О деформациях алгебр Ли серии z Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 4 (2013)

УДК512.554

О ДЕФОРМАЦИЯХ АЛГЕБР ЛИ СЕРИИ Z

А. А. Ладилова (г. Нижний Новгород)

Аннотация

В работе построено семейство фильтрованных деформаций алгебр Ли серии Z. Показано, что эти алгебры являются новыми.

Ключевые слова: модулярные алгебры Ли, фильтрованные деформации.

ON THE DEFORMATIONS OF LIE ALGEBRAS OF SERIES Z

A. A. Ladilova

Abstract

In the work, the family of filtered deformations of Lie algebras of series Z was constructed. Proved that these algebras are new.

Keywords: modular Lie algebras, filtered deformations.

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследование фильтрованных деформаций алгебр Ли представляет интерес в связи с задачей о классификации простых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями. В данный момент остается неизвестной классификация алгебр Ли в характеристике p = 2, 3, что отчасти обусловлено появлением здесь большого числа так называемых исключительных алгебр Ли. Исключительными алгебрами Ли мы называем алгебры, которые не изоморфны ни классическим, ни алгебрам Ли картановского типа. Таковыми в частности являются алгебры Меликяна при p = 5, а также алгебры Франк, алгебры Ли серий R, X, Y, Z в характеристике p =3. Ранее в работах [1, 3, 4, 5] было показано, что алгебры Меликяна, алгебры Франк и алгебры серий R и Y являются жесткими относительно фильтрованных деформаций.

Однако, существуют исключительные алгебры Ли, обладающие нетривиальными фильтрованными деформациями. Так С. М. Скрябин в работе [6] построил не только Z-градуированные алгебры серии X, но и их фильтрованные

деформации, зависящие от формы объема ш. До настоящего момента оставалось неизвестным, существуют ли фильтрованные деформации алгебр серии Z, неизоморфные соответствующим градуированным алгебрам. В данной работе строится пример фильтрованной деформации алгебры Ли серии Z и доказывается, что эти алгебры не изоморфны другим алгебрам Ли этой же серии.

Исключительные градуированные алгебры Ли серии Z, существующие только над полями характеристики p =3, были построены С. М. Скрябиным в работе [6]. Ниже мы приведем геометрическую реализацию этих алгебр, а также сопутствующую терминологию и обозначения (см. [2], [6]).

Пусть E — трехмерное векторное пространство, F — некоторый флаг в E. В пространстве E зафиксируем базис x1,x2,x3, согласованный с флагом, тогда m = (m1,m2,m3) — вектор высот, соответствующий F. Обозначения F и m мы считаем взаимозаменяемыми. Для флага F определены алгебра разделенных степеней O = O(F), общая алгебра Ли картановского типа W = W (F), комплекс дифференциальных форм П = Q(F). Через Z(П) и В(П) мы обозначаем подкомплексы точных и замкнутых форм, соответственно.

Для формы ш Е Пк и D Е W через Блш Е Пк-1 обозначается форма, определенная соотношением ((D_ш), D1 Л ... Л Dk-1) = (ш,D Л D1 Л ... Л Dk-1), где (,) — спаривание двойственных модулей Пк и ЛqW. Аналогично, для элемента t Е Лк0W и 1-формы p через p_t обозначается элемент из Лk-1W, определенный условием (p1 Л ... Л pk-1, p_t) = (p Л p1 Л ... Л pk-1,t), где pi Е П1.

Под (O, W)-модулем мы понимаем O-модуль M, наделенный дополнительно структурой W-модуля, причем D(fa) = (Df)a + f (Da) для произвольных f Е O, D Е W и a Е M. Свободный (O, W)-модуль M ранга 1 мы называем обратимым. Обратимые модули, изоморфные O, называются тривиальными обратимыми. Они характеризуются тем, что в качестве их базисного элемента можно выбрать такой элемент е, что We = 0, причем е определяется однозначно с точностью до ненулевого скаляра. Последнее влечет за собой тот факт, что для любого обратимого модуля M с образующим элементом е, модуль M над полем характеристики p =3 является тривиальным, т.к. W(е ® е ® е) = 0. Таким образом, существует изоморфизм

Л: ®0 M м O: f (е ® е ® е) м f.

Кроме того, определен изоморфизм 1: ®20 M м Hom0(M, O) из соотношения (m, n'(m1 ® m2)) = Л^1 ® m2 ® m), где m, m1,m2 Е M.

Для определения операции умножения в алгебрах Ли серии Z изоморфизм l' нам понадобится в следующих частных случаях. Во-первых, при M = П3 мы получаем изоморфизм

1: ®0 П3 м Homo(П3, O) ^ Л%W.

Во-вторых, используя i' для модуля M = Л3W, определим отображение ( O, W) -модулей

{, }: (Л30W) Л (Л30W) м Homo(W, Homo(Л30W, O)) = П3 ®о П1

по правилу: {Ь1,Ь2}(Б) = ц'(¿1 ® БЬ2 — БЬ1 ® Ь2), где Б Є Ш,Ь1,Ь2 Є А3О Ш. Наконец, определим изоморфизм (О,Ш)-модулей к: А20 П2 ^ НотО(Ш, П3) соотношением

к(01 А 02)(Б) = (Біві) А 02

для 0і Є П2, Б Є Ш. Кроме того, для невырожденной формы объема ш определен изоморфизм О-модулей гш: Ш ^ П2, отображающий дифференцирование Б в 2-форму Б_іш.

Теперь мы можем непосредственно перейти к описанию алгебр Ли серии Z. Рассмотрим Z4-градуированные пространства

Z (Т) = Zg ® Z-l ф Z2 ® Zз,

где Zo = Ш, Zт = АОШ, Z2 = П3 ®О П1, В2(П) С Z3 С Z2(П).

Далее через ш мы будем обозначать порождающий элемент в модуле П3, а через Ь — порождающий элемент из А^ Ш, для которых выполнены соотношения А(ш ® ш ® ш) = 1 и (Ш, Ь) = 1. Определим умножение Z-i А Zj ^ Z¿+j следующим образом:

1. для і = 0 это естественное действие Ш на модуле Zj;

2. ^ А ^ ^ Z2 : яА = ^, дЬ} = ш ® (д&/ — /&д);

3. ^ х ^ ^ Zз: [/t,ш ® ф] = —а(/(ш,ь)ф) = — а(/ф);

4. Zт х Zз ^ Zo: [/Ь, 0] = —0і/Ь = /Б, где элемент Б таков, что 0 = Б_іш;

5. Z2 х Z2 ^ ZQ: [ш ® ф1 ,ш ® ф2] = і-1(ф1 А Ф2);

6. Z2 х Zз ^ Zт: [ш ® ф, 0] = ц(ш ® (ф А 0)) = ф(Б)Ь, где Б определяется условием 0 = Біш;

7. Zз х Zз ^ Z2: [0, 0] = к(0, 0) = — ш ® (Б110), где 0' = Б'іш.

Если Zз = В2(П), то алгебра Z(Т) проста. Отметим, что алгебры Ли Z(Т) естественным образом наделяются целочисленной градуировкой, индуцированной с О, и согласованной с Z4-градуировкой, которую мы и будем рассматривать.

Бесконечномерную алгебру Ли, соответствующую максимальному флагу Т : Е = Е0 = Е1 = ..., будем обозначать через Z(Е).

2. РЕАЛИЗАЦИЯ ФИЛЬТРОВАННОЙ ДЕФОРМАЦИИ АЛГЕБРЫ СЕРИИ Z

Пусть Є О — элемент максимальной степени. Обозначим через 0О произвольную 2-форму в П2(Е), мономы в которой имеют степень не меньше 8 и

высоту не более |£| + 1, удовлетворяющую условию d0o = ж(г)ш, и через Бо — специальное дифференцирование, соответствующее 0О при биекции Ш(Е) ^ П2(Е): Б м- Блш. Определим линейное подпространство Ь = Ь(Т) в Z(Е), порожденное элементами

Б + d(DJ0o), где Б е Z(Т)о,

/г + /Бо, где /г е z (т)т,

ш 3 ф + ф(Б0)г, где ш 3 ф е Z (Т )2,

0 - ш 3 (Аы©), где 0 е Z(Т)5. (1)

Теорема 1. Подпространство Ь является подалгеброй в Z(Е).

Доказательство. Проведем непосредственную проверку: покажем, что произведение любых двух элементов из Ь содержится в Ь.

В процессе вычислений нам потребуется несколько легко проверяемых тождеств, доказательство которых можно найти, например, в [7]:

А(^0) = ^р!0) + [Бь В2^0 (2)

для произвольных дифференцирований Б1, Б2 е Ш и произвольной формы

0 е П*,

d(DJ0) = Б0 — DJd0 (3)

для произвольного дифференцирования Б е Ш и произвольной формы 0 е П2,

divш (/Б) = Б/ + / divш Б (4)

для Б е Ш, / е О и формы объема ш.

1. Пусть а = Б1 + d(D1J0o), Ь = Б2 + d(D2J0o), тогда

[а, Ь] = [Бь Б2] + d(Dl(D2J0o) - Б2ри0о)) + ^ры0о), d(D2J0o)].

Легко видеть, что последнее слагаемое этого выражения равно нулю по определению формы 0О. С учетом (2) получаем, что D1(D2J0О) — D2(D1J0О) = [Dl,D2]J0o+ +D2J(Dl0o) — DlJ(D20o) + [Dl,D2]J0o, откуда

[а,Ь] = [Б1,Б2]+ d([Dl ,Б^0о) + Ф,

где Ф = d(D2J(D10o) — Б^(Б20о) + [D1,D2]J0О). Очевидно, [а, Ь] лежит в Ь тогда и только тогда, когда Ф е Ь(Т), то есть, как следует из (1), когда D0JФ =

0. Из выбора формы 0О и соответствующего ей дифференцирования D0 следует, что D0JФ = 0.

2. Пусть а = Б + d(DJ0o), Ь = /г + /БО, тогда

[а, Ь] = [Б,/г] + [Б,/Бо] + [d(DJ0o),/t] + [d(DJ0o),/Do],

где последнее слагаемое тривиально по выбору формы 0О.

Из (3) и определения 0О следует, что

[/г, d(DJ0o)] = [/г, [Бо, Б] Jш + DoJ(Dш) — DJX(г)ш] =

= /[Бо, Б] — х(/ + /(&ушБ)Бо.

Здесь для получения последнего равенства мы использовали спаривание, определяющее операцию умножения в алгебре Z(Е).

Тогда [а, Ь] = (Б/ —/<ИушБ)г — /Б)Бо + (Б/)Бо + /[Бо,Б]+ х(г)/Б, откуда видно, что если х(г)/Б е Ь, то [а,Ь] е Ь. Но элемент x(г)/DJ0o, очевидно, нулевой, а значит, х(г)/Б е Ь.

3. Пусть а = Б + d(DJ0o), Ь = ш 3 ф + ф(БО)г, тогда

[а, Ь] = [Б,ш 3 ф] + [Б, ф(Бо)г] — [ш 3 ф, d(DJ0o)] — [ф(Бо)г, d(DJ0o)],

где последнее слагаемое тривиально.

Из (3) и определения 0О, используя изоморфизм ц, задающий умножение в алгебре Z(Е), получаем: [ш 3 ф, d(DJ0o)] = [ш 3 ф, [Б, Бо] Jш + ^ушD)D0JШ — DJX(&')ш] = = (ф([Б,Бо]) + ^уш Б)ф(Бо) — х(&)ф(Б))г.

Таким образом, применяя (2) для 1-формы ф, имеем [а, Ь] = ^ушБ)ш 3 ф+ + ^ушБ)ф(Бо)г + ш 3 Бф + (Бф)(Бо)г + х(г)ф(Б)г.

Очевидно, что х(ё')ф(Б)БО = 0, поэтому х(ё')ф(Б)г е Ь, и по определению пространства Ь, произведение [а, Ь] в нем содержится.

4. Пусть а = Б + d(DJ0o), Ь =0 — ш 3 (DОJ0). Имеем

[а, Ь] = [Б, 0] — [0, d(DJ0o)] — [Б,ш 3 (DoJ0)] — ^^0о),ш 3 (БоJ0)].

Последнее слагаемое тривиально, что следует из выбора 0О.

Снова используя (3), определение 0О и изоморфизм модулей к, определяющий умножение в Z(Е), получим [0, d(DJ0o)] = [0, [Б, Бо] Jш + ^ушD)D0JШ — DJX(&')ш] = = ш 3 ([Бо, Б] J0) — ш 3 (^ушБ)Б^0) + ш 3 (x(г)DJ0).

Применяя соотношение (2) при вычислении [Б,ш 3 (Б^0)], получим, что [а, Ь] = Б0 — ш 3 (Бо JD0) — ш 3 (x(г)DJ0). Последнее слагаемое ш 3 (x(г)DJ0)

принадлежит Ь, а значит, [а, Ь] е Ь.

5. Пусть а = /г + /Бо, Ь = дг + дБО, тогда

[а,Ь] = [/г,дА + [/Бод] — [дБо,/г] + [/Do,gDo],

где снова последнее слагаемое тривиально.

Учитывая соотношение (4), получим [а,Ь] = ш 3 (д/ — /¿д) — Бо(д)/г + Бо(/)дг, лежит в Ь.

6. Пусть а = /г + /Бо, Ь = ш 3 ф + ф(БО)г, тогда

[а, Ь] = [/г,ш 3 ф] + [/г,ф(Бо)г] + [/Бо,ш 3 ф] + [/Бо,ф(Бо)г].

С учетом тривиальности последнего слагаемого, а также формул (3) и (4) получаем: [а,Ь] = —d(/ф)+ ш 3 ф(Бо)с1/ + /ш 3 (DoJdф) + (Do/)ш3 ф + /х(&)ш3 ф. Ясно, что /х(ё')ш3ф е Ь. Кроме того, Бо^(/ф) = ф(D0)d/ + /(БО^ф) + (БО/)ф, поэтому из (1) следует, что [а, Ь] лежит в Ь.

7. Пусть а = /г + /Б0, Ь = 0 — ш 3 (DoJ0). Обозначим через Б такое

специальное дифференцирование, что 0 = DJШ. Тогда

[a, Ь] = [/t, 0] — [/t, ш 3 (БО-10)] + [/D0, 0] — [/D0, ш 3 (БО-10)].

С учетом соотношений /Бо0 = d(/D0 J0) и DОJ0 + DJ0О = 0 имеем: [а, Ь] =

/Б+ +d(/DJ0o) — лежит в Ь.

8. Пусть а = ш 3 ф1 + ф1(Б0)г, Ь = ш 3 ф2 + ф2(Б0)г. Пусть, кроме того, дифференцирование Б е Ш определяется из условия DJШ = ф1 Л ф2, то есть Б = *^1(ф1 Л ф2). По определению операции умножения в Z(Е) получаем, что

[а, Ь] = г^1(ф1 Л ф2) — d(фl(Do)ф2) + d(ф2(Do)фl)•

Т.к. ф1(Бо)ф2 — ф2(Бо)ф1 = DoJ(фl Л ф2) и DoJ0 + DJ0o = 0, то [а,Ь] = Б + d(DJ0o).

9. Пусть а = ш 3 ф1 + ф1(Б0)г, Ь = 0 — ш 3 (Б^0), где 0 = DJШ для некоторого Б е Ш.

[а, Ь] = ф(Б)г — г-1(ф Л (DoJ0)) + ф(Бо)Б.

Заметим, что 0 = D0J(DJ(фЛш)) = ф(Б)0О — ф(0О)0+фЛ(DОJ(DJш)), откуда ф(Б)г — г-1(ф Л (Б^0)) = ф(Б0)Б — ф(Б)Б0. Следовательно, [а,Ь] = ф(Б)г+ +ф(Б)Бо е Ь.

10. Пусть а = 01 — ш3 (Б^0^, Ь = 02 — ш3 (Б0 J02). Определим Б1,Б2 е Ш из условий 0г = Б г JШ для г = 1, 2. Тогда

[а, Ь] = —ш 3 (D2J0l) + (DoJ02)(Б1)г — (DoJ0l)(D2)t•

Поскольку Б2 J01 + D2J02 = 0, то [а, Ь] также элемент из Ь.

Итак, мы доказали, что Ь — подалгебра Ли в Z(Е). □

Далее вместо флага Т будем использовать соответствующий ему вектор высот т.

Теорема 2. Подалгебра Ь с Z(Е), соответствующая 2-форме 0О, — фильтрованная деформация алгебры Z(т), ей неизоморфная.

Доказательство. Алгебра Ли Ь = Ь(т) является фильтрованной деформацией Z(т) по построению. Нужно лишь доказать, что Ь(т) = Z(т). Из [6] следует, что р-замыкание алгебры Z(т) в ее алгебре дифференцирований есть линейная оболочка внутренних дифференцирований Z (Т) и элементов adp дг, 0 < к < тг, то есть имеет размерность dim Z(т) + 1т1 — 3. Покажем,

что для алгебры L ее р-замыкание имеет большую размерность. Заметим, что базис пространства ad L и элементы adp (di + d(dij0o)), 0 < k < mi линейно независимы и содержатся в р-замыкании L. Очевидно, их линейная оболочка имеет размерность dim L + \m\ — 3 = dim Z(m) + \m\ — 3. Рассмотрим действие дифференцирования Di = adp 1 (di + d(dij0o)) на элементе dj + d(djj0o). Легко видеть, что

adpmi (di + d(dij0o))(dj + d(dj j0o)) = dij(adpmi-1 diaddj (х(<5Ц) + Ф,

где Ф — некоторая сумма однородных элементов из Z(E) степени большей, чем dij(adp 1 _1diaddj(х(^ш)). Если i = j, то элемент dij(adp 1 _1diaddj-(x(á)w)) ненулевой. Сравнивая степени элементов, мы видим, что для простой алгебры Ли серии Z не существует такого элемента вида

3 ms-1

adx = y + ^2 ^2 asksadpks (ds + d (dsj0o)),

s=1 ks = 1

чтобы ad x(dj + d(djj0o)) = Di(dj + d(djj0o)) . То есть Di линейно независимо

k

с ad L и adPs (ds + d(dsj0o)), 0 < ks < ms. Таким образом, размерность р-замыкания L больше размерности р-замыкания Z (m).

Пусть теперь Z(m) не является простой. По построению ее деформация L также не простая и [L, L] — ее единственный ненулевой минимальный идеал. Кроме того, [L, L] является фильтрованной деформацией простой алгебры Ли [Z (m), Z (m)], которая в свою очередь является единственным ненулевым минимальным идеалом алгебры Z(m). Таким образом, [L,L] = [Z(m),Z(m)], откуда следует неизоморфность L и Z(m). Теорема доказана. □

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (проект НК-13П-13, контракт П945 )

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kuznetsov M. I. The Melikyan algebras as Lie algebras of the type G2 // Comm. Algebra, 1991. Vol. 19. P. 1281-1312.

2. Кострикин А. И., Шафаревич И. Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики // Изв. АН СССР. Сер. Мат., 1969. Т. 33. С. 251-322. [Kostrikin A. I., Shafarevic I. R. Graded Lie algebras of finite characteristic // Math. USSR izv., 1969. Vol. 3(2). С. 237-304.]

3. Кузнецов М. И., Ладилова А. А. Фильтрованные деформации алгебр Ли

серии R // Мат. заметки. 2012. Т. 91(3). С. 400-406. [Kuznetsov M. I.,

Ladilova A. A. Filtered deformations of Lie algebras of the series R // Math. Notes, 2012. Vol. 91(3). P. 378-383.]

4. Ладилова А. А. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии Y // Фундам. и прикл. математика. 2008. Т. 14(6). С. 135-140. [Ladilova A. A. Filtered deformations of Lie algebras of series Y // J. Math. Sc., 2010. Vol. 164(1). P. 9194.]

5. Ладилова А. А. Фильтрованные деформации алгебр Франк // Изв. вузов. Математика. 2009. №. 8. С. 53-56. [Ladilova A. A. Filtered deformations of the Frank algebras // Russ. Math., 2009. Vol. 53(8). P. 43-45.]

6. Скрябин С. М. Новые серии простых алгебр Ли характеристики 3 // Мат. сб., 1992. Т. 183(8). С. 3-22. [Skryabin S. M. New series of simple Lie algebras of characteristic 3 // Russ. Ac. Sc. Sb. Math., 1993. Vol. 76(2). P. 389-406.]

7. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970. 412 с. [Sternberg S. Lectures on differential geometry. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964. 15+390 pp.]

ООО "С3Д Лабс"

Поступило 14.09.2013