О ПРОБЛЕМЕ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В НЕКОТОРОМ КЛАССЕ ПОДГРУПП ГРУПП АРТИНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 22. Выпуск 4.

УДК 514.9 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-86-97

О проблеме сопряженности слов в некотором классе подгрупп групп Артина1

В. Н. Безверхний, Н. Б. Безверхняя

Безверхний Владимир Николаевич — профессор, доктор физико-математических наук, Академия гражданской защиты МЧС России (г. Москва). e-mail: vnbezvQrambler.ru

Безверхняя Наталия Борисовна — кандидат физико-математических наук, Академия гражданской защиты МЧС России (г. Москва). e-mail: [email protected]

Аннотация

Одной из основных проблем в комбинаторной теории групп является проблема равенства и сопряжённости слов. Известно, что в классе конечноопределенных групп данная проблема алгоритмически неразрешима. Возникает задача изучения данных проблем в определенных классах групп, а также, наследуют ли подгруппы данного класса групп алгоритмическую разрешимость проблемы сопряженности слов.

Д. Коллинзом и К. Миллером была определена группа с разрешимой проблемой сопряженности слов, содержащая подгруппу конечного индекса, в которой не разрешима проблема сопряженности слов. А также построена группа с неразрешимой проблемой сопряженности слов, содержащая подгруппу конечного индекса с разрешимой проблемой сопряженности слов.

Э. Артином были определены группы кос и им же было доказано, что в группах кос алгоритмически разрешима проблема равенства слов. A.A. Марков построил алгебраическую теорию групп кос и передоказал, используя построенную теорию, проблему равенства слов.

Ф. Гарсайд доказал разрешимость проблемы сопряженности слов в группах кос Bn+1. Э. Брискорн и К. Сайто, используя идеи Ф. Гарсайда, доказали разрешимость проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа. Известно, что данному классу групп принадлежат группы кос.

Интерес представляет исследование разрешимости данной проблемы в подгруппах групп данного класса групп, в частности, в нормальном делителе, порожденном квадратами образующих группы называемой крашенной подгруппой данной группы.

В [1] доказано, что в крашенной подгруппе групп Артина конечного типа проблема сопряженности слов разрешима.

Известно, что в группах Артина с древесной структурой проблема сопряженности слов также разрешима. [2]. В данной статье доказывается, что крашенные подгруппы групп Артина с древесной структурой наследуют свойство положительной разрешимости проблемы сопряженности слов.

Ключевые слова: Группы Артина, крашенная подгруппа, проблема сопряженности слов.

Библиография: 12 названий.

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №19-41-710002_р_а.

Для цитирования:

В. Н. Безверхний, Н. Б. Безверхняя. О проблеме сопряженности слов в некотором классе подгрупп групп Артина // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 86-97.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 4.

UDC 514.9 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-86-97

On the problem of conjugacy of words in a certain class of subgroups of Artin groups

V. N. Bezverkhnii, N. B. Bezverkhnvava

Bezverkhnii Vladimir Nicolaevich — professor, doctor of physical and mathematical sciences, Academy of Civil Protection of the Ministry of Emergency Situations of Russia (Moscow). e-mail: [email protected]

Bezverkhnyaya Natalia Borisovna — candidate of physical and mathematical sciences, Academy of Civil Protection of the Ministry of Emergency Situations of Russia (Moscow). e-mail: [email protected]

Abstract

One of the main problems in combinatorial group theory is the problem of equality and conjugacy of words. It is known that this problem is algorithmically unsolvable in the class of finitely defined groups. The problem arises of studying these problems in certain classes of groups, as well as whether subgroups of this class of groups inherit the algorithmic solvability of the word conjugacy problem.

D. Collins and K. Miller defined a group with a solvable word conjugacy problem containing a subgroup of finite index in which the word conjugacy problem is not solvable. We also construct a group with an unsolvable word conjugacy problem containing a subgroup of finite index with a solvable word conjugacy problem.

E. Artin defined braid groups and proved that the problem of word equality is algorithmically solvable in braid groups. A. A. Markov constructed an algebraic theory of braid groups and reproved, using the constructed theory, the problem of word equality.

F. Garside proved that the conjugacy problem of words in braid groups B_(n+1) is solvable. Saito, using the ideas Of F. Garside, proved the solvability of the problem of equality and conjugacy of words in Artin groups of finite type. It is known that this class of groups belongs to braid groups.

The interest is to study the solvability of this problem in subgroups of the class groups, in particular, in the normal divisor generated by the squares forming a group called painted subgroup of this group.

In fl] it is proved that in a colored subgroup of Artin groups of finite type, the word conjugacy problem is solvable.

It is known that in Artin groups with a tree structure, the word conjugacy problem is also solvable. [2]. In this paper, we prove that colored subgroups of Artin groups with a tree structure inherit the property of positive solvability of the word conjugacy problem.

Keywords: Artin groups, colored subgroup, word conjugation problem.

Bibliography: 12 titles.

For citation:

V. N. Bezverkhnii, N. B. Bezverkhnyaya, 2021, "On the problem of conjugacy of words in a certain class of subgroups of Artin groups", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 86-97.

1. Введение

В комбинаторной теории групп основными алгоритмическими проблемами являются проблемы равенства и сопряженности слов. Если в группе разрешима проблема сопряженности слов, то будет ли она разрешима в подгруппах данной группы? Д. Коллинзом и К. Миллером было доказано, что существуют группы с разрешимой проблемой сопряженности слов, содержащие подгруппу конечного индекса, в которой проблема сопряженности неразрешима. И наоборот, существуют группы, в которых в подгруппах конечного индекса разрешима проблема сопряженности слов, а в самих группах неразрешима. Для групп Артина конечного типа в было доказано, что крашеные подгруппы, то есть нормальные подгруппы, порожденные квадратами образующей группы, наследуют свойства сопряжённости слов групп.

В данной статье авторами доказывается, что крашеные подгруппы групп Артина с древесной структурой наследуют свойство разрешимости проблемы сопряженности слов.

2. Группы Артина с двумя образующими

Группа Артина определяется конечной системой образующих: а\,П2,...,ип и системой определяющих соотношений: (о^^}тгз = (а^, где }тгз = о^^... - слово, из чередующихся образующих аг,а^ длины т^, т^ элемент симметрической матрицы Кокстера М = (тц) г,] € 1,п,тц = 1 для всех г € 1,п при г = е {2,3,..., те} = те —

означает, что соотношение с образующими а^, а^ отсутствует.

Копредставление группы Артина имеет вид:

G = (ai,a2,...,an; (aoi = OiT3i ,i,j e 1,n) (1)

Поставим в соответствие группе G конечный граф Г каждой вершине Vi которого ставится в соответствие образующий Oi группы G, а ребру, соединяющему вершины Vi, Vj - элемент mij e М, причем, если вершины Vi, Vj не соединены ребром, то паре соответствует т^- = те.

Такой граф называется графом Кокстера, а соответствующая ему группа Артина имеет копредставление (1) и обозначается Gr-

С каждой группой Артина Gr связана группа Кок стера Gr- Если груп па Gr конечна, то группа Gr называется группой Артина конечного типа. Данный класс групп содержит группы кос Bn+i, в которых Ф. А. Гарсайдом в 1969 г. была решена проблема сопряженности слов. [3] Э. Брискорном и К. Сайто была доказана разрешимость проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа. [4]

П. Шупп и К. Аппель определили широкие классы групп Артина большого (mij ^ 3) и экстрабольшого типа {mij > 3).[5]

Для групп экстрабольшого типа, используя диаграммный метод, ими была решена проблема равенства и сопряженности слов. [5]

В работах [6], [7] авторами независимо были решены проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина большого типа.

В [8] были определены группы Артина с древесной структурой.

Определение 1. Группа Артина Gr называется группой Артина с древесной структурой, если соответствующий ей граф Г, является дерево-графом.

В группах Артина с древесной структурой числа Кокстера mij при г = j, принимают любые значения mij e {2, 3,..., те}.

Для описания строения диаграмм, соответствующих равенству и сопряженности слов в группе Артина с древесной структурой нам, понадобятся следующие леммы:

Лемма 1. [5] Если Саь = {а, Ъ; {ab)mab = {Ьа)тЬа) группа Артина, w — нетривиальное слово в свободной группе, и равно w единице в Саъ, то ||-ш|| ^ 2таь.

(||-ш|| — слоговая длина слова w в группе, являющейся свободным произведением циклических групп {а), {&)).

Лемма 2. [5] Пусть w £ Gab,w = w1w2, w — нетривиальное свободно приведенное слово, равное единице в Саъ. Тогда,

а) если ||-Wi|| ^ таь,то ||-Wi|| ^ ,

б) если < таь,то || < Ц^Ц-

Лемма 3. [9] Пусть Gab = {а, b; {ab)mab = {Ьа)тЬа) группа Артина, w £ Gab,w — циклически несократимое слово в свободной группе и имеет слоговую длину, равную 2таь и равно единице в Gab.

Тогда, если таь = 2k + 1, то w имеет вид:

а) атЬа... ab-ma-1... Ь-1 либо

б) ab... amb-1... b-m, либо

обратные им, либо их циклические перестановки;

если таь = 2k, то w имеет вид:

а,) атЬа... Ъа-тЪ-1... Ь-1 либо

б) аЪ...Ъта-1Ъ-1 ...Ъ-т, либо

обратные им, либо их циклические перестановки, т £ Z\ {0} .

3. Доказательство основного результата

Пусть да = V в группе Артина С с древесной структурой, то есть дан-1 = 1 в С.

Из теоремы ван-Кампена следует, что равенству дау-1 = 1 в С соответствует диаграмма М, дМ = 7$,где <р (7) = да, <р (5) = у-1,с областями, метки которых есть определяющие соотношения группы С.

Будем говорить, что диаграмма М Ы-приведена, если для любых двух областей И, И , имеющих общее ребро, их метки принадлежат разным группам Саь, Са'у где а = а либо Ь = Ь'.

Диаграмма М с границей дМ = называется однослойной, если любая область И с М имеет непустое пересечение как с 7 так и с 5, то есть дИ П 7 = 0, дИ П 5 = 0.

Через й(И) обозначим число ребер, на которые соотношение ф(О) разбивает границу И, при этом, меткой каждого ребра является некоторая степень образующего группы, двум соседним ребрам соответствуют степени с разными основаниями.

Обозначим через слоговую длину метки области равную числу ребер в И.

Пусть 71 = дИ П тогда | 1 есть число ребер пути 71, равное числу слогов метки

<р(11), Ы = Н^ЫУ

Область Л назовем граничной областью с ^(5), если дБ П 7 = 0, (дБ П 5 = 0).

Граничная с ^(5) область И называется деновской, если 1дИ П 71 > 1дИ\ (дИ П 7) , то есть 11<р(дО П 7)|| > Ц<р(дО\ (дБ П 7))Н-

Аналогично определяется деповская область вдоль границы ¿диаграммы М. Пусть И — деновская область диаграммы М вдоль границы 7. Тогда удаление пути 71 = дИ П то есть, замена пути 7 = 707170 границы дМ путем 7' = 7о(^^\71)-17о назовем деповским сокращением стоговой длины ) при этом метка р (7) = ^(70)^(71)^(70) заменяется меткой

V (У) = V (7о) (<Р (дО\л))-1<р(гг0) ,<Р (7) = V (У) в группе О.

Определение 2. [7],[9]. Поддиаграмма, П= и™=1 — образует, полосу в И-приведенной диаграмме М вдоль граничного пути дМ = 75-1, если:

1. Чг, 1 ^ г ^ п, дИг П 7 = где правильная часть граничного цикла дМ;

2. Чг, 1 ^ г ^ п — 1, дБг П дОг+1 = ег, ег- ребро;

3. \дО\ П 7| = \дОг\(дБ! П 7)| ,\дОп П 11 = |ЛО„\ (ЛО„ П 7)|

4. Чз, 2 < 2 < п — 1, ^Бз П 7| +2= ^Бз\ (дБу П 7)|

5. дППдМ - правильная часть в граничном цикле дМ.

Определение 3. Удаление из граничного цикла, дМ пути дПП7 назовем Я* — сокращением границы, дМ.

Определение 4. Пусть М — связная, односвязная, К — приведенная, диаграмма, над группой Артина С с древесной структурой, где дМ = 75-1 граничный цикл М с р О) (8) = 1в С.

Тогда под К* будем обозначать сокращение р(дМ) вдоль 7 состоящее в замене слова V (7) = ^(7о)Р(Ц)Р(7о),

где р (71) = р (7 П ОТ), словом р (7') = р (7о) (р (П\(7 П ОТ))-1р ,где П - полоса диаграммы М вдоль границы7.

Аналогично определяется Д* вдоль границы 5.

Лемма 4. Пусть М — связная, односвязная, К — приведенная, диаграмма, над группой Артина С с древесной структурой, соответствующая равенству слов ад = V в С; дМ = 75-1 ,р (7) = ад,р (5) = V, слова IV, V И несократимы. Тогда диаграмма М не содержит, внутренних вершин и является однослойной.

Доказательство. Пусть в М содержится внутренняя вершина V. Тогда существует по меньшей мере три ребра е1, в2, еэ, выходящие из V.

а) Пусть р (а) = р (е^) при г = ], г,] € {1, 2, 3} , нетрудно убедиться в том, что это проти-

С

б) Пусть метки всех ребер: е1,в2,..., еп,... выходящих из внутренней вершины V являются степенями одного образующего а,.

Рассмотрим области А, А, А,..., ^пимеющие общую вершинуи. Так как диаграмма М Ы - приведена, то метки областей А, А, А,..., Ип различны. Пусть А П А = &2, А П Иэ = еэ,.. .,Вп-2ПВп-1 = еп-1 ,&п-1 ПВп = е,п,0,пПА = е1 ,р (е1) = аа1 ,р (е2) = аа2 ,р (еп) = а№п.

Тогда

<р (А) = аа" р (71) аа1 ,р (А) = аа 1 р (72) аа2 ,...,<р (А) = аа " у Ы аа'1

Очевидно, что концы каждого пути ^г С дИг принадлежат дМ, в противном случае, если одна из концевых вершин пути ^г будет внутренней точкой, то из нее будут выходить минимум три ребра с разными метками, что невозможно.

Рассмотрим поддиаграмму Мг диаграммы М, дМ г = где ^г с дМ,^г соединяет

концевые вершины пут и ^г.

Так как | ^ 3 и М — Ы-приведена, то вершины пути ^г являются внутренними вершинами диаграммы М, что невозможно, поэтому ^^ = но тогда дМ Ы-сократима.

Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть адиу - циклически К несократимые слова группы Артина С с древесной структурой. Тогда, кольцевая диаграмма М, соответствующая сопряженности слов адиу в С, где 7 и 5 граничные циклы, М, р (7) = ад,р (5) = V, является однослойной.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей леммы.

Лемма 6. [9] Пусть G — группа Артина с древесной структурой, и пусть степень образующего ат сопряжен а с w в G, где w — циклически, R и R* несократимо. Тогда w есть степень некоторого образующего bkпричем т = к.

Лемма 7. Пусть Gab = (a,b; (ab)mab = (ba)mba) .Если таь = 2к, то для любого z е Gab соотношение zamz-1 = bmне имеет мест,а, т е Z.

Доказательство. Пусть таь = 2к, тогда группа Саь = ^а, b; (ab)2k = (Ъа)2к^ изоморфна

группе G = (х, у; у-1хку = хк) определяемой отображением <р : а ^ y,b ^ ху-1.[7]

Допустим, что в группе Gab имеет место равенство zamz-1 = bm, тогда в группе G р (z) p(am)p(z)-1 = (p(bm) и р(а)т = ут,(р(Ь)т = ху-1ху-1 ...ху-1. Данные слова в группе G не сопряжены (лемма Бритона). Лемма доказана.

Лемма 8. ¡2], [9]. Пусть G - конечнопорожденная группа Артина с древесной структурой. Слова w и v, слоговые длины ко торых ||-ш|| = ||f|| = 1, сопряжены в G тогда и только тогда, когда существует ломаная, графа Г; соединяющая, вершины, соответствующие данным образующим группы и каждом,у из ребер, выделенного пути, соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера mijU слово z сопрягающее w в v будет произведением кусков Zi определяющих соотношений группы, каждое из которых соответствует данном,у ребру, Н^У = mij — 1.

Лемма 9. Централизатор образующего группы Артина с древесной структурой конеч-нопорожден.

Доказательство.

Пусть Г дерево-граф группы G, каждой вершине которого поставлен в соотвествие образующий G: а ребру соответсвующему Oi, Oj число Кокет ера mij, которое соответсвует определяющее соотношение (&iOj}mij = (&j<Ji)mji-

Рассмотрим путь Jk+1B Г, выходящий из U1 с вершинами, которые для простоты рассуждения запишем как а1 ,а2, • • • , аk, &k+1, в котором всем ребрам (oi, ai+1), г < j < к, соответствуют нечётные числа Кокстера тц+1 = 2ki + 1, а ребру (ак, &к+1) — четное число т^к+1 = 2к, если Г

Каждому ребру (^i,^i+1),i = 1, к поставим в соответствие кусок Zi определяющего соотношения (<Ji<Ji+1)mii+1 = (аi+1 ai)mi+1i, Zi = ai+1 <Ji • • • <Ji, \zi\ = mi,i+1 — 1, введем в рассмотрение Zi = aiGi+1 • • • Ui+1, \~Zi\ = mi,i+1 — 1 — являющийся кускрм указанного определяющего соотношения.

Легко проверить, что слова z(p"l(a1asai) = z1z2 • • • zs-1(zs • • • Zia1+1 zi • • • z^)pz^~[ • • • zj при любых 1 < г < к, 1 < s < i,m е Z,p е Z, принадлежат цеитнрализатору элемента сть Варьируя в z(p\a1 asUi) параметры s,p можно получить слова z(0~)(a1,ai) = Z1Z2 • • • ZiZi • • • zT; z(1)(a1,ai) = Z1Z2 • • • Zi(ji+1Zi • • • z1;

z!(a1,as,ai) = z1-1 • • • zJ-Y-1(zs • • • Zi(ji+1zi • • • ¿7)^-1 • • • z1 z1(a1,as,ai) = Z1 • • • zs-1(zs • • • Ziai+1zi • • • z;)z-_11 • • • z-1; z(a1, a{) = Z1 • • • Ziai+1z-1 • • • z-1

z(a1,ai) = z1-1 ••• zi-1 ai+1Zi ••• z1 _

К данному множеству слов нужно добавить слова z(1\a1as, Ui), z(1">(010s, Oi) пръ 1 < s < i. Слова z(a1, ai),z(a1, ai) равны a1 в группе G.

Подгруппу, порожденную данным множеством слов, соответствующую пути 7i, выходящего из ai и входящего в а^ обозначим Н(ai,ai),

Н(ai,Ui) < CG(ai). Пути jk+1 j оканчивающегося ребром (ак,&к+1)

С числом Коксетера тк,к+1 = 2к, и соответствующим ему куском Zk+i определяющего соотношения: (ак Ok+i)mk'k+1 = (&к+1,&к )mk+1'k, где Zk+i = Ок+2°к+1°к+2 ••• °к+2,\zk+i | = тккк+1 — 1, соответствует подгруппа Н((г1(Тк+1), к которой кроме образующих z(1K&i,Vk+i) = Z1Z2 • •• Zk+iak+iZk+i ••• zi; z(0)(oi,ak+i) = Z1Z2 • •• zk+izkk+i••• zi; Z(V1, Оk+1) = Zi ••• Zk+i(Tk+iZ• • • z-1 z(ai,ak+i) = zj-1 ••• ~zk+i~1&k+iZk+i ••• zi Нужно добавить образующие

z\ai,as,ak+i) = Ж-1 • • • zT-i-1 (zs • •• Zk+i Ok+i^k+i ••• ~zl)zT-i ••• zi; z1(ai,as,ak+i) = zi ••• zs-i(zs • • • Zk+iOk+i^k+i ••• zT)zS--^1 • •• z-1, где 1 < s < к + 1. Слова z(ai, ak+1),z(ai, ^к+1^ны cti в группе G.

Отметим, что для продолжения пути 7к С Г, нужно начинать из вершниы ак, так как слово z(ai,ak+2) fi Cg(&i)

Подгруппы Н(ai, (7j), 1 < j < п, (п — число вершин графа Г) соответствующие всем путям, выходязим из вершины ai граф а Г групп ы G, образующей свободное произведение подгруппы объединенных по циклической подгруппе (^i). Обозначим эту подгруппа Н(^i), которая будет иметь копредставление

п

Н(ai) = Л *(Н(ai, aj); ai = ai). j=i

Очевидно, H(cti) < Cg(vi)• Нетрудно показать, что любое w £ CG(n) принадлежит (ai rangle x H(^i), для этого необходимо использовать структуры образующих подгруппы Н(cti) и конечность графа Г. Таким образом

п

Cg(&i = (&i) x *(Н(ai, aj); ai = ai) j=i

Отсюда следует, что централизатор Cg(^1) — конечнопорожден. Лемма доказана.

Пусть w,v — циклически, R и R* несократимы в G и пусть w сопряжено v в G. Тогда

существует кольцевая диаграмма сопряженности М с граничными циклами у, 6, такими, что

р (у) = w,p (а) = v-1.

Из леммы 5 следует, что диаграмма сопряженности слов является однослойной.

Пусть Di, D2, D3,..., Ds- последовательность областей, образующих данную диаграмму

к ■

М, и пусть для любого s, 1 ^ s < n,Ds П Ds+1 = es,Dn П D1 = еп, и р (es) = а?1, где aj —образующий группы G.

Параметром кольцевой диаграммы М называется число, ограничивающее абсолютные величины показателей степеней меток внутренних ребер диаграммы М.

Лемма 10. Пусть w,v — циклически, R и R* несократимы сопряжены в G (G — с древесной структурой). Тогда \w\ = |f| .

При доказательстве непосредственно используется лемма 3.

Обозначим через L замкнутый простой цикл кольцевой однослойной диаграммы М с граничными циклами7, 5.

Покажем, что параметр р кольцевой диаграммы сопряженности слов да,у не превосходит с, где с - максимальный по абсолютной величине показатель степени образующего, содержащегося в словах да,V.

Пусть А область М и р(О^) ее метка.

1. Допустим, что ||9А П 7|| = ||9А П ¿|| , тогда

если р (дИг П 7) = р (^г) а*, либо р (дИг П 7) = р (71) а™(р (^2), либо р (дИг П 7) = а^р (Ъ), то (ег-1)1 = ^ (дБг-1 П дОг)1 = (дБг П дБг+1)| = ^ (е—) = 1

и) если (дБ1-1 П дDi)| = к, то (дБ1 П дБ^ 1)| = к

2. Допустим, что ||9А П 7Ц = ||9А П 5|| + 2 (||9А П 5|| = ||^А П 71| + 2);

Ш) если р (дБг П 7) = р (^) а*,(р (сЮ1 П 5) = р (81) а*), то (е>-1 )| = (сЮ— П &А)| = к, аналогично, если р (дИг П 7) = а^р (72), (р (дОг П 5) = а*р (62)), то (ei)| = & (дБг П 9А+1)| = к;

[у) если р (дИг П 7) = р (71) а^р (72), либо р (дИг П 5) = р (¿1) арр (52) метки ребер ег-1,еА : р (е^) = р (еА) = 1.

Заметим, что в случае (и), если все внутренние ребра р ) ,г = 1, п, имеют (е^ = к > 1, то к можно взять равным единице.

Пусть максимальная слоговая длина определяющих соотношений группы О равна К0, тогда длина замкнутого цикла диаграммы М ограничена сверху, а именно, (£)| < Я0 (|^| + |да|) р, где р — параметр диаграммы М.

Обозначим через 5 (да, и) — множество всех слов группы О, длина которых не превышает

Ь0 = В.0 (М + И) р.

Пусть множество всех степеней образующих группы С, показатели которых к ограничены по абсолютной величине числом р, то есть% = {ак|1 ^ г ^ п, ^ ^ р} .

Назовем элементы % кусками.

Рассмотрим следующую последовательность

да0,Н1 ,да1,Н2,да2,... ,Нт,дат,Нт+1,... (2)

где да = да0,даг = Н~1даг-1Нг, Нг е %, У{,даг е 5 (да, у).

Обозначим через 50 = |5 (да, V) | — чисто слов, содержащихся в Б (да, V).

Определение 5. Последовательность да0,Н1,да1,Н2,да2,..., Нт, дат, Нт+1,... назовем фундаментальной, если не существуют а,Р, 0 ^ а < [3 ^ т, такие, что даа = дар.

Лемма 11. Пусть да, V — циклически, К и К* несократимы в С (О - группа Артина с древесной структурой), да, V сопряжены в С тогда и только тогда, когда существует фундаментальная последовательность, оканчивающаяся, словом дат, что дат = V.

Определение 6. . Последовательность

да0,Н1,да1,Н2,да2,... ,На,даа,На+1,.. .,Нр ,дар ,Нр+1,... (3)

назовем базисной, если существуют а, т,акие, что даа = дар, причем [3 — наименьшее из возможных.

Данной последовательности соответствует слово

Тар = Н1Н2 ... На-1На ... Нр На 1.. .Н-1

(4)

принадлежащее централизатору элемента адо = ад, слово, (4) определяется последовательностью слов: адо,ад1,ад2,..., ада,..., адр, в которой все од, кроме ада,адр того различны и для любых од_ 1, од существует Нг е % такое, что Н__1адг_1Нг = адг.

Так как множество слов 5 (ад,ь) конечно, то число различных базисных последовательностей конечно, следовательно, число слов Тар конечно.

Лемма 12. Централизатор элемент,а, ад е С (О - группа Артина с древесной ст,рукт,у-рой) конечнопорожден.

Доказательство. Пусть слоговая длина слова ад больше единицы. Рассмотрим подгруппу группы С, порожденную словами Тар, слоговая длина которых не превышает 2Бо + 1, (50 = |5 (ад,ад) |)

Под длиной конечной последовательности (3), соответствующей слову ад = адо, будем понимать число слов ад г в ней, то есть: ад0,Н1 ,ад1, Н2,... ,адт-1, Нт,адт, Нт+1,где каждое адг е в (ад, ад).

Очевидно, что всякая последовательность (3), соответствующая слову адо, длины больше или равной 50 + 1 является базисной.

Рассмотрим множество всех слов Тар, длины не превосходящих 2Бо + 1, соответствующих всевозможным базисным последовательностям (3) длины не превосходящих 2Бо + 1, соответствующих адо.

Покажем, что всякое ^удовлетворяющее условию: Р-1адоР = адо, принадлежит подгруппе ({Тар})-

ЕСЛИ ^ = 1, то ^ е ({Тар}).

Пусть Р = 1, тогда Р = Н1Н2,... ,Нт где Нг е %, обозначим Е через Рт и пусть для любого к < т слово ^ е ({Тар}).

Слову Рт будет соответствовать последовательность:

адо,Н1,ад1 ,Н2,... ,Нт_1,адт_1Нтадт (5)

Пусть 5о + 1 < т, тогда последовательность (5) - базисная, то есть существуют 0 ^ а < Р ^ + 1 < т, такие что ада = адр.

Рассмотрим слово Т = Н1Н2 ... На-1На ... НрН-1... Я-1. Так как а < Бо,@ ^ 5о + 1, то слово Т имеет слоговую длину меньше 2Бо + 1, поэтому Т е ({Тар}).

Рассмотрим произведение Т-1Р = Н1 ...НаНр+1 ...Нт,Т-1Р е Сс(адо), и так как ||Т-1Р|| < т, то Т-1Р е ({Тар}), отсюда следует, что Р е ({Тар}).

Лемма доказана.

Лемма 13. Существует алгоритм, позволяющий для любого элемента, ад е О (О -группа Артина с древесной структурой) построить его централизатор.

Доказательство.

Доказательство непосредственно следует из того факта, что длина любой фундаментальной последовательности для элемента ад, ||ад|| > 1, большей 5о, будет базисной, поэтому, как показано в лемме 13 множество всех слов Тар, длины которых не превосходят 2Бо + 1 соответ-ствущих эитм последовательностям порождают Сс(адо)- Централизаторы элементов, слоговая длина которых равна единице, как следует из выше изложенного, конечнопорождены и могут быть эффективно построены.

Лемма доказана.

Следствие 1. Централизатор любого элемента в группах Кокет,ера, с древесной структурой конечнопорожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие.

Пусть G - группа Артина с древесной структурой m G — гомоморфная ей группа Кокстера. Пусть в гомоморфизм G на G, то есть G/Ng = в (G) = G, где Ng = (а2, а%,..., °. Пусть CG(w) — централизатор элемента w G G. Обозначим через 9(Cg (w)) — гомоморфный образ подгруппы Cg(w). Очевидно, что в (Cg (w)) = Cg(w)/Nq-

Определение 7. В группе А разрешима проблема вхождения в конечнопорожденную подгруппу Н, если существует алгоритм, позволяющий для любого элемента, w G А установить, принадлежит ли w подгруппе Н.

Л emma 14. [11] В группе Кокет,ера, с древесной структурой разрешима проблема вхождения.

Лемма 15. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема, вхождения в подгруппу Ng = (о2, а..., а.

Доказательство. Рассмотрим образ данного слова w в группе Кокстера G, соответствующей данной группе G. Если w = 1 в G, то w G Ng, что непосредственно следует из леммы 15, согласно которой в группе G разрешима проблема вхождения, а следовательно, разрешима и проблема равенства слов.

Лемма доказана.

Лемма 16. Пусть F — решение уравнения z-1wz = v, то есть F-1wF = v, где F,v,w G G. Тогда множество всех решений данного уравнения образует смежный класс Cg(w) • F подгруппы, Gg(w) в G.

Лемма 17. Пусть zq — решение уравнения z-1 wz = v в группе G, G — группа Артина с древесной структурой, v,w принадлежат Ng. Слова v,w сопряжены в Ng тогда и только тогда, когда в (зд) G 9 (Cg (w)) .

Доказательство. Пусть z0 g Ng, тогда в (z0) = 1 и, следовательно, в (z0) G в (Cg (w)) . Пусть в (z0) G в (Cg (w)) , тогда в (z0) = в (щ ) в (и2) ...в (ит), где в (щ) образующие подгруппы^ (Сg (^)) .

Рассмотрим слово s = u\u2 ... ит G Cg (w) , являющееся одним из прообразов слова в (щ ) в (и2) ...в (ит), и рассмотрим произведение z0s-1,z0s-1 = h, где h G Ng. Поэтому z0s-1w(z0s-1) 1 = hwh-1 = v, то есть слова v,w G Ng сопряжены в Ng-

Если Cg (w) < Ng, то в (Сg (w)) = E, (Е- единичная подгруппа), поэтому из того, что в (z0) G в (Cg (w)) следует, что z0 G Ng.

Пусть zq удовлетворяет соотношению z-1 wzq = v и пусть Q(zq) G ®(Gg(w))- Из леммы 16 следует, что смежный класс Cg(w) • Zo содержит все решения данного соотношения.

Очевидно, что для любого h G Cg(w)Q(hz0) G Q(Cg(w)). Допустим, что существует s0 G N (G) такое, что s-1ws0 = v. Но тогда существует h0 G Cg(w) такое, 4Toh0z0 = s0. Но тогда zo = h-1son &(zo) = S(h-1so) G Q(Cg(w)).

Получаем противоречие. Лемма доказана.

Таким образом, справедлива следующая теорема, анонсированная в [12].

Теорема 1. Пусть G — группа Артина с древесной структурой, тогда в подгруппе Ng < Сразрешима проблема сопряженности слов.

4. Заключение

Отметим, что для групп Артина с древесной структурой проблема сопряженности решается положительно. Таким образом, нами доказано, что крашеные подгруппы групп Артина с древесной структурой наследуют свойство группы: положительное решение проблемы сопряженности.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Безверхний В. Н., Гринблат В. А. Решение обобщенной проблемы сопряженности слов в крашенных подгруппах групп Артина конечного типа. \\ Мат. заметки. Т. 79, Вып. 5, 2006.

2. Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблема равенства и сопряженности в группах Ар-

\\

Инфор-матика». Т.11. Вып.1. «Математи-иса». -Тула, 2006. С. 67-82.

\\

235-254.

\\

С. 56-79.

\\ \\

50-78.

7. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Коксте-

\\

сборник науч. трудов. Тула, 1986, С. 26-61.

\\

родная конференция. Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и их приложения. Тезисы докладов. Тула. 2003, С. 33-34.

9. Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина \\

10. Безверхний В. Н., Безверхняя Н. Б. Решение проблемы равенства и сопряженности слов

\\

том 22, Ш, С.9-27

11. Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема сопряженности подгрупп в конечнопорожден-

\\

3. С. 32-56.

12. Безверхний В. Н., Безверхняя Н. Б. Решение проблемы сопряженности слов в некотором

\\

геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XV межд. конф. Посвященной 100-летию со дня рождения Н.М. Коробова Тула 2018 С. 67-69.

\\

Math. Sue. (3)34 1977? №3, Р.535-556. REFERENCES

1. Bezverkhnv V. N., Grinblat V. A. Solution of the generalized problem of conjugacv of words in

\\

2. Bezverkhnv V. N., Karpova О. Yu. The problem of equality and conjugacv in Artin groups with \\

11. Issue 1. "Matematika". Tula, 2006

\\

p. 235-254.

\\

Pp. 56-79., Pp. 67-82.

\\ \\

50-78.

7. Bezverkhnv V. N. Solving the problem of conjugacv of words in Artin and Coxeter groups \\

scientific works. Tula, 1986, Pp. 26-61.

\\

conference. Algebra and number theory. Modern problems and their applications. Thesis of reports. Tula. 2003, Pp. 33-34.

9. Bezverkhnv V. N. Solving the problem of generalized conjugacv of words in large-type Artin \\

10. Bezverkhnv V. N., Bezverkhnvava N. B. Solving the problem of equality and conjugacv of words

\\

4, P. 9-27

11. Bezverkhnv V. N., Inchenko О. V. the problem of conjugacv of subgroups in finite-born Coxeter

\\

12. Bezverkhnv V. N., Bezverkhnvava N. B. Solving the problem of conjugation of words in a

\\

discrete geometry: modern problems and applications. Materials of the XV international Conf.

Dedicated to the 100th anniversary of the birth of N. M. Korobov Tula 2018 P. 67-69.

\\

Math. Soc. (3)34 1977? №3, P.535-556.

Получено 24.06.2021 г. Принято в печать 6.12.2021 г.