Метод аппроксимации суммой тригонометрического многочлена и полинома степени m Текст научной статьи по специальности «Математика»

Springer-Verlag, Berlin, 2004. Р. 1-65. 2. W.M.P. van der Aalst, J. Desel, and A. Oberweis, editors. Business Process Management: Models, Techniques, and Empirical Studies, volume 1806 of Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, Berlin, 2000. 36 p. 3.Gottesdiener E. Capturing Business Rules // Software development magazine: Management Forum.- December, 1999. Vol. 7, No. 12. 6 p. 4. JenningsN. R., Faratin P.Johnson M. J., Norman T. J., O'Brien P. and Wiegand M. E. Agent-Based Business Process Management. Int Journal of Cooperative Information Systems 5 (2&3). 1996. Р.105-130.

Поступила в редколлегию 10.06.2006 Чалый Сергей Федорович, канд. техн. наук, доцент кафедры информатики ХНУРЭ. Научные интересы: управление бизнес-процессами. Адрес: Украина, 61726, Харьков, пр.Лени-на, 14, тел. 702-14-17.

УДК 519.713 А.И. ДОЦЕНКО

МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ СУММОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА И ПОЛИНОМА СТЕПЕНИ m

Предлагается метод аппроксимации функций и экспериментальных данных суммой тригонометрического многочлена и полинома степени m . Метод позволяет раздельно выделять периодическую и непериодическую составляющие из их суммы. Он обладает свойством нечувствительности к ошибочным выбросам и имеет достаточно простой вычислительный алгоритм за конечное число действий. Этот метод может использоваться для приближения функций и экспериментальных данных полиномом степени m , а также для эффективного снижения аддитивных непериодических помех в различного рода сигналах.

Введение

Методы приближения функций и экспериментальных данных (ЭД) играют важную роль в математическом моделировании и наиболее глубоко разработаны. Для приближения периодических функций в основном используются тригонометрические многочлены в виде конечного ряда Фурье.

Обычно наилучшее приближение заданной функции на интервале [a, b] определяют в

b

пространстве функций Lq , 1 < q <œ с нормой ||f (t)||L = (J|f(t)|qdt)1/q. На практике для

q a

нахождения наилучших приближений в основном используют пространства функций Li, L 2 и Lœ.

Если функция или ЭД содержат в себе аддитивно периодическую и непериодическую составляющие, например, в задаче анализа частотных характеристик исследуемого объекта [1], когда на выходе исследуемого объекта присутствует аддитивная непериодическая

помеха [2], то найденное наилучшее приближение в пространстве Lq не позволяет раздельно выделить периодическую и непериодическую составляющие из их суммы. Найденное наилучшее приближение в гильбертовом пространстве с нормой

|f (t)|| = f) =

i m-2+a . (i+4-2a)T/2 (i+3)T/2

Z cm - 2+a ( J f (t)f (t)dt + (2 -a) J f (t)f (t)dt)

m -1 + a

2 1 i=0 iT/2 (i+1)T/2

где т - степень аппроксимирующего полинома, Т = 2М/(т+2); м - длина интервала

0,т > 1

аппроксимации [0, N1, а =

; CL-2+a - биномиальные коэффициенты, по предлагае-1, m = 1

мому методу, позволяет раздельно выделить периодическую и непериодическую составляющие из их суммы.

Рассмотрим в качестве реального примера одну из систем, где присутствует аддитивная непериодическая помеха (АНП), "компрессорный цех-магистральный газопровод" ("КЦ-МГ").

Для минимизации затрат топливного газа (ТГ) КЦ [3] необходимо измерять весьма малые изменения расхода в линии ТГ и компримируемого газа (КГ) КЦ. Эти приращения представляют сумму двух составляющих:

- полезной, вызванной периодической модуляцией частоты вращения нагнетателей одного из ГПА в КЦ;

- АНП в виде монотонных изменений расхода газа.

АНП всегда присутствуют в практически установившемся режиме системы "КЦ-МГ". Они обусловлены неравномерностью поступления газа в линиях ТГ и КГ, вызванных изменением режима линейной части магистрального газопровода или режима остальных ГПА компрессорного цеха. На рис. 1 представлен временной срез длительностью 600 с, где по оси ординат отложены: частота вращения и приращения по ТГ и КГ в условных единицах. Данные получены на компрессорной станции "Ужгород" УМГ "Прикарпаттранс-газ".

Время,:

Рис. 1. Приращения по ТГ и КГ при модуляции оборотов одного из ГПА

На рис. 1 отчетливо видно влияние АНП, особенно на приращение по КГ.

В работе [3] определяется одна частотная составляющая входного сигнала с представлением и компенсацией АНП линейной функцией.

Предлагаемый метод частично ослабляет влияние АНП путем представления помехи в виде полинома степени т и ее последующей компенсацией.

Среди методов аппроксимации функций и ЭД алгебраическими полиномами наиболее

широкое применение нашло определение наилучшего приближения в пространстве L2, которое является наиболее популярным в виду его алгоритмической простоты. Однако такие недостатки как стремление определителя Грамма к нулю при больших степенях и чувствительность к ошибочным выбросам делают слабо эффективным данный метод в некоторых приложениях [4,5,7]. Для функции, заданной на отрезке [0, N, не найдено способа определения коэффициентов наилучшего равномерного приближения (пространство Ь^,) за конечное число действий [4,5,8]. Для нахождения наилучшего приближения в пространстве Ьр , где 1 < р < 2 , также используются только итерационные методы [6]. Они имеют большие численные расчеты и, как следствие, большие погрешности, а также проблему сходимости [3,4,8], что является недостатком.

Использование предлагаемого метода для аппроксимации функций и ЭД полиномом степени т (тригонометрический многочлен отбрасывается) в некоторых приложениях дает такие преимущества как нечувствительность к ошибочным выбросам, а также достаточно простой вычислительный алгоритм за конечное число действий. Если сравнивать найденные наилучшие приближения для пространств Lq с наилучшими приближениями по пред-

лагаемому методу, то можно предположить, что найденные наилучшие приближения по предлагаемому методу и для пространства Ь3/ 2 являются наиболее близкими. Об этом говорит также и тот факт, что приближения, обладающие свойством нечувствительности к ошибочным выбросам, лежат в пространстве Ьр [6], где 1 < р < 2 .

Целью исследования является отыскание наилучшего приближения в гильбертовом пространстве н . Основные задачи формулируются следующим образом: выделить систему линейно-независимых элементов в н; определить скалярное произведение ?, f); определить коэффициенты наилучшего приближения; оценить погрешности приближения; исследовать свойства получаемых наилучших приближений по предлагаемому методу.

1. Постановка задачи

Пусть дано линейное гильбертово пространство н с нормой ? = -У?? и в нем на интервале [0, К] задано три системы линейно-независимых элементов

^иФиГе Н,

где у еТ, { = 0,1,2,...,г-1, для простоты дальнейших выкладок будем полагать, что г -нечетное,

ф j еФ, где ) = 1,2,...,г +1, фк еГ, к = 1,2,...,т , а именно

Т = {1;sin(2wt);sin(4wt);...;sin((г-1)wt);cos(2wt);cos(4wt);...cos((г- 1)^)} ; (1) Ф = {sin(wt);sin(3wt);...;sin(гwt);cos(wt);cos(3wt);...;cos(гwt)};

Г = О; t2; t3;...;tm},

здесь w = п(т+2)/К, N - длина интервала аппроксимации [0, К].

Скалярное произведение определено следующим образом:

1 т—2+а . ({+4—2а)Т/2 ({+3)Т/2

(f,g)m = т 1+а I ст—2+а( I?(1)е(1)аг+(2—а) |?ажад (2)

2 Т {=0 - - - -----

iT/2 (1+1)Т/2

а =

0,т > 1 : (т — 2 + а)!

где Т = 2л/w, а= 1 т = 1,ст—2+а - биномиальные коэффициенты, с1п—2+а — 2 + а — ^ .

Индекс т в скалярном произведении ?^)т показывает зависимость скалярного произведения от т (степени аппроксимирующего полинома) и был введен для необходимости в дальнейших выкладках.

Требуется приближенно заменить заданный элемент ? е н линейной комбинацией

у+ф+ф= -С0 у0 + С1У1 +... + сг—1^г—1 + Ь1ф1 + ь2ф2.. + Ьг+1фг+1 + а1ф1 + а2ф2 +... + а т Фт,

для которого отклонение ? — (у + ф + ф)|| было бы минимальным. Элемент

у = у + ф + ф = С0. + С1У1 +... + Сг—1Уг—1 + Ь1ф1 + Ь2ф2.. + Ьг+1фг+1 + а1ф1 + а2ф2 +... + а т фт,

дающий решение этой задачи, и будет элементом наилучшего приближения. 2. Предлагаемый метод аппроксимации

Используя теорему [9, с. 361], которая говорит о том, что погрешность ? — у ортогональна подпространствам т , Ф и г , т.е. ? — у!ТиФиГ, получаем:

(? — Ьфj)т = (? —у—ф—ффj)т = (?,фj)т — фj)т — (ф фj)т — (Жфj)m = 0 . (3)

Далее, исходя из того, что элементы Фj е Ф ортонормированы подпространствам т и г , имеем

т—2+а

(Ф], Фк)т = 0 , (4)

^ , % )т = 0 , (5)

0, ] ф 1

1,)—1. (6)

(Ф], Ф1 )т =

Доказательство выражений (5) и (6) очевидно, так как в скалярном произведении (2)

рт

используется суммирование интегралов I ф] (wt)dt = 0 , (р - целое положительное)

т

на интервалах, кратных т . Доказательство выражения (4) т.е. фj ^Г происходит путем

непосредственного решения определенных интегралов и их суммирования с биномиальными коэффициентами в скалярном произведении (1). Далее, исходя из (2), (5) и (6), выражение (3) преобразуется к виду (Г,фj)m - (ффj)m = ,Фj)m -bj(Фj,Фj) т — 0, откуда определяем коэффициенты Ь:

Ь — (Г, Фj)m . (7)

Полученные коэффициенты bj являются коэффициентами Фурье. Следует заметить, что элементы фj не являются ортогональными для элементов фм , где м > п т.е.

^,Фm+1)m ф 0 или, что то же самое, ^,Фm)m-1 ф 0 . Исходя из этого замечания, получаем

отношение Г,фj )m = ,Фj )m-1 - (ф,Фj)m-1 = (Г, Фj )m-1 - ^Фj, фm)m-1, откуда можно определить а m .

Далее определяем обобщенное рекуррентное отношение для коэффициентов -к :

q _

Г, Ф;) m-1-я - Г, Ф ( ) Е (а m- 1+1(фj, фm-1+1)m-1^

- —_ 1—1___

а m-q = ,

(Фj, ^^Хп-^

где я — 0,1,2,...,п-1.

q _

Следует заметить, что в случае Ч — 0 ^ Е(ап-1+1(фj, V-1+1)п-1-я) — 0 .

Для определения коэффициентов С также воспользуемся свойством ортогональности I-у ХТиФиГ, т.е.

-Y,% )п — % )П — (f,)П -)П -(ф)П -(Ф)П — 0 .

Далее, исходя из того, что элементы V; ортонормированы подпространству ф , т.е. _ 0,1 ф 1

(V;, Фj )п — 0 и , Vl )п — 1; — 1 , имеем

_ п

, V; )п - V; )П - (ф V; )П - (ф, V; )П — , V; )П - С1(Vi, V; )П - Е (-1 (Ф1, V;)П) — 0.

1—1

п

Отсюда определяем коэффициенты с; — (Г, vi)п - Е(-1 (Ф1, Vi)п) .

1—1_ _ _

Таким образом, мы определили все коэффициенты -к , Ь и С;, а следовательно, нашли наилучшее приближение у в гильбертовом пространстве со скалярным произведением (2).

Для оценки погрешности приближения воспользуемся той же теоремой [9, с. 361],

_ 2

f-у!ТиФиГ, из которой следует в частности, что ¥,у)т = у , таким образом, имеем

¥ 2 =1 |f||2 - 2¥,У)т +Н2 =||f||2 -||У||2 =||f||2 - (У+ ф + Ф, У + ф + Ф)т =

= |^||2 - - (фф)т - ф)т - (фф)т.

В полученной оценке погрешности можно отдельно оценить вес периодической части (у, у)т + (ф,ф)т и непериодической части (ф, ф)т . Следует заметить, что исходя из зависимости (1), при увеличении степени аппроксимирующего полинома т, мы можем придавать больший вес непериодической части, а именно при т ^ да:

¥

М2 - (Ф, Ф)т .

(8)

Замечание 1. Если аппроксимируемая функция ¥(t) задана таблично (как в случае с экспериментальными данными), то она представляется в виде кусочно-линейной или кусочно-ступенчатой функции.

Замечание 2. Если аппроксимируемая функция ¥(0 содержит в себе аддитивно периодическую и непериодическую составляющую и известен период т первой периодической составляющей, то для того чтобы представить непериодическую составляющую полино-

(т + 2)Т ^

мом степени т , необходимо, чтобы длина интервала [0, N была не меньше ---. Это

замечание вытекает из зависимости (1).

3. Применение метода

i— 2п

Покажем работу метода на примере аппроксимируемой функции ¥ (Г) = >/1 + sm(—Г). Аппроксиммируем функцию ¥(t) на интервале [0,6] с шагом дискретизации м = 0.1. Период т периодической составляющей функции ¥ 0) равен 3 . Исходя из замечания 2, имеем то, что максимальная степень полинома при представлении непериодической составляющей не должна превышать 2 ,т.е. т = 2 . Аппроксимирующая функция по предлагаемому методу, которая представляет собой сумму полинома степени 2 и двух составляющих тригонометрического многочлена, будет выглядеть следующим образом:

Р(Г) = 0.49254 + 0.51396t -0.03323t2 + 0.97886sin( — t)-0.01502cos( — ^

3 3 '

у которой непериодическая часть P(t) = 0.49254 + 0.51396Ь0.03323^ . Графики функций ¥ 00, F(t),P(t) и ¥ (Г) - F(t) представлены на рис. 2.

О.ОЭт

А^-Рф-погрешностъ аппр.

1.5 3 4.5 0

- АЧ)-аппроксимируемал ф—я

....... Рф-аппр оксимирующая ф — я

---* Р(£)-неперио диче скал часть

Рис. 2. Графики функций ¥ (Г), F(t), Р(0 и ¥ (Г) - F(t)

Вес периодической части (у, у)2 + (ф,ф)2 = ^(Г) - Р(Г),F(t) - Р(Г))2 и 0.95839 . Вес непериодической части (ф, ф)2 = (Р(г),Р(1))2 и 5.98041. При этом норма самой функции

Ilfll = (f (t),f (t))2 и 6.95772. Погрешность аппроксимации при

этом

будет

Для того чтобы уменьшить вес периоди-

N и2 и и2 --

If - Y2 и If II2 - (V, V>2 - (Ф, ф)2 - (ф, Ф)2 и 0.01892 . ческой части нужно увеличить степень аппроксимирующего полинома. Аппроксимирующий полином десятой степени:

P(t) = -0.00792 + 5.50232t - 7.50654t2 + 9.39815t3 - 9.65085t4 + 5.6451t5 -- 1.80976t6 + 0.32024t7 -0.02966t8 + 0.00116t9 -3.82516E-6t10. Графики функций f(t),P(t) иf(t)-P(t) представлены на рис. 3.

0.0

0.024-

п"5

1.5 3 4.5 6 ЙЧ)-шпроксимируемая ф - я

-3.2842-10 -0.024 -ОМ---0.073-0.097-0.12-0.15 -0.17 -0.19

ХЛ-.

2 2.4

f(t)-P(t)-norpeniHOCTb аппр.

----Р(£)-непериодиче скал часть

Рис. 3. Графики функций f (0, Б(1), P(t) и f (t) - P(t)

Вес непериодической части (ф, ф)10 = (Р(Ч),Р(1;))10 и 7.36826 . При этом норма самой функции = (f (1),f(1))10 и 7.36821. Погрешность аппроксимации при этом будет _ 2 || ||2 _ _

г -у и Г - (ф, ф)10 и 0.00005 . Из этого следует вывод, что вес периодической части стал значительно меньше, что подтверждает сделанное допущение в оценке погрешности (8).

Следующий пример иллюстрирует применение предлагаемого метода для аппроксимации экспериментальных данных алгебраическим полиномом в сравнении с наилучшим приближением в пространстве L2 (по методу наименьших квадратов).

Пусть у нас имеются экспериментальные данные на интервале [0,5] с шагом дискретизации Д; = 0.1, которые содержат в себе только непериодическую составляющую. Для наглядности предположим, что экспериментальные данные являются отсчетами

г 1 = 0,1,2,...50 функции г(;) = 71. Все расчеты будем выполнять в системе MathCAD с погрешностью числовых расчетов 10е-5.

Аппроксимирующий полином по методу наименьших квадратов (МНК) пятой степени

выглядит так: РМНК(0 = 0.11103 +1.576691 - 0.9758512 + 0.37362Г3 - 0.0688314 + 0.00479Г5 .

Аппроксимирующий полином по предлагаемому методу:

Р0(1) = 0.26162 +1.051431 - 0.425912 + 0.Ш63Г3 - 0.0215714 + 0.0014 И5 . Графики ошибок аппроксимации Г (1) - Б0(1) и Г (1) - БМНК(1) представлены на рис. 4.

Рис. 4. Ошибки аппроксимации Следующий пример иллюстрирует нечувствительность предлагаемого метода к ошибочным выбросам. Предположим, что при сборе данных было сделано три грубых ошибки, т.е. аппроксимируем функцию вида:

¥ (Г) =

л/Т - 3Д = 1 ,

л/Г + 12Д = 2 ,

л/Г - 5, Г = 4 ,

л/Гд е [0;0.9],[1.1;1.9],[2.1;3.9],[4.1;5] .

Аппроксимирующие полиномы пятой степени по предлагаемому методу и по МНК будут выглядеть так:

FD(t) = 0.26162 + 1.05143Г-0.4259Г2 + 0.13163Г3 -0.02157Г4 + 0.00141Г5,

FМНК(t) = 0.11103 + 1.57669Г - 0.97585Г2 + 0.37362Г3 - 0.06883Г4 + 0.00479Г5 . Графики ошибок аппроксимации ¥ (Г) - FD (Г) и ¥ (Г) - FМНК (Г) представлены на рис. 5.

Рис.5. Ошибки аппроксимации Сравнение полученных результатов, представленных на рис. 4 и 5, показывает, что предлагаемый метод аппроксимирует более точно на основном интервале аппроксимации, а также нечувствителен к ошибочным выбросам данных в отличие от наилучшего приближения в L2 . Свойство нечувствительности к ошибочным выбросам является одним из подтверждений [6] того, что найденные наилучшие приближения по предлагаемому методу

находятся в пространстве Lp , где 1 < p < 2 . К недостаткам данного метода при аппроксимации функций или ЭД полиномом степени m в сравнении с приближениями в пространстве Lh , 2 < h , можно отнести то, что нормаЬр менее сильна, чем Lh , т.е. Lp < Lh . Из

этого следует, что приближения в пространстве Lp на всем интервале аппроксимации менее равномерны, т.е. им свойственны более сильные отдельные отклонения, что можно увидеть на рис. 4 в начале интервала аппроксимации.

Заключение

Из изложенного можно сделать выводы, что использование метода аппроксимации суммой тригонометрического многочлена и полинома степени m для решения задач, где есть необходимость в разложении на периодическую и непериодическую составляющие функции или экспериментальных данных, является эффективным так как предлагаемый метод позволяет раздельно представлять непериодическую составляющую в виде полинома степени m и периодическую составляющую в виде тригонометрического многочлена.

Использование метода для решения задач аппроксимации данных полиномом степени m является также эффективным, поскольку обладает рядом важных свойств, а именно, свойствами нечувствительности к ошибочным выбросам и простоты вычислительного алгоритма.

Научная новизна, прежде всего, заключается в том, что предлагаемый метод аппроксимации позволяет раздельно выделять периодическую и непериодическую составляющие из их суммы, а также в том, что для нахождения наилучшего приближения метод использует вычислительный алгоритм за конечное число рекуррентных действий.

Практическая значимость предлагаемого метода состоит в построении более точных математических моделей. В частном случае, построенные наилучшие приближения по предлагаемому методу повышают точность результатов анализа частотных характеристик и результатов определения коэффициентов распределения суммарной мощности компрессорного цеха.

Автор выражает благодарность М.В. Хохрякову за совместное обсуждение, и в особенности А.Г. Неруху за помощь в математическом описании и корректировке данного материала.

Список литературы: 1. ВавиловА.А., СолодовниковА.И. Экспериментальное определение частотных характеристик исследуемых объектов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 252с. 2. Декларацшний патент Укра1ни на винахвд №65174А , М.Кл. G01R 23/16, 2004, Бюл.№3. 3. Декларацшний патент Украши на винахвд № 40241А, М.Кл. F04D27/00, 2001, Бюл.№6. 4. БахваловН.С., ЖидковН.П., КобельковГ.М. Численные методы М.: Наука, 1987. 630 с. 5. СамарскийА.А., ГулинА.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с. 6. Watson G.A. Approximation in normed linear spaces // Journal of Computational and Applied Mathematics, 1 September 2000. P. 1-36. 7.ХеммингР.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 400 с. 8. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с. 9. KincaidD. Numerical analysis. Brooks/Cole Publishing Company. 1991. 690 p.

Поступила в редколлегию 17.06.2006 Доценко Андрей Иванович, научный сотрудник НИПИАСУтрансгаз. Научные интересы: аппроксимация, фильтрация, системы автоматического и автоматизированного управления, обработка речевых, аудио- и видеосигналов и др. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Конева, 16. Личные телефоны (8057) 761-22-40, 8-068-754-24-16, 8-050-597-58-92. Рабочий телефон (8057) 730-57-42. E-mail: [email protected].