CC BY
1
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 512.54 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-248-258
Об алгоритме решения проблемы степенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Артина
А. С. Угаров, И. В. Добрынина
Угаров Андрей Сергеевич — аспирант, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected],
Добрынина Ирина Васильевна — доктор физико-математических наук, Московский технический университет связи и информатики (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье рассматривается решение проблемы степенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Артина геометрическими методами, основанными на исследовании диаграмм над данным классом групп, имеющих однослойную структуру, как ранее показано авторами. Используются преобразования диаграмм, включающие сокращения, введенные М. Деном и В. Н. Безверхним.
Статья является продолжением рассмотрения алгоритмов для решения проблем комбинаторной теории групп в обобщенных древесных структурах групп Артина, ранее авторами предлагались алгоритмы, основанные на диаграммном подходе, для решения проблем сопряженности, обобщенной сопряженности слов, построения централизаторов элемента и конечно порожденной подгруппы.
Рассматриваемый в статье класс групп представляет собой древесное произведение групп Артина с древесной структурой и групп Артина экстрабольшого типа, объединение ведется по бесконечным циклическим подгруппам, порожденным образующими соответствующих групп.
Группы Артина введены в начале прошлого века как обобщение известных групп кос, класс групп Артина экстрабольшого типа выделен в 1983 году, класс групп Артина с древесной структурой определен в 2003 году. Рассматриваемые в работе группы относятся к почти большим группам Артина и в них алгоритмически разрешимы проблемы равенства, сопряженности слов, что следует из доказательства их биавтоматности. Предложенный авторами подход в решении проблемы степенной сопряженности слов является более наглядным и простым.
Ключевые слова: группа Артина, алгоритмические проблемы, степенная сопряженность слов, древесное произведение.
Библиография: 12 названий. Для цитирования:
Угаров, А. С., Добрынина, И. В. Об алгоритме решения проблемы степенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Артина // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 248-258.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 512.54 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-248-258
On an algorithm for solving the problem of power conjugacy of words in generalized tree structures of Artin groups
A. S. Ugarov (Tula), I. V. Dobrvnina (Moscow)
Ugarov Andrei Sergeyevich — postgraduate student, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula).
e-mail: [email protected]
Dobrynina Irina Vasil'evna — doctor of physical and mathematical sciences, Moscow Technical University of Communications and Informatics (Moscow). e-mail: [email protected]
Abstract
The article considers the solution of the problem of power conjugacy of words in generalized tree structures of Artin groups by geometric methods based on the study of diagrams over this class of groups having a single-layer structure, as previously shown by the authors. Chart transformations are used, including abbreviations introduced by M. Den and V. N. Bezverkhnim.
The article is a continuation of the consideration of algorithms for solving problems of combinatorial group theory in generalized tree structures of Artin groups, previously the authors proposed algorithms based on a diagram approach to solve conjugacy problems, generalized conjugacy of words, the construction of centralizers of an element and a finitely generated subgroup.
The class of groups considered in the article is a tree product of Artin groups with a tree structure and Artin groups of extra-large type, amalgamated by cyclic subgroups corresponding to the generators of the groups.
Artin groups were introduced at the beginning of the last century as a generalization of the well-known braid groups, the class of extra-large Artin groups was isolated in 1983, the class of Artin groups with a woody structure was isolated in 2003. The groups considered in this paper belong to almost large Artin groups and the problems of words and conjugacy of words are algorithmically solvable in them, which follows from the proof of their biautomaticity. The approach proposed by the authors in solving the problem of power conjugacy of words is more visual and simple.
Keywords: Artin group, algorithmic problems, power conjugacy of words, tree product.
Bibliography: 12 titles.
For citation:
Ugarov, A. S. k, Dobrynina, I. V. 2024, "On an algorithm for solving the problem of power conjugacy of words in generalized tree structures of Artin groups" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 248-258.
1. Введение
Пусть G — конечно порожденная группа Артина с копредставлением G = (аг,..., щ; (aiaj)mij = (aj(n)mii, i,j = 1,1,1 = j),
где (aidj}mij — слово длины т^, состоящее из т^ чередующихся букв ^ и aj,г = j, т^ — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера: mij £ N \ {1} U {то}, i = j.
Группа Артина называется группой Артина экстрабольшого типа, если mij > 3 для любых г = j. Данный класс групп в 1983 году выделен К. Аппелем и П. Шуппом [1].
Для группы Артина G построим граф Г так, что образующим аг соответствуют вершины графа Г а каждому определяющему соотношению (aiaj}mij = (ajai)mji ,mij < то, — ребро, соединяющее вершины, соответствующие ^ и aj, г = j. Если при этом получится дерево-граф, то группа Артина G называется группой Артина с древесной структурой [2].
Класс групп Артина с древесной структурой введен в рассмотрение В. Н. Безверхним в 2003 году [3].
Далее рассмотрим группу Артина
t
G = (П*^; aim = ajk,i = j,i,j £ {M^
S=1
представляющую собой древесное произведение групп Артина Gs, где Gs либо группа Артина с древесной структурой, либо группа Артина экстрабольшого типа, запись aim = ajk означает, что объединение групп Артина Gi и Gj ведется по бесконечным циклическим подгруппам (aim} (ajk} ГДе aim — некоторый образующий группы Gi, ajk — некоторый образующий группы Gj. Такую группу Артина G будем называть обобщенной древесной структурой групп Артина [4] и далее под G будем понимать такую группу, если нет специальных оговорок.
Обобщенные древесные структуры групп Артина относятся к классу почти больших групп Артина [5].
Известно, что в обобщенной древесной структуре групп Артина разрешимы проблемы равенства, сопряженности слов [5], геометрическими методами решен вопрос построения централизатора произвольного элемента [4], [6].
В доказательстве основного результата об алгоритмической разрешимости проблемы степенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Артина используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном, перероткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним.
2. Вспомогательные утверждения
Пусть Fi = (ai}, F = П *Fi — свободное произведение циклических групп Fi, {ai} —
i=1 " ' множество образующих G.
Обозначим через Rij - множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободном произвдении Fi j — Fi * Fj и равных 1 в группе Gij. Группу Артина Gij можно задать как Gij = (ai, aj; Rij}.
Обозначим через |-ш| длину елова w, а терез ||ги|| — слоговую длину слова w.
В дальнейшем под R будем понимать R = |J Rij — симметризованное подмножество
i,je{U}
свободного произведения F.
Пусть u, v — два циклически приведенных слова, u, z £ (R}G, не сопряженн ые вРи сопряженные в G, гд е (R}g — нормальное замыкание симметризованно го множества ^G [7]. Тогда существует связная приведенная кольцевая Д-диаграмма М с внешней граничной меткой и и внутренней граничной меткой v-1, граничными метками областей D которой являются соотношения из R [7].
Подвергнем ^^^^^^амму М следующему преобразованию.
Если две области Их, И2 являются одновременно Д^-диаграммами, пересекаются по ребру с меткой ^(дИх П дИ2), то, стирая это ребро, объединим Их, И2 в одну область И. Допустим, что каждая из областей Их, ^2 есть Д^-диаграмма, пересекаются по вершине. Тогда
объединяем Их, ^2 в одну область И. Если в том или другом случае метка границы полученной области равна единице в свободном произведении Р, то, удалив эту область, склеиваем ее границу. Таким образом, через конечное число шагов мы получим приведенную в Р связную Д-диаграмму М, инвариантную относительного рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной ад, причем если две области V, И" из М пересекаются по ребру, то слоговая длина метки этого ребра равна единице.
Введем ряд определений, следуя работам [2], [8], [9], [10].
Область И С М назовем граничной, если дМ П дИ = 0. Символа ми 1(0) будем обозначать число внутренних ребер в граничном цикле И, — число ребер в граничном цикле И.
Область И с граничным циклом дИ = е^е~х5, расположенная по обе стороны относительно ребра е, в которой склеенные ребра ей е-х пересекают граничный цикл ^называется (в — г)-областью.
Будем говорить, что дИ П дМ — правильная часть М, если дИ П дМ есть объединение последовательности 1х,12,..., замкнутых ребер, где 1х,... ,1п встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для И и в некотором граничном цикле для М [7].
Граничную область И ^^^^аммы М назовем правильной, если дИ П дМ есть правильная часть.
Правильная область И ^^^^^аммы М называется деповской [7], если г(И) < й(И)/2.
Удаление внешней границы деповской области Д-диаграммы М называется деновским сокращением ^^^^аммы М или Д-сокращением.
Д-диаграмма М является Д-приведенной, если в М выполнены все деновские сокращения.
Слово ад € С назовем Д-приводимым если ад приведено в^и содержит
подслово в, являющееся подсловом некоторого соотношения г € Я, г = ,вЬ, где ||Ь|| <
Слово ад называется циклически Д-несократимым, если любая его циклическая перестановка ад* не содержит Д-сокращения.
п
Определение 1. ¡2] Поддиаграмма П = и образует поло су в Я-приведенной Я-
г=х
диаграмме М с граничным циклом, дМ = 7 и 5, если
1. дИг П дБ^ = а, г = 1, п — 1, где ег ребро ;
2. дИг П 7 = г = 1,п, где ^ — связный путь, причем ||7^|| ^ 1;
3. ЦдБх П 71| = ЦдОх\(дОх П 7)Ц и ЦОБп П 7|| = ЦдВп\(дВп П 7)||;
I ЦдБ, П 7|| +2 = \ \dDj\(дО, П 7 )||, 3 = 2^=1.
Пусть П — шлоса ^^^^аммы М. Замену Д-диаграммы М на Д-диаграмму Мх, полученную из М удалением пол осы П, назовем Д-сокращением.
Д-приведенное слово ад группы С назовем ^^^^^щимым (Д-сократимым), если в нем можно выделить подслово 8х82 ••• 8п, где каждое содержится в некоторой группе С^ и является подсловом соотношения в-1 (1-1Ь1(Ь+х € Д, причем при 1 < £ < п ||^|| = ||^+х|| = 1, |Ы| = ||^|| + 2 и дл я 1 <1 <п, ||64|| = ||54||.
Слово ад называется циклически Д-несократимым, если любая его циклическая перестановка ад * не содерж ит Д-сокращения.
Лемма 1. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова ад группы Артина С выяснить, является ли ад Я-приведенным.
Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Артина G выяснить, является ли w R-приведенным.
Доказательство очевидно.
Определение 2. Приведенную связную кольцевую R-диаграмму М с границей дМ = aUr будем называть однослойной, если
1) М состоит из областей D]^, D2,..., Dm, где Dj ПDj+1 = ej, j = 1,m — 1, D1П Dm = em, Dj П 7 = 0, Dj П 5 = 0, j = 1, m, ej - ребро,
или
p p
2) M = ( U Ni)U( U jj), Ni — поддиаграммы, (диски) в M с границами dNi = jiU5i, Jin5i =
i=1 j=1 _ _
= {Ai,Bi} — верши ны, г = 1,p, — прост ые пут и с ко нцами Bi-1, Ai,i = 2,р, простой путь 71 имеет нан ало Вр, а конец — А1, где каж doe Ni из состоит из обл астей Dil, Di2,..., Dim,, причем, Dij П Dij+1 = eij ,j = 1,mi — 1,Dij П 7 = 0, Dij П 5 = 0,j = 1,mi, eij - ребро.
Из данного определения имеем, что в случае 1) все области М граничные, каждая пара соседних областей, взятых в циклической последовательности, пересекается по ребру, каждая область пересекает и 7, и 5 (пересечением может быть вершина, одно или несколько ребер). В случае 2) имеем простую кольцевую Д-диаграмму, то есть Д-диаграмму, в которой 7 П 5 = 0. Пути 7^, по которым пересекаются j,5, отделяют поддиаграммы (диски), причем заметим, что эти пути, в том числе, могут иметь нулевую длину (быть вершиной).
Теорема 1. [6] Пусть М ^ приведенная связная кольцевая R-dua,zpa,M,M,a, сопряженности слов ), (¿>(5) £ G над группой Артина G, не содержащая (s — г) -облаетей; 5 — соответственно внешний и внутренний граничный циклы, М, слова, ^(j), ip(5) циклически R и R-H,ecoK№,m,u,M,bt,. Тогда, М является однослойной.
Определение 3. Кольцевую связную приведенную однослойную R-диаграмму М с граничными циклам,и 7, 5 над группой Артина G, метки которой ), ip(5) приведены в F, ^p('i) — R-приведено и R-приведено, назовем особо специальной R-диаграммой, если в М существует одна область D та,каи, что Hp(dD \ (dDf^j))|| + 2 = Hp(dD \ (H<p(dD \ (0£f|7))|| = |№9D О (<Э^Г|£))|| областей D' Ц<р(д& \
\ (dD'f] 7))|| = Мд& \ (dD'f) ¿))||.
Замену слова p(j)(p(5)) на слово p(5)(p(j)) назовем специальным кольцевым Д-сокраще-нием.
Определение 4. Будем говорить, что циклически несократимое слово w группы Артина G является тупиковым, если w циклически R-несократимо, циклически R-несократимо и к нему неприменимо специальное кольцевое R-сокращение.
Лемма 2. [8] Пусть G^ = (ai,aj; < aiaj >mii=< ajai >mii), w £ G^ циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2mi j, и равно единице в Gij. Тогда, оно имеет вид:
при mij = 2k + 1 ariaajai... aia'-ma-1 a-1... a-1, либо aiajai... ama~1a~1a~1... a~m, либо им обратные,
при mij = 2k, k > 1 ariaajai... aja~ma~1a~1... aj1, либо aiajai... ama-1a~1a-1... a~m, либо им обратные,
при mji = 2 a j ai aj ' , либо им обратные, m,l £ Z \ {0}.
Лемма 3. Пусть M — связная приведенная, минимальная R-диаграмма над группой Артина G с граничными циклам,и 7, p(j), <р(5) являются тупиковыми. Тогда если (fi(j) = хг, то ф(5) = уг, где х,у £ {a^1}, {ai}— множество образующих группы, G.
Лемма 4. Пусть v,w g G — тупиковые слова, и пусть v сопряжено с w в G. Тогда ||v|| = ||ад|| и никакое слово и g G такое, что ||«|| < ||v||; не сопряжено с v в G.
Доказательство следует из работ [2] и [9], где также показано, что такие диаграммы состоят из (s — г)-областей.
3. Основной результат
Лемма 5. Пусть слово w g G циклически несократимо в свободной группе и не равно 1 в G. Тогда любая степень слова, сопряженного w или w2 в групne G, циклически R и R-несократима.
Доказательство. Если группа G является группой Артина с древесной структурой, либо группой Артина экстрабольшого типа, то доказательство следует соответственно из работ [11],
[10]. Перейдем к общему случаю. Рассмотрим циклически R и Д-несократимое слово w, не равное 1 в группе G. При необходимости перейдем к сопряженному с ним тупиковому слову. Надо показать, что слово wn является Д-несократимым.
Допустим, слово wn содержит деповскую область D. Очевидно, что такая область не может содержаться внутри w, так как w Д-несократимо.Поэтому она должна содержаться на границе w с w, что невозможно, так как слово w циклически Д-несократимо. Следовательно, слово wn не содержит деповских областей.
Пусть в слове wn имеют место Д-сокращения. Рассмотрим окружность, по границе которой запишем слово wn (обозначим эту границу дМ). Разобьем окружность на пути ji,i = 1,п, причем ^(ji) = w. Можно всегда считать, что п = 2k. Пусть 7 = D\ u D2 u ■ ■ ■ u Dn' — полоса. Обозначим дМ п 7 = ^, а(7') — начальную точку пути ^, w(i') — конечную точку пути 7'.
Будем полагать, сделав, если это необходимо, циклический сдвиг, что ) = Счи-
таем, что i) = w — циклически несократимое слово.
Подклеим с внешней стороны к 71 ••• ,^2k-i и с внутренней стороны окружности к 12,14, ■ ■ ■ 12k полосы, совместив конечные точки полос и путей. Полученную кольцевую диаграмму обозначим через К.
В силу теоремы 1 строение диаграммы над группой Артина G аналогично строению диаграммы над группой Артина с древесной структурой, поэтому случаи для полос, у которых d(Di) = {4, 6} и d(Dn) = {4, 6} рассматриваются аналогично доказательству леммы 12 работы
[11]. В случаях, когда d(Di) > 6 и (или) d(Dn') > 6, доказательство проводится аналогично и значительно проще.
Определение 5. Будем говорить, что в группе G разрешима, проблема, степенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для двух любых слов w,v g G установить, существуют ли ненулевые целые числа, п, m такие, что слова wn ,vn сопряжены в группе G.
Л emma 6. [10] В группе Артина экстрабольшого типа разрешима проблема степенной сопряженности слов.
Л emma 7. [2] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности слов.
Теорема 2. В обобщенных древесных структурах групп Артина разрешим,а, проблема степенной сопряженности слов.
Доказательство. Если w, v являются словами из группы Артина экстрабольшого типа, либо из группы Артина с древесной структурой, то результат следует из лемм 6, 7 соответственно. Рассмотрим общий случай обобщенной древесной структуры групп Артина G.
Если необходимо, перейдем от слов w, v к сопряженным с ними словам w*,Vo, любая степень которых циклически R и Д-несократима, на основании леммы 5.
Рассмотрим кольцевую связную приведенную Д-диаграмму М сопряженности слов w™ и Vq , соответствующую пункту 1) определения 2. Пусть = (w*)m, ^(5) = (v**)n, причем
путь 7 начинается в точке О, а путь 5 — в точке 0\. Сделаем разрез диаграммы М по ребру OOi, получим односвязную однослойную приведенную Д-диаграмму, которую обозначим М*.
1. Пусть диаграмма М* состоит из областей, для которых метки пересечения с 7 и 5 имеют одну и ту же слоговую длину, то есть являются областями первого типа [10]. Тогда приклеим к ней диаграмму М*', тождественную диаграмме М*, с циклическим сдвигом на слово w*.
Заметим, что (р(^) = (w*)m, ^(ji) = w*,i = 1,т, причем a(dD1 П 7) = О, w(^1) = О'. Таким образом, 1) = (р(00') = w*.
Очевидно, что внутренняя точка О' не может иметь степень 3 в диаграмме М* U М*', так как нет сокращений и циклов, в которых участвуют не менее двух образующих из группы Артина с древесной структурой. Поэтому О' = a(dDi П 7) имеет степень 4.
Метки пересекающихся областей Dj и Dj,j' = 1,п, содержат одинаковые образующие. Действительно, при \\^(dDj П dD1-,)|| > 1 это очевидно. Пусть \\^(dDj П 9D1-,)|| = 1. Предположим, что метки области Dr из М* и расположенной над ней области D'i из М*' содержат различные образующие. Тогда рассмотрим поддиаграмму, содержащую области D'n, Dr-1, Dr, D', содержащие точку О', расположенные относительно этой точки против часовой стрелки, где d(D'n) = d(Dr-i) = d(Dr) = d(D') = 4. Пусть <p(dD'n П dDi') = ак, <p(dDi' П dDr) = bl, ip(dDr-1 П dDr) = cb, <p(dDr-1 П dD'n) = dr, k, I, t, r G Z\{0}. Такой случай соответствует группе Артина с древесной структурой и данному фрагменту диаграммы соответствует цикл в дереве-графе, что невозможно. Таким образом, получаем, что p(dDj), ip(dD) G Gab, Vj,j' = 1,n. Далее будем рассуждать, следуя работе [2].
Рассмотрим случай, когда <p(dD1), ^(dD1) G Саь, таь ^ 2, (p(dD1 П 7) = s, <p(dD1 П 5) = r, <p(dDn П dDi) = If, <p(dD'n П dD[) = bq, <p(dDi П dD2) = ah, <p(dD[ П dD'2) = a*.
Для области fl^eм sbprah = 1, а для Di выполнено rbqsab = 1. Поскольkv ahsbpr = 1, то г = a-1s-1b-p, откудa s-1bq-ps = ah-t. В силу леммы 3 справедливо равенство q—p = h—t = т.
В случае b = а имеем s-1bms = bm. Если \\^(ö^^i) \ = 2таь, то, применяя лемму 2, получим р = hm <p(dDi П dD2) = ЬР.
Рассмотрим случай \\) \ = 2таь-
Пусть таь = 2к. Определяющее соотношение тогда имеет вид: ab. „ ab = ba. .. ba., следо-
2к 2к
вательно, ab a, if a-lb-1.. .а- \ = ЬР.
«0 „-1
Диаграмма сопряженности для Ьт и Ьт состоит из к вложенных (s — г)-областей с граничными циклами öi, г = 1,к + 1. Для каждой (s — г)-области fl* мем = 2таь, = ЬР, <p(ök+{) = bh, все D* имеют четное таь, a (p(ej) = s*, вде so — подслово определяющего соотношения, е.,- — ребро, соответствующее данной области, j = 1, k. Отсюда Vi (p(öi) = bp, p = hm (p(dDi П dD2) = tP. В общем случае s = s0b^1 s0bJ2 ... s0b^k-1. Так как s0bp = IPs* в Gab, то s = s00-+32+"'+3k-1, Есл и s минимальной длины, то w(ej) = a(ej+i), Vj = 1,k и s = s*-
Таким образом, мы разбили область Di на области Di = UD*, j = 1, к, где =
= 2таь и все fl* являются областями первого типа.
Пусть таъ = 2к + 1. Определяющее соотношение для ab.... aba = ba. bab, тогда
2k+1 2k+1
ab. „ ba W b-1a-1. .. b-1a-\ = ap и ab. ^. ab ap a-1b-1... a-1b-= bp
Z1 Z-1 Z2 Z-1
¿1 ¿2
В силу нечетности таь для иеревода Ьт в Ьт нужно два (либо четное число) сопряжения словами zi, Z2 ■ Диаграмма ^отряженности для Ьт и Ьт ^^^тоит из к вложенных (s — г)-областей
с граничными циклами г = 1,к + 1, для каждой (в — г)-области И* имеем = 2таъ-
Имеем р(д5х) = №, р(д5к+\) = а\ все И* будут с нечетным таь- Получаем, что если ) = №, р(д5^+\) = аР, то е^) = х2ш = х\. Отсюда р = И, р(дОх П дБ2) = ар.
В случае Ь = а имеем 8-1\)т8 = ат. Если для области Их справедливо 11^^(^^^ 1) М = 2таь, то, применяя лемму 2, получим р = И, р(дОх П дИ2) = ар. Если же ||^(9^х)М = 2таь, то строим диаграмму сопряженности для Ьт и ат подобно предыдущему случаю. Тогда Их = иИ*, ] = 1, й, где ЦфБЩ = 2таь и все И* являются областями первого типа, ПдИ^+х) = ар
или П дБ^+х) = №. Получим 8 = х2х1х2 .. .х2ш р(дОх П дБ2) = ар
Пусть р(дИпПдИх) = №. Учитывая, что область Их состоит из ряда областей И*, ] = 1, к, с Цр(дВ*)|| = 2таь, по лемме 2 метки общих ребер областей есть степени V ми ар. Все области Иг, г = 1, п, имеют первый тип, поэтому получим р(дОГ-х П дИг) = №. Если метка р(дИпПдИх) есть степень образующего, то такую же степень будет иметь метка каждого ребра ср(дОг-х П дИг), г = 1, п. Выделим поддиаграмму иИц и склеим ее по ребрам ех = дОп П дИх и в2 = дОг-х П дОГ, где р(ех) = (р(е2) = №. Получим кольцевую связную приведенную К-диаграмму сопряженности слов и:*, Vа, значит, степени этих слов также сопряжены.
2. Пусть диаграмма М* содержит области первого, второго (когда Цр(дО Р| || = Цр(дО Р| П5)|| + 2) и третьего типов (когда = 11^(^^П7)11 + 2) [10]. Диаграмма М* со-
держит одинаковое число областей второго и третьего типов, причем области второго типа должны чередоваться с областями третьего типа, иначе в диаграмме М* выделится полоса. Вновь приклеим к ней диаграмму М*', тождественную диаграмме М*, с циклическим сдвигом на слово ад*. Обозначим р(^) = (ад*)т, р(^) = ад*, причем, а(дОх П = О, = О',
<р(ъ) = р(оо') = ад*
Степень внутренней точки О' ^ 4, как показано ранее. Рассмотрим случай, когда степень О' равна четырем.
Пусть Их, Иг и, соответственно, — области третьего типа. При этом ЦдВг П7|| = ЦдИ^ П П 71|, где й(БГ) = й(В[). Следовательно, р(дОх) е Саь- Обозначим р(дОп) П р(дОх) = Ьр.
Пусть р(дОх), <р(дО[) е СаЬ, таЬ ^ 2, <р(дОх П = я, р(дВх П 6) = г, р(дОп П дБх) = Ьр, <р(дВ'п П дВ[) = Ь\ р(дОх П дБ2) = а\ р(дВ[ П дО'2) = а\ ||г| < |И|. Тогда аналогично первому случаю 8-хЬт8 = ат, где д — р = И — í = т. Строим, как в первом случае, диаграмму сопряженности для Ьт и ат.
Если для области Вх ^^^^тедливо ||^(9^1)М = 2таь, то ||^(9^1)М = 2таь, р(дОх П дВ'х) содержит либо № (если таь = 2к, к ^ 1^, дабо ар (если таь = 2к + 1^. В силу й(Вх) = и
леммы 2 <р(дОп П = Ьр и р(дВг-х П дБг) = 1р.
Пусть для области Их выполняется уеловие Н^д^хЦ) = 2таъ-
Если таь = 2к, к > 1, то строя диаграмму сопряженности как и для первого случая, получаем разбиение области Вх на области = и^*, ] = 1,к, где ||^>(9^*|| = 2таь- В силу < ||з||, полним, что среди областей первого типа И* ^^^ь хотя бы одна область И* третьего типа. Поэтому 8 = «ц. Для областей имеем <1(0*) = 2||зо|| +2, ^ = 1,к — 1. Но
) = ||зо|| +2. ^^^^^^й случай невозможен, так как получим, что подслова ^ = р(дО* П ] = 1, к — 1 и «о = ^(дВ* П различны.
При таь = 2к +1 получаем аналогичный случай. Так им образом, р = ^ (р(дО'п П дИ^) = ЬР.
Если р(дОп П дОх) = то р(дО'п П дИ^) = Ър и ту же степень образующего содержит р(дОг-х П дИг), ^о есть р(дИг-х П дИг) = №. Выделим тоддиаграмму иИц и склеим ее по ребрам ех = дБп П дБ-^ш е2 = дВг-х П дБг, вде р(ех) = р(е2) = ЬР. Таким образом, получим кольцевую связную приведенную Д-диаграмму сопряженности слов и:*, V*, поэтому степени этих слов также сопряжены.
Пусть теперь Их и Иг — области различных типов (например, области Их — третьего, Ог — первого или второго типов). Этот случай невозможен. Действительно, если к диаграмме М* приклеим тождественную диаграмму М*' к границе 5, то получим, что как минимум метки
двух областей содержат одинаковые образующие p(dD\), (p{dD2) £ Саь- А это противоречит инвариантности диаграммы М* относительно таких преобразований. Случай, когда степень О' больше четырех, очевиден.
3. Пусть диаграмма М* содержит одну область второго или третьего типа. Данный случай невозможен, так как в U 72) = (w*)2 будут Д-сокращения.
р р
Рассмотрим теперь простую кольцевую диаграмму М = (|J Ni) U ( |J jj) сопряженно-_ " " " i=i j=i
сти циклически R, ^^^^^^^етмых слов wQ ,v™, Ni — поддиаграммы (диски) в М с границами dNi = ji U 5i,ji П öi = {Ai,B{} — вершины, i = 1,p, ji — простые пути с концами Bi-i, Ai, г = 2,p, простой путь 71 имеет начало Вр, а конец — Ai.
Пусть р(^) = (w*)m и p(ö) = (v*)n. Заметим, что р < ■ |v*| + l. Действительно, если осуществить разрез в точке А^ то ело во w* будет разбито на две части w* = wq 1wo 2. При этом может быть только lw*| возможностей разбить слово на две части. Аналогичное верно и для слова V*. Если данное неравенство не выполняется, то выделится повторяющаяся часть, которую можно вырезать, а оставшуюся часть снова замкнуть в кольцо.
Рассмотрим диск Ni, в котором внешний путь 7^, внутренний путь AB — ¿1. Заметим, что слоговые длины путей 7^ и ¿i должны совпадать, иначе диаграмма М будет содержать полосу, что невозможно ввиду ее Д-приведенности.
Считаем, что |7i| — большое число. Пусть |7i| > 4||-шо|| • Выделим на пути 71, начиная от вершины Ai, некоторую циклическую пер естановку w* слов а -Wo такую, что слово w* начинается в вершине О, имеющей степень 3. Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично как и для диаграмм предыдущего вида.
Так как число дисков меньше ' !vol + 1 длина пути в каждой диске |7i| < ||, длина каждого простого пути не превышает |-ш*|, то т ■ |w*l < 5|w*|(|w*l ' lv*l + l^' ^тауда т, п < 5(|l ' l^ül + 1)-
Таким образом, проблема степенной сопряженности слов разрешима.
4. Заключение
В данной работе рассмотрено решение проблемы степенной сопряженности слов геометрическими методами. Данный результат является частью исследований комбинаторных свойств обобщенных древесных структур групп Артина и может быть использован для решения алгоритмических проблем в общем классе групп Артина.
Авторы выражают благодарность профессору В. Н. Безверхнему за внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Appel К., Schupp P. Artins groups and infinite Coxter groups // Invention es mathematicae. 1983. №72. C. 201-220.
2. Карпова О. Ю., Безверхний В. Н. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой // / Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 42-59.
3. Безверхний В. И. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой //V международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения»: тезисы докладов международной конференции. Тула: ТГПУ, 2003. С. 33-34.
4. Добрынина И. В., Угаров А. С. О централизаторе элемента в обобщённых древесных структурах групп Артина // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные
проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XVII Международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения профессора Н. И. Фельдмана и 90-летию со дня рождения профессоров А. И. Виноградова, А. В. Малышева и Б. Ф. Скубенко. Тула: ТГПУ, 2019. С. 42-44.
5. Holt D. F., Rees S. Е. Biautomatic structures in systolic Artin groups // International Journal of Algebra and Computation. 2021. T. 31, №3. C.'365-391.
6. Добрынина И. В., Угаров А. С. Об обобщенных древесных структурах групп Артина // Владикавказский математический журнал. 2021. Т. 23, №3. С. 52-63.
7. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
8. Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная матемаматика. 1999. Т. 5, № 1. С. 1-38.
9. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина большого типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула:ТГПУ, 1986. С. 26-61.
10. Безверхний В. Н., Кузнецова А. Н. Разрешимость проблемы степенной сопряженности слов в группах Артина экстрабольшого типа // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, №1. С. 50-68. *
11. Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, №1. С. 30-49.
12. Безверхний В. Н., Безверхняя Н. Б., Добрынина И. В., Инченко О. В., Устян А. Е. Об алгоритмических проблемах в группах Кокстера // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, т. С. 23-50.
REFERENCES
1. Appel, К. к Schupp, Р. 1983, "Artins groups and infinite Coxter groups", Inventiones mathematicae, vol. 72, pp. 201-220.
2. Karpova, O.Ju. к Bezverkhnii, V.N. 2009, "Solving the power conjugacv problem in Artin groups with a tree structure", Izvestia of Tula state University. Estestven nauki, no. 3, pp. 4259.
3. Bezverkhnii, V. N. 2003, "On Artin groups, Coxeter with a tree structure", V mezhdunarodnaya konferentsiya «Algebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya»: tezisy dokladov mezhdunarodnoy konferentsii, Tula, pp. 33-34.
4. Dobrvnina, I.V. к Ugarov, A.S. 2019, "On the centralizer of an element in generalized tree structures of Artin groups", Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems, applications and problems of history: Proceedings of the XVII International Conf. devoted to the 100-th anniversary of the birth of Professor N. I. Feldman and the 90-th anniversary of the birth of Professors A. I. Vinogradov, A. V. Malyshev, and B. F. Skubenko, Tula: TSPU, pp. 42-44.
5. Holt, D.F.& Rees, S.E. 2021, "Biatomatic structures in systolic Artin groups", International Journal of Algebra and Computation, vol. 31, no. 3, pp. 365-391.
6. Dobrvnina, I.V. к Ugarov, A.S. 2021, "On generalized tree structures of Artin groups", Vladikavkaz. Mat. Zh.,, vol. 23, no. 3, pp. 52-63.
7. Lyndon, R.& Schupp, P. 1980, Combinatorial group theory, Mir, Moscow.
8. Bezverkhnii,V. N. 1999, "Solution of the generalized conjugacv problem in Artin groups of large type", Fundamental and Applied Mathematics, vol. 5, no. 1, pp. 1-38.
9. Bezverkhnii, V.N. 1986, "Solution of the problem of conjugation of words in Artin groups of large type", Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, Tula: TSPU, pp. 26-61.
10. Bezverkhnii, V.N. k, Kuznetsova, A.N. 2008, "Solvability of the problem of power conjugacv of words in Artin groups of extra-large type ", Chebyshevskii Sbornik, vol. 9, no. 1, pp. 50-69.
11. Bezverkhnii, V. N. k, Karpova, O. Ju. 2008, "The occurrence problem a cyclic subgroup in Artin groups with a woody structure", Chebyshevskii Sbornik, vol. 9, no. 1, pp. 30-49.
12. Bezverkhnii, V. N., Bezverkhnvava, N. В., Dobrvnina, I. V., Inchenko О. V., Ustvan A. E. 2016, "On algorithmic problems in Coxeter groups", Chebyshevskii Sbornik, vol. 17, no. 4, pp. 23-50.
Получено: 05.05.2024 Принято в печать: 04.09.2024
