). Упаковка выделяет три направления. Поэтому на микроуровне границу области можно считать «собранной» из плоских элементов с ориентацией вдоль координатных плоскостей (технически это означает, что внешняя криволинейная на макроуровне граница аппроксимируется указанными плоскими элементами). На плоских элементах можно ставить традиционные краевые условия для напряжений и одного из полей перемещений ^ v или w. Таким образом, можно составить любую границу а макроуровня. Данная задача корректна и имеет единственное решение. Примеры решения плоских задач этого класса приведены в [30]. Решение динамической плоской задачи приведено в [31].
Полученные решения можно использовать для экспериментального определения структурной постоянной материала. В [31] показано, что продольные и поперечные волны обладают дисперсией. Дисперсия связана со структурой материала. Поэтому, измеряя скорости волн при различных частотах возмущений, по формулам [31] можно вычислить структурный параметр. В статическом случае ситуация сложнее. В [30] и ряде других работ, указанных в [30], получены решения задач о концентрации напряжений вокруг круглого и эллиптического отверстий. Поэтому если коэффициент концентрации определить экспериментально, то можно будет определить и параметр 2. Можно использовать также результаты
[32-36]. Достаточно много экспериментальных данных есть также для горных пород. Для их интерпретации необходимо дополнительно учесть роль внутреннего трения, дилатансию и пластичность, т.е. процессы, которые развиваются в областях интерфейса между структурными элементами. В этом направлении (учет пластичности в случае плоской деформации) выполнена работа [4]. Учет остальных факторов представляет собой самостоятельную задачу.
6. Заключение
Таким образом, построена замкнутая трехмерная модель упругого тела со структурой, в которой предположение классической теории о существовании частных производных перемещений по координатам ослаблено. Одно исходное и негладкое поле перемещений описано с помощью трех гладких полей. Модель содержит структурный параметр размерности длины. В частном случае построенная модель переходит в классическую. Рассмотрены постановки краевых задач, обеспечивающие единственность решения.
Работа выполнена в рамках проектов РФФИ (№ 2005-00184) и ФНИ (№ гос. рег. 121052500138-4).
Литература
1. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 1. - C. 5-22.
2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990.
3. Трусов П. В. Некоторые вопросы нелинейной механики деформируемого тела (в порядке обсуждения) // Мат. моделирование систем и процессов. -2009. - № 17. - С. 85-95.
4. Ревуженко А.Ф., Микенина О.А. Упругопластичес-кая модель горной породы с линейным структурным параметром // ПМТФ. - 2018. - № 2. - С. 167176.
5. Павлов И.С. Упругие волны в двумерной зернистой среде // Проблемы прочности и пластичности. - 2005. - Вып. 67. - С. 119-131.
6. Павлов И.С., Потапов А.И. Двумерная модель зернистой среды // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 2. -С. 110-121.
7. Povstenko Y. Fractional nonlocal elasticity and solutions for straight screw and edge dislocations // Phys. Mesomech. - 2020. - V. 23. - No. 6. - P. 547-555. -https://doi.org/10.1134/S1029959920060107
8. Makarov P.V., Bakeev R.A., Smolin I.Yu. modeling of localized inelastic deformation at the mesoscale with account for the local lattice curvature in the frame-
work of the asymmetric Cosserat theory // Phys. Me-somech. - 2019. - V. 22. - No. 5. - P. 392-401. -https://doi.org/10.1134/S1029959919050060
9. Rys M., Petryk H. Gradient crystal plasticity models with a natural length scale in the hardening law // Int. J. Plasticity. - 2018. - V. 111. - P. 168-187.
10. Pouriayevali H., Xu B.-X. Decomposition of dislocation densities at grain boundary in a finitedeformation gradient crystal-plasticity framework // Int. J. Plasticity. - 2017. - V. 96. - P. 36-55.
11. Ерофеев В.И., Павлов И. С. Параметрическая идентификация кристаллов, имеющих кубическую решетку, с отрицательным коэффициентов Пуассона // ПМТФ. - 2015. - Т. 56. - № 6. - С. 94-101.
12. Zenkour A.M., Radwan A.F. A nonlocal strain gradient theory for porous functionally graded curved nano-beams under different boundary conditions // Phys. Mesomech. - 2020. - V. 23. - No. 6. - P. 601-615. -https://doi.org/10.1134/S1029959920060168
13. Chih-Ping Wu, Jung-Jen Yu. A review of mechanical analyses of rectangular nanobeans and single-, double-, and multi-walled carbon nanotubes using Eringen's nonlocal elasticity theory // J. Arch. Appl. Mech. -2019. - V. 89. - P. 1761-1792.
14. Седечи М., ЯгутянА. Исследование на основе уравнений теории упругости динамической неустойчивости колебаний углеродных нанотрубок, расположенных вблизи графитовых листов // ПМТФ. - 2016. - Т. 57. - № 1.
15. Павлов И. С., Лазарев В.А. Нелинейные упругие волны в двумерной нанокристаллической среде // Вестник научно-технологического развития. Национальная технологическая группа. - 2008. -№ 4 (8). - С. 45-53.
16. Лобода О.С., Кравцов А.М. Влияние масштабного фактора на модель упругости трехмерного нанокрис-талла // Изв. РАН МТТ. - 2005. - № 4. - С. 27-41.
17. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости. Т. 2. - М.: Мир, 1975. - С. 646-752.
18. Смолин И.Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне // Мат. моделирование систем и процессов. - 2006. - № 14. - С. 189-205.
19. DiCarlo Antonio. Continuum mechanics as a computable coarse-grained picture of molecular dynamics // J. Elasticity. - 2019. - V. 135. - P. 186-235.
20. Lewandowski M.J., Stupkiewicz S. Size effects in wedge indentation predicted by a gradient-enhanced crystal-plasticity model // Int. J. Plasticity. - 2017. -V. 98. - P. 54-78.
21. Liu D., Dunstan D.J. Material length scale of strain gradient plasticity: A physical interpretation // Int. J. Plasticity. - 2017. - V. 98. - P. 156-174.
22. Habib Pouriayevali, Bai-Xiang Xu. A study of gradient strengthening based on a finite-deformation gradient crystal-plasticity model // Continuum Mech. Thermodyn. - 2017. - V. 29. - P. 1389-1412.
23. Dabiao Liu, Dunstan D.J. Material length scale of strain gradient plasticity: A physical interpretation // Int. J. Plasticity. - 2017. - V. 98. - P. 156-174.
24. Aifantis E.C. Internal length gradient (ILG) material mechanics scales and disciplines // J. Adv. Appl. Mech. - 2016. - V. 49. - P. 1-110.
25. Tarasov V.E., Aifantis E.C. On fractional and fractal formulation of gradient linear and nonlinear elasticity // J. Acta. Mech. - 2019. - V. 230. - P. 2043-2070.
26. Сибиряков Б.П., Прилоус Б.И., Копейкин А.В. Природа неустойчивости блочных сред и закон распределения неустойчивых состояний // Физ. мезо-мех. - 2012. - Т. 15. - № 3. - С. 11-21.
27. Умов Н.А. Избранные сочинения. - М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1950.
28. ЛявА. Математическая теория упругости. - М.-Л. Объед. наун.-техн. изд. НКТИ СССР, 1935.
29. Клишин С.В., Ревуженко А.Ф. Линии тока энергии в деформируемом горном массиве, ослабленном эллиптическими отверстиями // ФТПРПИ. - 2009. -№ 3. - С. 3-8.
30. Lavrikov S.V., Revuzhenko A.F. Model of linear elastic theory with a structural parameter and stress concentration analysis in solids under deformation // AIP Conf. Proc. - 2018. - V. 2051. - P. 020167.
31. Ревуженко А.Ф. Об одном варианте линейной теории упругости со структурным параметром // ПМТФ. - 2016. - № 5. - С. 45-52.
32. Rueger Z., Lakes R.S. Strong Cosserat elasticity in a transversely isotropic polymer lattice // J. Phys. Rev. Lett. - 2018. - V. 120. - P. 065501.
33. Rueger Z., Ha C.S., Lakes R.S. Cosserat elastic lattices // Meccanica. - 2019. - V. 54. - P. 1983-1999.
34. Drugan W.J., Lakes R.S., Angew Z. Torsion of a Cosserat elastic bar with square cross section: Theory and experiment // J. Math. Phys. - 2018. - V. 69. - No. 24.
35. Rueger Z., Lakes R.S. Experimental study of elastic constants of a dense foam with weak Cosserat coupling // J. Elasticity. - 2019. - V. 137. - P. 101-115.
36. Suknev S. V. Nonlocal and gradient fracture criteria for quasi-brittle materials under compression // Phys. Mesomech. - 2019. - V. 22. - No. 6. - P. 504-513. -https://doi.org/10.1134/S1029959919060079
Поступила в редакцию 02.02.2021 г., после доработки 04.06.2021 г., принята к публикации 04.06.2021 г.
Сведения об авторе
Ревуженко Александр Филиппович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИГД СО РАН, revuzhenko@yandex.ru
