Граничное поведение интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

Граничное поведение интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами

Целью работы является изучение интеграла Бохнера-Мартинелли в ограниченных областях с коническими ребрами.

Ключевые слова: интеграл Бохнера-Мартинелли, области с коническими ребрами.

Данная работа посвящена изучению интеграла Бохнера-Мартинелли в ограниченных областях пространства Сп, п > 1, граница которых содержит конические ребра и тем самым не является кусочно-гладкой. Для областей с кусочно-гладкой границей граничное поведение интеграла Бохнера-Мартинелли хорошо изучено (см., например, [1]). В случае, когда граница области содержит одну коническую особую точку, интеграл Бохнера-Мартинелли был рассмотрен в работе [2]. В случае конических ребер этот интеграл изучался в [3], но при этом требовалась однородность самого ребра, что значительно сужало класс множеств. В нашем рассмотрении это требование отсутствует. Сначала введем класс поверхностей, которые мы будем изучать.

Будем отождествлять пространство С” с пространством М2п следующим образом: г = (^1,..., гп) — комплексный п-мерный вектор из С”, ж = (жі,..., ж2п) — действительный 2п-мерный вектор из М2п и = Xj + ixn+j, і = 1,..., п. Разделим переменные Xj на группы: х' = (жі,..., жд), ж" = (хд+і,..., Ж2п-і), ц ^ 0. Обозначим ! = 2п — 2 — ц, т.е. ! + ц = 2п — 2.

Пусть X — компактное замкнутое гладкое многообразие в М^+1 \ {0} размерности !, определяемое вещественнозначной функцией р Є С1(М^+1 \ {0}) со свойствами:

Тогда СО есть коническая гладкая поверхность размерности й +1 в М^+2 с единственной особой точкой в нуле.

Мы также будем рассматривать пространство С” в переменных т = (т,..., и>„) и пространство К2” в переменных у = (ух,..., У2”), причем т- = у- + *уп+-, ] = 1,..., п. Тогда в переменных т

Барлыкбай Б. Пренов*

Каракалпакский государственный университет, академика Ч.Абдирова, 1, Нукус, 742000,

Узбекистан

Получена 31.02.2012, окончательный вариант 31.03.2012, принята к печати 16.04.2012

X = {ж" е М^+1 : р(ж") = 0}, йр = 0 на X.

В отличие от работы [3] мы не требуем однородности функции р. Фиксируем £о > 0. Рассмотрим множество

CQ = {(rx//, r) Є Rd+2 : x// Є X, x2n = r Є [О, є0]}.

Со = {(у'',У2п) : у'' = гж'', У2п = г, ж'' Є X, г Є [0,єо]}. Определяющая функция поверхности Со имеет вид х(у'',у2п) = р

тогда

Co = {(У^ У2”) : Х(У^ У2”) = О}.

(l)

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Пусть Ш — ограниченная область в Мд и у' Є Ш. Обозначим £ = Ш хС0 — гиперповерхность в Сп, т.е.

£ = {у = (у ', у'', У2п) Є М2п : х(у) = х(у'', У2п) = 0, у ' Є Ш}. (2)

Множество £ является гладким многообразием с особым коническим ребром П = {у = (у', 0,0) Є Ш}.

Пусть Б — ограниченная область в Сп. Будем считать, что граница Б задается в виде

дБ = £ и (£1 и ... и 5^),

где £ является гладкой гиперповерхностью, а каждая из диффеоморфна конической гиперповерхности £ (с разными р и !), рассмотренной выше. Таким образом, дБ — гладкая гиперповерхность с конечным числом конических ребер. Отметим, что в таких областях справедлива формула Стокса (см., например, [4]).

Так как анализ вблизи особых точек является локальным, можно считать без ограничения общности, что N = 1, т. е. дБ = £ и £, где £ имеет вид (2).

Меру Лебега размерности ц будем обозначать !Лд и интегрировать по ней будем только на гладких частях многообразий. Функция f Є £1(дБ), если / Є £1 (£) и f Є £1(£ \ П).

Предложение 1. Для меры Лебега гиперповерхности £ справедливы оценки

сіЛг !Лд(у ') !Л^(у '') < !Л2п-і(у) < С2Лг !Лд(у ') !Л^(у ''), (3)

где с1, с2 — некоторые константы, 0 < с1 < с2 < +го.

Доказательство. Поскольку на дБ мера !Л2п-і(у) является прямым произведением мер !Лд (у) и !Л^+1(у), то для доказательства неравенств (3) достаточно доказать неравенства

еіггі!г!Лгі(у'') < !Лгі+і(у'',у2п) < с2г^!г!Л^(у''), (4)

где !Л^+1(у'', у2п) — мера Лебега на гладкой части поверхности С0 вида (1).

Зададим X локально параметризацией

уд+1 =

у2п-1 = ^г+і^^

(5)

где в = (01,... в^) изменяются на ограниченном открытом множестве и С К^, а ^ = (^1,..., ^+1) есть гладкое (класса С1) отображение из V в К^+1 максимального ранга й в V.

Пусть ССо — матрица Грама С0, т.е.

/1 + (^) Г^,^ ) ... г(^) ^

Г ,^) Г2(^ ,^ ) ... Г2(^ ,^ )

иСо

\г(^ ^) г2(^^) ... Г2 (^ ^)/

где

, ^д^1 д^+1

=

а (Ґ, ^), (^0., ) — скалярные произведения в М^+1 векторов ^, ^0,, ,Р0к, і, к = 1,..., !.

Тогда ________

!Л^+і = !г!^і • • • !0^.

С другой стороны, матрица Грама на X равна

' ^=1

Поэтому

сх = ( (ч, ,^));

<«й+1 = ^ ^ (МА^ = ф(г1й)г^йг^А^1

Vdet

а функция Ф(г, 0) отлична от нуля на [0, £о] х и.

Пусть f € £1(дБ), точку уо € $ назовем точкой Лебега для функции /, если

Ііт є1 2” [ |/(у) - /(уо)| ЙЛ2П-1 =0,

—+0 .]

1-2

^пВ(уо,є)

где В(уо,є) — шар с центром в точке у0 радиусом є.

Введем интегральный оператор Бохнера-Мартинелли

М[/](г) = [ /(-)и(ад, г), г = дБ, / Є £^дБ), дв

.г

где ядро и (ад, г) имеет вид

и (ад, г) = (-—У^( — 1)5-1-;—5^ад[?] Л йад,

( , ) (2пі)” ^( ) |- - г|2п Ш ,

5=1

здесь йад = й—1 Л ... Л йад„, а йад[?] получается из йад вычеркиванием дифференциала йад Рассмотрим сингулярный интегральный оператор Бохнера-Мартинелли

Мд[/](г) = у.р^ У /(ад)и(ад, г) = Ііт0 J /(-)и(-,г), г Є дБ.

дВ аВ\В(г,г)

Теорема 1. Если у0 = (у0, 0, 0) Є П — точка Лебега функции / Є £1(дБ) и точка г = ж = (у0, 0,ж2п) лежит на оси конуса, то

Ііт

г——у°

(/(-) - /(у0))и(-,г) - у (/(-) - /(у0))и(-,у0)

Я\В(у°,|ж2п|)

0

Данное утверждение является обобщением леммы Привалова на случай областей с коническими ребрами (см. теорема 2.6 из [1]). Для областей с однородными коническими ребрами оно содержится в [3].

Доказательство. Пусть у0 лежит на коническом ребре П. Можно считать, что у0 = 0, а дБ = Б. Рассмотрим гиперплоскость Н = {^ Є С” : Ж2П = 0}, проходящую через начало координат и ортогональную оси конуса. В окрестности 0 коническая поверхность Б (в силу (5)) задается уравнениями

{у ' = и ',

у " = «2”-1^ (0), (6)

у2” = «2”-1,

где

{г = (0 ', 0 '',Ж2„)

С = (у,У ",У2п ) т = (и ', и ", 0),

С = С (т).

Более точно из (5) и из того, что и" = ^(0) имеет максимальный ранг, получаем, что на X последняя координата и2п-1 = ^>(ид+1,... ,и2п-2). Поэтому в представлении (6) получаем, что уд+1 = и2„-1ид+1,... ,У2п-1 = и2„-1^(ид+1, ...,и2п-2),У2п = и2„_1. Здесь переобозна-чена координата и2п через и2п-1.

Далее, по сути дела, доказательство идет так же, как доказательство теоремы 1 из [3]. Фиксируем (2п — 1) -мерный шар В' с центром в нуле и радиусом ео > 0 в Н такой, что выполняется неравенство

|т — г| < с |С(т) — г| (7)

для всех т € В'.

Для того чтобы увидеть, что константа с > 0 с данным свойством существует, заметим, что и коническая поверхность, и данная оценка инвариантны относительно растяжения (гомотетии), поэтому можно зафиксировать г. Для фиксированного г получим очевидное неравенство |т — г| ^ с |гп — г| ^ с |£(т) — г|, где гп — проекция г на коническую поверхность в сечении конуса плоскостью, проходящей через три точки 0, г и т.

Положим |г| = е. Запишем

1з(/(С) — /(0))и(с, г) — I (/(С) — /(0))и(С, 0) =

^\В(0,е)

= I (/(С) — / (0))(и (с, г) — и (С, 0))+ У (/(С) — / (0))и (с, г)

Я\В(0,е) 5пВ(0,е)

и оценим второй интеграл с правой стороны. Как и выше, имеем

с |С(т) — г| > |т — г| > |г| = е,

поэтому

1 / с \2п-1

|С(т) — г|2п-1 ^ \е/

Отсюда

(/(С) - /(0))и(с, г)

ЙпВ(0,є)

<

С

,2”-1

I |/(С) - /(0)| ЛЛ2”-1(С) ^ 0

ЙпВ(0,є)

при е ^ 0, поскольку 0 — точка Лебега для функции /.

Вернемся к первому интегралу и рассмотрим коэффициенты дифференциальной формы и (С, г) — и (С, 0), для которых

С

К - г|

2”

К |

2”

С

|С - г|

2”

|С |

5

|С - г|

Последнее слагаемое в правой стороне легко оценивается, а именно:

|г| 2п N

с

5|

|С - г|

2”

|— - г|

2”

= с2”

|-|2 + |г|2)”'

—

—

”

||С|-|С - г|| ^

Первая разность оценивается так:

1с — г|2” — 1с|^1 = | |С||С — г| к=о |С|к|С — г|2”—1—к _

2п— 1 1

= |г| ^ |С|к|С — г|2”—к .

Так как £ € В(0,е) в первом интеграле, то получаем |£| ^ |т|. Более того, дробь -—|—|—l ограничена снизу положительной константой, поскольку это частное равно косинусу угла между векторами т и т — г, а этот угол не может быть близок к ^. Следовательно,

Ы

|и(С г) — и(C, 0)| < С (|т|2 + |г|2)п ^Л2п—1(С)

для всех £ € Б \ В(0, е). По предложению 1 заключаем, что йА2П-1(С) ^ сЛ2П-1(—), где Л2п-1(—) — форма объема для гиперплоскости Н.

Поэтому

I (/(С) - / (0))(и (с, г) - и (С, 0))

£\£(0,є)

<

« С / |/(С(»)) - /(0)| (|№|2 +„2,” Л2.,-■('») «

Я\В(0,є)

< С/|/КМ) - /(°1| (к|2 + |г|2)” Л2"-<»>

|т|2 + |г|2)” н

для некоторой константы С, не зависящей от е.

N

Выражение т.—р:----. есть ядро Пуассона для полупространства в С” с точностью

(|т |2 + |г|2)” до постоянного множителя.

Так как 0 — точка Лебега для функции /, то лемма 2 из [2] показывает, что точка 0

является точкой Лебега для функции /(£(т)) на Н. Поэтому, применяя теорему 1.25 из [5],

получаем, что последний интеграл стремится к нулю при е ^ 0. □

Пусть г € дБ, обозначим т(г) выражение

то1{дВ(г, е) П Б}

т(г) = 11т -----...п,----—.

е^+о то1{дВ(г, е)}

Другими словами, т(г) есть телесный угол касательного конуса к поверхности дБ в точке г. Особый интеграл Бохнера-Мартинелли тесно связан с телесным углом.

Лемма 1. Для г € дБ справедлива формула Мя[1](г) = т(г).

Доказательство данного утверждения полностью повторяет доказательство леммы 2.1 из [1] для областей с кусочно-гладкой границей.

Обозначим (/)(£) — модуль непрерывности функции / на дБ в точке г € дБ, т. е.

т (/)(£) = вир |/(С) — / (г)|.

СедВпВ(г,й)

Функция / на поверхности дБ удовлетворяет условию Дини в точке г € дБ, если

1

J т(/)(£) у < те.

о

Отметим, что если функция / удовлетворяет условию Дини в точке г, то эта точка является точкой Лебега для /.

Приведем аналог формулы Сохоцкого-Племеля для особого интеграла Бохнера-Марти-нелли.

Следствие 1. Если / € £1(дБ) удовлетворяет условию Дини в точке г € дБ, то особый интеграл Бохнера-Мартинелли М8[/](г) существует и справедливы формулы Сохоцкого-Племеля

М [/] +(г) = (1 — т (г))/(г) + МзМ(г),

М [/] — (г) = —т (г)/(г)+ М8[/](г),

где М +[/](г) — граничное значение интеграла Бохнера-Мартинелли М[/] изнутри области Б, а М —[/](г) — граничное значение данного интеграла извне области.

Доказательство полностью повторяет доказательство формул Сохоцкого-Племеля из [1, § 2], используя теорему 1 и лемму 1. □

Сформулируем теорему о скачке для интегрируемых функций.

Теорема 2. Пусть г0 € П — точка Лебега функции / € £1 (дБ), тогда

11т (М+[/](г+) — М —[/](г—)) = /Ы, (9)

где точки г± лежат на оси конуса в точке г0 и г+ € Б, г— € С” \ Б, |г+| = |г—|.

Для функций, удовлетворяющих условию Дини, данное утверждение есть прямое следствие формул Сохоцкого-Племеля (8).

Для областей с гладкой границей теорема 2 приведена в [1, § 3], для областей с однородными коническими ребрами она доказана в [3].

Доказательство. Использование неравенства (7) позволяет применить схему доказательства теоремы о скачке из [1, теорема 3.1].

Пусть дБ = £ и Б.

Рассмотрим точки из Б, в которых нарушается гладкость. Пусть точка г0 € Б лежит на коническом ребре П. Можно считать, что г0 = 0. Рассмотрим гиперплоскость Н = {г € С” : Х2” = 0}, проходящую через начало координат и ортогональную оси конуса. В окрестности 0 коническая поверхность Б задается уравнениями (6), причем

Г г± = (0', 0 '±Ж2”),

I С = (У /,У",У2”),

I т = (и и0),

и = С (т).

Фиксируем (2п — 1)-мерный шар В' с центром в нуле и радиусом е0 > 0 в Н такой, что выполняется неравенство

|т — г±| < с |С(т) — г±| (10)

для всех т € В , справедливость которого доказывается так же, как справедливость неравенства (7).

Рассмотрим разность

Так как

^ + (г+) - ^"(г") = [ (/(С) - /(г0))и(С, г+)-дв

- (/(С) - / (г0))и (С,г") + / (г0) / (и (С,г+) - и (С, г")).

дВ дВ

[(и(С,г+) - и(С,0) = 1,

дВ

нам достаточно доказать, что

В интеграле

11ш І' (/(С) - / (г0))(и (С, г+) - и (С, г")) = 0.

J

дВ

I (/(С) - / (г0))(и (С,г+) - и (С,г"))

дВ\В(0,ео)

можно сделать предельный переход под знаком интеграла, поскольку г0 € дБ \ В(0, £0) ±1т о I' (/(С) — /(г0))(и(С,г+) — и(С,г—))=0.

д^\В(0,ео)

Осталось рассмотреть этот интеграл по множеству Б П В(0, £0).

±іш о / (/(С) - /(г0))(и(С,г+) - и(СО) = 0.

(11)

£ПВ(0,£о)

Так как В' = В(0, £0) П Н, то в силу неравенства (10), наложенного при выборе шара В', и очевидных неравенств |£(т)| ^ С|т| ^ С|т — г±| получим

й

й

|С - *+ К - г"1

|С - г+|2п |С - г"|2п

1 2п"1

Е

і=0

|й I

2п"1

ІІС - г+ |-|С - г"|||Ск | Е

ІС - г+НС - г"| 1

" |2п"і"1

(12)

2п"1

< сС2п £

=0 |С - г+|і+1|С - г-| |г+| + |г"|

2п" і

<

=0 |ад - г+|і|ад - г |

2п"і

Поэтому из (12) имеем

й

й

|С - г+|2п |С - г"|

" 12п

<

где ! зависит лишь от С, с. Точно так же

|С - г+|2п |С - г"|

" 12п

<

<

|сй |

+

ы

<

^1 |г+1

|С - г+|2п |С - ,г"|2п |ад -

у+ I 2п

1

<

И, наконец, ! Л2И—1(С) ^ ^2 !Л2П-1(—) по предложению 1.

Рассмотрим интеграл

I (/(С) — / (0))(и (С,г+) — и (С, г-))

йпВ(0,е0)

< Г |(/«<“» - /+°»||г+| !5.

у (|т|2 + |г+12)”

В'

|г+1

Выражение ——^-------- „ есть (с точностью до константы) ядро Пуассона для полупро-

(|т|2 + |г+ |2)п

странства. Так как 0 — точка Лебега функции /, то лемма 2 из [2] показывает, что точка 0 является точкой Лебега для функции /(£(т)) на Н. Поэтому, применяя теорему 1.25 из [5], получаем, что последний интеграл стремится к нулю при £ ^ 0. □

Доказательство теоремы 2 показывает, что для непрерывных на дБ функций / и точек, лежащих на ребре П, справедлива равномерная сходимость в формуле (9) по г0 € П. Отсюда обычным образом получаем утверждение.

Следствие 2. Если / € С(дБ) и М[/] непрерывно продолжается изнутри Б на дБ до функции М + [/], то функция М[/] непрерывно продолжается извне Б на дБ до функции М— [/] и справедливо равенство

М +[/](г) — М —[/](г) = /(г), г € дБ.

Доказательство. Для точек гладкости г € дБ это свойство хорошо известно (см. [1, гл. 1]). Для точек из П это следует из равномерной сходимости в формуле (9). □

Список литературы

[1] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения, Новосибирск, Наука, 1992.

[2] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, Сингулярный интегральный оператор Бохнера-Мартинелли на гиперповерхностях с особыми точками, Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика, 7(2007), вып. 2, 17-32.

[3] Д.Х.Джумабаев, Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами, Журнал СФУ. Сер. математика и физика, 4(2011), вып. 1, 77-84.

[4] Л.Шварц, Анализ, М., Мир, 1972.

[5] И.Стейн, Г.Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974.

The Boundary Behavior of the Bochner-Martinelli Integral in Domains with Conical Wedges

Barlykbay B. Prenov

The purpose of our paper is searching of the Bochner-Martinelli integral in bounded domains with conical

wedges.

Keywords: Bochner-Martinelli integral, the domains with conical wedges.