Об экстремальной нумерации z_n^2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

122

УДК 512.7

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №7(57)

ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ НУМЕРАЦИИ 1?п

© 2007 А.В.Мартынов1

Найдено точное изопериметрическое неравенство для графа специального вида.

Обозначения

\A\ — мощность множества A; \a\ — абсолютная величина числа a е R; [a] — целая часть a е R; A2 = A X A — прямое произведение множества A на себя; Ad = Ad-1 X A; Z — множество целых чисел; Zn = Z/nZ; K — множество тех подмножеств K, мощность которых равна i.

1. Экстремальная нумерация Z2

Пусть D = {0,1,...,nd — 1}, o : Z^ ^ D — биекция. Два элемента а = = (ai,..., ad), b = (bi,..., bd) е Z^ будем называть соседними, если ai — bi е е{—1,0,1}, i = 1,2,...,d, что обозначаем как а - b. Определим

R(o, п) = max \о(а) — о(Ь)\

a~b

и

Rn = min R(o, n).

о

Здесь и далее в обозначениях символ d не указываем, поскольку в основной части работы d фиксировано, d = 2.

Пусть k е {0,1,..., nd — 2}, G(o, k) = {x е D, x $ {0,..., k} : 3a - b, x = o(a), o(b) е е {0,...,k}}, S(o,k) = \G(o,k)\ > 0.

Тогда 3l е G(o, k), такое, что l ^ k+S(o, k), и 3k ^ k такое, что k' = o(a), l = o(b), a - b. Получим

l — k ^ S(o, k).

1 Мартынов Алексей Владимирович ([email protected]), кафедра математиче-

ского анализа Владимирского государственного педагогического университета, 600024, Россия, г. Владимир, пр-т Строителей, 11.

Следовательно, R(a,n) ^ S(a,k). Обозначим P(k) = minS(a,k). Тогда име-

о

ют место неравенства:

R(a, n) ^ max S(a, k),

k

R(a, n) ^ maxP(k),

k

Rn ^ maxP(k).

k

1.1. Изопериметрическая задача

Изопериметрические задачи — важные задачи в математике и ее приложениях (см. [1,2]). Библиографию вопроса можно найти в [3,4]. В последнее время изопериметрические неравенства активно исследуются в комбинаторике, в задачах передачи информации, теории кодирования.

Пусть G = (K, E, \|/) — граф, где K — множество вершин, E — множество ребер, у : E ^ — инъективное отображение, определяющее какие вершины соединены данным ребром. Изопериметрическая задача для заданного v е Z, 0 ^ v ^ |K| состоит в нахождении минимума \dV| по всем V с K, |V| = v, где

dV = {k е K \ V : 3e е E, y(e) = {k, l}, l е V}

— граница множества V.

1.1.1. Изопериметрическая задача в Z2

Сформулируем изопериметрическую задачу в Z2. Зададим на множестве Z2 множество клеток следующим образом:

K = {k = {(ki, k2), (ki, k2 + 1), (ki + 1, k2), (ki + 1, k2 + 1)} : (ki, k2) е Z2}.

Клетку k обозначаем как одну из ее вершин — (ki, k2), это не должно приводить к недоразумениям.

Клетки a = (ai, 02), b = (bi, b2) е K будем называть соседними, если (ai,a2) ~ (bi,b2) в Z2, и будем обозначать так же: a ~ b. Определим границу множества V:

dV = {а е K \ V : 3b е V, a - b}.

Изопериметрическая задача в Z2 состоит в нахождении

P(v) = min |dV |.

VcK,|V|=v

Теорема 1. Для любого натурального v справедливо: P(v) ^ 2 V2v -1+2. Доказательство. Определим на K преобразования, которые не увеличивают мощность границы V.

1. Разобьем V на вертикальные полосы (далее, для простоты, слово "вертикальные" будем опускать и говорить — полосы) Li,...,Ln, li = L|.

Li = {aj(ai,a2) е V : Vj е Z a1 = const}.

Пронумеруем клетки в каждой полосе следующим образом: самая нижняя клетка в полосе будет иметь номер 1, следующая — 2 и так далее до и.

Tc — преобразование, действующее на Li таким образом, чтобы клетки

'и

располагались на одной горизонтальной

полосы, номер которых равен

2

прямой.

Тс : (Я1, a2) ^

al, a2 - Ш1П a2 +

О

шах I -1

2

где (а1,02) е Li.

Покажем, что Тс не увеличивает \дУ\ (пока будем считать, что полосы сплошные, далее этот факт будет доказан). Пусть, наоборот, Ll,...,Ln располагаются так, что на одной прямой находятся их крайние нижние клетки. В этом случае (как видно из рисунка) \дУ\ = dl + \li+1 - ^\ + 1 + ^2, где dl, d2 — константы.

Подействуем на клетки У преобразованием Тс

В этом случае \д(ТсУ)\ = dl + \1+1 -li\ + d2, \дУ\-\д(ТсУ)\ = 1. Таким образом, Тс не увеличивает дУ.

2. Определим понятие связности. Не соседние клетки а и Ь являются соседями второго порядка, если существует клетка к, которая является соседней для клетки а и для клетки Ь. Клетки а и Ь являются соседями 3-го порядка, если существует клетка к, которая является соседом 2-го порядка для клетки а и соседом для клетки Ь. Клетки а и Ь являются соседями к-го порядка, если существует клетка к, которая является соседом к - 1-го порядка для клетки а и соседом для клетки Ь. Множество Ж с К связно, если Уа, Ь е Ж Зк такое, что клетки а и Ь являются соседями к-го порядка.

Пусть Уь У2 с У, Уа е У^Ь е У2, а - Ь.

Тх — преобразование, делающее У связным:

Тц : (а1,02) ^ (а1 + Ш1, а2 + Ш2),

где (а\, а2) е У\, Ш\, Ш2 — координаты вектора т, который выбирается так, чтобы существовали соседние клетки а е ТУ1 и Ь е У2, ТУ1 П У2 = 0. Покажем, что Тх не увеличивает |дУ|. Пусть дУ\ П = 0.

У1 У2

До преобразования |дУ| = |д У11 + |д У21.

У1 У2

После преобразования ^(ТУ| = |дУ1| + |дУ2|-2шт(/ь12), где 11 = ^^ 12 = ¿1 с У1, ¿2 с У2. |дУ| > ^(ТцУ)|. Таким образом, Тх не увеличивает дУ.

Определим функцию ф(Т,М) = |дM| - дТМ)^ где М с У, Т — преобразование, действующее на У.

Пусть дУ1 П дУ2 Ф 0. В этом случае возможны варианты конфигурации У, когда ф(Тх, М) принимает как положительные, так и отрицательные значения:

фТ, М) = 1 V! V,

ф(П, М) = -2

I

1-2

=>

I

VI

VI

У2

У2

==>

¥2

Выберем т в преобразовании Тх так, чтобы 2умсУ фТ,М) ^ 0. Таким образом, Тх не увеличивает дУ.

3. Будем считать, что на множество У уже подействовали преобразованием Тц, т.е. У — связно.

Покажем, что "внутри" множества У, имеющего экстремальную конфигурацию, не будет клеток не принадлежащих этому множеству. Для этого покажем, что множество У = 12 \ У будет связным.

Предположим, что это не так, т.е. существует непустое множество А с К, Уа е А ^Ь е (V \ А), а ~ Ь. Добавим к У все клетки, принадлежащие множеству А, У' = У + А. Таким образом, |У'| > |У|, а |дУ| ^ |дУ'|. Удалим из множества У' |А| клеток, следующим образом: будем удалять по одной клетке из крайней левой полосы, выбирая нижнюю клетку. При этом возможны следующие варианты расположения клеток в крайней левой

полосе (клетки в этой полосе помечены крестом): 1) 2) 3) 4) 5)

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

И

Во всех этих случаях удаление нижней клетки из крайней левой полосы не ведет к увеличению \дУ'\. Следовательно, можно получить множество мощности \У\, мощность границы которого меньше, чем у исходного множества У. Что противоречит тому, что У экстремально. Следовательно, множество У должно быть связным.

4. Покажем, что вертикальные полосы в экстремальной конфигурации У будут располагаться монотонно относительно свой мощности.

Предположим, что это не так, т.е. в У есть две полосы и Ьк2, между которыми располагаются полосы меньшей мощности:

—

1 1

При этом можно считать, что полосы между и Ьк2 располагаются монотонно, если это не так, то достаточно в качестве Ьк1 выбрать такую полосу, чтобы все внутренние полосы между Ьк1 и Ьк2 располагались монотонно. Поэтому \дУ\ = dl +2к=-1 тах(2, \/г- - ¡¡+1 \) + й?2 , где dl, d2 — константы.

Добавим к этим внутренним полосам меньшей мощности к клеток, где

к2-1

к = ^ (тш(Ьк \, \Ьк2 \) -Ь\) 1=к1 +1

и получим множество У'

—

1 1

Так как все внутренние полосы стали мощности ¡к1, то \дУ'\ = dl + + ^ тах(2, - ¡+1 \) + d2 = dl + 2(к2 - к1) + dъ \дУ\ - \дУ'\ = Е^"1 тах(2, Ц- -- ¡-+1 \) - 2(к2 - к1) ^ 0.

Как уже было показано выше, можно удалять из У' клетки (из крайней левой полосы), не увеличивая \дУ'\. Если \дУ\ - \дУ'\ > 0, то удалив к

клеток, можно получить множество мощности |V|, мощность границы которого меньше, чем у исходного множества V. Что противоречит тому, что V имеет экстремальную конфигурацию. Если \дV\-\дV'\ = 0, то экстремальная конфигурация V не единственна, и можно указать другую экстремальную конфигурацию, в которой вертикальные полосы будут располагаться монотонно относительно свой мощности. Следовательно, вертикальные полосы в экстремальной конфигурации V будут располагаться монотонно относительно свой мощности.

5. Покажем, что в экстремальной конфигурации V вертикальная полоса Lm, |Lm| = lm = maxi^^ не может располагаться с краю, т.е. m ф 1 и m ф п (кроме некоторых случаев при малых v, например, при v = 7).

Пусть т = п: —

Добавим к V клетки, справа от Lm так, чтобы |dV| не увеличилась:

Удалим из крайней левой полосы добавленное количество клеток, получим множество, мощность границы которого не больше, чем у исходного множества V. Значит экстремальная конфигурация V не единственна, и можно указать другую экстремальную конфигурацию, в которой полоса максимальной мощности не располагается с краю.

6. Будем искать |dV| как сумму границ Li (с учетом их перекрытия). |dL11 = 2l1 + 2, |dL2| = 2l2 + 2, |d(L1 UL2)| = l1 + |l2 -111 +12 + 2. Но так как может оказаться, что |l1 -= 1 или l1 = l2, то |d(L1 UL2)| = l1 + max(2, |l2 -111) +12 + 2. Аналогично получаем:

n

|д V| = l1 + ^ max(2, |li - li-11) + ln + 2.

i=2

Найдем

P(v) = min |дV| = min (l1 + £n=2 max(2, l - li-11) + ln + 2) ^ ^ min(l1) + min ^n=2 max(2, |li - li-1|)) + min(ln) + 2 = = 1 + 2(n - 1) + 1 + 2 = 2n + 2.

7. Выясним, что это за конфигурация У, когда тах2^г-^п(2, Ц - ¡г-1 \) = 2.

Очевидно, что \1г- - ¡г-_1 \ ^ 2, при этом V = 2п=1 ¡1. Наибольшей граница У

будет при большем V, следовательно, можно считать, что - ¡--1 \ = 2. V в этом случае будет выглядеть подобным образом:

8. Найдем V = 2п=1 ¡¡. Для простоты будем считать, что крайние нижние клетки Ь, лежат на одной прямой, V от этого не изменится. Найдем уравнения прямых, на которых лежат крайние верхние клетки Ь,. Очевидно, это у = 2х-1 и у = -2х + 2п+ 1. Найдем их точку пересечения х = у = п. Отсюда

1 + пп + 1 (п + 1)2

¡1 + • • • + ¡х =

22

4

¡х+1

+ ••• + ¡п =

1 + п- 2/ п + 1 \п---—

п2 + 1

(п - 1)2

¡1 + + ¡п =

Сравним Р(у) и 2у2у- \ + 2. Для этого найдем разность между ними:

Р(у) - 2 У2у- 1 - 2^2п + 2-2 л 2—--1-2^0.

п2 + 1

Следовательно, Уу ^ 2 л/2у - 1 + 2. Теорема 2.

2к2 + 2к < \У\ ^ 2к2 + 2к + 1 2к2 + 2к + 1 < \У\ ^ 2к2 + 3к + 1 2к2 + 3к + 1 < \У\ ^ 2к2 + 4к + 2 2к2 + 4к + 2 < \ У\ ^ 2к2 + 5к + 3 2к2 + 5к + 3 < \У\ ^ 2к2 + 6к + 5

Р(V) = 4к + 4, Р(V) = 4к + 5, Р^) = 4к + 6, Р^) = 4к + 7, Р^) = 4к + 8,

где к = 0,1,2,....

Доказательство. При доказательстве теоремы 1 было показано, что для конфигураций с разностью между количеством клеток в соседних полосах равной 2 \У\ = \дУ\ = 2п + 2. Конфигурация У в этом случае будет

выглядеть подобным образом:

2

Так как |У| должно быть целым числом, то п — нечетное число, п = = 2к + 1, к = 0,1,2,.... Откуда |У| = 2к2 + 2к + 1 и |дУ| = 4к + 4.

Пусть по = 2к + 1, |Уо| = 2к2 + 2к + 1, |дУо| = 4к + 4. Рассмотрим конфигурацию У при п4 = 2(к + 1) + 1, |У4| = 2к2 + 6к + 5, |дУ4| = 4к + 8. Мощность границы У при переходе от по к п4 увеличивается на |дУ4 - |дУо | = 4, при этом |У41 - |Уо| = 4к + 4 = |дУо|. Следовательно, переход от Уо к У4 можно осуществить, добавляя к У о клетки из дУо.

Опишем этот процесс добавления клеток. При добавлении клеток каждый раз должна получаться экстремальная конфигурация У, следовательно клетки надо добавлять так, чтобы |дУ| либо не менялась, либо менялась на наименьшую возможную величину.

При добавлении клетки к У при |У| = | Уо | возможно только два различных варианта расположения (добавляемая клетка помечена крестом):

В первом случае |дУо | увеличивается на 2, во втором — на 1. Следовательно, выбираем второй вариант. Далее, для добавления клетки к У возможно только три различных варианта расположения:

м

и

1

X

Выбираем третий вариант, так как |дУ| при этом не меняется. Очевидно, что на следующем шаге мы опять будем иметь три таких же варианта добавления клетки. Подсчитаем количество подобных шагов. Очевидно, третий вариант добавления клетки возможен до тех пор, пока не заполнена диагональ И:

Найдем |т|. Очевидно, что

т =

п 2к+ 1

.2. 2

= к.

Следовательно, при увеличении |У| на к, |дУ| увеличивается на 1, т.е. при 2к2 + 2к + 1 < |У| ^ 2к2 + 3к + 1 |дУ| = 4к + 5.

Далее можно добавить к У еще к клеток аналогичным образом, при

этом |дУ| = 4к + 6. На следующем шаге получаем четвертый вариант добавления клетки, не увеличивающий |дУ|:

У

Следовательно, при увеличении |У| на к +1, |дУ| увеличивается на 1, т.е. при 2к2 + 3к + 1 < |У| ^ 2к2 + 4к + 2 |дУ| = 4к + 6.

Аналогичным образом можно добавить еще два раза по к + 1 клетке, т.е. при 2к2 + 4к + 2 < |У| ^ 2к2 + 5к + 3 |дУ| = 4к + 7, и при 2к2 + 5к + + 3 < | V| ^ 2к2 + 6к + 4 |дУ| = 4к + 8. На следующем шаге опять получаем четвертый вариант добавления клетки, не увеличивающий |дУ|:

IX 1

Следовательно, при 2к2 + 5к + 3 < | V| ^ 2к2 + 6к + 5 |дУ| = 4к + 8. Доказательство теоремы 2 закончено.

1.1.2. Изопериметрическая задача в 1}п

Зададим на множестве 1}п множество клеток следующим образом:

К = {к = {(к1, к2), (к1, к2 + 1), (к1 + 1, к2), (к1 + 1, к2 + 1)} : (кх, к2) е }.

Клетку к обозначаем как одну из ее вершин — (к, к2). Теорема 3. Кп ^ 2п - 1.

Доказательство. Определим вид экстремальных конфигураций на торе. Когда V достаточно мало, то экстремальная конфигурация на торе будет совпадать с экстремальной конфигурацией на плоскости при таком же значении V. При росте V может произойти склейка конфигурации по одной размерности тора, что может дать экстремальную конфигурацию. При дальнейшем росте V может произойти склейка конфигурации по второй размерности тора, что также может дать экстремальную конфигурацию.

Таким образом, конфигурации У на торе, которые могут быть экстремальными, можно разделить на три вида: гомеоморфные кругу, кольцу и кресту (двум пересекающимся кольцам).

Рассмотрим эти варианты конфигурации. В первом случае, когда конфигурация гомеоморфна кругу, можно "разрезать" тор по линиям вне конфигурации У, получить часть плоскости 12 и применить теорему 1, из которой следует, что = \дУ\ ^ 2у2у—1 + 2.

Во втором случае, когда конфигурация гомеоморфна кольцу, то количество клеток п ^ \У\ ^ п2 - п, так как при \У\ < п получаем круг, а при \У\ > п2 - п получаем крест. Очевидно, что ^ = \дУ\ = 2п при \У\ < п2 - п и ^ = п при \У\ = п2 - п.

Найдем \дУ\ для третьего случая, когда конфигурация гомеоморфна кресту. Разрежем тор по двум линиям между клетками так, чтобы крест можно было расположить на части плоскости 12. Очевидно, что эта часть плоскости, содержащая крест, будет квадрат со стороной п. Замостим

плоскость

такими квадратами.

Рассмотрим множество клеток О (клетки в этой области помечены крестом, см. рис.). Удалим из этого множества клетки, которые не принадлежат дУ. Обозначим мощность получившегося множества ¿4. Очевидно, что <3к = \дУ\. По теореме 1 ¿4 ^ 2 л/2 (и2 - V - ¿4) -1+2, откуда получаем, что ^2(п2 - V) - 1 - 2.

Рассмотрим конфигурацию У при \У\ = п2 - п. В этом случае возможно только два варианта расположения клеток: крест и кольцо. Сравним <4 и (¡1 в данном случае. ¿4 = 2 л/2(п2 — п2 + п) — 1 - 2 = 2 У2п - 1 - 2, ф = и, ф - <4 = п - 2 у2п- \ + 2^0 при любом значении п. Следовательно, при \У\ ^ п2 - п экстремальная конфигурация V будет гомеоморфна кресту и \дУ\ ^ 2 ^2(п2 - V) - 1 - 2.

Рассмотрим конфигурацию У при \У\ < п2 - п. Найдем V = \У\, при которой ёк ^ ё/.

2 л/2(и2 - V) - 1 -2^2п, п2 - 2п - 2 ^ 2у,

V ^--п - 1.

2

(1.1)

2

2

п2

Сравним при \У\ ^ ——п - 1 а?/ и с13.

п2 5

Рассмотрим случай, когда п — нечетное число. Пусть \У\ = ——2п + —, ГИ2 5

йц ^ 2-у2(—— 2п + —) - 1 + 2 = 2п - 2, ф = 2п, с13 < а?/. Следовательно,

экстремальная конфигурация У — круг.

п2 5 п2 + 1

Пусть —— 2п + — < \У\ ^ —-—. Как уже было показано выше (1.1),

п2 + 1 п2

при | У\ = —-— > —— п - 1 экстремальная конфигурация V — крест,

I п2 + 1 2^- — >-1-2 = 2-2.

Опишем процесс перехода от \У\ = у-2я + | к \У\ = Очевидно, что

этот процесс аналогичен процессу, описанному при доказательстве теоремы 2, за исключением случая добавления клетки по следующему варианту:

1—1

X

—

В этом случае |дУ| не изменится. С учетом этого факта получаем, что

п2 5 п2 + 1

при переходе от \У\ = — -2п + — к \У\ = —-—, \дУ\ постоянна и равна 2я-1.

2 2 2 п2

Рассмотрим случай, когда п — четное число. Пусть \У\ = —— п - 1,

так как при такой |У| конфигурация гомеоморфная кругу приближается к кресту,

п2

то надо из йц дополнительно вычесть 2. Получим ^ 2-у2(——п - 1) - 1 +

п22

+ 2 - 2 = 2п — 2, ф = 2п. Следовательно, < при \У\ ^ —— п - 1. Найдем V = |У|, при которой ёк < 2п - 1.

2 л/2(п2 - V) - 1 - 2 < 2и - 1, 4и2 - 4и - 5 < 8У,

2

V >

п5

2 2 8

При = —— п — 1, = 2п — 2. Рассмотрим процесс перехода от

2

2 2 п п п

\У\ = ——п - 1 к = —— — + 2. Очевидно, что этот процесс аналогичен процессу перехода, описанному выше и дает прирост \дУ| только на 1.

X X

X

X

X

2 2 и2 и2 И

Следовательно, при —— и — 1 ^ ^ —— — + 2 |<9К| =2п - 1.

Окончательно получаем, ^ тах \дУ\ = 2и - 1. Доказательство теоре-

Уу

мы 3 закончено.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №07-01-00118.

Литература

[1] Bollobas, B. Combinatorics: set systems, hypergraphs, families of vectors and combinatorial probability / B. Bollobas. - Cambridge University Press, 1986.

[2] Harper, L.H. On an isoperimetric problem for Hamming graphs / L.H. Harper // Discrete Applied Mathematics. - 1999. - 95. - P. 285-309.

[3] Slivnik, T. The exact isoperimetric inequality for ternary and quarternary cubes / T. Slivnik // Discrete Mathematics. - 2002. - 244. - P. 455-460.

[4] Carlson, T.A. The edge-isoperimetric problem for discrete tori / T.A. Carlson // Discrete Mathematics. - 2002. - 254. - P. 33-49.

Поступила в редакцию 17/IX/2007; в окончательном варианте — 17/IX/2007.

EXTREMAL NUMBERING 1?п

© 2007 A.V. Martynovf

The exact isoperimetric inequality for special graph is obtained.

Paper received 17/IX/2007. Paper accepted 17/IX/2007.

2Martynov Alexey Vladimirovich ([email protected]), Dept. of Mathematical Analysis, Vladimir State Pedagogical University, Vladimir, 600024, Russia.