Оптимальная интерполяция и принцип Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2004, Том 6, Выпуск 4

УДК 517.5

ОПТИМАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА1

Г. Г. Магарил-Ильяев

Дорогому учителю Владимиру Михайловичу Тихомирову с благодарностью за науку

На примере задачи интерполяции, демонстрируется применение принципа Лагранжа для решения

задач оптимального восстановления линейных функционалов.

Задача интерполяции, которая здесь рассматривается, заключается в следующем. Пусть на отрезке [a, b] заданы n точек а ^ ti < ... < tn ^ b, и в этих точках известны значения некоторой функции ж(-), т. е. известны числа x(ti),... ,x(tn), а мы хотим определить значение этой функции в другой точке т € [a, b], где т = ti, 1 ^ i ^ n. Стандартный прием состоит в том, что строят полином p (■) степени n — 1 такой, что p (ti) = x(ti), 1 ^ i ^ n (он определен однозначно и называется интерполяционным полиномом Лагранжа) и считают, что ж(т) = p (т). Можно поступить проще: соединяя точки (ti,x(ti)) и (ti+i,x(ti+i)), i = 1,...,n — 1, отрезками прямых, получим кусочно линейную функцию f (■) и будем считать, что ж(т) = f (т). Можно придумать и другие способы восстановления (как мы будем говорить) функции ж(-) в точке т. При этом ясно, что до тех пор пока нет никакой априорной информации о функции ж(-), мы не можем отдать предпочтение ни одному из таких способов. Предположим теперь, что такая информация о функции ж(-) имеется и она заключается в том, что ж(-) принадлежит некоторому фиксированному классу функций C на отрезке [a, b]. Такого рода информация может появиться, например, из следующих соображений: пусть функция ж(-) имеет некую физическую природу и известно (в силу этой природы), что резкие скачки ж(-) невозможны. Формализовать это можно, например, так: производная функции ж(-) по модулю не превосходит некоторого положительного числа. Тем самым выделится класс функций C, которому наша функция принадлежит.

Итак, будем исходить из того, что мы наблюдаем значения функции ж(-), про которую известно, что она принадлежит некоторому классу функций C. В этой ситуации мы уже можем сравнивать различные способы восстановления функций из C в точке т. Поступаем следующим образом. Пусть m(-) — произвольная функция n переменных. Для каждого ж(-) в качестве оценки ж(т) возьмем число т(ж(^),... ,ж(^)). Эффективность такого метода восстановления ж(т) на классе C будем характеризовать величиной

е(т, C,ti,... ,tn; m(-)) = sup |ж(т) — т(ж(^),..., ж(^))|, (1)

жО)ес

© 2004 Магарил-Ильяев Г. Г.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №02-01-39012 и №02-01-00386), программ государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ-304.2003.1) и «Университеты России» (УР.04.03.067), а также при поддержке U.S. CRDF-R.F. Ministry of Education Award VZ-0100-0.

дающей максимальное (на классе) расхождение между истинным значением функции в точке т и оценкой этого значения с помощью функции (метода) ш(-).

Заметим, что оценка х(т) с помощью интерполяционного полинома Лагранжа состоит в том, что мы берем число р (т) = ^7=1 к(т)х(£г), где ¿¿(-), 1 ^ г ^ п, — полиномы степени п — 1 такие, что /¿(т^) = 1, если г = j, и ) = 0, если г = j. Другими словами, в качестве метода восстановления х(т) мы рассматриваем линейную функцию

Нас интересует вопрос, на каком методе восстановления ш(-) величина (1) достигает своего минимального значения и чему это значение равно? Точнее говоря, нас интересует величина

(где нижняя грань берется по всем функциям п переменных), которая называется погрешностью оптимального восстановления и метод Ш(■), на котором эта нижняя грань достигается, называемый оптимальным методом восстановления.

Нахождение оптимальной погрешности восстановления и оптимального метода восстановления будем называть задачей оптимальной интерполяции на классе С.

В данной работе мы решаем эту задачу для случая, когда С = Ш'7([а, Ь]) (совокупность функций х(-) на [а,Ь], у которых (п — 1)-ая производная х(7-1) (■) абсолютно непрерывна на [а, Ь] и ||х(га) (■) ^ 1) и показываем, что интерполяционный поли-

ном Лагранжа — оптимальный метод восстановления. Основная цель, которую мы при этом преследуем — продемонстрировать применение принципа Лагранжа для решения задачи оптимального восстановления. Этот принцип позволяет получать решения многих экстремальных задач, в некотором смысле, автоматически. Он заключается в том, что надо составить функцию (функцию Лагранжа), которая есть сумма минимизируемого или максимизируемого функционала и функций, задающий различные ограничения с неопределенными множителями (множителями Лагранжа) и тогда решение исходной задачи удовлетворяет необходимым условиям минимума в более простой задаче — в задаче на минимум функции Лагранжа без ограничений (при некотором наборе множителей Лагранжа). Этот прием (который впервые был сформулировал Лагранжем для задач с ограничениями типа равенств) оказался универсальным — он верен (при весьма широких предположениях) для любых экстремальных задач с ограничениями типа равенств, неравенств и включений. Если задача выпукла, то функция Лагранжа на решении достигает минимума и более того, если множитель Лагранжа при минимизируемом (или максимизируемом) функционале отличен от нуля, то функция, которая удовлетворяет необходимым условиям минимума функции Лагранжа, является решением исходной задачи. Подробнее о принципе Лагранжа и его приложениях см. в [1] и [2]. Не бояться применять принцип Лагранжа для решения самых различных задач я научился у В. М. Тихомирова.

Применением принципа Лагранжа, доказывается следующая

Теорема 1. Справедливо равенство

и метод Ш(£1,..., £7) = ^7=11«(т)£ (интерполяционный полином Лагранжа) является оптимальным.

ш(£ 1 ,...,£„) = £ 7=1 Цт )£.

Е(т, С, ¿1,..., ■£„) = И е(т, С, ¿1,..., ¿7; ш(-))

т()

(2)

1 7

Е([а, Ь]), ¿1,..., ■£„) = - Ц(т — ^)

' 3=1

< Свяжем с задачей оптимального восстановления следующую экстремальную задачУ

ж(т) ^ тах, ж= 0, 1 ^ г < 1, ж(-) £ Ш™ ([а, 6]) (3)

и обозначим через Б(т, ШП([а, 6]), ¿1,..., ¿п) ее значение. Покажем, что

Е(т,Ш£([а, 6]), ¿1,..., ¿п) ^ Б(т,Ш£ ([а, 6]), ¿1,..., ¿„). (4)

Действительно, пусть ж(-) — допустимая функция в (3). Тогда и — ж(-) — допустимая функция в этой задаче и мы имеем для любого метода т(-)

2ж(т) ^ |ж(т) — т(0) + ж(т) + т(0)| ^ |ж(т) — т(0)| + | — ж(т) — т(0)|

^ 2 вир |ж(т) — т(0)| ^ 2 вир |ж(т) — т(ж(^),

)=0, г=1,...,п

>ж(£«))|.

Переходя справа к нижней грани по всем методам т(-), а затем слева к верхней грани по всем допустимым в (3) функциям ж(-), получаем требуемое утверждение. >

Задача оптимального восстановления является (в определенном смысле) двойственной к задаче (3) (см. [2]) и поэтому решив последнюю, мы найдем и оптимальный метод и погрешность оптимального восстановления.

Задачу (3) запишем формально следующим образом

, ь

/ — т)ж(£) М ^ тах,

о

ь

/ — ¿¿)ж(£) = 0, 1 ^ г ^ 1, ж(п)(£) = «(¿), |п(£)| ^ 1,

о

(5)

где — £) — ¿-функция в точке £ и последнее неравенство понимается п. в.

Мы выпишем необходимые условия максимума в ней, рассуждая эвристически, не ссылаясь ни на какие точные результаты, а руководствуясь лишь здравым смыслом и верой в то, что принцип Лагранжа верен. Это приведет нас к некоторым соотношениям, справедливость которых мы уже проверим непосредственно. Так как задача (3) выпукла, то эти соотношения позволят нам найти ее решение, а затем доказать все утверждения теоремы.

Отметим, что внешне задача (5) — стандартная задача оптимального управления и можно было бы сразу выписать необходимые условия максимума, но мы их получим, исходя из общих рассуждений.

Выпишем функцию Лагранжа задачи, не включая в нее ограничение |и(£)| ^ 1 и воспринимая ограничение ж(п)(£) = п(£) как континуум равенств, каждое из которых надо умножить на множитель Лагранжа р (¿), а затем их «просуммировать»:

1 п

&(ж(-),п(-),А) = у ((—— т) + ^— *0)ж(4)+ р (¿)(ж(п)С£) — «(¿)) (П.

Здесь А = (—1, ^1,..., ,р (■)) (мы взяли множитель Лагранжа при максимизируемом функционале равным —1, чтобы полученные необходимые условия максимума оказались и достаточными).

Если пара (ж(-),п(-)) — решение задачи (5), то согласно принципу Лагранжа существует такое А, что функция Лагранжа должна достигать минимума в этой точке по ж(-) и по и(-), т. е. должны выполняться условия:

Lx0)(i(0,u(0,A) =0, min L(i(0,<),A) = L (ж(-),п(-), А). (6)

Первое соотношение означает, что

-¿(t - т) + £M(t - x(t) + p (t)x(n)(t)j dt = 0 Vж(^).

Интегрируя последнее слагаемое под знаком интеграла n раз по частям, приходим к равенству

n

r_1)np(n)itnxf

/о

(-¿(t - т) + £ ^¿(t - ti) + (-1)np(n) (t))xr(t) dt

¿=i

n—1

+ I](-1)k(p(k)(b)x(n—k—1)(b) - p(k)(a)x(n—k—1)(a)) = 0, k=0

верному для всех ж(-), и тем самым

n

-¿(t - т) + £ - ti) + (-1)np(n) (t) = 0 (7)

р(к)(а) = р(к) (Ь) = 0, к = 0,1,..., п — 1. (8)

Из второго соотношения в (6) вытекает, что

ж(7) (¿)=8ЩД р (¿). (9)

Соотношения (7), (8) и (9) и есть необходимые условия максимума в задаче (3), которые можно было сразу выписать.

Теперь проанализируем полученные соотношения. Интегрируя (7), получаем, что

р (¿) = — т)+-1 — £ ^ (* — 3)+-1) . (10)

Покажем, что эта функция (с произвольными 1 ^ г ^ п) сохраняет знак на [а, Ь]. Действительно, если это не так, то р (■) имеет нуль на (а, Ь). Поскольку р (а) = р (Ь) = 0, то по теореме Ролля р(-) имеет на (а, Ь) не менее двух нулей. Продолжая, получим с учетом (8), что кусочно линейная функция р(га-2)(-) имеет на (а, Ь) не менее п — 1 нуля, а значит, снова в силу (8), на отрезке [а, Ь] она имеет не менее п +1 нуля. Тогда по элементарному следствию из теоремы Ролля кусочно постоянная функция р(7-1) (■) имеет на [а, Ь] не менее п перемен знака. Но эта функция с п интервалами постоянства (она может иметь разрывы только в точках т, ¿1,..., ) и поэтому у нее не может быть больше, чем п — 1 перемен знака. Итак, р (■) не меняет знак на [а, Ь] и тогда согласно (9) функция ж(-) есть полином п-го порядка со старшим коэффициентом по модулю равным 1/п! По

и

условию ж(£3-) =0, 1 ^ ] ^ п, и очевидно, ж(т) > 0. Этими условиями ж(-) определяется однозначно: ж(£) = а(1/п!) — А?'), гДе а = signЩ=1(т — 3).

Определим теперь числа ^, 1 ^ ] ^ п. Возьмем любой полином д(-) степени не выше п — 1, умножим на него обе части равенства (7) и проинтегрируем по отрезку [а, 6]. Тогда получим д(т) = ^™=1 ). Подставляя сюда, определенные выше полиномы

3(■) € Рп-1, найдем, что ^ = 3(т), ^ = 1,..., п. Таким образом,

(т) = £ j (Т)q(tj).

(11)

j=i

Обозначим через Ж™([а, 6]) пространство функций на [а, 6], у которых (п — 1)-ая производная абсолютно непрерывна, а п-ая производная принадлежит Ь^([а,6]) (так что ([а, 6]) = (ж(-) € Ж™([а, 6]) : ||ж(п)(-)||Ьоо([о>ь]) < 1}). Умножим (7) на функцию ж(-) из этого пространства и проинтегрируем по частям. Тогда будем иметь

гО

ж(т) lj (T)x(tj)= / p (t)x(n)(t) dt. j=1 Ja

(12)

Итак, рассуждая эвристически, мы получили соотношения (11) и (12). Теперь будем рассуждать точно. Элементарная проверка показывает, что равенство (11) действительно имеет место для любого полинома степени не выше п — 1.

Покажем теперь, что тождество (12) справедливо для любой функции ж(-) € ЖП([а, 6]) с функцией р (■), определяемой формулой (10), где ^ = 3(т), 1 ^ ] ^ п.

Из определения р (■) сразу следует, чтор(к)(а) =0, к = 0,1,..., п— 1. Далее р(к)(6) = 0, к = 0,1,..., п — 1, поскольку полиномы (¿) = (1 — ¿)к, к = 0,1,..., п — 1, удовлетворяют (11). Используя это обстоятельство и интегрируя п — 1 раз по частям в интеграле справа в (12), убеждаемся после несложных преобразований, что равенство (12) справедливо.

Покажем, что функция ж(-) — решение задачи (3). Подставляя в (12) любую допустимую в (3) функцию ж(-) и оценивая по модулю, будем иметь

»

ОО

ж(т) = / p (t)x(n)(t) dt ^ |p (t) |dt.

aa

Выше было показано, что p (■) не меняет знака на [a, b] и поэтому функция ж(п)(-) (которая есть константа) совпадает с точностью до знака с signp (■). Подставим ж(-) в (12) и учитывая, что ж(т) > 0, получим

ГО ГО РО

ж(т) = р(¿)ж(")(^) dí = / р(¿^пр(¿) dí = |р(¿)

о о о

Таким образом, ж(-) — решение задачи (3). Тогда вследствие (4) верно

(13)

E(T,Wn([a, b]), ti,..., tn) ^ ж(т) =

Из (12) и (13) для любого ж(-) g Wп([a, b]) имеем

n!

П(т - tj) j=i

(14)

n . О 1 n

ж(т) lj(Т)x(tj) < / |p (t)|dt = ж(т) = --у п(т - tj) j=i a n! j=i

1

т. е.

1

E(r,Wn([a, b]), ti,..., t„) <

П!

П(т - tj)

j=1

Отсюда и (14) следует нужная оценка для Е(т, ([а, Ь]), ¿1,..., ¿7) и оптимальность метода ш (£1,..., £„) = ^ 7=1 з(т )£з. >

Отметим, что если рассматривать задачу оптимальной интерполяции для случая, когда заданы п точек а ^ ¿1 < ... < ¿7 ^ Ь, а класс С = ([а,Ь]), где п = г, то при п < г задача не имеет смысла, так как можно построить, например, полином степени п (он, очевидно, будет принадлежать данному классу), который в точке т принимает сколь угодно большие значения. Если же п > г, то задача осмысленна и здесь оптимальным методом будет интерполяционный сплайн. Доказательство получается на том же пути, что и в рассмотренном случае, но нужно воспользоваться еще утверждениями о существовании разного рода сплайнов.

Литература

1. Алесеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление.—М.: Наука, 1979.—429 с.

2. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения.—М.: Эдиториал УРСС, 2003.—176 с.

Статья поступила 15 ноября 2004 г-

Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич, д. ф.-м. н. г. Москва, Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (Технический университет) E-mail: georg@magaril.mccme.ru