CC BY
31
Алехина М.А., Рожкова Д.А. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМАХ В БАЗИСЕ {х & у, х V у, х} ПРИ ИНВЕРСНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВХОДАХ И ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ
Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ, номер проекта 09-06-28615а/В.
Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных схем, реализующих булевы функции, при инверсных неисправностях на входах и выходах элементов в базисе {х&у,хVу,х} . Доказано, что почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, которые функционируют с ненадежностью асимптотически равной 5 г при г^0, где г - вероятность инверсной неисправности на входе или выходе базисного элемента.
Вспомогательные утверждения
Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных элементов в базисе {х & у, х V у, х} . Будем считать, что схема из ненадежных функциональных элементов реализует функцию
f(xlr х2, хп) , если при поступлении на входы схемы набора а = (а1г а2, ал) при отсутствии
неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение Да) . Предполагается, что входы и выходы элементов схемы независимо друг от друга и от входов и выходов других элементов с вероятностью ее(0; 1/2) подвержены инверсным неисправностям.
Инверсные неисправности на входах элементов характеризуются тем, что поступающее на вход элемента значение а, ае {0, 1}, с вероятностью г может превратиться в значение а . Инверсные неис-
правности на выходах характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию ф, а в неисправном - функцию ф .
вероятность появления т на выходе схемы S, реализующей булеву функцию
/(*) , при входном наборе а . Ненадежность схемы Б определяется как максимум Р-тт^^^а) по
/(¿)ч
входным наборам а схемы S: P(S) = шахР-тр^^^а) .
Пусть PE(f) = infP(S) , где инфимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим функцию f(xi, Х2, xn). Схема А из ненадежных элементов, реализующая функцию f, называется
асимптотически оптимальной по надежности, если P(A)~ Pf при s ^ 0,
г^0 Р( А)
Для каждого входного набора вычислим вероятности появления ошибок на выходе схемы, состоящей из одного элемента, подверженного инверсным неисправностям на входах и выходах.
Пусть схема состоит толь ко из одного элемента и этот элемент - конъюнктор. Вероятности появления ошибок на выходе схемы равны:
Р (Я& ,(00)) = г + г2 - 2г3,
Р(5&,(01)) = Р(5&,(10)) = 2г -3г2 + 2г3,
Р0(5&,(11)) = 3г- 5г2 + 2г3 .
Пусть схема Sv состоит только из одного элемента и этот элемент - дизъюнктор. Вероятности появления ошибок на выходе схемы Sv равны:
Р(^ ,(00)) = 3г - 5г2 + 2г3,
P0 (S,,, (01)) - P0 (Sv, (10)) - 2s - 3s2 + 2s3, P (Sv ,(11)) -s + s2 - 2s3 .
РИС.1
Пусть схема состоит только из одного элемента и этот элемент - инвертор. Вероятности появления ошибок на выходе схемы равны:
р(^,0) = 2г- 2г2 , Р (^ ,1) = 2г - 2г2 .
Пусть Б - произвольная схема, реализующая булеву функцию /, отличную от константы. Пусть выходному элементу Е схемы Б приписана функция е, причем первый вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы Бх, второй вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы Б2, и схемы Бх
и Б2 не имеют общих элементов. Обозначим Руг^(Б^а) - вероятность ошибки на входном наборе а схемы £• , реализующей функцию Л, * = 1,2. Докажем леммы 1.1 - 1.3.
Лемма 1.1. Если элемент Е - конъюнктор, т. е. ему приписана функция е = & , тогда вероятности ошибок на выходе схемы 5 (рис. 1) равны:
Р1{Б,а) = 5 + 52 -2еъ +(_Р1(5'1,а) + _Р1(5'2,а))е(1-2е)2 +Р1(5'1,а)_Р1(5'2,а)(1-2е)3, если набор а является нулевым для функций /5 и , т. е. £(р) = 0, / = 1,2 ;
Р1{Б,а) = 2е-3е2 + 2е3 +Р(5'1,йг)(1 -е)(1 -2е)2 -Р0(82,а)Б(1-2Б)2 --Р1{81,а)Р0{82,аХ1~25)3,
если набор а такой, что /^(а) = 0, /2{с1) — \ ;
Р1{Б,а) = 2е-3е2 +2е3 -_Р0(5,1,а)е(1-2е)2 +Р(5'2,аХ1-еХ1-2е)2 -
если набор а такой, что ^(<3) = 1, /2(а) = 0 ;
Р0(Б,а) = 3е- Ье1 + 2е3 + (Р0(^,а) +Р0(£2,а))(1 - ¿г)(1 -2*г)2 -Р0(^,а)Р0(^2,а)(1 -2^)3, если набор а является единичным
для функций /5 и /2 , т. е. (а) = 1, /’ = 1,2 .
Доказательство. Вычислим вероятности ошибок схемы по формуле полной вероятности, учитывая ранее подсчитанные вероятности ошибок на выходе одного элемента.
Пусть набор а является нулевым для функций ^ и /2, т. е. /¡(а) = О, У = 1,2 . Тогда вероятность ошибки на выходе схемы 5 равна:
Р^а) = (1 -Р^аЩ^^О)) + ((1 -Р^аЩ^а) +
+^(5,, й)(1-Р1(52,й)))Р1(5&,(01)) + Р1(51, Й)(1-Р0(5&, (11)) =
= г+£2 -2е3+(Р1(81,а) + Р1(82,а))е(1-2е)2 +Р1(51,а)Р1(52,а)(1-2£)3.
Пусть входной набор а такой, что /¡(<3) = 0, У^(а) = 1 . Тогда вероятность ошибки на выходе схемы Б
равна:
р^а)=а-р^мРо^/ор^ьЛооъ+^-р^ма-Ро^м+ Щ(81,а)Р0(82МР1(8&Л01)) + Р1^1М1-Ро($2Ш1-Ро($&ЛП)) =
= 2е-Ъе2 +2£3+Р1(51,а)(1-£)(1-2£)2-Р0(82,а)е(\-2sf -Р1(81,а)Р0(82,аХ1-2е)ъ.
Пусть входной набор а такой, что /^(а) = 1, /2(а) = 0 . Тогда вероятность ошибки на выходе схемы Б
равна:
Р1(5,й)=Р0(51,й)(1-Р1(52,й))Р1(5&,(00)) + (Р0(51,а)Р1(52,а) +
+(1-^(5,,й))(1-Р1(52,а)))Р1(5&,(01)) + (1-Р0(51,а))Р1(52,а)(1-Р0(5&,(11)) =
= 2е-Ъе2 + 2еъ-Р0(81,а)е(1-2е)2 +Р1(52,а)(1 -г)(1 -2е)2-Р0(81,а)Р1(82,аХ1-2е)ъ.
Пусть входной набор а является единичным для функций /, и /2, т. е. /¡(а) = 1, / = 1,2 . Тогда ве-
роятность ошибки на выходе схемы 5 равна:
Р0(5,й) = Р0(51,а)Р0(52,й)(1-Р1(5&,(00))) + ((1-Р0(51,а))Р0(52,а) +
+Р0(51,й)(1-Р0(52,й)))(1-Р1(5&,(01))) + (1-Р0(51,а))(1-Р0(52,й))Р0(5&,(11)) =
= Зг-5гГ +2£3+(Р0(51,а) + Р0(52,а))(1-£)(1-2£)2 -Р0(51,а)Р0(52,й)(1-2г)3.
Лемма 1.1 доказана.
Лемма 1.2. Если элемент Е - дизъюнктор, т.е. ему приписана функция е= V (дизъюнкция), тогда
вероятности ошибок на выходе схемы 5 (рис. 1) равны:
Р1(5,й) = Зе-5е2+2е3+(Р1(51,й)+Р1(52,й))(1-е)(1-2е)2-Р1(51,5)^(5,,й))(1-2е)3, если набор а является нулевым
для функций /5 и /2 , т. е. £(р) = 0, / = 1,2 ;
-Р0(5',йг) = 2е-3е2 +2е3 -ро^я^а-ге)2 +_Р0(5,2,йг)(1 -е)(1-2е)2 --рс^ягРоО^ад-зе)3,
X
рис.2
если набор а такой, что /^(а) = 0, /2(Д) = 1 ;
-Р0(5',йг) = 2е-3е2 + 2еъ +_Р0(5'1,а)(1-е)(1-2е)2 --Р1(82,а)е0.-2е)2 -Р^аЩ^^а'ХХ-ге?, если набор а такой, что ^¡(а) = 1, /2(0) = 0 ;
Р0(Б,а) = е + е1 - 2еъ + (Р^Б^ + Р^ ,а))е(1 - 2е)2 + +Р0(Б1,а)Р0(Б2Ж 1-2е)3, '
если набор а является единичным для функций /¡и /2 ,
/,(5) = 1,/=1,2
Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.
Лемма 1.3. Если элемент E - инвертор, то вероятности ошибок на выходе схемы S (рис. 2) равны:
Р0 (5, а) = 2є- Is2 + Pl (5j, 5)(1 - Is)2 , если набор а является нулевым для функции f , т. е. f(ct) = 0;
ijGS’jfl) = 2є -2є2 +P0{Sbä){ \-2є)2 , если набор а такой, что /*(<5) = ! .
Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.
2. Верхние оценки ненадежности схем в базисе {х & y, х V y, х}
Для синтеза схем с интересующими нас свойствами будем использовать 2 операции над схемами.
Операция ф по произвольной схеме S, реализующей булеву функцию f, строит схему №) следующим
образом (рис. 3). Операция / по произвольной схеме S, реализующей булеву функцию f, строит схему /(S) следующим образом (рис. 4). Очевидно, в результате применения (возможно, неоднократного) операций ф или / к схеме S, реализующей булеву функцию f, получаются схемы, реализующие ту же функцию f. Кроме того, применение этих операций к схемам S (при некоторых условиях на P(S)) приводит к схемам, имеющим более высокую надежность, чем исходная схема S.
Теорема 2.1. Пусть f - произвольная булева функция; S - схема, реализующая f с ненадежностью
P(S) . Тогда схема /(S) реализует функцию f с ненадежностью
P(/(S)) < max{5e + 2(s + P(S))2,s + 4(2s + P(S))2} .
Доказательство. Применяя формулу полной вероятности, оценим вероятность ошибочного появления единицы и нуля на выходе схемы ф(S) (рис. 3):
Пусть набор ä такой, что f(ct) =0, тогда по лемме 1.1 вероятность появления 1 на выходе схемы
ф{Б) равна: P(</>(S\ä') = e + e1-2ei+2Pl(.S,ä')e(\-2e')2 + 5)(1 - 2s)3
(1)
^((#(5), а) < є + (e + Pl(S,a)T
Следовательно,
рис.4
Пусть набор ß такой, что Kß) = і, тогда по лемме 1.1 вероятность появления 0 на выходе схемы
ф(S)
равна:
2
3
2 п 2,
PQ((j>(S),ß) = ie-5e^ +2Є-1 +2PQ(S,ßl\-el\-2ef -Р^ (S,ßl\-2e)
Л
Следовательно,
Р0(^),/?)<Зе + 2Р0(5,/?). (2)
Теперь, используя неравенства (1), (2) и лемму 1.2, определим вероятности ошибок на выходе
схемы
Р1(у/(^),й) = Зе-5е2 + 2е3+2Р1(^),й)(1-е)(1-2е)2-Р12(^(^),й)(1-2е)3<Зе + 2Р1(^(^),й)<
< Зе + 2(є + (е + Р^, а))2 ) = 5е + 2(е + Р^, й))2 Р0(у/(^),й) = е + е2-2е3+2Р0(^(^),й)е(1-2е)2+Р02(^(^),й)(1-2е)3 <е + (е + Р0(^і(^),й))2<
<е + (е + Зе + 2Р0(^й))2=е + 4(2е + Р0(^й))2.
удовлетворяет неравенству:
Тогда ненадежность схемы
Р(у/(5)) < тах{5г+ 2(е+Р1(5,а))2,£+4(2е+Р0(5,а))2} <
< шах{5є + 2(є + Р(£ ))2, є + 4(2є + Р(£ ))2}.
Теорема 2.1 доказана.
Используя результат теоремы 2.1, докажем следующую теорему.
Теорема 2.2. При є Є (0,1/650] в базисе {х & у, х V у, х} любую булеву функцию _/ (^,..., х^) можно реализовать схемой Б с ненадежностью Р(5) < 6є .
Доказательство проведем индукцией по п.
1. Докажем утверждение для п=1, т.е. для всех возможных булевых функций, зависящих от одной переменной: 0, 1, х и х . Эти функции можно реализовать схемами, изображенными на рис. 5:
рис.5
Очевидно, что для п=1 теорема верна.
2. Пусть индуктивное предположение верно для функций, с числом переменных п—1. Докажем, что верно для функций /(Хр...,хп) . Разложим функцию
/ (Хр.., Хп )
по последней переменной:
/ (х,..., х !, хп) = хп/(х,..., х 2,1) V хп/(х,..., х 2,0) и реализуем следующей схемой Б2 (рис. 6).
рис.7
где схема 51 реализует функцию /1 = / (Х1,..., Хп-1,1) с ненадежностью Р (5х)<6г, а схема 5о реализует функцию /0 = Л (x1,..., Хп-1,0) с ненадежностью Р(5о)^6г (по индуктивному предположению это возможно).
В схеме Б2 выделим подсхему А, состоящую из 4 элементов (рис. 6), выход которой является выходом схемы Б, а на входы подаются значения переменной Хп , / = /(х,...,Х ^1) и /0 = /(x1,...,Хп-1,0) •
Ненадежность выделенной подсхемы А с учетом всех возможных неисправностей удовлетворяет неравенству Р(А) < 11б . Если схема А исправна, то для реализации £ она использует значение одной из схем Бх или Бо, реализующих / или / соответственно. Поэтому Р(Б2) < Р(А) + 6б< 17б .
По схеме Б2 построим схему Бз= ¥(Б2) , реализующую ту же функцию У (Х1,..., Хп ) (рис. 7). Используя теорему 2.1, оценим ненадежность схемы Бз:
Р(Б3) < тах{5Б + 2(б + Р(Б2))2,б + 4(2б + Р(Б2))2} <
< тах{5Б + 2(18б)2,б + 4(19б)2} = тах{5Б + 648б2,б + 1444б2} < 5б + 648б2.
При бе (0,1/650] верно неравенство Р(Б3) <6б . Теорема 2.2 доказана.
Теорема 2.3. При БЕ (0,1/650] любую булеву функцию можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) < 5б + 75б2 .
Доказательство. По теореме 2.2 любую булеву функцию можно реализовать схемой С с ненадежностью Р(С) < 6б . По схеме С построим схему ¥(С) (рис. 4) и оценим ее ненадежность.
РО(С)) < тах{5Б + 2(б + Р(С))2,б + 4(2б + Р(С))2} <
< тах{5Б + 98б2,б + 256б2} < 5б + 98б2 < 5,15 1б.
По схеме НС) построим схему г2 (С) (рис. 4) и оценим ее ненадежность.
Р(^2 (С)) < тах {5б + 2(б + Р(¥(С))2, б + 4(2б + Р(¥(С))2} <
< тах{5Б + 76б2,б + 205б2} < 5б + 76б2 < 5,1 17б.
По схеме ¥\С) построим схему ¥\С) (рис. 4) и оценим ее ненадежность.
Р(чу3 (С)) < тах {5б + 2(б + Р(^2 (С))2, б + 4(2б + Р(^2 (С))2} <
< тах{5Б + 75б2 , б + 203б2} < 5б + 75б2 .
Схема ¥\С) =Б - искомая.
Теорема 2.3 доказана.
Нижние оценки ненадежности схем в базисе {х & у, Х V у, х}
Теорема 3.1 [1]. Пусть £ - произвольная булева функция, отличная от константы, Б - любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема С схемы Б содержит выход схемы Б и реализует булеву функцию £
с ненадежностью Р(С) < 1/2 . Обозначим через ^...,р^ всевозможные различные вероятности ошибок на
выходе схемы С при нулевых входных наборах Ь , т. е. g{b) = 0 . Аналогично, пусть - всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы С при единичных входных наборах Ъ , т. е.
#(¿0 = 1 . Полагаем р1 = т^р^.^р1к} , р0 = тп^.^Р0т} .
Вероятности ошибок на выходе схемы Б удовлетворяют неравенствам Рх{Б,а)>р1 , если /(«) = 0;
Р0(Б,а) > р° , если /(.5) = 1 .
Следствие 3.1 [1]. Из теоремы 1.1 следует, что Р(Б) > р ,1 = 0,1 .
Схема Б, реализующая булеву функцию £, отличную от константы, является Ь-схемой, если из нее
нельзя получить более надежную схему удалением подсхемы, реализующей тождественную функцию.
Схема Б, реализующая булеву функцию £, отличную от константы, является с-схемой, если из нее
нельзя получить более надежную схему удалением подсхемы, реализующей отрицание.
Замечание 3.1. Асимптотически оптимальная по надежности схема, является Ь, с-схемой.
Теорема. 3.2 [1]. Пусть схема Б, реализующая булеву функцию £, отличную от константы, является Ь-схемой. Если в Б можно выделить подсхему В, имеющую один вход, содержащую выход схемы Б и реализующую тождественную функцию с вероятностями ошибок Ро и Рх, такими, что 0 < р0 + р! < 1 , то верно
)< Р(Б) . 0 + р ]
р°
неравенство: тт4--------
[р° + р р0 -
Теорема. 3.3 [2]. Пусть схема Б, реализующая булеву функцию £, отличную от константы, является с-схемой. Если в Б можно выделить подсхему В, имеющую один вход, содержащую выход схемы Б и реализующую отрицание с вероятностями ошибок ро и рх, такими, что 0< р0 +р^ < 1 , то верно неравенство:
р° , р1 )< Р(Б) .
ро + р р° + р ]
Обозначим К(п) - множество булевых функций £, зависящих от переменных Хх, Х2,..., Хп , не представимых в виде 0, 1 , ( хг° ¿k,g(x) )ь (1=1,2,..., п, а ,£>(= {0,1}), д( х ) - произвольная булева
2п-1 2 п-1
функция. В работе [3] получена оценка |Р, \К(п) |< 4п•2 , поэтому | К(п)|> 22 - 4п • 22 . Ясно, что
2п
отношение | К(и)|/22 ^ 1 при п ^<х, т.е. класс К(п) содержит почти все булевы функции.
Теорема 3.4. Пусть Б Е (0, 1 /20] , функция /С*)е К(п), и пусть Б - любая схема, реализующая функ-
цию
/ . Тогда Р(Б) > 5б-16б2 + 24б3 - 20б4 + 8б5
Доказательство (от противного). Пусть функция f(x) Є K(n). Обозначим
m(s) = 5s -16s2 + 24s3 - 20s4 + 8s5 . Допустим, что существует схема S, реализующая функцию f с ненадежностью P(S) < m(s) . Без ограничения общности будем считать, что схема S является b,с-схемой. Выделим в схеме S элемент Еі, содержащий выход схемы S. Поскольку fe K(n), входы элемента Е± (или
один вход, если Ех - инвертор) соединены с выходами некоторых элементов Е2 и Ез.
рис. 8
рис. 9
рис.10
1. Рассмотрим случай, когда элементы Е2 и Ез совпадают (рис 8).
В этом случае в схеме Б можно выделить подсхему, состоящую из одного элемента Ех. Подсхема Ех имеет один вход, содержит выход схемы Б и реализует тождественную функцию, если Ех - конъюнРабота выполнена при финансовой поддержке РГНФ, номер проекта 09-об-28615а/В.ктор или дизъюнктор, или же отрицание, если Ех - инвертор. Поскольку схема Б является Ь,с-схемой, применимы теоремы 3.2 и
3.3, из которых следует неравенство: min <
Ро
Pi
[ Ро + Pi Ро + Pi
< P(S) < m(s) .
1.1. Пусть Е1
m(s) > P(S) > min
конъюнктор, тогда p0 = 3s — 5s2 + 2s3 , Pj =s + s2 — 2s3 f3s — 5s2 + 2s3 s+s2 — 2s3 "I s+s2 — 2s3 s+s2(1 — 2s)
Po + Pi = 4s — 4s . Тогда
4s— 4s2
4s— 4s2
4s— 4s2
4s— 4s2
4б - 4б2 4’
что при БЕ (0,1 /20] неверно. Значит, рассматриваемая схема не является подсхемой Ь, с-схемы Б. !.2. Пусть Ех - дизъюнктор, тогда р1 = Зб - 5б2 + 2б3 , р° =Б + Б2 - 2б3 , р° + р1 = 4б - 4б2 . Тогда
s
. 1 3е -5е2 + 2е3 е+е2 - 2е3 "I е+е2 - 2е3 е+е2(1 - 2е) т(е) > P(S) > min-------;-----r-,—-----------— "> = —------------— = >
1
■ >-
4e - 4e2 4'
что при ее (0,1/20] неверно. Значит, рассматриваемая схема не является подсхемой b, с-схемы S. 1.3. Пусть Ei - инвертор, тогда р0 = 2е - 2е2 , р1 = 2е - 2е2 , р0 + р1 = 4е - 4е2 . Тогда
2е - 2е2 1
т(е) > P(S) >------т-= —, что при ее (0,1/20] неверно. Значит, рассматриваемая схема не является
4е - 4е2 2
подсхемой b, с-схемы S.
2. Рассмотрим случаи, когда элементы Е2 и Ез различны (рис 9, 10) . На этих рисунках выходной
элемент Ei не является инвертором, а элементам E2 и Ез может быть приписана любая из базисных функций, и если это инверсия, то считаем, что на правый вход элемента поступает фиктивная переменная.
2.1. Пусть выход элемента Е2 (Ез) не соединен со входом элемента Е3 (Е2) (рис. 9).
2.1.1. Пусть элементу Е1 приписана функция &. Тогда независимо от функций, приписанных элемен-
2 3
там Е2 и Ез, вероятность единицы на выходе элемента Е2 не меньше е + е -е , вероятность единицы на
2 3
выходе элемента Ез не меньше е + е - е . Для подсхемы, состоящей из элементов Е1, Е2 и Ез, по лемме
1.1 имеем р0 > 5е - 16е2 + 24е3 - 20е4 + 8е5 = т(е) . И по следствию 1.1 получаем, P(S) > т(е) , что неверно .
2.1.2. Пусть элементу Е1 приписана функция V. Тогда независимо от функций, приписанных элемен-
2 3
там Е2 и Ез, вероятность нуля на выходе элемента Е2 не меньше е + е - е , вероятность нуля на выхо-
2 3
де элемента Ез не меньше е + е - е . Для подсхемы, состоящей из элементов Е1, Е2 и Ез, по лемме 1.2
имеем р1 > 5е - 16е2 + 24е3 - 20е4 + 8е5 = т(е) . И по следствию 1.1 получаем, P(S) >т(е) , что неверно.
2.2. Пусть выход одного из элементов (например, для определенности выход Е2) соединен со входом другого элемента (Ез) (рис. 10).
2.2.1. Пусть элементам Е1 и Ез приписана &. Тогда независимо от того, какая функция приписана
элементу Е2 верно неравенство р0 > 6е - 25е2 + 53е3 - 62е4 + 36е5 - 8е6 . И по следствию 1.1 получаем, P(S) > 6е - 25е2 + 53е3 - 62е4 + 36е5 - 8е6 , что неверно.
2.2.2. Пусть элементам Е1 и Ез приписана V. Тогда независимо от того, какая функция приписана элементу Е2 верно неравенство р1 > 6е- 25е2 + 53е3 -62е4 + 36е5 -8е6 . И по следствию 1.1 получаем, P(S) > 6е - 25е2 + 53е3 - 62е4 + 36е5 - 8е6 , что неверно.
2.2.3. Пусть элементу Е1 приписана &, а элементу Ез приписана V. Тогда независимо от того, какая функция приписана элементу Е2 верно неравенство
р0 > 5е - 14е2 + 9е3 - 4е4 + 20е5 + 12е6 - 104е7 + 112е8 - 32е9 . И по следствию 1.1 получаем,
P(S) > 5е-14е2 + 9е3 - 4е4 + 20е5 + 12е6 - 104е7 + 112е8 - 32е9 , что неверно.
2.2.4. Пусть элементу Е1 приписана V, а элементу Ез приписана &. Тогда независимо от того, какая функция приписана элементу Е2 верно неравенство
р1 > 5е - 14е2 + 9е3 - 4е4 + 20е5 + 12е6 - 104е7 + 112е8 - 32е9 . И по следствию 1.1 получаем,
P(S) > 5е-14е2 + 9е3 - 4е4 + 20е5 + 12е6 - 104е7 + 112е8 - 32е9 , что неверно.
2.2.5. Если элементу Ез (рис. 10) приписана инверсия, схема S реализует константу 0 или 1, а такие функции не принадлежат рассматриваемому классу K(и) .
Таким образом, не существует схемы S, реализующей функцию f(х)ЕК(п) с ненадежностью P(S) < т(е) . Теорема 3.4 доказана.
Из теоремы 3.4 следует, что функции из класса K (и) в рассматриваемом базисе нельзя реализовать схемами, ненадежность которых асимптотически меньше 5г при г^0 Поэтому любая схема, удовлетворяющая условиям теоремы 2.3 и реализующая булеву функцию f(x)E.K(n), функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 5г при г^0, и является асимптотически оптимальной по надежности.
Таким образом, почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными схемами S, ненадежность которых P(S)~5£ при г^0. По надежности эти схемы являются асимптотически оптимальными для функций f (х) G К(п) .
ЛИТЕРАТУРА
1. Алехина М.А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов (монография). - Пенза: Информационно - издательский центр ПГУ, 2006.- 156 с.
2. Чугунова В.В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем при инверсных неисправностях на входах элементов // Дисс. ... канд. физико-математических наук. - Пенза, 2007.
3. Васин А.В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {х & y, х V y, х} при инверсных неисправностях на выходах элементов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - № 4. - 2008. - С. 3 - 17.
