CC BY
8
drj dt
W0(t) Л (t, К07)'
(14)
однозначно определяется начальными данными и решение »7 = 0 устойчиво,
тогда решение х = 0 уравнения (10) также устойчиво.
Доказательство. Преобразованием х = (р{\, у) уравнение (10) приводимо к уравнению
-1
dZ dt
ду
R(t, v>(t, у)).
(15)
Из оценки (13) следует неравенство
д<р(t, у)
¿У
-1
-
J
R(t, p(t, у))
W0(t)A(t, KqI lyi I).
0
Тогда из устойчивости решения г} = уравнения (14) и теоремы [4, с. 66] вытекает устойчивость решения у = 0 уравнения (15). Но так как преобразование х = (р(Х, у) — ляпуновское, то
решение х = 0 уравнения (10) устойчиво. Теорема 4 доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воскресенский Е. В. Ляпуновские группы преобразований // Изв. вузов. Математика. 1994.
№ 7. С. 13 — 19.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с. - '
-3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости 'движения / ОНТИ. Л.; М., 1935.
336 с.
4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.
СТАБИЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ И АППРОКСИМАЦИЯ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
I
М. С. НАЗВАНОВ, аспирант,
В. Н.. ЩЕННИКОВ, доктор физико-математических наук
** 9
\
Изучается линейная управляемая система с постоянно действующими возмущениями. Показывается невозможность решения задачи стабилизации множества М = {х: х = 0} отно-4 сительно указанной системы. с помощью непрерывного управления в случае, когда размерности векторов управления и постоянно действующих возмущений не совпадают.
Рассмотрим систему
х = Ах + Ви + р, (1)
где х — п-мердый вектор, характеризующий состояние* системы; и — ш-мерный вектор, характеризующий действие управляющих сил; р — п-мерный вектор постоянно действующих возмущений; А, В — п х п- и п х ш-мерные постояннъш матрицы соответственно.
Известно [4], что если ш = п, матрица В невырожденная и возмущения
p(t) достаточно малы, то существует управление и(х) такое, что всякое решение системы (1) при u = и(х), начинающееся в достаточно малой окрестности начала координат, входит в
него за конечное время. Управление
^ *
и(х), в частности, делает систему. (1) асимптотически устойчивой при постоянно действующих возмущениях (вернее, множество М = {х: х = 0} относительно системы (1)).
Покажем, что при наложенных ограничениях на размерность векторов в системе (1) в случае m <*п при постоянно действующих возмущениях с помощью управления и(х) асимптотической устойчивости, вообще говоря, добиться нельзя.
Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи:
i = f(t, х), (2)
с кусочно-непрерывной функцией f
в области G; t > t0 > 0; х Е Rn;
dx
х = —. Область G состоит из конечен
ного числа областей Gj (i = 1, ... , k), в каждой из которых функция f непрерывна вплоть до границы, и множества М (меры нуль), состоящего из точек границ этих областей.
л
Большинство известных определений решения системы (2) может быть изложено следующим образом. Для каждой точки (t, х) области G указывают множество F(t, х) в п-мерном пространстве. Если в точке (t, х) функция f непрерывна, то множество f(t, х) состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же (t, х) — точка разрыва , функции f, то множество F(t, х) задается тем или иным способом.
Решением уравнения (2) называется решение дифференциального включения
х Е F(t, х), (3)
т. е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I = {t: ti < t < t2 }, для которой почти всюду на I
x(t) Е F(t, x(t>).
Существенный интерес представляют те способы доопределения F(t, х) в точках разрыва функции f, при которых полученное дифференциальное включение (3) пригоднр для приближенного описания процессов в реальных системах.
Простейшее выпуклое доопределение. Пусть для каждой точки (t, х) Е G F(t, х) — наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции fit, х*), когда (t, х*) £ М; х*-> х; t = const. Тогда решением уравнения (2) называется решение дифференциального включения (3) с только что построенным F(t, х). Заметим, что при t Е I множество F(t, х) определено для всех (t, х) Е G.
В. точках непрерывности функции f множество F(t, х) состоит из одной точки f (t, х) и решение удойлетворяет уравнению (2) в обычном смысле. Если же точка (t, х) ЕМ лежит на границах
сечений двух или нескольких областей Gi, GK плоскостью t = const, то множество F(t, х) есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами
fi(t,x) = lim f(t,x*).
(t, x*) e Gf, x* x
Все точки fj(t, х) (i - 1, к) содержатся в F(t, х), но не все они могут являться вершинами.
Исследуем свойства многозначных функций, получаемых с помощью этих приемов.
Пусть со Н — наименьшее выпуклое множество, содержащее множество Н (множество Н называется выпуклым, если для любых двух точек а и b все точки отрезка, соединяющего а и Ь, принадлежат этому множеству). Функцию F(p) будем называть ^-непрерывной (или лолунепрерывной сверху относительно включения) в точке р, если ß (F(p'), F(p)) -> 0 при р' р, где ß/А, В) = süp ß (а, В).
абА
Известно [3], что полученная при
простейшем выпуклом доопределении
• * _ 9
многозначная функция F(t, х) Д-не-
прерывна по х. Однако можно показать, что и в этом случае функцию F(t, х) в дифференциальном включении (3) можно заменить функцией, ^-непрерывной по t и х, если для каждой из областей Gx непрерывности функции f(t, х) выполнено следующее условие: для области Gj при почти всех t сечение границы области плоскостью t = const совпадает с границей сечения области той же плоскостью, т. е. (öGi)t = d(Git) почти при всех t.
Определение [3]. Вектор-функция y(t), называется ¿-решением (приближенным решением с точностью до д) включения (3) с^-непрерывной по t,
х функцией F, если на рассматриваемом интервале функция у (t) абсолютно непрерывна и почти всюду
y(t) Е Fa(t, y(t)), (4)
где F<j(t, у) ее [со F(t^, у6)? Здесь
F(t , у ) означает объединение множеств F^yO для всех ХХВ Х6 у] Еуа,
т. е. I ti - tl < <5, lyi -yl < <5.
И, наконец, отметим, что для дифференциального включения имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость [3].
Решение х = ^>(t)(to ^ t < оо) дифференциального включения хЕ F(t, х)
называется устойчивым (слабо устойчивым) , если для любого е > 0 существует такое д > 0, что для каждого такого xq, при котором I xq - y>(to) I <(5, все решения (некоторые решения) x(t) с начальным условием x(to) = xq при
to ^ t < оо существуют и удовлетво^ ряют неравенству
I x(t) - <p(t) I <е (t0 < t < оо). (5)
Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием x(t) - <р(\)■-> 0 при t 00.
Рассмотрим теперь систему с управлением и:
*
X = f(t, X, и), и = u(t) е U(t, х). (6)
Решением этой системы будем называть пару функций: абсолютно непрерывную функцию x(t) и измеримую функцию u(t), которые почти всюду на рассматриваемом интервале удовлетворяют системе (6).
Чтобы рассмотреть множество всех решений системы (6), можно заменить ее дифференциальным включением (3), где
F(t, х) = f(t,,х, U(t, x)).
%
Тогда устойчивость решения х = <р (t) включения (3) означает, что при I х (to) — у (to) I < S решение x(t) уравнения х = f(t, х, u(t)) удовлетворяет неравенству (5) при всевозможных допустимых управлениях u(t), а слабая устойчивость — при некотором допустимом управлении u(t). Таким образом, слабая асимптотическая устойчивость решения х = <р (t) означает, что
система стабилизируется к этому решению при достаточно малых начальных отклонениях. \
Теорема [3 ]. Пусть в замкнутой области D (to ^ t < оо, ixl < 6q ): 1) функция F(t, х) удовлетворяет основным условиям, т. е.%при всех (t, x)EG mho-
#
жество F(t, х) — непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое и функция F является /3-непрерывной по t, х;
2) О Е F(t, 0); 3) существуют функции
V(t, х) Е С1, Vo(x) Е С, для которых
V(t, 0)=0,V(t,x) ^ V0(x)>0(0<lxl <e0)-
Ф
Тогда если V* < 0 в D, то решение x (t) = 0 дифференциального включения (3) устойчиво.
В нашей задаче при постоянно действующих возмущениях условие 2 теоремы, как мы видим, не выполняется. Следовательно, для рассматриваемого случая устойчивости добиться нельзя. П.^Бруновски подробно показал это в [4].
Теперь изменим ограничения на размерность векторов и изучим более
подробно задачу стабилизации системы
é
(1) в случае, когда возмущения p(f) действуют только в некотором т-мер-ном подпрострднстве Ет n-мерного евклидова пространства Еп и управление действует в том же подпространстве.
При наложенных условиях систему (1) можно записать в виде:
х = Ах + В (и .+ г), (7)
' -Ч:
где х, А, В — такие же, как ив (1); г = r(t) — достаточно малые постоянно действующие возмущения, r(t)EP где Р — выпуклый компакт в , Em; и = - и(х) — функция управления, т. е. измеримая ограниченная функция х.
Пусть 11x11 — евклидова норма в En, V(x, ô) = {х': I lx' -xi I < ¿},
conv X — выпуклое замыкание X.
Абсолютно непрерывную функцию x(t) назовем решением системы (7) на интервале (ti^), если существует
такая измеримая функция r(t), что r(t) Е Р для t Е (tu t2) и
х Е А х + В( П П ' convu(V(x(t), (5 )
S > О mes N = О
-1 N) + r(t)) для почти всех t Е (ti t2). Обозначим U(x) = П * П
ô > 0 mes N = О
é
conv u(V(x(t), à ) - N). U(x) является полунепрерывной сверху в смысле включения (/З-непрерывной) функцией х, а множества U(x) выпуклы; x(t) —
решение уравнения (7) тогда и только
«
I
тогда, когда оно является решением уравнения в контингенциях:
х
А х + B(U(x) + Р).
(Ю
Пусть и (х) — некоторое допустимое управление. Систему (7) назовем асимптотически устойчивой, если для произвольного е > О существует такое ¿>0, что для всякого решения x(t)EG при t = to выполняются условия
I lx(t) II < е при t > t0 и lim x(t) = 0.
t -» 00
Нам потребуются следующие известные утверждения:
1,. Теорема [1]. Пусть система (8) управляема, т. е. из векторов bi,
bm, Abi, •••> Abm, ..., An~*bi, ..., An bm
можно выбрать n линейно независимых. Пусть Р — выпуклый компакт
в
Ет и ту > тах Ir^Ki = 1, ..., m).
г G р
Тогда существует такое кусочно-постоянное управление и(х), компоненты которого и! (х) принимают только значения г\ - тх соответственно, что система (8) асимптотически устойчива.
2. Частный случай теоремы Банаха.
Теорема [2]. Для того чтобы для данного числа М > 0, данной последовательности действительных чисел сп и элементов хп(0 Е Ь^Еа, .Ь] существовал линейный функционал Р. удовлетворяющий условиям
F(xn)=cn (п=1, 2, ...);l IFI I
М,(*)
L2 [ау Ь]
необходимо и доста!очно, чтобы для каждой конечной последовательности действительных чисел Ь^, ..., Ьг выполнялось неравенство
2hiCil <М hiXi ll^. <**) i=l i=l
пространства Еп и пусть существует такой функционал Р, для которого Р(хп) = гпС1> и выполняется неравенство (**). Тогда существует уже непрерывное управление и(х), которое делает систему (1) асимптотически устойчивой. Компоненты 1ц(х) принимают значения Р(хП1) - Р(хп) соответственно с учетом условия (*).
Доказательству теоремы предпошлем известную лемму.
Лемма [2]. Пусть <р (х) — непрерывная возрастающая на [а, Ь] функция, (р (а) - 0, <р (Ь) > 0. Тогда для любого а > 0 существует сетка таких точек а.= хо < XI < ... < хп = Ь, что
ßk г (Xk+l
*к)а W (xic+i) 1 /Ь - а4 a
<Р (Xk) 1
n
\
n
. <р(Ъ).
Доказательство. Нам
= r(t)
известно,
что возмущения г = га; ограничены некоторой константой М > 0. Решим задачу приближенного представления функции. На. отрезке [а, Ь] задана функция сложной природы (с точки зрения вычисления ее значений). Требуется заменить эту функцию -в некотором смысле близкой функцией, значения которой легко вычисляются. В зависимости от приближаемой функции в соответствии с утверждением приведенной выше леммы сетка, для выбора узлов эрмитова сплайна существует.
Тогда можно аппроксимировать функции интерполяционными сплайнами с узлами интерполяции, которые образуют равномерную прямоугольную сетку. Этот метод подробно описан в [2].
Теперь, решая задачу приближен-
Терерь можно сформулировать еле- ного представления функции относи-
дующую теорему.
Теорема. Пусть возмущения r(t) действуют в некотором m-мерном подпространстве Ет n-мерного евклидова
тельно неизвестных возмущений, используя утверждения 1 и 2, непосредственно получаем доказательство теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
/
1. Бруновски П. О стабилизации линейных систем при определенном классе постоянно действующих возмущений // Диф. уравнения.
1966. Т. 2, № 6. С. 769 — 777:
2. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.
3. Филиппов А. Ф. Дифференциальные under a given class of perturbations 11 Czechoslovak уравнения с разрывной правой частью. М.: На- mathematikal Journal. 1965. , Vol. 15, № 3. ука, 1985. 224 с. Р. 329 — 369.
4. Brunovsky P. On the best stabilizing control
У-УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В. И. НИКОНОВ, аспирант
Рассмотрим линейную стационарную систему
х = А^х, (1)
где x€Rn, А* С R- п, х - (у, z), у ё Rm, г Е Rpv m+p=n. Пусть система (1) представйма в виде
у = Ay + Bz,
9
z = Су + Dz, (2)
где AC Rmxra, В С RmXp, С'С RpXm, D С RpXp. Требуется исследовать устойчивость движения х - 0 системы (1), (2) iio переменной у = <у1(, Ущ)> т. е. у-устбйчивость.
В ра0оте [ 1 ] данная задача решается с помощью метода, основанного на построении ^-системы, которая и
позволяет сделать вывод об у-устойчи-вости движения х = 0. В данной работе предлагается использовать другой подход для . решения задачи у-устойчиво-сти, основанный на декомпозиции си-стемы (1).
Рассмотрим каждую из подсистем системы (2).
Подсистема L у = Ay + Bz.
Из теории управления известно [2 ] (под переменной z в данной системе будем подразумевать вектор управления), что размерность подпространства управляемости зависит от ранга матрицы Kî (Ki = (В, АВ, Ат_1В}). В этом случае переменная z rie является вектрром управления, но также оказывает воздействие на переменную
У ш <Уь -м Ут>- Поэтому матрица К у будет характеризовать не подпространство управляемости, а подпространство . воздействия переменной г на переменную у. Если rang Kj = m, тогда переменная z будет воздействовать на
л
все координаты ут. Если же
rang Ki < т, то некоторые координаты ИЗ У1, ут можно „освободить" от воздействйя переменной z. Таким образом, из данной системы можно выделить независимую подсистему, причем ее размерность будет равна: ri = m-rang В некоторых случаях,
исходя из устойчивости данной подсистемы, можно уже сказать об у-устойчивости движения х = 0 системы (1). Так, например, если положение равновесия полученной подсистемы неустойчиво, то рсно, что движение х = 0 системы (1) не будет у-устой-чивым. Если же оно является устойчивым, то в этом случае исследование устойчирости необходимо продолжить.
Подсистема 2. z = Dz + Су.
Аналогично, предыдущим рассуждениям рассмотрим матрицу К2 (К2 ■ » {С, DC, Dp_1C}). Даяная матрица будет характеризовать подпространство воздействия переменной у на переменную z. Если rang К2 = р, то переменная у будет воздействовать на все координаты z\f zp. Если же rang К2 < р, то из даннЬй системы можно выделить отдельную подсистему, размерность которой будет
r2 = Р ~ гап6 ¿2. Данная подсистема также полезна при исследований у-устойчивости движения х = 0 системы (1).
Таким образом, рассмотрев обе подсистемы (2), на основании ранга мат? риц Ki и К2 можно сказать, сводится ли исследование у-устойчивости движения х = 0 системы (1) к исследованию устойчивости системы меньшего порядка.
