ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010
IZ VESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 512.64
ОБ АЛГЕБРАХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР
© А. Я. СУЛТАНОВ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,
кафедра алгебры e-mail: sultanovaya@rambler.ru
Султанов А. Я. - Об алгебрах дифференцирований максимальной размерности линейных алгебр // Известия
ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22) С. 75-77. - Рассматриваются линейные алгебры конечного ранга, с ненулевым умножением. Если алгебра дифференцирований рассматриваемых алгебр имеет максимальную размерность, то умножение в ней удовлетворяет тождеству Йордана.
Ключевые слова: линейные алгебры, алгебры дифференцирований, тождество Йордана.
Sultanov A. Уа. - On derivation algebras of maximal dimension of linear algebras // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.
im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 75-77. -In this work linear algebras of finite rank with non-zero multiplication are studied. If a derivation algebra of considered algebras has maximal dimension, then multiplication in it satisfies the Jordan identity.
Keywords: linear algebras, derivation algebras, Jordan identity.
Пусть Р - поле, характеристика которого отлична от 2, А - линейная алгебра конечного ранга над этим полем. Дифференцированием алгебры А называется всякий линейный оператор D : A ^ A , удовлетворяющий условию
D( xy) = A( x) y + xA(y) (1)
для всех x, y e A .
Множество всех дифференцирований алгебры А обозначается Der A. Это множество допускает естественную структуру алгебры Ли над полем Р. Алгебра Der A имеет размерность, не превосходящую n2, где n - ранг алгебры А. Действительно, если (e1, e2, ... en) - базис алгебры А, D - дифференцирование. Тогда D(et) = xiiej, причем n2 скаляров х/ однозначно определяют дифференцирование D. Соотношение (1) для базисных элементов примет вид
D(eej) = D(e¡)ej + e¡D(ej).
Из этих соотношений получим
с
где
с
= Ch .8k + Ch 8k - Ck8h.
Обозначим через p - ранг матрицы С с элементами
с
h
h
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ
Физико-математические и технические науки •
№ 18 (22) 2010 г.
Имеет место
Предложение 1. (1) dim(Der A) = n2 -р, гдер - ранг С, n = dimpA; (2) если rank C > r, то dim(Der A) < n2 - r. Известен следующий результат.
Предложение 2. [1] Размерность алгебры дифференцирований ассоциативной алгебры ранга n над полем не больше, чем n2 - n, если умножение в ней не является нулевым.
Естественными являются вопросы: какова максимальная размерность алгебры дифференцирований произвольной линейной алгебры конечного ранга с ненулевым умножением и как задается операция умножения в алгебрах, алгебры дифференцирований которых имеют максимальную размерность?
В работе [2] доказано, что максимальная размерность алгебры дифференцирований алгебр с ненулевым умножением не больше, чем n2 - n.
Если dim(Der A) = n2 - n, то операция умножения в этих алгебрах определяется условием
ху = ав( у) х + ув( x) y, (2)
где a, ße Р и не равны нулю одновременно, в - ненулевая 1-форма на А при n > 4.
В случаях n = 2 или n = 3 операция умножения определяется соотношением (2) или условиями:
e2e2 = e!, (3)
^2^3 = -e3e2 = ei . (4)
Здесь указаны только ненулевые произведения базисных элементов.
В настоящей работе доказано необходимое условие того, что размерность алгебры дифференцирований алгебры An имеет размерность n2 - n.
Имеет место
Теорема. Если алгебра дифференцирований Der A алгебры А ранга n с ненулевым умножением имеет размерность n2 - n, то операция умножения этой алгебры удовлетворяет тождеству Йордана
х2 (ух) = (Xу)х . (5)
Доказательство. Пусть dim(DerA) = n2 - n . Из сказанного выше имеем, что операция умножения в алгебре А определяется одним из условий (2), (3) или (4). Если операция умножения определена условиями (3) или (4), то тождество (5) выполняется очевидным образом. Рассмотрим алгебры, в которых умножение определяется условием (2). Тогда
X = (а + У)в( х) х,
поэтому
х2(ух) = (а + У)в(х) х(ав(х')у + fid (у)х) =(aß + ß2 )в(х(0(у)х2 + (а2 + aß)(в(х))2 ху =
= ва + У)(аУ + ß2 )(в(х))2в(у)х + (а2 + уУ'))У(х))2 (ав(у)х + ув(х)у) =
= (а + У)(а2 + уУ + у2\в )х))26{ у)х + ау{а + У)(в(х))3 у.
Далее,
х у = (а + У)в(х) ху = (а + У)в( х)(ав(у) х + ув( х)у) = а (а + У)в(х)в(у) х + У(а + У)(в(х))2 у.
Тогда
(х2у) х = а (а + У)(в( х))2в(у)(а + ß) х + У(а + У)(в(х))2 (ав(х)у + ув(у) х) =
= (а + У)(а2 + ау + у2)(в(х))2 в (у) х + (а + У)аУ(в(х))3 у.
Отсюда следует тождество (5).
Условие, указанное в теореме, является необходимым, но не достаточным. Для доказательства приведём следующий пример.
Пример. Коммутативная алгебра An задана следующими соотношениями для базисных элементов ev e2,... e\
егег = e1, другие eiej = 0.
Операция умножения этой алгебры удовлетворяет тождеству Йордана
x2( yx) = (x2 y) x.
Пусть D - произвольное дифференцирование этой алгебры и D(e)= x1iej. Тогда, в силу коммутативности алгебры An, дифференцируя соотношение e2e2 = e1, получим
2 x2e1 = x[ ei.
Отсюда следует, что
2x2, - X = 0,
= 0, (a = 2, 3, ..., n).
Дифференцируя соотношения e2ej = 0, j Ф 2 , получим
x'ePj + e2 x'jei = 0.
Так как e2ej = 0 при j Ф 2, то из этих равенств получим
x2 = 0.
Таким образом, скаляры x\ должны удовлетворять системе линейных однородных уравнений
2x1 - x = 0,
xa = 0, (a = 2, 3, ...,n) x2b = 0, (b = 3, 4, ...,n).
Ранг этой системы равен 2n - 2. Поэтому размерность алгебры дифференцирований Der A этой алгебры равна n2 - 2n + 2. При n > 2 имеем n2 - n > n2 - 2n + 2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А., Скорняков Л. А., Шестаков И. П. Общая алгебра. Т. 1. М.: Наука, 1990. 392 с.
2. Султанов А. Я. О дифференцированниях линейных алгебрах // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г. Белинского, 2005. С. 111-136.