Об алгебрах Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств аффинной связности специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 514.76

об алгебрах ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств аффинной связности специального вида

© М. В. МОРГУН

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Моргун М.В. - Об алгебрах ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств аффинной связности специального вида // Известия ПгПУ им. В. г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 18-23. - Получены оценки сверху размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств аффинной связности, представляющих собою прямое произведение проективно-евклидовых пространств аффинной связности с несимметричными тензорными полями Риччи, на плоское пространство аффинной связности.

Ключевые слова: прямое произведение пространств аффинной связности, инфинитезимальные аффинные преобразования, алгебра Ли.

Morgun M.V. - About Lie algebras of infinitesimal affine transformations of spaces of affine connectedness of special type // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 18-23. - Upper bounds of dimensions Lie algebras of infinitesimal affine transformations of spaces of affine connectedness were obtained in a case when these spaces are direct product of projective-Euclidean spaces of affine connectedness with asymmetries Ricci tensor fields on flat space of affine connectedness.

Keywords: direct product of spaces of affine connectedness, infinitesimal affine transformations, Lie algebra.

Введение

Теория движений в обобщенных пространствах является одним из направлений в современной дифференциальной геометрии. Со времен Римана и Ли, впервые поставивших вопрос о движениях в евклидовом и неевклидовых пространствах, теория движений привлекает внимание ученых как в нашей стране так и за рубежом и активно развивается.

Впервые вопрос о движениях в пространствах аффинной связности поставлен в 1927 году Л.П. Эйзенгард-том и М.С. Кнебельманом. Дальнейшее развитие теории движений в пространствах аффинной связности связано с именами Э. Картана, П. К. Рашевского, П. А. Широкова, И. П. Егорова, К. Яно, У. Муто, Г. Врэнчану и других геометров. Вопрос о движениях в прямых произведениях пространств аффинной связности ранее не рассматривался. Актуальность этих исследований определяется еще и тем, что теория движений в пространствах аффинной связности все чаще находят применение в теоретической и математической физике.

В работе все строчные латинские индексы i, j,k... изменяются от 1 до n1, греческие с чертой а, ß,y ... - от 1 до n2 , греческие без черты а, ß,y ... - от n1 +1 до n1 + n2 , заглавные латинские A, B,C... изменяются от 1 до n1 + n2 .

1. Основные определения и факты

В литературе известно несколько подходов к определению прямого произведения пространств аффинной связности. Одно из определений дано А. П. Норденом в 1963 г. в работе “Пространства декартовой композиции” [3]. В этой работе показано, что если на многообразии 1М размерности n1 задана аффинная связность 1V , которая в каждой координатной окрестности задается компонентами 1Г*, на многообразии 2M размерности n2 задана

аффинная связность 2 V , которая в каждой координатной окрестности задается компонентами 2 Г-- , то на много образии 1Мх2М размерности п1 + п2 функции Г^ определенные условием

1 Г., если А = г, В = j, С = k;

1]1 -¡Л Э

ГСлв = < 2 Г^р, если А = а В = в, С = у;

(1)

0, в остальных случаях

в картах естественного атласа задают аффинную связность V, обозначаемую 1V х 2 V .

Определение. Связность V= 2V, задаваемая функциями Г^ , определенные по формуле (1), называется прямым произведением аффинных связностей ^ и 2 V. Прямое произведение многообразий Мх2М , снабженное аффинной связностью 1V х 2 V , называется прямым произведением двух пространств аффинной связности (М} V) и (2М,2 V) по А. П. Нордену.

Пусть (аМ,а V) (а = 1,2) - проективно-евклидовы пространства аффинной связности без кручения, при-

В работе [2] показано, что первая серия условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных

Известно [4], что если ранг условий интегрируемости инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (Мп, V) равен г, то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований этого пространства §(Мп, V) равна п2 + п - г.

Рассматривая проективно-евклидовы пространства, И. П. Егоров доказал, что не существует проективноевклидовых пространств аффинной связности с антисимметричным тензорным полем Риччи [1]. Следовательно, если пространство проективно-евклидово, то оно имеет либо симметричное, либо несимметричное тензорное поле Риччи. Во втором случае, тензорное поле Риччи имеет ненулевые симметричную и антисимметричную части. Оценка размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензорным полем Риччи и локально плоского пространства аффинной связности получены в работе [2]. В данной работе исследуются размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямых произведений проективно-евклидовых пространств аффинной связности, тензорные поля которых имеют ненулевые симметричные и антисимметричные части, с плоским пространством аффинной связности.

чем (М/ V) отлично от плоского, а (2М,2 V) является локально плоским пространством аффинной связности.

преобразований пространства аффинной связности (1М х 2М, 1У х 2 V), представляющего собою прямое произведение неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности (1М,1V) и плоского пространства аффинной связности (2М ,2 V), имеет вид:

(2)

(3)

(4)

где Ч = Ч , Ч - компоненты тензорного поля Риччи пространства (1М х 2М,1 Vх 2V), 1Ч] - компоненты тензорного поля Риччи пространства (М/ V), а коэффициентыЧ(1 !т ) находятся по формуле:

2. Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств аффинной связности специального вида

Пусть (1М х 2М, 1Ух 2 V) - пространство аффинной связности размерности п1 + п2 такое, что (М ,х V) -проективно-евклидовое пространство аффинной связности, тензорное поле Риччи Ч с(Х,У) которого имеет

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

ненулевые симметричную 1Р(Х,У) = 1(Чс(Х,У)+Чс(У,X) и антисимметричную 1Б = 1(Чс(Х,У)-Чс(У,X)

части, а (2М ,2 V) - локально плоское пространство аффинной связности.

Поскольку тензорное поле Риччи при аффинных преобразованиях является инвариантным, то система (2) равносильна системе уравнений

ЬГР = 0,

ЬХБ = 0,

которая в локальных координатах имеет вид:

ХтдтР]к + Р. I )Х: = 0, (5)

ХтдтБк + 5 (]к: )Х: = 0 (6)

где Р]к =1 Р]к, Б]к =1 Б]к, а коэффициенты Р(]к|:), 5(]к:) вычисляются по формулам:

Р(.кг) = 8 ’Р. + 8Р. ,

y•Jk^mS J тк к -т ’

5 (]к!т) = 8 Як + 8 Я.

Будем считать, что Р приведено к каноническому виду в окрестности некоторой точки х0. Тогда существует координатная окрестность, содержащая точку х0, такая, что р Ф 0 для некоторого индекса ¡1. Основными являются следующие случаи:

(I) 1 Р Ф 0,1Р] = 0(1 Ф ]) и существует составляющая вида 1Б1А Ф 0,

(II) 1Р-. Ф 0,1Р] = 0(1 Ф ]), 5- = 0 (/ = 2,3,...,п1), но существует составляющая вида 1Б^ Ф 0.

Рассмотрим каждый из случаев в отдельности.

Случай 1. Найдем нижнюю оценку ранга г матрицы системы (2)-(4) при неизвестных ХЩ.

Известно [1], что ранг матрицы А1, составленной из коэффициентов при неизвестных Хт системы (5)-(6), не меньше, чем 2п1 -1. Ясно также, что ранг матрицы А2, составленной из коэффициентов при неизвестных Х^ системы (3) равен точно п1п2.

Рассмотрим систему (4). Эта система при введенных обозначениях запишется в виде

п + 1

[-2БИ8; + Б// - Б& + ^ (Р]к8/ - Р/Ж = 0 (7)

Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что 11 = 1, /2 = 2, /3 = 3 . На основании того, что Р11 Ф 0, Р. = 0 (1 Ф ]), Б12 Ф 0 получаем, что уравнение (7) равносильно системе

п +1

-ззд? + -1— РпХ? = 0(1 > 2),

пх -1 п + 1

-зб2/х; + -1— р22 х; = 0(1 = 1, / > 2),

п -1

-2Б12X? + Б^Х? - Б.2X? = 0 (] > 2),

-2Б1/Х; + Б21 Х; - Б2/Х; = 0 (/ > 2),

-2Б2/Х; + Б12Х; - Б1;Х? = 0 (/ > 2),

-2БЙХ; + Б1кХ; - Б1;Х; = 0 (к, / > 2), (8)

-2Бк/Х22 + Б^Х? - Б2/Х? = 0 (к, / > 2),

п +1

-2БиХ; + Б^Х? - (5./ + -1— Р/)Х? = 0 (/,] > 2), п1 -1

п + 1

-252/Х; + 5]2X/2 - (Б/ + п1— Р/)X? = 0 (/, ] > 2), п1 -1

п +1 п + 1

-2Бих; + (Б]к + п1— Р]к)х; - (Б./ + Р/)х; = 0 (/, к, / > 2).

п1 -1 п1 -1

Ранг матрицы А3, составленной из коэффициентов при неизвестных Х° (I > 2) системы (8) не меньше, чем п2 (п1 -1).

Итак, в системе (2)-(4) можно выделить матрицу А , составленную из коэффициентов при переменных X^ , Xа , X" (I > 2) следующего вида:

' A, 0 0 ■

A = 0 A2 0

0 0 A3.

(9)

ранг которой не меньше, чем 2п -1 + п1п2 + n2(n1 -1) = 2n1n2 + 2п -n2 -1. Поэтому, ранг всей системы (2)-(4) также не меньше, чем 2п1п2 + 2п1 - п2 -1. Следовательно,

dim g(1M x2 M , 1Vx2 V) < (п1 + п2)2 + п1 + п2 -2п1п2 - 2п1 + п2 +1.

Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть (1 Mn, 1V) — проективно-евклидово пространство аффинной связности, удовлетворяющее условиям: 1P Ф 0, 1 Ptj = 0 (i Ф j), но существует составляющая вида 1Ф 0. Пространство (2M , 2V) является локально плоским. Тогда размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1M^ x2 M , 1V x2 V) не превосходит п2 + п2 + 2п2 - п1 +1.

Случай 2. Найдем нижнюю оценку ранга системы (2)-(4). Для этого сначала рассмотрим систему (2), которая равносильна системе (5)-(6). Учитывая, что 1P11 Ф 0,1Pj = 0 (i Ф j), 1Sll = 0(t = 2,3,...,п1), но существует хотя бы одна составляющая вида 1S23 Ф 0, система (5)-(6) подробнее распишется в следующем виде:

Xm5 mPn + 2PnX1 = 0,

P22 X2 + Pll X1 = 0,

PnXj + PmjXm= 0 (j > 2),

Xm5 P + P .Xm + P Xm = 0 (i > 1),

mij mj i im j v '7

Sm2 X,m = 0,

Sm3 X,m = 0,

SmjXm = 0( j > 3),

Xmd,A3 + Sm3 X2 + S2mX3” = 0, (10)

XmdmS2j + SmjXm + S2mXJ = 0 (j > 4),

XmdmS3j + SmjXm + S.mX’J = 0 ( j > 4),

XmdmSj + SmjXm + SmXJ = 0 (i > 3, j > 4).

Выделим матрицу A1, составленную из коэффициентов при переменных

X1, X1, X1 (2 < к < п1), X2 (4 < l < п1),

X/ (4 < l < п1), X3, X2, X22 в уравнениях системы (9), соответствующих индексам

(11), (12), (1j) (2 < j < п1)

и системы (10), соответствующих индексам

(3h) (4 < h < п1), (2h) (4 < h < п1), (12), (13), (23).

Эта матрица имеет вид:

A =

2P 11 * * * * * * *

0 P11 * * * * * *

0 0 I P 1 п-21 11 * * * * *

0 0 0 V3S32 * * * *

0 0 0 0 V3S23 * * *

0 0 0 0 0 S32 * *

0 0 0 0 0 0 S23 *

0 0 0 0 0 0 0 S23

где I — единичная матрица порядка p .

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

Действительно,

Р(Л) = 2Рп,

РУ1) = 0, Р(1212) = Р,

Р(1; 11) = 0, Р(1, 12) = 0, Р( , 1) = 8 р

5 (3* Г) = 0, 5 (з* |2) = 8 X,

5 (2* Г) = 0, 5 (2*12) = 0, 5 (2* 13) = 8 *523,

5 (12 |Г) = 0, 5 (1212) = 0, 5 (1213) = 0, 5 (1213) = 5з2,

5 (1з1Г) = 0, 5 (1312) = 0, 5 (1313) = 0, 5 (1313) = 0, 5 (1з|12) = ^,

5 (23Г) = 0, 5 (2312) = 0, 5 (2313) = 0, 5 (2313) = 0, 5 и) = 0, 5 (2312) = ^

Отсюда находим, что ранг матрицы А1 равен 3п1 - 3. Следовательно, ранг системы (2) не меньше, чем 3п1 - 3. отметим следующее

Предложение 1. Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований проективно-евклидового пространства аффинной связности (1 Мп^, 1У), удовлетворяющего условиям (2), имеет размерность, не превосходящую п? - 2п1 + 3 .

Действительно, если пространство (1М, 1У) является проективно-евклидовым, удовлетворяющим условию (2), то первая серия условий интегрируемости инфинитезимальных аффинных преобразований этого пространства имеет вид

1 хтд г 1РЛ + 1Р(Л 1Г )ХГ = 0,

ХтдГ % + 5(к Г)ХГ = 0.

Учитывая, что Р.к =1 Р.к, Б]к =1 8]к, получаем, что ранг этой системы также не меньше, чем 3п1 - 3. Следовательно, &ш я(1М /V) < п2 - 2п1 + 3.

Продолжим исследование первой серии условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1М х 2М,1V х 2 V). Ранг матрицы А , составленной из коэффициентов при неизвестных Ха системы (3), как и в случае I, равен точно п1п2.

Исследуем систему (4) при выполнении условия (II). Придавая индексам значения к = 1, I = 2, к = 3, получаем

п + 1

[-2ад+5318 2 - ад + -1—- (Р318 2 - р,281 )]х; = 0. п1 -1

Отсюда находим, что X” = 0.

Аналогично, при к = 1, к = 1, I > 1 из уравнения

п + 1

[-ад+ад - ад* + -1— № - ри8;ж; = 0

п1 -1

получаем, что X” = 0(1 > 1).

Учитывая эти соотношения, заключаем, что в случае II система (2)-(4) равносильна системе

XГд Р + Р(л Г) X* = 0,

XГд Я + 5 (к Г) X* = 0,

X; = 0,

X; = 0.

Следовательно, ранг этой системы не меньше, чем 3 п1 - 3 + 2п1 п2 .

Поскольку, с одной стороны X; =даX', X” =дкX; , с другой - X; = 0, X” = 0, то X' зависят только от

х1,...,х”1, X; — только от х”1+1,...,, то есть X = (1X, 2X), где 1X, 2X — векторные поля на 1 Мп^ и 2Мп со-

ответственно. Из этого следует, что уравнение инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1М х 2М,1V х 2 V) равносильно системе уравнений

Ь X ^ = 0,

Ь 2X ^ = 0.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть (1 Мп^, 1V) — проективно-евклидово пространство аффинной связности, удовлетворяющее условиям: 1 Р.. Ф 0, 1 Рц = 0 (' Ф к), 18И = 0 (/ = 2,3,.,п1), но существует составляющая 15п. Ф 0. Пространство (2Мп , ^) является локально плоским. Тогда алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения (1 Мп^ х2 Мп^, 1Vх2 V) изоморфна прямой сумме алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (аМп ,а V) (а = 1,2).

Следствие 1. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности (1 Мп^, V), тензорное поле Риччи которого удовлетворяет условиям (II), и локально плоского пространства (2Мп , ^) равна г + п2 + п2, где г — размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1Мп, V).

Отсюда следует, что максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения рассматриваемых пространств равна сумме максимальных размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований каждого из пространств. Отсюда, на основании предложения 1, получаем

Следствие 2. Пусть (1 Мп, V) — проективно-евклидово пространство аффинной связности, тензорное поле Риччи которого удовлетворяет условиям (II), (2Мп , ^) — локально плоское пространство, тогда размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения этих пространств не превосходит п12 + п22 - 2п1 + п2 + 3 .

Заметим, что соотношения X; = 0, X; = 0 были получены только из условия того, что первое пространство является проективно-евклидовым, тензорное поле Риччи которого удовлетворяет условиям (II), то есть в не зависимости от строения второго пространства, поэтому имеет место

Теорема 3. Если в прямом произведении пространств аффинной связности (1Мп х2 Мп , ^х ^) один из сомножителей является проективно-евклидовым пространством, тензорное поле Риччи которого удовлетворяет условиям: 1 Р.. Ф 0, 1 Рк = 0(' Ф к) 1 = 0(/ = 2,3,.,п1), но существует составляющая вида 1Б11 Ф 0, то алгебра Ли

инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1Мп х2 Мп , ^х2 V) изоморфна прямой сумме алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (аМп , "V) (а = 1,2).

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности // Движения в пространствах аффинной связности: Ученые записки / Под. ред. П. И. Петрова. Казань: КГУ, 1965. С. 5-179.

2. Моргун М. В. Об алгебрах Ли аффинных векторных полей прямого произведения проективно-евклидового и плоского пространств аффинной связности // Лаптевские чтения: Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева / Под ред. Л. И. Евтушика и др. Пенза: ПГПУ, 2007. С. 74-79.

3. Норден А. П. Пространства декартовой композиции // Известия вузов. Математика. 1963. №4(35). С. 117-128.

4. Султанов А. Я. Аффинные преобразования многообразий с линейной связностью и автоморфизмы линейных алгебр // Известия вузов. Математика. 2003. №11(498). С 77-81.