О группах автоморфизмов специальных линейных алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 512.64

О ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР

© А. Я. СУЛТАНОВ

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

кафедра алгебры e-mail: sultanovaya@rambler.ru

Султанов А. Я. - О группах автоморфизмов специальных линейных алгебр // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 70-74. - Доказано, что алгебра конечного ранга (отличная от двух исключительных алгебр) с ненулевым умножением допускает алгебру Ли дифференцирований максимальной размерности тогда и только тогда, когда группа автоморфизмов этой алгебры изоморфна группе аффинных преобразований аффинного пространства, размерность которого на единицу меньше ранга рассматриваемой алгебры.

Ключевые слова: линейные алгебры, алгебра дифференцирований, группа автоморфизмов, группа аффинных преобразований.

Sultanov A. Уа. - On automorphism groups of special linear algebras // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Be-linskogo. 2010. № 18 (22). P. 70-74. - It is proved that an algebra of finite rank (differing from two exceptional algebras) with non-zero multiplication admits a Lie algebra of differential maximal dimension if and only if an automorphism group of this algebra is isomorphic to a group of affine transformation of affine space, the dimension of which is less than a rank of the considered algebra for number one.

Keywords: linear algebras, derivation algebra, automorphism group, group of affine transformations.

В работе [1] показано, что размерность алгебры дифференцирований Der A алгебры A размерности n над полем Р равна точно n2 - n, при условии, что умножение в ней ненулевое. Операция умножения в каждой алгебре с dim(Der A) = n2 - n при n > 4 задается соотношением

xy = ав(у)x + рв(х)y, (1)

где скаляры а и в не равны нулю одновременно, в - ненулевая 1-форма на А.

При n = 2 операция умножения в алгебре задается равенством вида (1) или условиями

e2e2 = e1, e1e1 = e1e2 = e2e1 = 0

для базисных элементов е1, е2.

В алгебрах ранга 3 операция умножения определяется равенствами (1) или условиями

e2e3 = - e3e2 = e1,

другие e.e. = 0.

Имеет место

Теорема. Операция умножения линейной алгебры An ранга n (n > 2) определяется условием

ab = ae(b)a + fie(a)b,

где скаляры а и в не равны нулю одновременно, в - ненулевая линейная форма, тогда и только тогда, когда группа автоморфизмов алгебры An изоморфна аффинной группе A(n - 1, Р).

Доказательство. Необходимость. Пусть в алгебре А умножение определено указанным выше способом, ф -произвольный автоморфизм этой алгебры. Тогда

cp(ab') = а9ф)ф(а) + рв(а)^{Ъ').

С другой стороны

(р(аЬ) = ра)р(Ь) = ав(р(Ь))р(а) + рв(р(а))р(Ь).

Из этих равенств следует, что

а(в(Ъ) - в (ф(Ъ)))ф(а) + в(в(а) - в(ф(а)))ф(Ъ) = 0.

Выберем в алгебре А произвольный базис (е1, е2, еп). Так как ф является автоморфизмом этой алгебры, то система элементов ф(е1), ф(е2), ..., ф(еп) линейно независима. Поэтому из равенств

при j > 1 получим

Из равенств при j > 1 следует

а(в(е) - в(ф(е)))ф(ех) + №e¿ - в(ф(ех)))ф(е) = 0 а(в(е) - в(ф(е))) = 0,

me¿ - 0(ф(Єі))) = о. а(в(Єі) - в(ф(еі)))ф(е) + me) - в(ф(е)))ф(еі) = 0

а(в(вх) - в(ф(вх))) = 0, в(в(е) - в(ф(е ))) = 0.

Поскольку скаляры а и в одновременно не обращаются в нуль, то из полученных соотношений следует, что

в(е) - в(ф(е4)) = 0, в(е) - в(ф(е )) = 0.

Так как в - ненулевая линейная форма, то размерность Кег в равна п - 1. Выберем е2, ..., еп из Кег в, а е1 определим условием в(е1) = 1.

Пусть ф(е) = а] е.. Из равенств в(е.) - в(ф(е.)) = 0, при I = 1 получим а\ = 1. Для I > 1 имеем в( а/ е.) = 0. Отсюда следует а' = 0.

Значит, матрица автоморфизма ф относительно выбранного базиса имеет вид:

( 1 0 ^

Л А

(*)

где

А -

V а1 У

, A є GL(n-1, Р).

Множество таких матриц образует группу относительно умножения матриц. Эта группа называется аффинной группой. Полученная аффинная группа изоморфна группе аффинных преобразований аффинного пространства размерности n - 1. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть группа автоморфизмов алгебры А изоморфна аффинной группе А(п - 1, P) матриц вида (*). В А выберем базис (е2, е3, ..., еп), относительно которого матрица каждого автоморфизма имеет вид (*). Тогда

Ф(е1) = е1 + < ея,

Ф(ег) = аарео; (a, р = 2 ., п).

Предположим, что структурные соотношения рассматриваемой алгебры имеют вид

е1е1 = сп е1 + Cí ^ (2)

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

е1ев = све1 + свеа’ (3)

еве1 = СР е1 + С^“ еа, (4)

еие, = свте1 + с%еа, (5)

где индексы а, в, тпринимают значения 2, 3, ..., п.

Подействуем автоморфизмом ф на левую и правую части соотношения (2). Тогда получим тождество

(е1 + а еа)(е1 + а\ е) = С11 (е1 + а еа) + С\\ аа ет. (6)

Положив в этом тождестве аа = 0, ата = Х8та е, X Ф 0, получим

е1е1 = С\\\ е1 + ЛС01 еа. (7)

Тогда из (2) и (7) следует

(1 - X) СТ\ = 0,

значит, СТ\ = 0.

Подставим в (6) вместо а? координаты базисных векторов е .

Тогда получим равенство

(е1 + е„)(е1 + О = С1\ (е1 + е)

Отсюда

е.е + ее. + ее = С!, е . (8)

1 уу 1 уу \\v

Положив в (6) вместо аа , координаты вектора Хеу, X Ф 0, 1, получим

(е1 + Ч)(е1 + Хе0) = С\\\ (е1 + Хе0).

Отсюда

е.е + ее. + Хе е = Сп е . (9)

1 V V 1 V V \\ V у '

Из (8) и (7) следует, что ее= 0, поэтому С{,у = 0 (I = 1, 2, ..., п, V = 2, 3, ..., п).

Теперь, из (6) получим

С{у + СТ\ = С\\\ 8;. (10)

Из равенств (3), действуя автоморфизмом ф, придём к тождествам

(е1 + а\ еа)( а1з е) = С\р (е1 + аа еа) + С1р аа е.

Положим в этих равенствах аа = 0. Тогда

аа(С1 е + Сае ) = С1 е + Са ате

Отсюда

ав С? = С\р, (11)

а°р Саа - аа С?р = 0. (12)

В соотношениях (11) вместо ар возьмем Х8?,X Ф 1. Тогда получим С\р = 0. В соотношениях (12) вместо а? возьмём элементы матрицы А, определяемые условиями

а7=^+ра.

Матрица А^ принадлежит полной линейной группе GL(n - 1, Р).

(+ 8^8?) Са - (8; + 88 ) С? = 0.

Отсюда

8% са - ¿а св = о.

(13)

(14)

Свернём эти соотношения по у и в. Тогда

(п - і) са=^.

Если п - 1 не делится на характеристику поля, то

Са = г8а

'-'IV соу .

Если п - 1 делится на характеристику поля, то С^ = 0.

Отсюда

с2 + С3 + + С”-1 = - С”

С12 + С13 + + С1п-1 С1п .

Пусть в равенствах (13) индексы в, у принимают значения 2, 3, ..., п - 1. Свернув по этим индексам равенства (13), получим

(п - 2) Са = 8уа (- С”п).

Отсюда

Са=с8Уа.

Из равенств (4) аналогичными рассуждениями получим

Ср\ = 0, С0\ = с’8уа.

Подействуем на левую и правую части равенств (5) автоморфизмом ф. Тогда

а<ра<аС?аеу = Срт(е\ + а\\еу) + СрвтаУаеу .

Отсюда следует, что С1рт = 0 и

арааСу = Са ау арат С?а = Свтаа .

Положим

Тогда

Отсюда

а<р =Щ, ІФ 0; 1.

п 2/-1У п /~*У

А Свт =ЛСвт-

Сат = 0.

Из равенств (10), (14) и (16) получим с + с’ = С\\\.

Учитывая полученные результаты, перепишем структурные соотношения:

е1е1 = (с + с’)е1,

е1ев = сев,

еве1 = с ев,

еаев = 0.

Возьмём 1-форму в на А, удовлетворяющую условиям:

в(е1) = 1,

в(еа) = 0.

(15)

(16)

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

Определим операцию умножения на носителе алгебры А следующим образом:

а * Ь = с'в(Ь)а + св(а)Ь .

Тогда

е1*е1 = (с + с’К

е1*еа = с’в(еа)е1 + Св(е1)еа = Ceа,

е *е. = с’е ,

а 1 а

е *е„ = 0.

а в

Отсюда следует, операция умножения * совпадает с операцией умножения в А.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Султанов А.Я. О дифференцированиях линейных алгебр // Движения в обобщённых пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г. Белинского, 2005. С. 111-136.