Оптимальное восстановление гармонической функции по коэффициентам Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2004, Том 6, Выпуск 4

УДК 517.5

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ФУРЬЕ

С. В. Близнюк

Владимиру Михайловичу Тихомирову к его 70-летию с благодарностью от ученика

Решается задача восстановления в некоторой фиксированной точке единичного круга значения гармонической в круге функции, не превосходящей на этом круге по модулю единицы, по 2п + 1 коэффициенту Фурье граничного значения функции. Также вычисляется точность оптимального восстановления и предъявляется оптимальный метод восстановления для п = 1, 2, 3, 4, а также метод расчета для любого п.

Постановка задачи. Пусть X, У — нормированные пространства, С С X — некоторый класс элементов, Е — непрерывное отображение из X в У, ж* — непрерывный функционал на X. (ж*, С, Е)-задачей восстановления называется проблема восстановления значения (ж*, ж) линейного функционала ж* на элементе ж, про который известно, что ж € С, а также известен вектор Е(ж), который называется информационным оператором. Любая функция т : Е (С) ^ Ж называется методом восстановления. Требуется найти величину точности оптимального восстановления

Е(ж*, С, Е) = ^аир | (ж*, ж) — т(Е(ж))| т же с

и оптимальный метод восстановления т такой, что

вир |(ж*, ж) — т(Е(ж))| = Е(ж*,С,Е). жес

С (ж*, С, Е)-задачей оптимального восстановления связана следующая экстремальная задача:

(ж*, ж) ^ тах, ж € С П кег Е называемая ассоцированной задачей. Подробнее о задачах восстановления см. [1].

Формализация задачи. Обозначим через Г^(^) класс функций двух переменных (р, р) ^ и(р, р), 0 ^ р ^ 1, —п ^ р ^ п, гармонических внутри единичного круга и ограниченных внутри круга единицей. Наша цель — исследовать ^н(г, 0), Г^(^), Еоиг„^, 0 ^ г < 1, где Еоигга — информационный оператор, сопоставляющий функции п(-, ■) коэффициенты Фурье (ао,..., ап, 61,..., 6П) функции ж(-) = и(г, ■), являющейся ограничением на окружность р = г функции п(-, ■).

© 2004 Близнюк С. В.

Функции из представимы в следующем виде:

1 Гп 1 - р2

и(р, = — / --т-—г-о f (t) dt, (1)

2п J-n 1 - 2р cos(t - + p2</w ' W

где f (t) — «граничное значение» функции, т. е. функция u(p, t) ^ f (t) для почти всех t £ [—п,п]), удовлетворяющая неравенству ||f (•)||ьте([-п,п|) ^ 1. Подробнее о представимости гармонических функций в таком виде см. [2].

Таким образом, требуется восстановить u(r, 0) функции (р, ^ п(р,^), представи-мой в виде (1), по числам

1 ГП 1 ГП 1 гп

a0 = — u(1,^>)d^>, ak = — u(1,^>)cos k^>d^> = — f (^>) cos k^>d^>

2п -П п -П п -П

и

1 П 1 П = — u(1,<p) sin k^>d^> = — f (^)sin k^>d^>, 1 ^ k ^ n.

п П п П

1 rn i rn

— u(1,^)sin k^>d^> = — n J-n n

Ассоциированная экстремальная задача здесь имеет вид:

1 ГП , 1 - r2

1 /п 1 - r2

u(r, 0) = — f (t)-^ dt ^ max, (2)

v ' 7 2п ,/_./ v 71 — 2r cos t + r2 ' v 7

/П ГП

f (t) cosktdt = 0, 0 ^ k ^ n, / f (t) sinktdt = 0, 1 ^ k ^ n, (3)

-П J —П

где |f (t)| ^ 1 почти всюду.

Функция Pr (t) = 2П ■ i-2rcost+r2 называется ядром Пуассона.

Принцип Лагранжа. Задача (2) является задачей выпуклого программирования, у которой функция Лагранжа имеет вид

vn)

L = L(f (■), Ао... vi,..., vn)

"П ( 1 1 - r2 ™ ч

(Ао — ■ ----——2 + ^0 + УД№ cos kt + vfc sin kin f (t) dt.

,_П\ 2n 1 — 2r cos t + r2 f—' /

k=i

Задача (2) является задачей на максимум, поэтому коэффициент Ао ^ 0. Также можно легко показать, что Ао = 0 и мы можем считать, что Ао = —1. Таким образом, функция Лагранжа имеет следующий вид:

L = L(f (■), —1,^o,^i,... vi,..., vn)

n

+ № + cos kt + vk sin kt) j f (t) dt.

2n

1 1 — r2 2n 1 — 2r cos t + r2

k=i

Согласно принципу Лагранжа (см. [1]), если /(•) — решение задачи (2), то существуют такие множители Лагранжа ^о, ^k, Vk, k = 1,..., n, не равные нулю одновременно, что функция L в точке /(•) достигает своего минимума на множестве BL^([—п,п]), где BL^([—п,п]) — единичный шар в L^([—п,п]). Из ограничений (3) следует, что /(•) £ ТП", где Tn — пространство тригонометрических полиномов степени n. Отсюда следует, согласно критерию наилучшего приближения в Lp (см. [1]), что

n

+ cos kt + vk sin kt)

k=i

является полиномом наилучшего приближения функции Рг (¿) = 2п • 1-2гсоб^г'2 подпространством Тп тригонометрических полиномов степени п в метрике Ь\([-п,п]).

Таким образом, для решения нашей задачи нам нужно найти тригонометрический полином наилучшего приближения функции Рг(¿) в метрике п,п]) и тогда

Е(и(г, 0), Рспгп) = ^(Рг(•), Тп, ^([-п, п])),

где Е(и(г, 0), Г^(^), Еоигп) — погрешность восстановления функции и(г, •) по 2п + 1 коэффициенту Фурье граничной функции, а ^(Рг (•), Тп, Ь\ ([-п, п])) — расстояние от функции Рг (•) до пространства тригонометрических полиномов степени п в метрике ¿1([-п,п])1.

Нахождение полинома наилучшего приближения. Так как функция Рг (¿) четная относительно полином наилучшего приближения должен быть четным, а, следовательно, мы можем считать, что все коэффициенты при синусах в полиноме наилучшего приближения этой функции равны нулю, т. е. щ =0, к = 1,.. .п. Значит полином наилучшего приближения функции

1 1 — г2

Рг (¿)= 1 1 Г

2п 1 — 2r cos t + r2 имеет вид

Tnr (t) = ^ Pk cos kt,

cos

k=0

где pk = Pknrj т. е. pk еще зависит от n и r. Рассмотрим выражение вида

1 1 - Г2 -А

A(t) = Pr(t) — Tnr(t) = — ■ ----—2 — ^ Pk cos kt (4)

2n 1 — 2r cos t + r2 ^^

k=0

и докажем, что A(t) может равняться нулю не более чем в n +1 точке отрезка [0,п]. Используя представление

k

cos kt = ^ ay cosj t j=i

и выражение (4), получаем представление A(t) в виде

1 1 r2 n

A(t) =-----2 — V fa cosk t.

w 2п 1 — 2r cos t + r2 ^'

k=0

Производя замену z = cos t, приходим к равенству

1 1 — r2 2п ' 1 — 2rz + r2

1 1 — r2 n k

A(arccos z) = 2T- ■ -, _2rz + r2 — E &zk.

k=0

Продифференцировав n +1 раз по z, получаем

n \ (n+1)

2n 1 — 2rz + r2 — I - 2n(1 — 2rz + r2)n+2 '

1 1 — r2 Л (—2r)n+1(1 — r2)

1О связях между этими двуми задачами см. в [4].

а это выражение вообще не имеет нулей на отрезке [0,п], следовательно, по теореме Ролля заключаем, что функция 2П • 1_2г.г+г2 — п=0 вкне может иметь более чем п +1 нуля на отрезке [0,п]. Учитывая строгую монотонность функции Ь = агееоя г, делаем вывод, что выражение

A(t) =

1 r2

1

2п 1 — 2r cos t + r2

Y^ ek cosk t

k=0

также не может иметь более чем n + 1 нуля на отрезке [0,п].

Таким образом, если мы найдем такой полином Tnr (t) = ^П=о Pk cos kt, что

A(tj) = Pr(tj) — Tnr(tj) = 0 только в n + 1 точках to, ti,..., tn,

(5)

то, согласно критерию элемента наилучшего приближения в Li в случае приближения подпространством (см. [3]), следует, что Tnr(t) является полиномом наилучшего приближения для функции Pr (t) = 2П ' i —2r Cos t+r2 подпространстом Tn в метрике Li([—п,п]). Рассмотрим тригонометрический полином ТПг (t) такой, что

pr (tj ) - Tnr (t j )

во всех различных точках нулей функции cos nt на отрезке [0, п]. Этот полином удовлетворяет условию (5) и поэтому является полиномом наилучшего приближения для функции Pr (t). Заметим, что функция cos nt имеет ровно n +1 корень tj на отрезке [0, п], где

п nj

t- =___u

j 2(n + 1) n + 1

j = 0,..., n.

(6)

Для того чтобы построить такой полином нужно решить систему из n +1 линейного уравнения относительно po,Pi, • • •,pn-i,pn1:

Po + pi cos to + p2 cos2to +-----+ pn-i cos(n — 1)to + pn cos nto = bro

p0 + pi cos tj + p2 cos 2tj + ■ ■ ■ + pn-i cos(n — 1)tj + pn cos ntj = brj (7)

_ po + pi cos tn + p2 cos2tn +-----+ pn-i cos(n — 1)tn + pn cos ntn = brn,

i- r2

2, j = 0,..., n, а tj определены равенством (6).

где brj = Kr (tj ) = 2П i-2r cos tj +r

Решение этой системы в аналитическом виде мы выписывать не будем, но объясним как решать эту систему линейных уравнений численно для любого натурального n ^ 1.

bro

br1

Представим систему (7) в виде Anp = br, где p = (p0,pi,..., pn) и br =

Матрица An этой системы имеет вид

brn

An -

( 1 cos t0 cos 2t0 1 cos ti cos 2ti

\ 1 cos tn cos 2tn

cos nt0 \ cos n t1

cos n tn

(8)

«явная» формула интерполяционного полинома Лагранжа не облегчает дело — по сути, все сводится

к системе (7).

Определитель этой матрицы не равен нулю, для каждого фиксированного r £ (0,1) и n ^ 1 все элементы матрицы An и элементы столбца br определены, поэтому решением системы уравнений (7) является

^ = (^o,^i ,...,^n)= A-ibr. (9)

Тем самым мы показали как рассчитать все (^о,^i,...,^n), которые являются коэффициентами тригонометрического полинома наилучшего приближения Tnr (t) = £n=o cos kt для функции ' i—2r Cost+r2. Этот способ мы использовали для расчета численных значений коэффициентов ^k для определенных n и r.

Оптимальный метод восстановления. Задачу (2) можно рассматривать как ассоциированную с задачей оптимального восстановления функционала

1 ГП 1- r2

f (■) ^ — f (t)---^ dt

Jy> 2n J-П V '1 — 2rcost + r2

на множестве f (■) £ BLi([—п,п]) по информации

f (■) —¡ f (t) dt, 1 / f (t)cos ktdt, 1 / f (t)sinktdt, 1 < k < nY

V2n ./-П П J-П П J-П '

Из теоремы о двойственности для задач восстановления (см. [1]) вытекает, что оптимальный метод для задачи (1) имеет вид

1 /■ п 1 — r2 u(r, 0) = — f(t)^-7—-2 dt ^kflk, (10)

2n J-П 1 — 2r cos t + r2 k=0

и точность оптимального восстановления равна

П

^nr = E I u(' , 0), -Loo^) Fourn _

Enr = E(u(r, 0), r^(D), Fourn) =J

1 1 — r2 T

— T,

2n 1 — 2r cos t + r2

nr

dt.

Расчет оптимального метода и погрешности оптимального восстановления.

Все расчеты оптимального метода и погрешности оптимального восстановления производились с помощью математического программного обеспечения МаШешайса 4.0, где мы применяли метод (9), описанный выше. Далее приведены расчеты для п = 1, 2, 3,4

113 1 при г = 4 , 2, 4 •

Случай п = 1. При п = 1 мы интерполируем в точках ¿1 = (4п, |п), вектор = (2П ■ 1-1->Г2+Г2 ' 2П ■ 1+1л-Г2+Г2 ), а матриЦа А1 имеет вид

Тогда используя формулу (8), получаем, что ^ = (^01г

) = А-16ь Для г = 4, 2, 4

получаем соответственно, что

Е11 = 0.07947409722, ц011 = 0.1579163832, и111 = 0.07431359201;

1 4 014 114

Е11 = 0.3119165215, ^011 = 0.1404308321, 1 = 0.1123446656; Е1 з = 0.6523945232, ц01 з = 0.08264722565, и11 з = 0.07934133662.

1 4 014 114

1Явная формула <(РГ (■),Т„,Ь1 ([-п, п])) = П arctgт"+1 была найдена М. Г. Крейном (см. [5]). Наши

вычисления Епг совпадают с величиной ПП arctgгп+1 с точностью до 10-9.

Случай п = 2. При п = 2 мы интерполируем в точках ¿2 = п, 2п, |п), вектор

&2 =

1 г2

1 1 г2 1

1 г2

2п 1 - ^3г + г2' 2п 1 + г2' 2п 1 + ^3г + г2

а матрица А2 имеет вид

А2 =

V

уДз) 2 0

У(3) 2

1 2 -1

1

2

/

Тогда, аналогично, для г = |, 2, | получаем соответственно, что Е21 = 0.01989274912, р021 = 0.159 0 772497, р121 = 0.07924727455, р221 = 0.05876490209; Е21 = 0.1583336966, р021 = 0.15425 786 79, р121 = 0.1469122552, р221 = 0.36923 07696; Е2з = 0.5083036709, р02з = 0.1110621127, р12 з = 0.1385390181, р22з = 0.06649872866.

Случай п = 3. При п = 3 мы интерполируем в точках ¿з = (|п, |п, |п, |п), вектор

6з =

||||

1 . 1-г2 X . 1-г2 X . 1-г2 X . 1-г2

2п 1-2г соб 1 п+г2 , 2п 1-2г соб | п+г2 , 2п 1+2г соб | п+г2 , 2п 1+2г соб 8 п+г2

а матрица Аз имеет вид

Аз =

1

1

1 1

еоя | п

з

еоя | п

з

- еоя | п

- еоя | п

1

£2

з

еоя | п

- еоя | п

еоя | п

з

- еоя | п

Тогда, аналогично, для г = |, 2, | получаем соответственно, что

Ез 1 = 0.004973566675, р0з 1 = 0.1591500860, р1з 1 = 0.07955682940,

р2з 1 = 0.01981635313, рзз 1 = 0.004662671321; Ез 1 = 0.07947409722, р0з 1 = 0.1579163832, р1з 1 = 0.1560585433,

р2з 1 = 0.07431359205, рзз 1 = 0.02972543681; Ез э = 0.3901710410, р0з з = 0.1301879796, р1з э = 0.1783845740, р2з 1 = 0.1112585701, рзз 1 = 0.05340411362.

Случай п = 4. При п = 4 мы можем аналогично вычислить точки интерполяции ¿4,

вектор 64, а также матрицу А4, но в данной статье мы приведем только вычисленные 1 1 з

Рк4г для г = 4, 2, 4

Е41 = 0.001243397598, р041 = 0.1591546395, р141 = 0.0795761813,

41 041 141

р241 = 0.01988949187, рз41 = 0.004954159145, р441 = 0.001165684519; Е41 = 0.03977579129, р041 = 0.1588443968, р141 = 0.1583785776,

Р241 = 0.07825765008, рз41 = 0.03726554766, р441 = 0.01490621911;

Е4 з = 0.2966583314, р04з = 0.1421854074, р14 з = 0.2033792176,

41 041 141

р24 з = 0.1393358858, рз4 з = 0.08690387937, р44з = 0.04171386190.

1

1

Эта работа является первым шагом в исследовании задач восстановления значений гармонических функций на многомерных шарах.

Литература

1. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения.—М.: Эдиториал УРСС, 2003.—175 с.

2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.—М.: Физматлит, 2001.—Т. 1.—680 с.

3. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения.—М.: Наука, 1976.—320 с.

4. Magaril-Il'yaev G. G., Osipenko K. Yu., Tikhomirov V. M. Optimal recovery and extremum theory // Computational Methods and Function Theory.—2002.—№ 2.—С. 87-112.

5. Крейн М. Г. К теории наилучших приближений периодических функций // Докл. АН СССР.— 1938.—Т. 18, № 4/5.—С. 245-251.

Статья поступила 26.11.2004 г.

Близнюк Станислав Викторович г. Москва, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: stanislav-b@Mail.ru