Выпуклость и экстремальные задачи теории приближений Текст научной статьи по специальности «Математика»

где d = colon(di,... ,dyv), F, M - матрицы соответствующих размерностей, r(d, ц) - (п + /)-мерная вектор-функция, lim 7 {da^- = 0, а = max{|d|, |/г|}.

<7 —>0

Теорема 1. Если rangF = п + l, то пара (uo(-)i ^о) устойчива по параметру.

Теорема 2. Если rang М = n + I, то пара (ио(-)До) устойчива по управлению.

Теорема 3. Пусть R = [F, М]. Если rangR = п + l, то пара (ио(-)^о) устойчива.

Пусть rang# = 7 < п + /, r(d,/х) = rfc(d,/х) + r*(d,/i), rfc(d,/z) - форма fc-ro порядка от компонент векторов d, /х, lim = 0, <т = maz{|d|, |/х|}. Система уравнений (3) может быть

<т—>0 а

сведена к системе { + + Мг) - 0, ^ rangG = 7, /ijt(2:), 11^(2) - формы

[ Wk[z) + u\[z) = О,

к-го порядка от переменных z1,..., zr* f m, ^ lim /г|* = 0, ^ lim ц|*|^ = 0.

Теорема 4. Если существует единичный вектор е € Ял г+т такой, что Ge = 0 и Wk{e) = 0,

a rang

G

Dwk(e)

= п + I, то пара (uq(-), Aq) устойчива.

ВЫПУКЛОСТЬ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ (с) Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров (Москва)

В докладе будет рассказано о приложениях теории выпуклости к следующим задачам анализа и теории приближений: критерии элементов наилучшего приближения, теория линейных неравенств, неравенства для производных полиномов и гладких функций, оптимальное восстановление функционалов на классах гладких и аналитических функций.

Один из первых результатов теории приближений - теорема Чебышева об альтернансе, дающая критерий наилучшего приближения непрерывной функции на отрезке полиномами не выше данной степени, обобщался в различных направлениях в работах Бернштейна, Колмогорова, М. Крейна, Зуховицкого, Стечкина и др. Во всех случаях изучалась выпуклая задача. Мы формулируем общий результат, охватывающий все предыдущие рассмотрения.

Экстремальные задачи для полиномов впервые возникли в работах Чебышева и братьев Марковых. Это выпуклые задачи, которые допускают достаточно далекое обобщение (на так называемые ЕСТ-пространства и соответствующие им дифференциальные операторы). Эти общие постановки до конца могут быть изучены стандартными средствами теории выпуклости.

Первые точные неравенства для производных гладких функций появились в работах Э. Ландау и Адамара. В дальнейшем эта тематика получила широкое развитие, и один из основополагающих результатов здесь принадлежит Колмогорову. Нахождение точных констант во многих подобных неравенствах сводится к решению выпуклой задачи, которая может быть исчерпывающим образом исследована методами выпуклого анализа.

Общая постановка задачи об оптимальном восстановлении линейных функционалов на классах функций принадлежит С. Смоляку. К настоящему времени решено большое число задач, связанных с нахождением оптимальных методов восстановления для конкретных линейных функционалов на конкретных классах гладких или аналитических функций. С точки зрения выпуклого анализа, оптимальный метод восстановления это, с одной стороны, множитель Лагранжа некоторой выпуклой задачи, естественным образом связанной с исходной постановкой, а с другой - решение задачи, двойственной к этой.

Все перечисленные типы задач решаются единообразным способом: мы записываем формализованную постановку задачи в виде минимума или максимума некоторого функционала при тех или иных ограничениях. Затем, либо применяется принцип Лагранжа (т. е. выписываются необходимые условия экстремума соответствующей функции Лагранжа, приводящие к соотношениям, которым должны удовлетворять решения исходной задачи), либо применяются те или иные соображения двойственности. Далее мы анализируем полученные соотношения, и это либо сразу приводит к решению задачи, либо необходимо еще применить достаточные условия. Последнее связано с тем, что во многих задачах (это касается, в основном, неравенств) принцип Лагранжа применяется как эвристический прием. Но тогда, решив полученные уравнения и/или неравенства, мы должны еще проверить, что на самом деле мы нашли решение поставленной задачи. Эта проверка, в силу фактического совпадения необходимых и достаточных условий экстремума в выпуклых задачах, как правило, весьма проста.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 99-01-01181 и № 96-15-96072).

КОНСТРУКТИВНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ (с) В.П. Максимов, А.Н. Румянцев (Пермь)

Рассматривается функционально-дифференциальная система управления

Сх = Ви -1- / (1)

с линейными ограниченными операторами С: Вг —► Ьп, В: 17г —> Ьп. Здесь Ьп - банахово простран-

ство суммируемых функций г: [0,Т] —» Яп, Вп - банахово пространство абсолютно непрерывных функций х: [0, Т] -» Яп, £/г - банахово пространство управлений и: [0, Т] —¥ Лг. Пусть Ь. Вп Яп и А: иг -» #п - линейные ограниченные вектор-функционалы. Требуется найти управление и € £/г, при котором траектория х системы (1) с начальным условием

ж(0) = а (2)

доставляет заданное значение (3 € Яп целевому вектор-функционалу £:

Их = 0, (3)

и выполнено ограничение на управление

«

А и — 7. (4)

В задачах экономической динамики условие (3) может задавать, например, интегральный дисконтированный выпуск продукции, а условие (4) - интегральные внешние инвестиции в производство.

Условие разрешимости задачи (1)-(4) и конструкции соотвествующих управлений в случае вольтеррова оператора С могут быть эффективно записаны с использованием матрицы Коши С(£, 5) [1, 2]. Запишем критерий разрешимости задачи (1)-(4) в случае (7Г = Ог2 ~ Ьт2 х /?г, где В\ -

477