Условия управляемости нелинейных систем с параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Лебедев В.И. О задачах Е.И. Золотарева в методе переменных направлений // Ж. вычисл. матем. матем. физ. 1977. Т. 17. С. 349-366.

5. Saff 3.B.,Totik V. Logarithmic Potentials With External Fields. Berlin: Springer, 1997. 505 p.

6. Lukashov A.L. On Chebyshev-Markov rational functions over several intervals // J. Approx. Theory. V. 95. P. 333-352.

УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПАРАМЕТРОМ © Л.Л. Львова (Рязань)

Рассматривается система дифференциальных уравнений вида

х = А(1;)х + В(£)и + /(£,ж, и, А), (1)

где х € Яп,и е Лг - управление, А € 11т - параметр, £ € [£0^1]» Ж0> ^(0 ~ непрерывные матрицы

соответствующих размерностей. /(£, х, и, А) - непрерывная п-мерная вектор-функция.

Система (1) задается вместе с условиями

$1

х^о) = х0,х(Ь1) = хи I Ф(£,а:(£),и(£), \)<И = .7°, (2)

1о

где Ф(£, ж, и, А) - /-мерная непрерывная вектор-функция, J0 - I- мерный вектор. Буквой II обозначим множество г-мерных кусочно-непрерывных функций и(-). Пусть и0(-) Е и, А0 € лт, Хо(-, щ(-), А0) - решение системы (1), удовлетворяющее условию (2). Будем говорить, что пара (^о(-))^о) согласована с задачей (1), (2).

Определение. Пару (ио(-)До) назовем устойчивой, если для любого $1 > 0 существуют и(-) € € II, || м(£) — «о(0 11^ ^1 и X е К™, |А — Ао| ^ <5ь при которых пара (и(-),\) согласована с

задачей (1), (2), причем и(<)^ мо(0 па отрезке [^о, ^ 1 ] или А ф Ао-

Выясняются условия устойчивости пары {ио(-),Хо). Заменой переменных у = х — Хо(Ь,ио(-), Ао), V = и — ио(£), 11 = А — Ао система (1) сводится к системе

у = Ах {Ь)у + Вх («)г + С{Ь)ц + д(г, у, V, /г),

где Иш = 0, t е [<о>^1], Р = ттгаа:{|г/1, |V|, |МI}- Равенства (2) преобразуются в равенства

р—>о р

уЫ = уМ = О, /[£>!(0г/(0 + А^МО + £>з(0м + ^(^у(0»^(0.А*)]^ = °’ Гда Цт = о,

Ьо Р

£ € [^о? ^1 ]- При любом фиксированном /г € Ят управление и(-) 6 и будем отыскивать в виде N

г’(0 = 5^(0dj, где (5-?(-)} “ система линейно независимых на отрезке [£0^1] функций, dj - г-

.7 = 1

мерные векторы, подлежащие определению, N - натуральное число. Задача сводится к исследованию системы п + I уравнений

-I- Л^Г/х -I- г(с?, /х) = 0, (3)

где d = colon(d\,... ,du), F, M матрицы соответствующих размерностей, r(d, /i) - (п + I)-мерная вектор-функция, lim ' = 0, а = max{|d|, |/i|}.

СТ—►О

Теорема 1. Если rang F = п + I, то пара (wo(*)> ^о) устойчива по параметру.

Теорема 2. Если rangМ = п + I, то пара {uo(-),\q) устойчива по управлению.

Теорема 3. Пусть R = [F, М]. Если rangR = п + l, то пара (uq{-), Ао) устойчива.

Пусть rang R = 7 < п + I, r(d, ц) = rk(d,p) + r*(d,Li), rk(d,fi) - форма к-го порядка от компонент векторов d, //, lirn = 0, а = max{\d\, |/х|}. Система уравнений (3) может быть

сведена к системе | - о' ГДе 2 = co^on(^fJ’)^ гапё^ = 7> hk(z), u'k(z) - формы

к-го порядка от переменных z1,..., zrN+Tn, lim = 0, lim uj*[^ = 0.

|г|—>0 |Z| |гН0 |Z|

Теорема 4. Если существует единичный вектор е € RNr+m такой, что Ge = 0 и wk(e) = 0,

a rang

G

Dwk{e)

= п + I, то пара (uq(-), А0) устойчива.

ВЫПУКЛОСТЬ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ © Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров (Москва)

В докладе будет рассказано о приложениях теории выпуклости к следующим задачам анализа и теории приближений: критерии элементов наилучшего приближения, теория линейных неравенств, неравенства для производных полиномов и гладких функций, оптимальное восстановление функционалов на классах гладких и аналитических функций.

Один из первых результатов теории приближений теорема Чебышева об альтернансе, дающая критерий наилучшего приближения непрерывной функции на отрезке полиномами не выше данной степени, обобщался в различных направлениях в работах Бернштейна, Колмогорова, М. Крейна, Зуховицкого, Стечкина и др. Во всех случаях изучалась выпуклая задача. Мы формулируем общий результат, охватывающий все предыдущие рассмотрения.

Экстремальные задачи для полиномов впервые возникли в работах Чебышева и братьев Марковых. Это выпуклые задачи, которые допускают достаточно далекое обобщение (на так называемые ЕСТ-пространства и соответствующие им дифференциальные операторы). Эти общие постановки до конца могут быть изучены стандартными средствами теории выпуклости.

Первые точные неравенства для производных гладких функций появились в работах Э. Ландау и Адамара. В дальнейшем эта тематика получила широкое развитие, и один из основополагающих результатов здесь принадлежит Колмогорову. Нахождение точных констант во многих подобных неравенствах сводится к решению выпуклой задачи, которая может быть исчерпывающим образом исследована методами выпуклого анализа.

Общая постановка задачи об оптимальном восстановлении линейных функционалов на классах функций принадлежит С. Смоляку. К настоящему времени решено большое число задач, связанных с нахождением оптимальных методов восстановления для конкретных линейных функционалов на конкретных классах гладких или аналитических функций. С точки зрения выпуклого анализа, оптимальный метод восстановления - это, с одной стороны, множитель Лагранжа некоторой выпуклой задачи, естественным образом связанной с исходной постановкой, а с другой - решение задачи, двойственной к этой.