О свойствах оператора Бохнера-Мартинелли в полупространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

О свойствах оператора Бохнера-Мартинелли в полупространстве

Гулмирза Х.Худайберганов

Национальный университет Узбекистана, ВУЗгородок, Ташкент, 700174, Узбекистан

Мастура С.Рустамова*

Государственный университет Карши, ул. Кучабаг 17, Карши, 730003,

Узбекистан

Получена 1.10.2007, принята 5.12.2007 В работе исследуются собственные функции и собственные числа оператора Бохнера-Мартинелли в полупространстве

Ключевые слова: оператор Бохнера-Мартинелли, собственные функции, собственные числа.

Рассматривается n-мерное комплексное пространство C”+1 переменных z = (z', zn+i) = (zi, ..., z„, z„+l). Если Z, W e n+1, то (z,W) = Z1W1 + ... + z„W„ + z„+iw„+1, |z| = Vх(z, —), где

— = (—1,...,—„,—„+1).

Если точка z e C”+1, то Re z = (Re z1,..., Re zn, Re zn+1) e M”+1, Re zj = Xj, а Im z =

(Imz1,..., Im zn, Im zn+1) e R”+1, Im zj = yj, j = 1,..., n, n +1.

Ориентация C”+1 определяется порядком координат (x1,..., xn, xn+1, y1,..., yn+1), где x = (x',I„+1) = (X1, . .. ,x„+1), y = (y',yn+1) = (y1,. .. ,y„+1).

Рассмотрим в C”+1 ядро Бохнера-Мартинелли U(?, z) вида

! П+1 — —

U K’ z-> = s (-1)4-1 ¡Zi-TfSfid—I*]л dz,

где dZ = dZ1 Л • • • Л dZn+1, d— [*] = d—1 Л • • • Л d—fc_1 Л d—fc+1 Л • • • Л d—„+ь

Ядро Бохнера-Мартинелли является замкнутой формой типа (n + 1,n) по Z. Оно слу-

жит ядром интегрального представления Бохнера-Мартинелли, играющего важную роль в многомерном комплексном анализе (см., например, [1]).

Рассмотрим (верхнее) полупространство

C++1 = {(z',zn+1) e C++1 : Imz„+1 > 0} ,

граница которого

3C++1 = R2n+1 = {(z,zn+1) e C++1 : Imz„+1 = 0} .

Если функция f e L1(R2n+1), то оператор Бохнера-Мартинелли определим так:

мIf](z) = м(z)= / f(Z)u(Z,z), z e к2”+1.

R2n + 1

Собственные функции и собственные числа оператора Бохнера-Мартинелли для шара рассмотрены в [1, §5]. В данной работе исследуются собственные функции и собственные числа оператора Бохнера-Мартинелли м для полупространства.

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Лемма 1. Сужение ядра и (С, z) на М2п+1 равно

Р (СУ,у„+і) г Є К2”+1, С Є М2”+

1 (Cn+1 zn+1) D (ґ , ч , , тл)2п+1 > тл)2п+1

yn+1

где функция

P (^+1^) = ^ —----------2 , yn+1----2-г^+Т’ z € R2n+\ z € R2n+1

(|z, - z^ + |Cn+1 - xn+1|2 + ^+1)

является ядром Пуассона для полупространства С++1, а £ = (С/,Сп+1) = (Съ ..., Си, С„+1),

О = £? + П?, 3 = 1, .. ., п + 1, и ¿V = Л ¿П = ¿£1 Л • • • Л ¿£„+1 Л ¿^1 А • • • Л ¿п„ •

Доказательство. Для доказательства теоремы вычислим сужение дифференциальной формы ¿С [к] Л на М2п+1. При к = п +1 сужение этой формы равно 0, поскольку в ней содержатся два равных дифференциала ¿С„+1 = ¿£„+1 = ¿С„+1.

Сужение формы ¿С [п +1] Л (как нетрудно вычислить) равно

(-1)п(2г)”Л£ Л ¿п/ = (-1)„(2г)„*.

Отсюда получаем, что сужение ядра Бохнера-Мартинелли имеет вид

п! С„+1 С„+1 , 1 С„+1 ^„+1 уу /

dv = - • ^ • P (Z,, е„+1, z) dv.

2*п„+1 |С - г|2(„+1) 2г у„+1

□

Определим класс функций £^+1(М2„+1) следующим образом: функция / € £^+1(М2„+1), если она измерима на М2„+1, и функция (1 + |ж„+1)/(г/, ж„+1) принадлежит пространству £то(М2„+1). Норму / в £то(М2„+1) обозначим ||/||то. Ясно, что если / € £~+1(М2„+1), то / € £то(М2„+1) и х„+1/ € £то(М2„+1) (и обратно).

Рассмотрим функцию / € £^+1(М2„+1) (р > 1), обозначим через /* ее интеграл Пуассона:

/*(*)= I (/(С/,£„+1)Р(С/,£„+1,^) ¿V.

К2п+1

Как известно (см. [2, гл.2, §2]), функция /* гармонична в С++1, ее граничные значения почти всюду совпадают с / на М2„+1 и при фиксированном у„+1 > 0

II/*(• ,у„+1)1и < II/ 1и

для всех у„+1 > 0. И обратно, если нормы ||/*(• , у„+1)||то некоторой гармонической в С++1 функции /* равномерно ограничены, то существуют почти всюду ее граничные значения на М2„+1 и /* является интегралом Пуассона от своих граничных значений.

Определим функцию

[ д/*

/і(г) = т:---------(г/,ж„+і,Пп+і) ^п„+і + ^(г',жп+і),

З дж„+і і

где ^(г/, ж„+і) есть некоторое решение уравнения Пуассона в М2”+і:

д2/ *

A p = —

dy„+1dx„+1

(при условии существования граничных значений данной функции на М2”+і), где Д — оператор Лапласа в С”+і, а Д — оператор Лапласа в М2”+і:

„+1 д2 „+1 д2 „+1 д2 „ д 2

д = ? дХ2 + ? дУ2, Д = ? дХ2 + ? ^.

Тогда функция /1 гармонична в С„+1. Действительно,

Уп+1 Уп+1

~ Г д/* д2 Г д/* ~

А/1 = Д ----(2/,х„+1,п„+1) ¿П„+1 + ^“1— Ъ-(^/,х„+1,п„+1) ¿П„+1 + Д^ =

J дХ„+1 ду„+1 J дХ„+1

11

Тл д/* ( / , ; , д2/* ( , д2/* ( / 1)

= Дъ--(^ , х„+1, п„+1) «П„+1 + я-Б-(г) -^-Б-(^,х„+1,1) =

] дх„+1 дх„+1ду„+1 дх„+1ду„+1

1

71 д3/* ; , д2/* ( , д2/* ( / 1) о

¿П„+1 + тт--тт--(*0 - тт--тт- (^ ,Х„+1, 1) = 0

У д 2п„+1дх„+1 „ дх„+1ду„+1 дх„+1ду„+1

1

в силу гармоничности функции /*.

Теорема 1. Если функция / € £^+1(К2„+1) и нормы функций

/ (• у„+1) • Х„+1 — у„+1Л(• , у„+1) (1)

равномерно ограничены в £то(М2„+1) при у„+1 > 0, то интеграл Бохнера-Мартинелли от функции / сходится и выполнено равенство

1 %

м [/] = 2 / * + /

Доказательство. Существование интеграла Бохнера-Мартинелли следует из леммы 1 и из свойств интеграла Пуассона

/ /(С)и(С, ¿) = ^^ / /(С)(С„+1 - С„+1)Р(С, ^,у„+1)^,

] 2%У„+1 ./

поскольку / и х„+1/ принадлежат £то(М2„+1). Так как /* гармоническая функция, то

Д(/**„+1) = 27/^ и Д2(/*х„+1 ) = 0.

дх„+1

Рассмотрим функцию /о = /*х„+1 - ^„+1/1. Она гармонична в С++1, поскольку

Д/о = 2- 2= 0 (2)

дх„+1 дУ„+1

в силу определения функции /1.

По условию теоремы эта функции имеет равномерно ограниченные нормы в £то(М2„+!) при фиксированном у„+1. Поэтому /о представляется по своим граничным значениям интегралом Пуассона (см. [2, гл.2, §2])), а ее граничные значения совпадают с /х„+1:

/о(*0 = (/*х„+1 - У„+1/1)(г) = J (/*£„+1 - у„+1/1)(С/,£„+1,0)Р(С/,£„+1, г) ¿V =

К2^+1

= I (/£„+1)(С/,£„+1, 0)Р(С/,£„+1, *0 ¿V, ¿€ С++1.

Тогда из леммы 1 получаем

M [f](z)= f (Z )U (Z,z) = - f (Z )^+—^ p (Z' ,£n+1,z) dv

J yn+1

dR2n+1

1 f Sf/‘°\Z'n+1 zn+1 7-)/>/

, / /(С)£„+1 Р(С/,£„+1,^)й«- — С„+1/*(г)| =

2% \ У„+1 «/ У„+1 I

Д2п+1 /

= ^ ( ^—(/*(*)х„+1 - У„+1/1(^))------—(х„+1 - %У„+1)/*(*0

2% \У„+1 У„+1

1%

= 2 / *(*) +¿/Л*).

□

Пусть теперь для некоторой функции / € £^+1(М2„+1) и некоторой константы а справедливо равенство

М[/](*) = а/*(*), * € С++1.

Тогда

1%

2/ *(*) + ;^/1(*) = а/* (*)

или

(1 - 2а)/*(*) + % • /1(*)=0.

Дифференцируя его по У„+1 и используя (2), получим

(2 _ 1) д/*(*) = -д/1(*) = .д/*(*)

( ) ду„+1 ду„+1 дх„+1 .

Таким образом,

д/*(*) = вд/*(*) (3)

дх„+1 в ду„+1 , ( )

где в = %(1 - 2а).

Это условие показывает, что в качестве функции /1 нужно взять функцию в/* и условие (1) можно заменить на более простое условие равномерной ограниченности норм функции /*(*)(х„+1 - вУ„+1). В дальнейшем будем исследовать условие (3).

Пусть сначала п = 0, тогда интеграл Бохнера-Мартинелли превращается в интеграл Коши, а из (3) получаем

d2f* = в2д2f* dx2 в dy2 .

-1 дУ1

Поскольку /* — гармоническая функция в верхней полуплоскости, то

д2/* д2/* _

+ о 2 0,

d2f *

дх2 ду2

таким образом имеем

(1 + в2) =0

При в2 = -1 функция /* становится линейной, а линейная функция ограничена на С+, только когда она является постоянной. Поскольку мы еще требуем ограниченность функции х„+1/, то эта константа равна нулю.

При в2 = -1 получаем, что в = ±%. Тогда из (3) очевидно получаем, что /* либо голоморфна (при этом а =1), либо антиголоморфна (при этом а = 0). Так что собственными функциями среди функций из £5ю(М1) служат голоморфные или антиголоморфные функции.

Пусть п > 0. Так же, как и в одномерном случае получаем, что

d2f * = в2

1'п+1 дуп+1

При в2 = -1, как и выше, получаем, что / * голоморфна или антиголоморфна по последнему переменному г„+1, в этих случаях а =1 или а = 0. Кроме того, при фиксированном гп+1 эта функция гармонична по переменным г'. Так как для почти всех она ограничена, то /* по теореме Лиувилля постоянна по г', т.е от г' не зависит.

При в2 = 1 получаем из условия гармоничности функции / *, что

Д f * + (1+ в2)

дхП+1'

С другой стороны условие (3) влечет, что / зависит от жп+1 — вУп+1 = ¿.

Тогда функция /2(2',¿п+1) = / *(г', жп+1 + *уп+1) (такая замена правомерна, поскольку /* вещественно аналитическая) удовлетворяет условию

Д /2 + (1 + в2) дд/г = 0,

т.е. функция /^г'^/у71 + в2) гармонична в М2”+1. По условию она ограничена на М2”+1, что возможно лишь для постоянной функции. Следовательно, функция /* постоянна в С++1, поскольку функция ж„+1/ также ограничена, то эта постоянная равна нулю.

Теорема 2. Пусть функция / € £^+1 и ||/*(- , у„+1)||то = 0(1/у„+1 при у„+1 ^ +го. Собственными функциями оператора Бохнера-Мартинелли из этого класса являются функции одного переменного гп+1, голоморфные по гп+1 с собственным числом, равным 1, и, соответственно, функции антиголоморфны по гп+1 с собственным числом, равным 0, и только они.

Если / € (М2”+1, то интеграл Бохнера-Мартинелли может от такой функции расхо-

диться, например, / = 1. Его нужно тогда рассматривать в смысле главного значения по Коши:

V*. / /(С)и(С,г)= Иш / /(С)и(С, г), г € К2”+1,

М2п+! Бя

где Вд — шар с центром в нуле радиуса Д в М2”+1.

Предложение 1. Справедливо равенство

v.p. J U(Z,z) =

R2n + 1

Уп+1 > 0,

Уп+1 < 0.

Доказательство. Пусть п = 0, тогда интеграл Бохнера-Мартинелли превращается в интеграл Коши. Поэтому

д д

[ ^1 [ £1 — ¿1 1 (Д — Ж1)2 + У2 Д — Ж1. Д + Х1

Т------ = 77------^“1--2 ^1 = о1п^1--------^----2 + * аГС^-------- + * аГС^--------.

.! £1 — г1 .} (£1 — Ж1)2 + у2 2 (Д + Ж1)2 + у2 У1 У1

-д -д

Устремляя в этом равенстве Д ^ +го, получаем требуемое.

Если п > 0, то рассмотрим г = 0 и вычислим главное значение особого интеграла Бохнера-Мартинелли в нуле и в бесконечности. Для этого рассмотрим область Б в С++1, ограниченную полусферами с центром в нуле, радиусами г и Д и частью плоскости М2”+1. Тогда

/ и (С, 0) = 0.

дВ

2

Расписывая dD на интегралы по полусферам и на интеграл по части плоскости, нетрудно понять, что интегралы по полусферам противоположны по знаку и равны по модулю, поэтому их сумма равна 0. Отсюда получаем, что

v.p. У U(Z, 0)=0.

R2n+1

Такое же рассуждение справедливо для любой точки z G M2n+1. Поэтому главное значение особого интеграла Бохнера-Мартинелли от 1 равно нулю. Для доказательства предложения остается воспользоваться формулами Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли (см., например, [1, §2]). □

Список литературы

[1] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения, Новосибирск, Наука, 1992.

[2] И.Стейн, Г.Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974.

On the Properties of the Bochner-Martinelli Operator in Half-Space

Gulmirza X.Xudayberganov Mastura C.Rustamova

In the paper the eigen functions and the eigen values of the Bochner-Martineli operator in half-space are investigated.

Key words: Bochner-Martinelli operator, eigen functions, eigen values.