CC BY
31
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 512.64
ОБ АЛГЕБРАХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР
© А. Я. СУЛТАНОВ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,
кафедра алгебры e-mail: sultanovaya@rambler.ru
Султанов А. Я. - Об алгебрах дифференцирований максимальной размерности линейных алгебр // Известия
ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22) С. 75-77. - Рассматриваются линейные алгебры конечного ранга, с ненулевым умножением. Если алгебра дифференцирований рассматриваемых алгебр имеет максимальную размерность, то умножение в ней удовлетворяет тождеству Йордана.
Ключевые слова: линейные алгебры, алгебры дифференцирований, тождество Йордана.
Sultanov A. Уа. - On derivation algebras of maximal dimension of linear algebras // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.
im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 75-77. -In this work linear algebras of finite rank with non-zero multiplication are studied. If a derivation algebra of considered algebras has maximal dimension, then multiplication in it satisfies the Jordan identity.
Keywords: linear algebras, derivation algebras, Jordan identity.
Пусть Р - поле, характеристика которого отлична от 2, А - линейная алгебра конечного ранга над этим полем. Дифференцированием алгебры А называется всякий линейный оператор D : A ^ A , удовлетворяющий условию
D( xy) = A( x) y + xA(y) (1)
для всех x, y e A .
Множество всех дифференцирований алгебры А обозначается Der A. Это множество допускает естественную структуру алгебры Ли над полем Р. Алгебра Der A имеет размерность, не превосходящую n2, где n - ранг алгебры А. Действительно, если (e1, e2, ... en) - базис алгебры А, D - дифференцирование. Тогда D(et) = xjej, причем n2 скаляров xj однозначно определяют дифференцирование D. Соотношение (1) для базисных элементов примет вид
D(eiej) = D(et)ej + eiD(ej).
Из этих соотношений получим
с
xkm=о,
где
с
= Ch S' + Ch Sk - CkSh .
Обозначим через p - ранг матрицы С с элементами
с
h
h
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ
Физико-математические и технические науки •
№ 18 (22) 2010 г.
Имеет место
Предложение 1. (1) dim(Der A) = n2 -р, гдер - ранг С, n = dimpA; (2) если rank C > r, то dim(Der A) < n2 - r. Известен следующий результат.
Предложение 2. [1] Размерность алгебры дифференцирований ассоциативной алгебры ранга n над полем не больше, чем n2 - n, если умножение в ней не является нулевым.
Естественными являются вопросы: какова максимальная размерность алгебры дифференцирований произвольной линейной алгебры конечного ранга с ненулевым умножением и как задается операция умножения в алгебрах, алгебры дифференцирований которых имеют максимальную размерность?
В работе [2] доказано, что максимальная размерность алгебры дифференцирований алгебр с ненулевым умножением не больше, чем n2 - n.
Если dim(Der A) = n2 - n, то операция умножения в этих алгебрах определяется условием
xy = ав(y)x + рв(x)y, (2)
где a, fie Р и не равны нулю одновременно, в - ненулевая 1-форма на А при n > 4.
В случаях n = 2 или n = 3 операция умножения определяется соотношением (2) или условиями:
e2e2 = e, (3)
e2e3 = -e3e2 = ei . (4)
Здесь указаны только ненулевые произведения базисных элементов.
В настоящей работе доказано необходимое условие того, что размерность алгебры дифференцирований алгебры An имеет размерность n2 - n.
Имеет место
Теорема. Если алгебра дифференцирований Der A алгебры А ранга n с ненулевым умножением имеет размерность n2 - n, то операция умножения этой алгебры удовлетворяет тождеству Йордана
x2 (yx) = (x2y)x . (5)
Доказательство. Пусть dim(DerA) = n2 - n . Из сказанного выше имеем, что операция умножения в алгебре А определяется одним из условий (2), (3) или (4). Если операция умножения определена условиями (3) или (4), то тождество (5) выполняется очевидным образом. Рассмотрим алгебры, в которых умножение определяется условием (2). Тогда
x = (а + в)в( x) x,
поэтому
x2(yx) = (а + в)в( x) x(ae(x')y + fid (y)x) =(а/3 + (+2 )e(x(e(y)x2 + (а2 + ap)(e(x))2 xy =
= (a + р)(ар + fi2 )(6(x))2e(y)x + ((=2 +ap))e(x))2 fae(y)x + pe(x)y) =
= (а + в)(а2 + afi + p2)(X)x))2X(y)x + а,р{а + fi)(X(x)f y.
Далее,
x2 y = (а + e)X(x) xy = (а + в)в( x^xX^) x + рв( x)y) = а (а + p)e(x)X(y) x + в(а + f3)(e(x))2 y.
Тогда
(x2y) x = a (a + в)(в( x))2X(y)(a + в) x + в (a + e)(X(x))2 (aX(x)y + pX(y) x) =
= (a + в)(а2 + ав + e2)(e(x))2X(y) x + (a + вХвУМ)3 y.
Отсюда следует тождество (5).
Условие, указанное в теореме, является необходимым, но не достаточным. Для доказательства приведём следующий пример.
АЛГЕБРА ►►►►►
Пример. Коммутативная алгебра Ап задана следующими соотношениями для базисных элементов ех, е2,... е\
е2е2 = ех, другие е 1е] = 0.
Операция умножения этой алгебры удовлетворяет тождеству Йордана
х2( ух) = (х2 у) х.
Пусть D - произвольное дифференцирование этой алгебры и D(e)= х^е]. Тогда, в силу коммутативности алгебры Ап, дифференцируя соотношение е2е2 = е1, получим
2х2е1 = X е1.
Отсюда следует, что
2x2, - X = 0,
= 0, (а = 2, 3, ..., п).
Дифференцируя соотношения е2е1 = 0, j Ф 2 , получим
Х2ер1 + е2 х\е1 = 0.
Так как е2е] = 0 при j Ф 2, то из этих равенств получим
х2 = 0.
Таким образом, скаляры х[ должны удовлетворять системе линейных однородных уравнений
2x1 - х = 0,
ха = 0, (а = 2, 3, ...,п) х\ = 0, (Ь = 3, 4, ...,п).
Ранг этой системы равен 2п - 2. Поэтому размерность алгебры дифференцирований Der А этой алгебры равна п2 - 2п + 2. При п > 2 имеем п2 - п > п2 - 2п + 2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А., Скорняков Л. А., Шестаков И. П. Общая алгебра. Т. 1. М.: Наука, 1990. 392 с.
2. Султанов А. Я. О дифференцированниях линейных алгебрах // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г. Белинского, 2005. С. 111-136.
