Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами

Давлатбай Х. Джумабаев*

Национальный университет Узбекистана, Ташкент, Вузгородок, 700174, Узбекистан

Получена 18.05.2010, окончательный вариант 25.08.2010, принята к печати 10.10.2010 Доказаны теорема Привалова, формула Сохоцкого-Племеля, теорема о скачке для интеграла Бохнера-Мартинелли в ограниченных областях пространства Сп с сингулярными ребрами на границе.

Ключевые слова: интеграл Бохнера-Мартинелли, формула Сохоцкого-Племеля,, коническое ребро.

Хорошо известно граничное поведение интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с гладкой или кусочно-гладкой границей (см., например, [1]). В данной заметке мы изучаем его поведение в областях, граница которых содержит конические ребра. Для границ с коническими точками его поведение рассмотрено в [2]. Введем следующие обозначения.

Будем отождествлять С" с К2" следующим образом: ^ = х^ + гх„+ для ] = 1,..., п. То есть (¿1, ...,£„) = (х1, ...,х„,х„+1, ...,Х2п) € М2". А х = (хь ..., Х2„), х = (хь...,хр+1), х = (хр+з, ...,х2"), х = (х,хр+2,х ).

Рассмотрим гладкую поверхность Е в Мр+2 \ {0} с сингулярной точкой в начале координат, заданную так:

Е = {(гх', г) € Мр+2 : х' € X', г € [0, Д)}. (1)

Точки х' = (х1,... ,хр+1) изменяются на компактной гладкой гиперповерхности X в Мр+1, которая не содержит начала координат. Например, X' может быть р -мерной сферой с центром в нуле.

Будем далее предполагать, что X' = {х' € Мр+1 : р(х') = 1}, где р есть веществен-нозначная функция на Мр+1 \ {0} класса С1, удовлетворяющая условиям Ур = 0 на X' и р(Ах') = А^р(х') для всех А > 0 с некоторой константой Н > 0. Начало координат является особой конической точкой для Е.

Используя (1), легко найти определяющую функцию гладкой части Е. Действительно, для (х',хр+2) € Я \ {0} получим, что

а однородность функции р дает

Е = {(х', хр+2) € Мр+2 : ф(х', хр+2) = 0, хр+2 € [0, Д)}, где ф(х',хр+2) = р(х') - (хр+2)^. Пусть

5 = Е х X'', (2)

*davlat2112@rumblet.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

где X — открытое ограниченное множество в М9, р +1 + ц = 2п — 1. Таким образом, Б является гиперповерхностью в Сп с коническим ребром Р = О х X (О = (0,..., 0) €

МР+2).

Пусть Б — ограниченная область в Сп. Будем считать, что граница Б задается в виде

дБ = У и (Б1 и ... и Б№),

где У является гладкой гиперповерхностью, а каждая из Би диффеоморфна конической гиперповерхности Б (с разными р и ц), рассмотренной выше. Таким образом, дБ — гладкая гиперповерхность с конечным числом конических ребер. Отметим, что в таких областях справедлива формула Стокса (см., например, [3]).

Так как анализ вблизи особых точек является локальным, можно считать без ограничения общности, что N = 1, т. е. дБ = У и Б, где

Б = [г € Сп : г = (гж', г, ж''), х € X', ж'' € X'', г € [0, Д)>. (3)

Напомним определение интеграла Бохнера-Мартинелли. Пусть функция / интегрируема на дБ (/ € £1(дБ)), т.е. / интегрируема на гладкой части дБ \ Р. Введем ядро Бохнера-Мартинелли

и(С,г) = ^^ У (-1)Й-1Д—гП ад А

' (2пг)п |С - г|2п 1 ]

где ¿С = ¿С1 А • • • А ¿Сп, а ¿С[к] = А • • • А А ¿0г+1 А • • • А ¿Сп.

Интегралом Бохнера-Мартинелли назовем интеграл вида

Р(*) = У /(С)и(С, г)

дБ

для г € дБ.

Если функция / голоморфно продолжается в Б, то Р совпадает с этим голоморфным продолжением. Для областей с кусочно-гладкой границей это утверждение является классическим интегральным представлением Бохнера-Мартинелли. Для областей с коническими ребрами оно легко получается с помощью аппроксимации Б областями с гладкими границами.

1. Аналог теоремы Привалова для интеграла Бохнера-Мартинелли

В этом пункте рассматривается аналог теоремы Привалова, связанный с поведением интеграла Бохнера-Мартинелли при переходе через границу области вблизи конического ребра Б. Для гладких гиперповерхностей дБ это утверждение см. в [1, § 2]. Для областей с коническими особыми точками на границе оно рассмотрено в [2].

Точку г0 € дБ назовем точкой Лебега для функции / € £1(дБ), если

1™ ¿¿1 / I/(С) - /(г°)ИБ = 0,

дСпВ(г°,£)

где В(г°, е) — шар с центром в точке г° и радиусом е, а ¿Б — поверхностная мера Лебега на гладкой части дБ.

Если г° — точка гладкости для дБ, то данное определение есть обычное определение точки Лебега. Для точек, лежащих на коническом ребре, данное определение новое. Во всяком случае, если функция / непрерывна в точке г°, то эта точка является точкой Лебега для /.

Теорема 1. Если г0 — точка Лебега функции / € тогда для точек г € Б, лежа-

щих на оси конуса, справедливо 'равенство

Ишо(| (/(С) - /(г0))и(С, г) - I (/(С) - /(г0))и(С, г0)) = 0.

Доказательство. Если точка г0 лежит на гладкой части дБ, то поведение интеграла Бохнера-Мартинелли вблизи г0 хорошо изучено (см. [1]). Мы рассмотрим случай, когда г0 лежит на коническом ребре ^ = О х X .

Можно считать, что г0 = 0, а дБ = Рассмотрим гиперплоскость Н = {г € Сп : жр+2 = 0}, проходящую через начало координат и ортогональную оси конуса. В окрестности 0 коническая поверхность 5 задается уравнениями

V = и'

Ур+2 = V Р(и')

У = и''

где

'г = (0',Хр+2, 0'')

С = (у',ур+2,у'')

ад = (и ', 0, и''),

= с м.

Фиксируем (2п — 1) -мерный шар В' с центром в нуле и радиусом £0 > 0 в Н такой, что выполняется неравенство

|ад - г| < с |СМ - г| (4)

для всех ад € В'.

Для того чтобы увидеть, что константа с > 0 с данным свойством существует, заметим, что и коническая поверхность, и данная оценка инвариантны относительно растяжения (гомотетии), поэтому можно зафиксировать г. Для фиксированного г получим очевидное неравенство |ад-г| < с |гп -г| < с (ад) -г|, где гп — проекция г на коническую поверхность в сечении конуса плоскостью, проходящей через три точки 0, г и ад. Положим |г| = £. Запишем

¡з(/(С) - /(0))и(С, г) - | (/(С) - /(0))и(С, 0) =

5\В(0,Е)

= / (/(С) - / (0))(и (С, г) - и (С, 0))+ I (/(С) - / (0))и (С, г)

5\В(0,Е) ^ПВ(0,е)

и оценим второй интеграл с правой стороны. Как и выше, имеем

с |С(ад) - г| > |ад - г| > |г| = £,

поэтому

1 < /с\2п-1

|С(ад) - г|2п-1 ^

Отсюда

' ' С

! (/(С) - /(0))и(С, г)

SПB(0,£)

<

£2п 1

БпВ(0,Е)

I |/(С) - /(0)| ^ ^ 0

при е ^ 0, поскольку 0 — точка Лебега для функции /.

Вернемся к первому интегралу и рассмотрим коэффициенты дифференциальной формы и (С, г) — и (С, 0), для которых

0 гз

1С — г|2и 1С |

|2и

1С — г|2и 1С |2^ |С — ¿|2и'

Последнее слагаемое в правой стороне легко оценивается, а именно:

|

|С — г|

2и

^ С

2 и

N

2и

N

|т — г|

2и

|т|2 + |г|2)и '

Первая разность оценивается так

|Сз |

1

1

К — г|2и |С |

2и

|Сз |

||С| —|С — г|| 2и-1

" |С ||С — г|

2и-1

|С|к|С — ¿|2и-1-к

иЕ

к=0

|С |к |С — г|

2и-к

Так как С € В(0, е) в первом интеграле, то получаем | ^ |т|. Более того, дробь

N

|т — г|

ограничена снизу положительной константой, поскольку это частное равно косинусу угла между векторами т и т — г, а этот угол не может быть близок к . Следовательно,

|и (С, г) — и (С, 0)| < С -

N

|т|2 + |г|2)'

для всех ^ € 5 \ В(0, е). По лемме 2 из [2] заключаем, что ^ с (хр+2'т.е.

^ С ¿в(т), где — форма объема для гиперплоскости Н, а ') — мера Лебега на

X (в [2] лемма 2 приведена для случая конических особых точек, но она очевидным образом переносится на наш случай — конических ребер). Поэтому

1

1

з

з

1

I (/(С) — / (0))(и (с, г) — и (С, 0))

Б\Б(0,Е)

<

< С / |/(С(т)) — /(°)| (|т|2 ^||,|2)и <

И\Б(0,Е) г |г|

т|2 +|г|2)и

И

< С/|/(СИ) — /(0)| (|т|2 +^2^

Выражение ——^-1 |2)и есть ядро Пуассона для полупространства в Си с точностью

для некоторой константы С, не зависящей от е.

|т|2 + |г|: до постоянного множителя.

Так как 0 — точка Лебега для функции /, то лемма 2 из [2] показывает, что точка 0 является точкой Лебега для функции /(£(т)) на Н. Поэтому, применяя теорему 1.25 из [4], получаем, что последний интеграл стремится к нулю при е ^ 0. □

2. Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли

Для данной точки г € дБ обозначим С2 — касательный конус к области Б в точке г. Из вида сингулярности границы находим, что его величина равна телесному углу т(г) € [0,1] для

С2. Если дБ является гладкой в точке г, то т(г) = ^. Для точек г, лежащих на коническом ребре, 0 < т(г) < 1.

Для точек г € дБ особый интеграл Бохнера-Мартинелли от / равен

ВД=у.р.|/(С)и(С,г)= Дшо I /(С)и(С, г).

дВ аВ\В(г,£)

Лемма 1. Для каждой точки г € дБ справедливо 'равенство

у.р.| и (С, г) = т (г). дБ

Данное утверждение для областей с кусочно-гладкой границей доказано в [1, лемма 2.1]. Доказательство. По определению

v.p.yU (Z,z)= Дто У U (Z,z).

, z) = um I и (z, z)

ÖD 8D\B(z,e)

Но

У U (z,z)= у и (z,z)+ у и (z,z),

8D\B(z,e) 8(D\B(z,e)) öB+(z,e)

где dB+(z,e) — часть сферы dB(z, e), лежащая в Б, т. е. dB+(z, е) = Б П dB(z, е). Знак во втором слагаемом изменился, поскольку ориентация dB(z, е) (индуцированная ориентацией шара B(z,e)) противоположна ориентации дБ. Так как z </ Б \ B(z, е), а форма U(Z, z) замкнута, то интеграл

У и (С, z) = 0,

8(D\B(z,e))

отсюда

U(£.*)=/ U= / ¿(-!)к-1(Ск - -kЖИ A dC

8D\B(z,e) öB+(z,e) öB+(z,e)

(2ni)ne2

Из леммы 3.5 ([1]) следует, что сужение формы

^(-l)k-1(Cfc - -fc)dC[k] A dz

В ^

fc=1

= e2n2n-1j"da,

8B(z,e)

где da есть элемент поверхности единичной сферы. Таким образом,

Г . vol dB+(z,e)

J U(z,z)= voldB(Z;g) ^т(z)

8D\B(z,e)

при £ ^ +0. □

Обозначим mz(f )(j) — модуль непрерывности функции f на dD в точке z G dD, т. е.

mz(f)(j) = sup |f (Z) - f (z)|.

ZeODnB(z,s)

Функция f на поверхности dD удовлетворяет условию Дини в точке z G dD, если

1

У mz(f )(j) у < те.

о

Теорема 2. Если f G L1 (dD) удовлетворяет условию Дини в точке z G dD, то особый интеграл Бохнера-Мартинелли Fs(z) существует и справедливы формулы Сохоцкого-Племеля

F +(z) = (1 - т(z))f (z) + Fs(z), F -(z) = -т (z)f (z) + Fs(z),

где F + (z) — граничное значение интеграла Бохне'ра-Ма'ртинелли F изнутри области D, а F-(z) — граничное значение данного интеграла извне области.

Доказательство полностью повторяет доказательство формул Сохоцкого-Племеля из [1, § 2], используя теорему 1 и лемму 1. □

3. Теорема о скачке для интеграла Бохнера-Мартинелли

Теорема 3. Пусть f G L1(dD) и z0 — точка Лебега для функции f. Тогда справедлива формула

lim о (F + (z+) - F"(z-)) = f (z0)

z ± —>z

для точек z+ и z-, лежащих на оси конуса в D и Cn \ D, соответственно, таких что |z+1 = |z-|.

Для областей с гладкой границей теорема 3 приведена [1, § 3], для областей с кусочно-гладкой границей она доказана в [5].

Доказательство. Использование неравенства (4) позволяет применить схему доказательства теоремы о скачке из [1, теорема 3.1]. Пусть dD = Y U S.

Если точка z0 G dD — точка гладкости, то утверждение теоремы следует из [1]. Рассмотрим точки из S, в которых нарушается гладкость. Пусть точка z0 G S лежит на коническом ребре F. Можно считать, что z0 = 0. Рассмотрим гиперплоскость H = {z G Cn : xp+2 = 0}, проходящую через начало координат и ортогональную оси конуса. В окрестности 0 коническая поверхность S задается уравнениями

У' = u ',

Ур+2 = ^ P(u '),

. У' ' = u' ',

где

= (0', ±Хр+2,0 ''),

С = (у',ур+2,у"),

т = (и ', 0, и''),

= С (т).

Фиксируем (2п — 1) -мерный шар В' с центром в нуле и радиусом £° > 0 в Н такой, что выполняется неравенство

|т — < с |С(т) — (5)

для всех т € В', справедливость которого доказывается так же, как справедливость неравенства (4).

Рассмотрим разность

— Д-(г-) = I(/(С) — /(г°))и(С, г+) —

дБ

— / (/(С) — / (г°))и (СО + / (г°)|(и (С,г+) — и (С, г-)).

дБ дБ

Так как

j(U(Z,z+) - U(Z,z-)) = 1, dD

нам достаточно доказать, что

lim f (f (Z) - f (z0))(U(Z, z+) - U(Z, z-)) = 0.

:±— z0 J

lim

z± — z0

dD

В интеграле

f (f(Z) - f(z0))(U(Z,z+) - U(Z,z-))

öD\B(0,e0)

можно сделать предельный переход под знаком интеграла, поскольку z0 G dD \ B(0,£0)

f (f (Z) - f (z0))(U(Z,z+) - U(Z,z-)) = 0.

öD\B(0,e о)

Осталось рассмотреть этот интеграл по множеству S П B(0,£0).

±im о f (f (Z) - f (z0))(U(Z,z+) - U(Z,z-))=0. (6)

z±—z0 J

SnB(0,eo)

Так как B' = B(0,£0) П H, то в силу неравенства (5), наложенного при выборе шара B', и очевидных неравенств |Z(w)| ^ C|w| ^ C|w - z±| получим

Zfc Cfc

|Z - z+| |Z - z-|

|Z - z+|2n |Z - z-|2n 1 2g1 |Zk |

=0 |Z - z+|4|Z - z-|2n-i-1 (7)

2n-1 1 ( )

||Z - z+ |-|Z - z |||Zk | i=0 |Z - z+|i+1|Z - z-|2n-i <

^ cC2n 2^1 |++| + |z-| .

i=0 |w - z+|®|w - z-|2n-i

1

Поэтому из (7) имеем

а

а

|Z - z+|2n |Z - z-|

где d зависит лишь от C, c. Точно так же

Zk

2n

<

d|z±|

|w — z± |

± |2n '

Zk

|Z — z+|2n |Z — z-|

2n

<

<

Ы|

+

Ы

<

di|z+|

|Z — z+|2n |Z — z-|2n ^ |w — z+|2n'

И, наконец, dS ^ d2 ds, где ds — элемент плоскости Н (см. доказательство теоремы 1). Рассмотрим интеграл

I (f (Z) — f (0))(U (Z,z+) — U (C,z-))

SnB(Q,eo)

<

. d y|(f(Z(w)) — f(0))||z+| ^ d3J (|w|2 + |z+|2)n

Выражение

|z+|

.„ . .„. - есть (с точностью до константы) ядро Пуассона для полупро-(|ад|2 + |г+|2)п

странства. Так как 0 — точка Лебега функции /, то лемма 2 из [2] показывает, что точка 0 является точкой Лебега для функции /(£(ад)) на Н. Поэтому, применяя теорему 1.25 из [4], получаем, что последний интеграл стремится к нулю при е ^ 0. □

B

Список литературы

[1] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера-Мартинелли и его приложения, Новосибирск, Наука, 1992.

[2] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, Сингулярный интегральный оператор Бохнера-Мартинелли на гиперповерхностях с особыми точками, Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика, 7(2007), вып. 2, 17-32.

[3] Л.Шварц, Анализ, М., Мир, 1972.

[4] И.Стейн, Г.Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974.

[5] Д.Х.Джумабаев, Теорема о скачке интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с кусочно-гладкой границей, Узбекский математический журнал, (2001), №1, 14-17.

Sokhotskii-Plemelj Formula for the Bochner-Martinelli Integral in Domains with Conical Wedges

Davlatboi Kh. Dzhumabaev

They are proved the Privalov theorem, the Sokhotskii-Plemelj formula and the jump theorem for the

Bochner-Martinelli integral in bounded domains of Cn with singular wedges on the boundary.

Keywords: the Bochner-Martinelli integral,Sokhotskii-Plemelj formula, conical wedge.