CC BY
21
ОБ ЭКСТРЕМУМАХ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИНОМАХ ИЗ ЧЕБЫШЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВ
© В.Б. Демидович, Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров (Москва)
Экстремальную задачу —> max, ||ж(')11с(/) ^ ж(0 £ Рп> где Рп - пространство
алгебраических полиномов степени п, I = [а, Ь) - отрезок вещественной прямой Е, I : Рп —> Е -линейный функционал на Рп, S - заданная ограничительная константа, решали П.Л. Чебышёв [1] (1(х(-)) = х(т) с точкой тбШ\1), А.А. Марков [2] (1(х(•)) = х(т) с точкой т £ К) и в более общей ситуации В.А. Марков [3]. Мы рассматриваем её обобщение
1(х(-)) -► max, 1|х(-)11с(7) х(-) £ Р„, (1)
где Р„ С Сп(Г) - произвольное (п + 1)-мерное обобщённое полное чебышёвское (Extended Complete Tchebycheff) пространство (коротко, ЕСТ-пространство) на расширенном отрезке [a1, b'] =: V (а1 < а, Ъ' > Ь), 1 : Р„ -> Е - соответствующий линейный функционал, определяемый значением оператора обобщённого дифференцирования к-го (0 ^ к < п) порядка D& на элементе х(-) в заданной точке т Е V, строящегося по рассматриваемому .ЕСТ-пространству (введение такого оператора основано на работах [4-8]).
Элемент х(-) G Р„ с (п + 1)-альтернансом на отрезке I мы называем обобщённым чебышёвс-ким, а с п-альтернансом - обобщённым золотарёвским полиномом на I. Применяя обобщённый альтернансный критерий Чебышёва, можно показать, что обобщённый чебышёвский полином с точностью до множителя единственен, а обобщённые золотарёвские полиномы составляют некоторое параметрическое семейство (в случае Р„ = Рп обобщённые чебышёвские полиномы совпадают с классическими чебышёвскими, а обобщённые золотарёвские - с классическими золотарёвскими полиномами на соответствующих отрезках). Используя методы выпуклого анализа (см. [9]), можно доказать утверждение, согласно которому решением экстремальной задачи (1) всегда является либо обобщённый чебышёвский, либо обобщённый золотарёвский полином на I, причём, если т £ Г\1 - внешняя точка, то решением служит обобщённый чебышёвский полином.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чебышев П.Л. О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменной // Собр. соч. М. - Л.: Изд-во АН СССР, 1947. Т. 2. С. 335-356.
2. Марков А.А. Об одном вопросе Д.И. Менделеева // Избр. тр. М. - Л.: Изд-во АН СССР, 1948. С. 57-75.
3. Марков В.А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. СПб АН, 1892.
4. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976.
5. Демидович В.В. Приближенные вычисления с помощью обобщенных полиномов из чебышевских пространств: чебышевские обобщенные полиномы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
6. Демидович В.Б. Приближённые вычисления с помощью обобщенных полиномов из чебышевских пространств: простое интерполирование, кратное интерполирование, формулы тэйлоровского типа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994.
7. Niirnberger G. Approximation by Spline Functions. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1989.
8. Polya G. On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equation // Trans, of the Amer. math. soc. 1924. V. 24. P. 312-324.
9. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2000.
