CC BY
26
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 2
Физико-математические пауки
2009
УДК 519.718
О НАДЕЖНОСТИ СХЕМ В ПОЛНЫХ БАЗИСАХ, СОДЕРЖАЩИХ
ФУНКЦИЮ ГОЛОСОВАНИЯ ПРИ ИНВЕРСНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ
В. В. Чугупова
Аннотация
Рассмотрена реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов, подверженных инверсным неисправностям па входах с вероятностью ошибки е, 0 < е < 1/2, на каждом входе функционального элемента. Показано, что если к каждому из неприводимых полных базисов, содержащих функции, зависящие не более чем от двух переменных, добавить функцию голосования, то во всех полученных базисах оценка ненадежности асимптотически оптимальных по надежности схем равна 3е2 (при е ^ 0) для всех булевых функций /(хх, х2,... , хп), за исключением констант 0, 1 и функций хг, Хг, где г = 1,... ,п.
Ключевые слова: булевы функции, асимптотически оптимальные по надежности схемы.
Введение
Пусть Р2 _ множество всех булевых функций. Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в базисах, содержащих функции, зависящие не более чем от двух переменных. Будем считать, что схема из функциональных элементов реализует булеву функцию / (ж!,ж2,... , жп) = = /(ж), если при поступлении на входы схемы набора а = (а^ а2,..., ап) при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение / (а). Число входов функциональных элементов равно числу существенных переменных функций, приписанных этим элементам, то есть каждый функциональный элемент имеет не более двух входов. Предполагается, что каждый вход элемента схемы независимо от всех других входов элементов с вероятностью е, 0 < е < 1/2, подвержен инверсным неисправностям. Эти неисправности характеризуются тем. что поступающее па вход элемента значение а, а € {0,1}, с вероятностью е может превратиться а
абсолютно надежными при инверсных неисправностях на входах элементов.
Пусть Рда) ($, а) — вероятность появления значения /(а) та выходе схемы реализующей булеву функцию /(а) при входном наборе а. Ненадежность Р(5) схемы 5 определяется как максимальное из чисел Рда)(£, а) при всевозможных входных наборах а. Надежность схемы 5 равна 1 — Р(5).
Обозначим Ре(/) = МР(5), где 5 - схема из ненадежных элементов, реализующая булеву функцию /.Схему А из ненадежных элементов, реализующую /
ности, если Р(А) ~ Ре(/) при е ^ 0.
Обозначим множество попарно неконгруэнтных булевых функций, зависящих (возможно, фиктивно) от двух переменных Ж1, Ж2 , через
М (ж1,ж2) =
= {Ж1&Ж2, Ж1 V Ж2, Х1|ж2, Ж1 I Ж2, Х1 ^ Ж2, Х1 ^ Ж2, Х1 ~ Ж2, Х1 © Ж2, Ж1, Ж1, 0,1}.
Множество В С М (ж1, Ж2) назовем неприводимым полным базисом в Р2> если множество В полно и никакое его собственное подмножество полным не является.
Известно, что в Р2 существует 17 (с точностью до переименования переменных) неприводимых полных базисов, содержащих функции, зависящие не более чем от двух переменных: В1 — В17 (см. табл. 1).
Любой другой базис, отличный от базисов В1 — В17, можно получить переименованием переменных без отождествления, а также добавлением одной или нескольких неконстантных, отличных от Ж1, функций из множества М(ж1,ж2) к некоторому базису из указанного списка (например, В18 = {ж1&ж2,ж1 V ж2,ж1}).
Асимптотические оценки ненадежности схем из функциональных элементов для неприводимых полных базисов В1 — В17, а также для приводимого полного базиса В18 и базиса М, содержащего все булевы функции, зависящие не более чем от двух переменных, получены ранее [1, 2] (доказаны теоремы 1 и 2).
В
для него справедливы теоремы 1 и 2.
Теорема 1. Пусть константы а, 6, с, 3 (см. табл. 1) соответствуют базису В и е € (0, 3]. Тогда любую булеву функцию /(ж) в базисе В можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) < ае + 6е2.
Теорема 2. Пусть константы а, 6, 3 и класс булевых функций К (п) (см. табл. 1) соответствуют базису В. Тогда для любой булевой функции /(ж), / / К(п), и любой схемы Б, реализующей / в базисе В, при е € (0,3] верно неравенство Р(Б) > ае + 6е2, причем а - такая же константа, что и в 1
Используемые в таблице обозначения: г = 1,..., п, ^ € {0,1}, ^(ж) - произвольная булева функция от переменных ж1, Ж2,..., хп.
Из теоремы 2 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 1, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти всех функций.
При доказательстве теорем 1 и 2 для повышения надежности схем, реализующих булевы функции, в каждом из базисов использовались схемы, построенные только из ненадежных базисных элементов. Возникает вопрос: изменятся ли най-
В1 — В18 М
один ненадежный элемент элемент голосования, подверженный также инверсным неисправностям на входах? Можно ли с помощью элемента голосования повысить надежность построенных схем? Ответы на эти вопросы получены в настоящей ста-
Найдем асимптотические оценки оптимальных по надежности схем, реализующих произвольные булевы функции в каждом из базисов, полученных из базисов
В1 — В18 М
Пусть В' - один го базисов В1 — В18 или М, к которому добавили функцию голосования $(ж1, ж2, жз) = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж2Ж3.
В'
Табл. 1
В а Ъ й Ъ й К (п.)
В1 = {;С1 ;Г2} 2 19 1/100 -1 1/4 Хг, 1
Во = {#1 | ;Г2} 2 19 1/100 -1 1/4 0
Вз = {#1 —> т^ ;Г2} 2 51 1/300 -1 1/4
В4 = {#1 —Х2,Х1 ф;Г2} 2 66 1/200 -2 1/4 Хг, 1
Вь = {#1 Х2,Х1 ~ ж2} 2 66 1/200 -2 1/4 0
£>6 = {^1 ф Х2,Х1&Х2, 1} 2 67 1/200 -2 1/4
Вг = {;С1 ~ Х2,Х1 V Х2, 0} 2 67 1/200 -2 1/4
Вз = ~ ;С2, ;С1&;С2, ф;Г2} 2 62 1/300 -2 1/4 о
Вд = {;С1 ~ ;С2,;С1 \/;С2,;С1 ф;С2} 2 62 1/300 -2 1/4 Хг, 1
В10 = {^1 ~ Х2, Х1&Х2, 0} 2 66 1/200 -2 1/4 Хг, 0
Вп = {х! фХ2,Х1 V Х2, 1} 2 66 1/200 -2 1/4 Хг, 1
В12 = Х-2 , ^1} 3 41 1/150 -6 1/6 4 &/?.(£), 1
В13 = —> Х-2 , ^1} 3 41 1/150 -6 1/6 х\ V/?.(£), 0
Вы = {;С1 Х-2, 1} 4 59 1/200 -8 1/11 ^¡къщу
Вт = —> Х-2 , 0} 4 59 1/200 -8 1/11 1х\кЪ {Х)Ул
£>16 = {;С1&;С2, £1} 4 83 1/200 -12 1/10
Вп = {;С1 V Х-2 , ^1} 4 83 1/200 -12 1/10 1х\кЪ {Х)Ул
В18 = {;С1&;С2,;С1 V 2, Ж1} 2 19 1/150 -2 1/6 ¿Сг, Жг, 0,1
М = {;С1 |;С2 , ;С1 | ;С2 , ;С1&;С2 , ;С1 V ;С2 , ;С1, ;С1 —> ;С2,;С1 ;С2,;С1 ~ ;С2, ;С1 ф ;С2, 0, 1} 2 19 1/100 -2 1/6 Яг, Я,, 0,1
1. Верхние оценки ненадежности схем
Рассмотрим вспомогательную лемму, необходимую для поиска верхней оценки ненадежности схем в базисе В'.
Лемма 1. Пусть е € (0,1/2], /(а) - произвольная функция, 5 - схема, реализующая функцию /(а) с ненадежноетью Р(5) в базисе В'. Тогда в базисе В' можно построить схему <£>(5), реализующую функцию /(а) с ненадежностью Р(<(5)) < 3е2 + 6еР(5) + 3Р2(5).
Доказательство. Пусть /(а) - произвольная булева функция, а 5 - схема, реализующая /(а) в базисе В'. По схеме 5 построим схему <(5) следующим образом: возьмем три экземпляра схемы 5 и соединим выход каждой схемы 5 с соответствующим входом элемента голосования О.
Пусть а - входной табор функции /(а). Вычислим вероятности ошибок на выходе схемы <(5).
1. При нулевых входных наборах а функции /(а) (/(а) =0):
Р1(<(5), а) = (1 — Р!(5,а))3(3е2(1 — е) + е3)+
+ 3(1 — Р1(5,а))2Р1(5, а)(2е(1 — е)2 + е3 + е2(1 — е))+ + 3(1 — Р1(5, а))Р2(5,а)((1 — е)3 + 2(1 — е)е2 + е(1 — е)2)+ + Р3(5, а)((1 — е)3 + 3(1 — е)2е) < 3е2 + 6Р1(5,а)е + 3Р2(5,а) щи е € (0,1/2].
Следовательно, при е € (0,1/2]
Р1(<(5), а) < 3е2 +6Р1(5, а)е + 3Р2(5,а). (1)
2. При единичных входных наборах а функции /(а) (/(а) = 1):
Ро(<(Б),Ж) = (1 — Ро(Б, а))3(3е2(1 — е) + е3)+
+ 3(1 — Ро(Б,Ж))2Ро(Б, Б)(2е(1 — е)2 + е3 + е2(1 — е))+ + 3(1 — Ро(Б, Б))Р02(Б,Б)((1 — е)3 + 2(1 — е)е2 + е(1 — е)2)+ + Р03(Б,Ж)((1 — е)3 + 3(1 — е)2е) < 3е2 + 6Ро(Б,Б)е + 3Р02(Б,Б) щи е € (0,1/2].
Следовательно, при е € (0,1/2]
Ро (<(Б), Ж) < 3е2 +6Ро(Б, Ж)е + 3Р02(Б,Б). (2)
Пусть Р(Б) = тах{Р1(Б, Б),Ро(Б, а)}, где максимум берется по всем входным наборам а схемы Б. Учитывая неравенства (1) и (2), получим:
Р(<(Б)) < 3е2 + 6Р(Б)е + 3Р2(Б^и е € (0,1/2].
Лемма доказана. □
Теорема 3. При е € (0,1/300] любую булеву функцию /(а) в базиее В' можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) < 3е2 + 19е3.
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что любую булеву функцию /(Б) в базисе В можно ревизовать такой схемой Б, ненадежность которой Р(Б) < 4е +
+ 83е2 при е € (0,1/300]. В'
Б < (Б) Б
единим выход каждой из них с соответствующим входом элемента голосования), ненадежность которой Р(<(Б)) < 3е2 + 6е(4е + 83е2) + 3(4е + 83е2)2 < 85е2 при е € (0,1/300]. Применяя лемму 1 еще раз, по схеме <(Б) построим схему <2(Б)
< (Б)
Р(< 2 (Б)) < 3е2 +
+ 510е3 + 21675е4 < 5е2 щи е € (0,1/300]. На четвертом шаге итерации построим схему <3(Б), ненадежность которой Р(<3(Б)) < 3е2 + 31е3 при е € (0,1/300]. По схеме <3(Б) построим схему <4(Б), реализующую /(Б), с ненадежностью В(^4(Б)) < Зе2 + 19е3 при е € (0,1/300]. Схема ^4(Б) искомая, то есть Б = = ^4(Б). Теорема доказана. □
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Константу 1 в базисе {ж1ж2 Vж1ж3 Vж2ж3, ж1 |ж2} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300].
По теореме 3 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1|ж2} можно ^^строить схему Б15 реализующую константу 0, с ненадежностью: Р(Б1) < 3е2 + 19е3 щи е € (0,1/300]. Б2
Б1
реализующего функцию штрих Шеффера. Вероятность ошибки на выходе схемы Б2
Р(Б2) < е2 + (3е2 + 19е3)2(1 —2е)2+2е(3е2 + 19е3)(1 —2е) < е2+7е3 щи е € (0,1/300]. Схема Б2 является искомой схемой А.
Пример 2. Константу 1 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 ^ ж2, ж1 ^ ж2} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 щи е € (0,1/300].
По теореме 3 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 ^ ж2, ж1 ^ ж2} можно построить схему Б1, реализующую константу 1, с ненадежностью Р(Б1) < 3е2 + 19е3 щи е € € (0,1/300] и гаем у Б2 , реализующую константу 0, с ненадежностью Р (Б2) < 3е2 + + 19е3 при е € (0,1/300].
Б3
Б2 Б1 Б3
неравенству
Р(Б3) < е2 + (3е2 + 19е3)2(1 —2е)2+2е(3е2 + 19е3)(1 —2е) < е2+7е3 щи е € (0,1/300].
Б3 А
Пример 3. Константу 0 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 ^ ж2, ж1 ^ ж2} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300].
Б1 Б2 Б3
зующей константу 0: возьмем антиимпликатор. первый вход которого соединим с Б2 Б1 Б3
Р(Б3) < е2 + (3е2 + 19е3)2(1 —2е)2+2е(3е2 + 19е3)(1 —2е) < е2+7е3 при е € (0,1/300].
Б3 А
Пример 4. Константу 1 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 ^ ж2, ж1 © ж2} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300]. Доказательство такое же. как и в примере 2.
Пример 5. Константу 0 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 © ж2, ж1&ж2,1} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/36].
По теореме 3 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 © ж2, ж1&ж2,1} можно построить схему Б1, реализующую константу 0, с ненадежностью Р(Б1) < 3е2 + 19е3 при е € (0,1/300]
Б1
Б2 Б2
неравенству
Р(Б2) < е2+(3е2+19е3)2(1—2е)2+2е(3е2+19е3)(1—2е) < е2+7е3 щи е € (0,1/300]. Б2 А
Пример 6. Константу 0 в базисе {ж1ж2 V ж1 ж3 V ж2ж3,ж1 ~ ж2,ж1&ж2,ж1 © ж2} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300]. Доказательство проводим, как в примере 5.
Пример 7. Константу 1 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1 ^ ж2,ж1} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300]. Доказательство такое же. как и в примере 2.
Пример 8. Константу 1 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1 ^ ж2, 0} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300]. Доказательство такое же. как и в примере 2.
Пример 9. Константу 1 в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1 V ж2,ж1} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300].
По теореме 3 в базисе {ж1ж2Уж1ж3 Vж2ж3, ж1 Vж2, ж1} можно построить схему Б1, реализующую константу 1, с ненадежностью Р(Б1) < 3е2 + 19е3 при е € (0,1/300].
Б1
Б2 Б2
венству
Р(Б2) < е2 + (3е2 + 19е3)2(1 —2е)2+2е(3е2 + 19е3)(1 —2е) < е2+7е3 при е € (0,1/300]. Б2 А
Пример 10. Константу 1 в базисе {ж1ж2 Vж1ж3 Vж2ж3, ж1&ж2, х1 Vх2,Х1} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300]. Доказательство такое же. как и в примере 9.
Пример 11. Константу 0 в базисе {ж1ж2 Vж1ж3 Vж2ж3, ж1&ж2, х1 Vх2,Х1} можно реализовать такой схемой А, что Р(А) < е2 + 7е3 при е € (0,1/300].
Для доказательства данного утверждения достаточно заменить в рассуждениях из примера 9 функцию V на &.
2. Нижние оценки ненадежности схем
Приведем вспомогательную лемму, необходимую для поиска нижней оценки ненадежности схем.
Лемма 2 [3]. Пусть / (Б) - произвольная булева функция, отличная от кон-Б
В. Пусть подсхема С схемы Б содержит выход схемы Б и реализует булеву функцию /' с ненадежноетью Р(С) < 1/2. Обозначил« чсрез р1 минимум вероятностей ошибок на выходе схемы С по таким входным наборам с, что /'(а) = 0. Аналогично, пусть ро - минимум вероятностей ошибок на выходе схемы С по таким входным наборам Б, что /'(а) = 1.
Пусть Б - входной табор функции /(Б), тогда вероятности ошибок на выходе Б
Р^Б, Б) > р1, если /(Б) = 0, Ро(Б, Б) > ро, если /(Б) = 1.
Замечание 1 [3]. Из леммы 2 следует, что Р(Б) > тах{ро,р1}.
В случае инверсных неисправностей на входах из леммы 2 и замечания 1 можно вывести ряд следствий.
Пусть в лемме 2 подсхема С схемы Б, ревизующей булеву функцию /(Б), состоит из одного функционального элемента Е, ревизующего функцию /', зависящую не более чем от двух переменных. Тогда справедливо
Следствие 1. Если Е - конъюнктор, то для него при е € (0,1/4] вероятности ошибок на выходе равны: Р^00) = е2, Ро(11) = 2е—е2, Р^01) = Р1(10) = е—е2 (при условии, что схема Б реализует функцию, отличную от константы 0).
2 р = 2е — е2 р1 = е2 1
Р(Б) > 2е — е2.
В случае, когда схема Б реализует константу 0, то согласно лемме 2 р о = 0, р1 = е2, и тогда в силу замечания 1 для нее Р(Б) > е2 при е € (0,1/4].
Е
ную функции из следствия 1, поэтому для него: Р(Б) > 2е — е2 (при условии, что схема Б реализует функцию, отличную от константы 1). Соответственно, в случае, когда схема Б реализует конст анту 1, для н ее Р (Б) > е2 при е € (0,1/4].
Следствие 3. Если Е - импликатор, то для него при е € (0,1/4] вероятности ошибок на выходе равны: Ро(00) = е — е2, Ро(01) = е2, Р^10) = 2е — е2 (при условии, что схема 5 реализует функцию, отличную от константы 1). Применим лемму 2 и получим: р1 = 2е — е2, р0 = е2. Тогда согласно замечанию 1 Р(5) > 2е — е2.
В случае, когда схема 5 реализует константу 1, то согласно лемме 2 р1 = 0, р0 = е2, и тогда из замечания 1 для этой схемы следует, что Р(5) > е2 при е € (0,1/4].
Е
ственную функции из следствия 3,, поэтому для него Р(5) > 2е — е2 (при условии, что схема 5 реализует функцию, отличную от константы 0). Соответственно, в случае, когда схема 5 реализует конст ан ту 0, для н ее Р (5) > е2 при е € (0,1/4].
Следствие 5. Если Е реализует эквиваленцию, то для него при е € (0,1/4] вероятности ошибок на выходе равны: Р0(00) = Р0(11) = Р1(01) = Р1(10) = = 2е — 2е2. Применим лемму 2 и получим: р1 = р0 = 2е — 2е2. Тогда согласно замечанию 1 Р(5) > 2е — 2е2.
Е
ную функции из следствия 5, поэтому для него Р(5) > 2е — 2е2 при е € (0,1/4].
Следствие 7. Если Е - инвертор, то для него при е € (0,1/4] вероятности ошибок на выходе равны: Р0(0) = Р1(1) = е. Применим лемму 2 и получим: р1 = = р0 = е. Тогда согласно заме чанию 1 Р (5) > е.
Следствие 8. Если Е реализует штрих Шеффера, то для него при е € (0,1/4] вероятности ошибок на выходе равны: Р0(00) = е2, Р^11) = 2е — 2е2, Р0(01) = = Р0(10) = е — е2 (при условии, что схема 5 реализует функцию, отличную от
1) 2 р1 = 2е — 2е2 р0 = е2
согласно замечанию 1 Р(5) > 2е — 2е2.
В случае, когда схема 5 реализует конст ан ту 1, то согласно лемме 2 р1 = 0, р0 = е2, и тогда в силу замечания 1 для нее Р(5) > е2 при е € (0,1/4].
Е
функции из следствия 8, то для него Р(5) > 2е — 2е2 (при условии, что схема 5 реализует функцию, отличную от константы 0). Соответственно, в случае, когда схема 5 реализует константу 0, то для нее Р(5) > е2 при е € (0,1/4].
Следствие 10. Если Е - элемент голосования, то для него при е € (0,1/4] вероятности ошибок на выходе равны: Р1(000) = Р0(111) = 3е2 — 2е3, Р1(001) = = Р1(010) = Рз(011) = Р1(100) = Р0(101) = Р0(110) = 2е — 3е2 + 2е3. Применим лемму 2 и получим: р1 = р0 = 3е2 — 2е3 . Тогда (по замечанию 1); Р(5) > 3е2 —2е3.
Лемма 3. Пусть е € (0,1/4], /(ж) - булева функция, / = 1, ж^, I = 1,... ,п, и 5 - любая схема, реализующая /(ж) в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1|ж2}. Тогда Р(5) > 3е2 — 2е3.
Справедливость леммы 3 следует из следствий 8. 10.
Используя следствия 1 10. найдем в каждом из рассматриваемых базисов нижнюю оценку ненадежности схем.
Очевидно, что функции ж1, ж2, ..., жп в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1|ж2}
можно реализовать абсолютно надежно, а константу 1 с ненадежностью не менее е2
Лемма 4. Пусть е € (0,1/4], /(ж) - булева функция, / = 0,1, х, г = 1,... ,и, и Б - любая схема, реализующая /(Б) в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 ^ ж2, ж1 ^ ^ ж2}. Тогда Р(Б) > 3е2 — 2е3.
Справедливость леммы 4 следует из следствий 3. 4. 10.
Очевидно, что функции ж1, ж2, ..., жп в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1 ^ ^ ж2, ж1 ^ ж2} можно реализовать абсолютно надежно, константы 0 и 1 - с нена-е2 е < 1/4
Лемма 5. Пусть е € (0,1/4], /(Б) - булева функция, / = 1, ж^, г = 1,... ,п, и Б - любая схема, реализующая / (Б) в базы се {ж1ж2 Vж1ж3 Vж2ж3, ж1 ^ ж2, ж1 ©ж2}. Р(Б) > 3е2 — 2е3
Справедливость леммы 5 следует из следствий 3, 6, 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2 ,..., жп в базисе {ж1ж2 Vж1ж3 Vж2ж3, ж1 ^ ж2, ж1 ©
ж2 }
е2 е < 1/4
Лемма 6. Пусть е € (0,1/4], /(Б) - булева функция, / = 0, ж^, г = 1,... ,п, и Б - любая схема, реализующая /(Б) в базисе {ж1 ж^ж1 ж3Vж2ж3, ж1 ©ж2, ж1&ж2,1}. Р(Б) > 3е2 — 2е3
Справедливость леммы 6 следует из следствий 1, 6, 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2, ..., жп и константу 1 в базисе {ж1ж2 V ж1 ж3 V ж2ж3,ж1 © ж2,ж1&ж2,1} можно реализовать абсолютно надежно, константу 0-е
е2 е < 1/4
Лемма 7. Пусть е € (0,1/4], /(Б) - булева функция, / = 0, ж^, г = = 1,..., и, и Б - любая схема, реализующая / (Б) в бази се {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 —
— ж2, ж1&ж2, ж1 © ж2}. Тогда Р(Б) > 3е2 — 2е3.
Справедливость леммы 7 следует из следствий 1, 5, 6, 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2, ..., жп в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1 —
— ж2, ж1&ж2, ж1 ©ж2} можно реализовать абсолютно надежно, константу 0-е нена-
е2 е < 1/4
Лемма 8. Пусть е € (0,1/4], /(Б) - булева функция, / = 0, ж^, г = = 1,..., и, и Б - любая схема, реализующая / (Б) в бази се {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 —
— ж2, ж1&ж2,0} .Тогда Р (Б) > 3е2 — 2е3.
Справедливость леммы 8 следует из следствий 1, 5, 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2 , ..., жп и константу 0 в базисе {ж1ж2 V ж1 ж3 V ж2ж3,ж1 — ж2,ж1&ж2, 0} можно реализовать абсолютно надежно.
Лемма 9. Пусть е € (0,1/4], /(Б) - булева функция, / = 1, ж^, г = 1,... ,и, и Б - любая схема, реализующая / (Б) в бази се {ж1 ж2 V ж1ж3 V ж2 ж3, ж1 ^ ж2, ж1}. Р(Б) > 3е2 — 2е3
Справедливость леммы 9 следует из следствий 3, 7, 10.
Очевидно, что функции ж 1, ж2 ,..., жп в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 Vж2ж3,ж1 ^ ж2,ж1} можно реализовать абсолютно надежно, константу 1 с ненадежностью не менее е2 е < 1/4
Лемма 10. Пусть е € (0,1/4], /(Б) - булева функция, / = 1, ж^, г = 1,... ,и, и Б - любая схема, реализующая / (Б) в бази се {ж1ж2 V ж1 ж3 V ж2ж3,ж1 ^ ж2,0}. Р(Б) > 3е2 — 2е3
Справедливость леммы 10 следует из следствий 3. 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2 , ..., жп и константу 0 в базисе {ж1ж2 V ж1 ж3 V ж2ж3,ж1 ^ ж2, 0} можно реализовать абсолютно надежно, константу 1-е нена-е2 е < 1/4
Лемма 11. Пусть е € (0,1/4], /(ж) - булева функция, / = 1, ж^, г = 1,... ,п, и 5 - любая схема, реализующая /(ж) в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1 V ж2,ж1}. Тогда Р(5) > 3е2 — 2е3.
Справедливость леммы 11 следует из следствий 2, 7, 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2 , ..., жп в базисе {ж1ж2 Vж1ж3 Vж2ж3,ж1 Vж2,ж1} можно реализовать абсолютно надежно, константу 1 с ненадежностью не менее е2 е < 1/4
Лемма 12. Пусть е € (0,1/4], /(ж) - булева функция, / = 0, 1, ж4, г = = 1,..., и, и 5 - любая схема, реализующая / (ж) в бази се {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3, ж1 V ж2, ж1&ж2, ж1}. Тогда Р(5) > 3е2 — 2е3.
Справедливость леммы 12 следует из следствий 1, 2, 7, 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2, ..., жп в базисе {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3,ж1 V ж2,ж1&ж2,ж1} можно реализовать абсолютно надежно, константы 0 и 1 - с нена-е2 е < 1/4
Лемма 13. Пусть е € (0,1/4], /(ж) - булева функция, / = 0, 1, ж4, г = = 1,..., и, и 5 - любая схема, реализующая / (ж) в бази се Ми {ж1ж2 Уж1ж3 Vж2 ж3}. Тогда Р(5) > 3е2 — 2е3.
Справедливость леммы 13 следует из следствий 1 10.
Очевидно, что функции ж^ ж2 , ..., ^ ^^^^^^^ и 1 в базисе М У {ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3} можно реализовать абсолютно надежно.
Поскольку ненадежности двойственных схем при инверсных неисправностях па входах элементов равны [3], то доказанные утверждения (леммы 3 12) справедливы в базисах, двойственных рассмотренным базисам для двойственных функций.
Таким образом, получен следующий результат.
Пусть В' - один го базисов В1 — В1^ М, к которому добавили функцию голосования д(ж1, ж2, ж3) = ж1ж2 V ж1ж3 V ж2ж3. Для него справедлива теорема 4.
Теорема 4. Пусть е € (0,1/4], /(ж) - булева функция, отличная от функции ж^, г = 1,..., и, и констант 0, 1, а 5 - любая схема, реализующая /(ж) в базисе В'. Тогда Р(5) > 3е2 — 2е2.
Из теоремы 4 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 3, и реализующие булевы функции /(ж), / = 0,1, ж^, г = 1,..., и, являются асимптотически оптимальными по надежности и функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 3е2 при е ^ 0.
Сравнивая полученные в этой работе результаты (теоремы 3 и 4) с результатами работы [1, 2] (теоремы 1 и 2), приходим к выводу, что при инверсных неисправностях на входах элементов метод повышения надежности схем с помощью элемента голосования позволяет реализовать почти все функции с большей надежностью по сравнению с методом повышения надежности схем. рассмотренным в работах [1, 2].
Summary
V. V. Chugunova. About Circuit Reliability in Full Bases, Containing a Vote Function with Input Inverse Failures.
The paper considers Boolean functions to be realized by circuits of reliable functional elements being prone to input failures with fault probability e, 0 <e< 1/2, on any functional element input. It is shown that if to each of non-reducible full bases containing functions with at most two variables there will be added a vote function, then a reliability estimate of asymptotically optimal reliable circuits is equal 3e2 (with e ^ 0) for all Boolean functions f (xi,x2,..., Xn) except for constants 0, 1 and functions Xi, Si, where i = 1,... ,n. Key words: Boolean functions, asymptotically optimal reliable circuits.
Литература
1. Чугуиова, В.В. Сиптез асимптотически оптимальных по надежности схем при инверсных неисправностях па входах элементов: Дне. ... капд. физ.-мат. паук. Пенза, 2007. 110 с.
2. Чугуиова В.В. О надежности схем в некоторых приводимых полных базисах // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-матем. пауки. 2007. Л' 2. С. 25 37.
3. Алехина М.А. Сиптез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов. Пенза: Ипф.-изд. центр ИГУ, 2006. 157 с.
Поступила в редакцию 21.02.09
Чугуиова Варвара Валерьевна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры дискретной математики Пензенского государственного университета. Е-шаП: burchugQsura.ru
