Об алгебре операторов, порожденной сингулярным оператором Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

Об алгебре операторов, порожденной сингулярным оператором Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами

Давлатбой Х. Джумабаев*

Национальный университет Узбекистана, Вузгородок, Ташкент, 700174,

Узбекистан

Получена 18.05.2011, окончательный вариант 25.09.2011, принята к печати 10.11.2011 Показано, что в областях с коническими ребрами С*-алгебра, порожденная сингулярным интегральным оператором Бохнера-Мартинелли, его сопряженным и непрерывными функциями, является неприводимой, а ее алгебра Калкина корректно определена.

Ключевые слова: еингулярный интеграл Бохнера-Мартинелли, коническое ребро, С*-алгебра.

Введение

Хорошо известно граничное поведение интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с гладкой или кусочно-гладкой границей (см., например, [1]). В данной статье мы изучаем его поведение в областях, граница которых содержит конические ребра. Для границ с коническими точками его поведение рассмотрено в [2].

Введем обозначения.

Будем отождествлять С” с К2” следующим образом: = х^- + *хп+ для і = 1,..., п.

То есть (гь г”) = (хі, ...,Х”,Х”+і, ...,Х2”) Є М2”. А х = (хь ..., х2”), х = (хь...,хр+1), х = (хр+э, ...,х2”), х = (х,хр+2,х ).

Рассмотрим гладкую поверхность Т в Мр+2 \ {0} с сингулярной точкой в начале координат, заданную так:

Т = {(гх', г) Є Мр+2 : х' Є X', г Є [0, Д)}. (1)

Точки х' = (хі,..., хр+і) изменяются на компактной гладкой гиперповерхности X в Мр+1, которая не содержит начала координат. Например, X' может быть р -мерной сферой с центром в нуле.

Будем далее предполагать, что X' = {х' Є Мр+1 : р(х') = 1}, где р есть вещественнозначная функция на Мр+1 \ {0} класса С1, удовлетворяющая условиям Ур = 0 на X' и

р(Ах') = А^р(х') для всех А > 0 с некоторой константой Н > 0.

Начало координат является особой конической точкой для Т.

Используя (1), легко найти определяющую функцию гладкой части Т. Действительно, для (х',хр+2) Є £ \ {0} получим, что

а однородность функции р дает

Е = {(ж', Xp+2) € Rp+2 : ^(ж', Xp+2) = 0, жр+2 € [0, R)},

*davlat2112<8rambler.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

-Т5-

где

^(х',хр+2) = р(х') - (хр+2)^.

Пусть

5 = Т х X", (2)

где X — открытое ограниченное множество в М9, р +1 + д = 2п — 1. Таким образом, 5 является гиперповерхностью в С” с коническим ребром Р = О х X (О = (0,..., 0) Є Мр+2). Пусть Б — ограниченная область в С”. Будем считать, что граница Б задается в виде

дБ = У и (51 и ... и 5^),

где У является гладкой гиперповерхностью, а каждая из диффеоморфна конической гиперповерхности 5 (с разными р и д), рассмотренной выше. Таким образом, дБ — гладкая гиперповерхность с конечным числом конических ребер. Отметим, что в таких областях справедлива формула Стокса (см., например, [3]).

Так как анализ вблизи особых точек является локальным, можно считать без ограничения общности, что N = 1, т. е. дБ = У и 5, где

5 = {г Є С” : г = (гх', г, х''), х' Є X', х'' Є X'', г Є [0, Д)}. (3)

Напомним определение интеграла Бохнера-Мартинелли. Пусть функция / интегрируема на дБ (/ Є £1(дБ)), т.е. / интегрируема на гладкой части дБ \ Р. Введем ядро Бохнера-Мартинелли:

иК.*> = (2—^В-1Г1—р”«МЛ -С.

где -С = -С1 Л • • • Л -£”, а —С[к] = —Л Л • • • Л Л —Ог+І. Л • • • Л -С”.

Интегралом Бохнера-Мартинелли назовем интеграл вида

Р(г)= / /(С)и(С, г)

дБ

для г Є дБ.

Если функция / голоморфно продолжается в Б, то Р совпадает с этим голоморфным продолжением. Для областей с кусочно-гладкой границей это утверждение является классическим интегральным представлением Бохнера-Мартинелли. Для областей с коническими ребрами оно легко получается с помощью аппроксимации Б областями с гладкими границами.

Целью работы является изучение алгебры операторов, порожденной сингулярным интегралом Бохнера-Мартинелли, его сопряженными и непрерывными функциями в областях с сингулярными ребрами. Для областей с гладкой границей это исследование было проведено в статье Василевского и Тарханова [4], а для областей с коническими особыми точками — в статье Кытманова и Мысливец [2] (см. также [5]).

1. Известные результаты

Точку г0 Є дБ назовем точкой Лебега для функции / Є £1(дБ), если

^”-т / 1/(^) - /(г0)1= 0,

дВпВ(2°,е)

где В(г0, е) — шар с центром в точке г0 и радиусом е, а — поверхностная мера Лебега на гладкой части дБ.

Если г0 — точка гладкости для дБ, то данное определение есть обычное определение точки Лебега. Для точек, лежащих на коническом ребре, данное определение является новым. Во всяком случае, если функция / непрерывна в точке г0, то эта точка является точкой Лебега для /.

Теорема 1. Если г0 — точка Лебега функции / € Ь1(дБ), тогда для точек г € Б, лежащих на оси конуса, справедливо 'равенство

Иш(| (/(С) - /(г°)МС,г) - I (/(С) - /(г0)МС,г°)) = 0.

дО дО\Б(г0,\г-г0\)

Для данной точки г € дБ обозначим С2 — касательный конус к области Б в точке г. Из вида сингулярности границы находим, что его величина равна телесному углу т(г) € [0,1]

для С2. Если дБ является гладкой в точке г, то т(г) = ^. Для точек г, лежащих на коническом ребре, 0 < т(г) < 1.

Для точек г € дБ особый интеграл Бохнера-Мартинелли от / равен

Мз[/](г)=у.р.|/(С)и(С, г) = Д1+ | /(С)и(С, г). (4)

дБ дБ\Б(г,е)

Обозначим (/)(£) — модуль непрерывности функции / на дБ в точке г € дБ, т. е.

т(/)(£) = вир |/(С) - /(г)|.

СЕдОпБ(г,ё)

Функция / на поверхности дБ удовлетворяет условию Дини в точке г € дБ, если

1

£

о

Теорема 2. Если / Є £1(дБ) удовлетворяет условию Дини в точке г Є дБ, то особый интеграл Бохнера-Мартинелли Р8(г) существует и справедливы формулы Сохоцкого-Племеля

Р +(г) = (1 - т(г))/(г) + М5[/](г),

Р-(г) = -т (г)/(г) + М5 [/](г),

где Р + (г) — граничное значение интеграла Бохнера-Мартинелли Р изнутри области Б, а Р-(г) — граничное значение данного интеграла извне области.

Теорема 3. Пусть / Є £1(дБ) и г0 — точка Лебега для функции /. Тогда справедлива формула

11ш о (Р +(г+) - Р-(г-)) = /(г0)

г±^г0

для точек г+ и г-, лежащих на оси конуса в Б и Сп \ Б соответственно, таких, что |г+| = |г |.

Теоремы 1—3 приведены и доказаны в [6].

Для функции / Є Ссотр(дБ \ {0} х X") определим норму

||/\\l2.y(до) := |(гх/,г)Г27 |/12 ^ > (5)

где 7 Є М.

Обозначим Ь2,7(дБ) — пополнение Ссотр(дБ \ {0} х X//) в соответствии с этой нормой.

Теорема 4. Особый интеграл (4) определяет ограниченный линейный оператор в Ь2,7(X/х [0, Д) х X//), если — р — 1 < 7 < 0.

Пусть ^ — произвольная гладкая функция на дБ, носитель которой лежит в Б, равная

1 в окрестности ребра. Возьмем гладкую функцию ф с большим компактным носителем в Б, которая равна 1 на носителе у>. Такая функция ф называется покрывающей для у>.

Следствие 1. Особый интеграл Бохнера-Мартинелли ф определяет ограниченный линейный оператор в Ь2,7(дБ) при І7І < Р-^—.

Теорема 4 и следствие 1 доказаны в [7].

2. Алгебра, порожденная МБ

Обозначим в пространстве линейных ограниченных операторов в £2,7(дБ) через А (А = А(С(дБ),М^)) — С*-алгебру, порожденную оператором Бохнера-Мартинелли М^, его сопряженным оператором М^ и операторами умножения на функции а/, где а Є С(дБ), а I —

р - 1

тождественный оператор |7| <

2

Теорема 5. Если Б — область со связной границей, то С*-алгебра А неприводима.

Доказательство. Для доказательства неприводимости алгебры А достаточно показать, что А не имеет ненулевых собственных инвариантных подпространств в £2(дБ).

Рассмотрим подалгебру С = {а/ : а Є С (дБ)} в А, порожденную всеми операторами умножения на функции а Є С(дБ). Сначала покажем, что каждое инвариантное подпространство этой подалгебры имеет вид

£2 (дБ) := {Хст/ : / Є £2(дБ)},

где хТ — характеристическая функция измеримого подмножества а С дБ.

Действительно, пусть Т является инвариантным подпространством подалгебры С, и пусть Р : £2(дБ) ^ Т — ортогональная проекция. Нам понадобится следующая лемма (см. [2]).

Лемма 1. Предположим, что А — произвольная С*-алгебра в алгебре £(Н) всех непрерывных линейных операторов гильбертова пространства Н. Если Т — инвариантное подпространство в А и Р : Н ^ Т — ортогональная проекция, тогда Р коммутирует со всеми операторами алгебры А.

По лемме 1 оператор Р коммутирует со всеми операторами подалгебры С. Следовательно, Ра/ = а/Р, и поэтому Р(а) = аР(1) для всех а Є С(дБ). Так как С(дБ) плотно в £2(дБ), то получаем, что Р(/) = Р(1)/ для всех / Є £2(дБ), т. е. Р есть оператор умножения на функцию Р(1).

Далее

Р2 а/ = Р(аР(1)) = аРР(1) = а(Р(1))2.

С другой стороны,

Р2 а/ = Ра/ = аР(1).

Это показывает, что (Р(1))2 = Р(1). Следовательно, функция Р(1) имеет только два значения, 0 и 1, поэтому является характеристической функцией измеримого подмножества а границы области дБ. Таким образом, Р есть оператор умножения на характеристическую функцию Хт.

Ясно, что инвариантные подпространства алгебры А являются инвариантными подпространствами подалгебры С.

По лемме 1 получим

Хт Мя = Мя Хт/.

Комбинируя это равенство с теоремой 2, имеем

Хт = Хт 1 = Хт(( 2/ + М^ ^ = ((2/ + Мя) Хт ^1 = (2/ + М^ Хт = (МХт ) + на дБ.

Используя лемму 1 и теорему 3, получаем, что (Мхт)- обращается почти всюду в нуль на границе. Тогда Мхт = 0 на всем Сп \Б, что следует из теоремы единственности решения задачи Дирихле для дополнения области Б (так как для области Б выполнено условие конуса).

Так как интеграл

Мхт = 1 и (С, г) т

является гармонической функцией вне а, то ясно, что (Мхт)+ = (Мхт)- на дБ \ а.

Если дБ \ а имеет меру нуль, тогда Т есть все пространство £2(дБ). Остается рассмотреть случай, когда множество дБ \ а имеет положительную меру.

В этом случае интеграл Мхт равен нулю вне множества а в Сп. Следовательно, (Мхт)+ = 0 почти всюду на границе и поэтому хт =0 почти всюду на дБ. Отсюда вытекает, что а имеет меру нуль, т. е. все инвариантные подпространства алгебры А тривиальны.

□

Рассмотрим алгебру Калкина А = А/К для алгебры А, где К — идеал компактных операторов в гильбертовом пространстве £2(дБ). Покажем, что А П К = 0.

Лемма 2. Предположим, что а — непрерывная функция на дБ, удовлетворяющая условию |а(г)| ^ С |г|г в окрестности конического ребра с некоторым 3 > 0. Тогда коммутатор [а/, Мя] = аМя — Мя а/ является компактным оператором в £2(дБ).

Доказательство. Пусть а — гладкая функция, удовлетворяющая условиям

|а(г)| ^ С |г|г и

' (6) |г||Уха(г)| < С |г|й

в окрестности конического ребра дБ. Ясно, что а/ является ограниченным оператором из £2(дБ) в £2’й/2(дБ).

Коммутатор

[а/,М5]/(г) = а(г) М5/ (г) - М5(а/) (г) = / (а(г) - а(С)) /(С)и(С, г)

дО

есть ограниченный оператор из L2(dD) в £2,5/2(dD), поскольку Ms есть ограниченный оператор в £2’7(dD) при |y| < Р ++ (см. следствие 1).

Рассмотрим производные коммутатора

|z| dz- /(a(z) - a(C)) f(C)U (C,z) =|z| diZ- Msf (z) +|z| /(a(z) - a(C)) f(C) (C,z)

^D : дD :

для z, C Є dD. В левой части равенства можно дифференцировать под знаком интеграла, поскольку порядок сингулярности на единицу меньше размерности множества интегрирования. Первый член в правой части является ограниченным оператором из L2(dD) в L2,a/2(dD), что ясно из (б).

Второй член есть сумма интегральных операторов с ядрами вида

(Ci — Zi)(C: — % )(Cfc — )

|Z - z|2"+2

или такими, в которых C —Zj заменено на их комплексно сопряженные. Поэтому следствие 1, примененное к этим интегралам, показывает, что второй член есть ограниченный оператор из L2(dD) в £2,5/2(dD).

Если a — непрерывная функция на границе, удовлетворяющей условиям леммы, то a является равномерным пределом гладких функций {av}, для которых выполнены условия

(б). Последовательность операторов {avI} сходится в операторной норме к оператору aI. Поэтому коммутатор [aI, Ms] также будет компактным оператором в L2(dD). □

Теорема 6. Алгебра Калкина 21 = A/K корректно определена, т. е. K С 2.

Доказательство. Так как алгебра 2 неприводима и 2П K = 0, то K С 2 по теореме 5.39 из [8]. □

Как показано в [4], оператор Ms является существенно самосопряженным в гладких точках границы области, т. е. разность Ms — Ms — компактный оператор. Это позволило доказать в [4], что алгебра Калкина тогда является коммутативной и изоморфна алгебре непрерывных функций на спектре оператора Ms.

В нашем случае при n > 1 оператор Ms не будет существенно самосопряженным (для областей с коническими сингулярными точками это отмечалось в [2]), т. е. алгебра Калкина не коммутативна и теорема Гельфанда-Наймарка к ней не применима. Тем самым, данная алгебра устроена более сложным образом, чем в гладком случае.

Список литературы

[1] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера-Мартинелли и его приложения, Новосибирск, Наука, 1992.

[2] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, Сингулярный интегральный оператор Бохнера-Мартинелли на гиперповерхностях с особыми точками, Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика, 7(2007), №2, 17-32.

[3] Л.Шварц, Анализ, М., Мир, 1972.

[4] N.Tarkhanov, N.Vasilevski, Microlocal Analysis of the Bochner-Martinelli Integral, Integral Equation Oper. Theory, (2007), №4, 583-592.

[5] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, Интегральные представления и их приложения в многомерном комплексном анализе, Красноярск, СФУ, 2010.

[6] Д.Х.Джумабаев, Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами, Журнал Сибирского федерального университета. Сер. математика и физика, 4(2011), №1, 77-84.

[7] Г.Худайберганов, Д.Х.Джумабаев, Интеграл Бохнера-Мартинелли на сингулярных гиперповерхностях, Узбекский математический журнал, (2011), №2, 41-52.

[8] R.G.Douglas Banach Algebra Techniques in Operator Theory, Springer Verlag, Berlin et al, 1998.

On the Algebra of Operators Generated by Singular Bochner-Martinelli Operator in the Domains with Conical

Wedges

Davlatboi Kh. Dzhumabaev

It is shown that in domains with conical wedges the C*-algebra, generated by singular integral Bochner-

Martinelli operator, its conjugates and continuous functions, is nonreducible and its Calkin algebra is

correct.

Keywords: The singular Bochner-Martinelli integral, conical wedge, C*-algebra.