Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности с дополнительными условиями. Ii Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.76

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБР ЛИ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ПРОСТРАНСТВ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ

УСЛОВИЯМИ. II

© М. В. ГЛЕБОВА Пензенский Государственный Педагогический Университет, кафедра алгебра e-mail: mvmorgun@mail.ru

Глебова М. В. — Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности с дополнительными условиями. II // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 62—69. — В работе получены оценки размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности с несимметричным тензорным полем Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности.

Ключевые слова: алгебра Ли, инфинитезимальные аффинные преобразования, прямое произведение аффинных связностей.

Glebova M. V. — Whether an estimation of dimensions of algebras Lie infinitesimal the affine transformations of direct product spaces of two spaces of affine connectivity with additional conditions. II // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 62—69. —

Whether in work estimations of dimensions of algebras Lie infinitesimal affine transformations of direct product proektivno-evklidovogo spaces of affine connectivity with asymmetrical tensor a field of Richi and neproektivbut-evklidovogo spaces of affine connectivity.

Keywords: Lie algebra, infinitesimal affine transformations, direct product of affine connections.

1. Основные понятия и факты.

Пусть (“МПа, “V) (а = 1, 2) пространства аффинной связности без кручения. На прямом произведении Мп =1 МП1 х 2МП2, п = П1 + П2 построим произведение аффинных связностей V = ^ х 2V стандартным образом [1].

Определение [2]. Векторное поле X на многообразии Мп, снабженным аффинной связностью V, называется инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (Мп, V), если выполняется следующее условие:

Ьх V = 0, (1)

где Ьх — символ производной Ли.

Известно [3], что множество всех инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (Mn, V) образует алгебру Ли над полем R относительно операции коммутирования векторных полей, размерность которой не больше чем n2 + n. Обозначим эту алгебру через g(Mn).

В локальных координатах это уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка:

XMдмгВе + гМсдвXM + гАмдеXM — Г^сдмXА = 0.

Первую серию условий интегрируемости этой системы составляют уравнения

Lx R = 0,

где R — тензорное поле кривизны связности V =1 V х2 V.

В локальных координатах это уравнение представляют собой систему линейных однородных уравнений от координат поля X и частных производных от этих координат:

XSдБRBeD + R(BeD |M)XM = °, (2)

где R(BeD |M) = <*BRMCD + ^CRi3MD + SDRACM — ^MRBCD.

Если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных Xif системы (2), равна г, то dim g(Mn) = n2 + n — г.

Во всей работе будем придерживаться следующей схемы использования индексов: A, B, C,... = =

1, П1 + П2, *,.?, &, .. . = 1, П1; а, в, 7 .. . = 1, П2; а, в, 7 . .. = П1 + 1, П1 + П2, где а = а+П1, в = в + П1,7 = 7 + П1.

Известно [1], что если (1и х2 и, 1^ х2 у>) — локальная карта 1МП1 х2 Мп2, то коэффициенты Г'Ав связности V =1 V х2 V в этой карте определяются соотношениями:

Ги =1 Г-, ГП1+1 - =2 Г% = Гав, в остальных случаях ГАВ = 0, (3)

и г3’ п1+а п1+в а в аР’ к '

где 1Г И, 2Г1- — коэффициенты аффинных связностей ^ и ^ в картах (1и, 1<^>) и (2и, 2<^>) соответственно.

Из соотношений (3) находим, что составляющие ДаВС тензорного поля кривизны Д будут следую-

щими:

\jk = Rijk, Rafi7 = Ra@Y Используя соотношения (4), получаем систему, равносильную системе (2)

Rjk = lRjk, Ra«Y = 2RaeY, в остальных случаях rDbc = °. (4)

X тдтЩы + Щ^кі\гп)ХТ — 0, Х дС ^^уА + ^/Э^А^ )Х = 0

■^к1Ха — 0, ^АХ1 — 0 (5)

^^}в1Х/3 — 0, ^3£АХЙ — 0,

^^кІХ'А — 0, — 0-

В дальнейшем будем эту систему использовать для оценки размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности.

Пусть (1М„1, 1У) — проективно-евклидово пространство аффинной связности. Значит, тензорное поле Вейля 1^ является нулевым. Это условие локально равносильно тому, что для составляющих тензорного поля кривизны ^ в локальных координатах справедливы соотношения:

lRjk = — ni + 1 ^ lR[jk] + n2 — і ([n1 lRij + lRj#h — [n1 1 Rik + lRki] j , (6)

где 1Rij — коэффициенты тензорного поля Риччи.

и

о

У тензорного поля Риччи можно выделить симметричную и антисимметричную части: 1Д = 1Д*е(+) 15 = 1Д*е(-), где

1R¿c(+) (X,Y ) = 1(1ñ¿c(X,Y )+ 1Д*е(У, X )),

1ñ¿c(-)(X,Y) = 1(1ñ*c(X, Y) - 1ñ*c(Y, X)).

0

Из последних соотношений видно, что тензорное поле 1Д является симметричным, а 1S — антисимметричным.

И. П. Егоров в работе [2] доказал, что не существует проективно-евклидовых пространств с антисимметричным тензорным полем Риччи. Следовательно, проективно-евклидовое пространство аффинной связности может быть либо с симметричным тензорным полем Риччи, либо с несимметричным тензорным полем Риччи. Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензорным полем Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности получена в работе [8]. В данной работе рассматривается прямое произведение двух пространств аффинной связности, где первое пространство является проективно-евклидовым с несимметричным тензорным полем Риччи, второе -непроективно-евклидовым.

Пусть тензорное поле Риччи пространства (1M„1, 1V) является несимметричным. Следовательно,

о

наличие симметричной и антисимметричной частей обязательно, то есть 1R = 0 и 1S = 0.

0

Будем считать, что 1R приведено к каноническому виду в окрестности некоторой точки хо. Тогда

0

существует координатная окрестность, содержащая точку хо, такая, что 1Rilil = 0 для некоторого индекса

¿1. Возможны следующие случаи:

о о

(a) 1Rilil = 0, 1Rij = 0 (¿ = j) и существует составляющая вида 1Si1Í2 = 0,

о о

(в) 1Rilil = 0, 1 Rj = 0 (¿ = j), 1Si1^ =0 (t = 2, 3,..., П1), но существует составляющая вида 1SÍ2Í3 = 0.

Пусть (2Mn2, 2V) (n2 > 2) — непроективно-евклидово пространство аффинной связности. Следовательно, тензорное поле Вейля 2W отлично от нулевого. Это условие локально эквивалентно выполнению одному из следующих условий:

(а) существует карта гладкого атласа (2 U, у>), такая, что составляющая тензора кривизны вида 2Rala2a3 отличная от нуля для некоторых попарно различных между собою индексов «1, «2, аз;

(б) в каждой карте (2V,-0) все составляющие тензора кривизны вида 2Raia2a3 равны нулю, но существует карта (2U, у>) такая, что составляющая тензора кривизны вида 2Raia3a4 отлична от нуля для некоторых попарно различных между собою индексов «1, «2, «з, «4 [2].

Таким образом, для прямого произведения (1Mnl х2 Mn2, 1V х2 V), где (1Mnl, 1V) — проективноевклидово пространство аффинной связности с несимметричным тензорным полем Риччи, (2M„2, 2V) (n2 > 2) — непроективно-евклидово пространство аффинной связности, имеет место один из следующих случаев:

(1) (1 Mnl, 1V) — проективно-евклидовое пространство аффинной связности с тензорным полем Риччи, удовлетворяющим условиям («), (2M„2, 2V) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности, удовлетворяющее условию (а);

(2)(1Mnl, 1V) — проективно-евклидовое пространство аффинной связности с тензорное поле Риччи, удовлетворяющим условиям («), (2Mn2, 2V) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности, удовлетворяющее условию (б);

(3) (1 Mnl, 1V) — проективно-евклидовое пространство аффинной связности с тензорным полем Риччи, удовлетворяющим условиям (в), (2Mn2, 2V) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности, удовлетворяющее условию (а);

(4) (1М„1, 1V) — неплоское проективно-евклидовое пространство аффинной связности с тензорным полем Риччи, удовлетворяющим условиям (в), (2М„2, 2 V) — непроективно-евклидовое пространство

аффинной связности, удовлетворяющее условию (б).

2. Оценка размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющего условиям (а), и непроективно-евклидового пространства аффинной

связности.

Пусть (1МП1, 1V) — пространство аффинной связности с несимметричным тензорным полем Риччи. Рассмотрим следующую подсистему первой серии условий интегрируемости

Поскольку тензорное поле Риччи при аффинных преобразованиях является инвариантным, а также учитывая соотношения (4), получаем, что система (7) равносильна системе уравнений

(7)

(8)

(9)

(10)

о

¿х 1 Д = 0, 1 £ = 0,

которая в локальных координатах имеет вид:

оо

х тдтд^ + ду их™ = 0,

х тдт^ + адт )хт = 0,

о

о

где Д 7 к Д 7 к, ^7 к ^7 к .

Свернув соотношения (8) и (9) по индексам * и I, получим

Д^X =0 и Ду= 0,

(11)

где Дяк — составляющие тензорного поля Риччи связности V. Учитывая соотношения (6), равенства (8) примут вид:

Отсюда, на основании (11), находим

Д[/«]х£ = °.

(12)

Рассмотрим теперь соотношения (9). Аналогично, учитывая соотношения (6), получим

Применяя соотношения (11), находим, что

(піДу + Ду )Х^ = 0.

(13)

Из (12) и (13) выделим подсистему

(Дк - Д;й)Ха — 0, (пі Д&г + Дгк)Х^ = 0.

Отсюда находим, что Дд;Х^ = 0. Так как Дд; =1 Дд;, то последнее равенство перепишется в виде:

1Дй;Х^: = 0. Поскольку пространство (1М„1, 1У) имеет ненулевую кривизну, то 1Д^; = 0 для некоторых индексов к, I. Следовательно, Х£, = 0.

Рассмотрим соотношения (10). Учитывая равенства (6), и введенные обозначения, соотношения (10)

запишется в виде

П1 + 1 ,0

пі — 1

(д^г? - Д^г;)

X" — 0.

Таким образом, система (7)—(10) равносильна системе

о о

X тдтД^ + Д(,-* |”)Хят — 0,

(14)

X тдт^ + адт )Х” — 0

(15)

х; — 0,

(16)

пі + 1

п1 - 1

(д^ г; - д^г;)

X" — 0.

(17)

Ранг матрицы Аі, составленной из коэффициентов при неизвестных X” системы (14)—(15), не меньше, чем 2пі - 1 [2]. Очевидно, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов Х^ системы (16) равен піп2.

Пусть тензорное поле Риччи удовлетворяет условиям (а). Оценим ранг системы (17), при выполнении условий (а).

Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что ¿і — 1, ¿2 — 2, ¿3 — 3. Значит имеем, что

оо

Діі — 0, Д^' — 0 (і — _?’) и существует составляющая вида $і2 — 0. Учитывая эти условия, система (17) равнасильна системе:

о

-З^Х" + Пт—іДііХГ — 0 (1 > 2),

-ЗЯ^" + ^^й22Х" — 0 (1 — 1,1 > 2), -25і2Х" + ¿^Х"- - й^Х" — 0 (/ > 2),

-2йігХ2СТ + Й2іХ" - Й2,X" — 0 (1 > 2),

-2Й2іХГ + йі2Х" - 5і,X" — 0 (1 > 2),

-2^X" + йікX" - йігХ" — 0 (к,1 > 2)

-2^X" + ^X" - Й2іХ" — 0 (к,1 > 2)

(18)

-25цХ/ + %Х" - (5д, + Щ+тД^г)Х" — 0 (и > 2),

_ о

-2^2гХ/ + ЗД" - (^г + Дг)Х" — 0 (^ > 2),

оо

-2^X" + (^ + Щ+іД^)Хг" - (^г + Щ+іД-г)Х" — 0 (^', к, 1 > 2).

Поскольку Діі — 0, то очевидно, что ранг системы (18) не меньше, чем п2(пі - 1). Так как коэффициенты при переменных Хг" (1 > 2) в системах (14), (15) и (16) равны нулю, то ранг всей системы (14)—(17) не меньше, чем 2пі - 1 + ПіП2 + п2(пі - 1), то есть не меньше, чем 2пі + 2піп2 - П2 - 1.

о

о

Пусть (2М„2, 2У) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности. Рассмотрим следующую подсистему первой серии условий интегрируемости:

X«д^л + Д(“7А|£ )Х5 = 0, Д?“7лХ| = 0,

Д^л = 0,

Дв7ЛХ| = 0.

Известно [2], что если пространство аффинной связности удовлетворяет условие (а), то ранг матри-

втЛ Д втЛ1^

цы, составленной из коэффициентов при неизвестных Х| системы X£д^ R^a + R^^)Х£ = 0, не меньше, чем 3n2 — 5.

Таким образом, ранг первой серии условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности, удовлетворяющих случаю (1), не меньше, чем 2nn + 2ni + 2n2 — 6. Поэтому заключаем, что в этом случае

dim g(1M„1 х2 Mn2, 1V x2 V) < n2 + n2 — n1 — n2 + 6.

Таким образом, имеет место

Теорема 1. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности (1M„1, 1V), удовлетворяющего условиям (а), с непроективно-евклидовым пространством аффинной связности (2Mn2, 2V), удовлетворяющим условию (а), не превосходит n2 + n2 — П1 — П2 +6.

Если пространство аффинной связности удовлетворяет условие (б), то ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных Х£ системы X£д^-Rg7^ + R^^l^)X| =0 не меньше, чем 4n2 — 8 [2]. Поэтому ранг первой серии условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности, удовлетворяющих случаю (2), не меньше, чем 2n1n2 + 2n1 + 3n2 — 9. Следовательно,

dim g(1Mni х2 Mn2, 1V х2 V) < n1 + n2 — n1 — 2n2 + 9.

Итак, делаем вывод:

Теорема 2. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности (1Mni, 1V), удовлетворяющего условиям (а), с непроективно-евклидовым пространством аффинной связности (2Mn2, 2V), удовлетворяющим условию (б), не превосходит n2 + n2 — n — 2n2 + 9.

3. Оценка размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового простнанства аффинной связности, удовлетворяющего условиям (в), и непроективно-евклидового пространства аффинной

связности.

Пусть тензорное поле Риччи пространства (1Mni, 1V) удовлетворяет условиям (в). Не нарушая

0 0

общности рассуждений, будем считать, что i1 = 1, i2 = 2, i3 = 3. Значит, R11 = 0, Rj = 0 (i = j), Бц = 0 (t = 2, 3,..., n1), но существует составляющая вида Б23 = 0.

Рассмотрим уравнение (17). Придавая индексам значения k = 1, l = 2, j = 3, получаем

— і -+ 1 о 0

- 2Si2^ + S31&S - + -^r(Rsi^a - Д32^і)

— 1 — 1

Xf = 0.

Отсюда находим, что X]7 =0.

Аналогично, при к = 1, = 1, 1 > 1 из уравнения

Пі ~+ 1 о 0

— + ^11^* — ^11^1 +--------7 (-йц^;8 — й1І ^і)

П1 — 1

х; = о

получаем, что Хгст =0 (1 > 1).

Учитывая эти соотношения, заключаем, что в случае выполнения условий (в), система (14) - (17) равносильна системе

0 0

х тдтД^ + д(^ |т)хт = 0, х тдт^ + ^ |т)хт = 0,

XI = 0,

а

X = 0.

Так как X* = даХ*, Х^Г = д^-XГ, то X* зависят только от ж1,..., ж”1, XГ — только от ж”1+1,... ,ж”1+”2, то есть X = (1X, 2X), где 1X, 2X — векторные поля на 1МП1 и 2МП2 соответственно. Полученные результаты приводят к выводу, что система (1) равносильно системе уравнений

дй X * = X*, д7 Xа = X“, д- х* + гт X™ + г*тхт - 17А + X тдтг»к = 0, дв ха + Г“7 х| + г^ х« - Г|7 ха + X«д« г^ = 0.

То есть

Ь їх 1^ — 0, Ь 2Х 2У — 0.

X

2х

1 л/г 1^^ 2

Следовательно, если в прямом произведении пространств аффинной связности (1МП1 х2МП2, 1Ух 2У) один из сомножителей является проективно-евклидовым пространством, тензорное поле Риччи которого удовлетворяет условиям (в), то алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1М”1 х2 М”2, 1У х2 V) изоморфна прямой сумме алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (“М„а, “V) (а = 1, 2). Значит, максимальная размерность алгебры Ли инфинитези-мальных аффинных преобразований прямого произведения рассматриваемых пространств равна сумме максимальных размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований каждого из пространств.

Таким образом, имеют место теоремы.

Теорема 3. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности (1МП1, ^), удовлетворяющего условиям (в), с непроективно-евклидовым пространством аффинной связности (2МП1, ^), удовлетворяющим условию (а), не превосходит п2 + п2 — 2п1 — 2п2 + 8.

Теорема 4. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности (1МП1, 1V), удовлетворяющего условиям (в), с непроективно-евклидовым пространством аффинной связности (2МП2, ^), удовлетворяющим условию (б), не превосходит п^ + п2 — 2п1 — 3п2 + 11.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань.: Издательство Казанского университета, 1984. 262 с.

2. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности.: Дис.. .докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. МГУ, 1955.

3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981. 344 с.

4. Моргун М. В. Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности с дополнительными условиями. I // Известия Пензен. гос. пед. ун-та. Физ.-матем. и тех. наук. Пенза.: ПГПУ, 2008. № 8(12). С. 28-32.

5. Норден А. П. Пространства декартовой композиции // Известия вузов. Математика. 1963. № 4(35). С. 117-128.

6. Султанов А. Я. Аффинные преобразования многообразий с линейной связностью и автоморфизмы линейных алгебр // Известия вузов. Математика. 2003. № 11. С. 77-81.