К вопросу об алгебре Воэн-Ли V8 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 2 (1), с. 143-147

УДК 512.554.31

К ВОПРОСУ ОБ АЛГЕБРЕ ВОЭН-ЛИ V8 © 2014 г. М.И. Кузнецов, А.А. Шмелев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

kuznets -1349@yandex ,rn

Пиступила в редакцию 18.12.2013

Доказывается, что простая 8-мерная алгебра Ли V8 над полем F2, построенная М. Воэн-Ли, является формой классической простой алгебры Ли типа А2, расщепляемой над F4 . Приводится изоморфизм sl(3,4) и V8 над полем F4 , построенный с помощью компьютера.

Ключевые слива: простая алгебра Воэн-Ли над полем F2, формы алгебры Ли типа А2, когомологии Галуа.

В работе [1] М. Воэн-Ли, используя компьютерные вычисления, нашел все простые алгебры Ли размерности не более 9 над полем F2. Были обнаружены две центральные простые алгебры Ли - семимерная алгебра V7 и восьмимерная алгебра V8, которые не удалось отождествить с известными простыми алгебрами Ли. Позднее Б. Эйк [2] с помощью компьютера установила, что алгебра V7 изоморфна неальтернирующей гамильтоновой алгебре Ли Р(2: 4) (определение алгебр Р(п. т) см. [3]). В настоящей заметке мы показываем, что алгебра V8 является формой алгебры Ли sl(3), которая

расщепляется над полем F4. Сначала мы установим, что У8 F64 = sl(3,64), а затем, при-

меняя теорию форм классических алгебр Ли над конечными полями (см., например, [4]), получим, что У8 ®^Р4 = sl(3,4). В конце статьи

приведен изоморфизм V8 над Р4 и sl(3,4) в стандартном базисе Шевалле для sl (3) и базисе {х1,...,х8} алгебры V8. Этот изоморфизм построен с помощью компьютера.

1. Алгебра V8

Пусть Ь = У8. Простая алгебра Ь отождествляется с adЬ с gl(8). Согласно [1] Ь имеет

базис {хі, і = 1,...,8}, в котором операторы а^і

(отождествляемые с хі) имеют матрицы

Х1 =

' 0 0 0 0 0 0 0 0 ^ ' 0 0 0 0 0 0 0 0 л

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 , Х2 = 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0

V 0 0 0 0 0 0 1 0, V0 0 0 0 0 1 1 1)

' 0 0 0 0 0 1 1 1 ^ ґ 0 0 0 0 0 1 1 0 л

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 1 , Х4 = 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 1 0 0 0)

Х5 =

Х7 =

' 0 0 0 0 0 1 0 0 ^ ( 0 0 1 1 1 0 0 0 ^

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 0 0 1 0 ^ х6 = 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

.0 0 0 1 0 0 0 0, ^0 1 0 0 0 0 0 0,

' 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ' 0 0 1 0 0 0 0 0 ^

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1 , х8 = 0 0 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

, 1 1 0 0 0 0 0 1 , 0 1 0 0 0 0 1 0,

Матрицы хі являются транспонированными к матрицам из [1], так как в отличие от [1] мы записываем координаты аёх1 (х^і) в ]-й столбец.

Для д = 2т будем обозначать через Ь(д) алгебру Ли Ь ®р2 Рд над Рд .

2. Корневое разложение в Ь(8)

Матрицы х1 и х2 имеют блочный диагональный вид:

х1 = 0 + А + А , х2 = 0 + В + В, где

' 0 0 1 1 ' 0 1 11

А = 1 0 1 , В = 1 10

, 0 1 0 , 1 1 1,

Непосредственно проверяется, что матрицы А и В коммутируют и имеют характеристический многочлен f (х) = X3 + X + 1.

Этот многочлен неприводим над F2. Корень X многочлена f (х) является примитивным элементом поля F8. Другие корни f (х) равны X2 и X4 = X2 + X . Таким образом, в L(8) = L F8 adx2 имеет собственные векторы V.X, V 2,

УХ4 є<х3,х4,х5 >Р8,

соответствующие

и,, и 2, и 2 є < х, х

X’ і2? X2 6’ 7

X2 7 X2

собственным

X2

>

х = X, X2, X4. Элементы V, иг имеют одинаковые координаты в базисах < х3, х4, х5 > и < х6,

х7,х8 > : V,иX ~ (X5,X2,l), Гх2,их2~ (X3,X4,l),

у,-и*•' X•l)•

Таким образом, х1, х2 - полупростые элементы алгебры Ли Ь , Н =< х1, х2 > - подалгебра Кар-тана в Ь , расщепляющаяся над р , т.е. все собственные значения adx, х є Н , принадлежат р. Элементы V, их - корневые векторы относительно Н , при этом V, и х соответствуют собственному значению X2 оператора айх,, V2,и 2 - соб-

1 XX

ственному значению X4, V ,UX - собственному значению X.

Пусть а, Р є Н , а(х2) = X, а(х1) = X2,

Р(х2) = X2, р(х1) = X4. Тогда < К,иX>= Ьа ,

Положим

< >= Ь,

Р’ < ^,иX4 > ^+Р'

\ = Xx1 + X2 х2, й2 = X2 х1 + X4 х2. Тогда а(й1) = 0 , Р(й1) = 1, а(й2) = 1, Р(^2) = 0.

Используя матрицы операторов adx¡ в базисе < х1,..., х8 >, приведенные в пункте 1, получаем следующую таблицу умножения в

Ц8) = L F:

\='>-и,;- К Ц J=X(VX4 + ЦР.

Р8

значениям

К V 1=^ ,.= ■ и * и X. + и *).

Ьк ]=^г/,., Цл1= X^(V1+и1),

Ки,.]»^, [V1?,Ul]=XV1,• [К.ц,]=«;,, ]=й,2,

К и „ ЙК, М <■ Ик.

[к„и ^Л;., [к„и X, ,

кд;. ]= X6 (к + ь).

замечание показывает, что пары коммутирующих элементов появляются только при квадратичном расширении поля F8.

Теперь можно построить 1-градуировку в ¿(64), ¿(64) = ¿_1 ® ¿0 ® ¿1:

> , ¿0 = Н + ¿а .

Ь , =< а 2, Ь 4 >, Ь, =< с 2, d 4

X4 1 ■>2,,>4

_ ' "X2

В базисе

■ X2 ’ "X4 ’

2 4 матрицы операторов,

х X '

аёе\ _1, е є Ь0, имеют вид:

Г101 ( 0 01

X” X4 J ■ ■ '-"1 ' ■ 2'

Кратко умножение в базисе < К КV а Л1 а = X, X2, X4 > записывается так:

V Л\=(ха + 1)ГХ+П,

[Vх,ип\=(ха + 1)(Гх+а+ Vх+а) , г |"(ха + 1)К+а, х^а,

[х Нх, х = а.

Здесь Н = Ьх, Н 2 = й2, Н 4 = \ + Ь2.

3. Изоморфизм £ 0^ ^64 и sl(3,64)

Над квадратичным расширением F64 поля F8 в алгебре Ли ¿(64) = ¿ 0^ F64 = ¿(8) 0^ F4 можно построить пары коммутирующих элементов (а^, Ъ„4), (с^, dx4),

aX2, ^ е ¿р0 ¿;, ЪЯ4, dX4 е ¿а+р0 ^.

Для краткости будем обозначать подалгебру Картана Н 0^ F4 в ¿(64) по-прежнему через

н.

Аналогично используем обозначения ¿у для корневых пространств ¿у 0^ F4 в ¿(64). Положим

а 2 = V 2 + tV 2, Ъ 4 = V 4 + t V 4,

'12 '12 '12 “ '14 '14 ^4 “

А А А А А Л

С 2 = V 2 + t V 2, d 4 = V 4 + IV 4.

'12 '12 ^ 2 “ ^4 ^4 ^4

А А К К К А

Здесь t2 +1 +1 = 0, t е F4. Тогда 1а 2, Ъ 4 1 =

4

= 1^2, d * \= 0.

Действительно, используя таблицу умножения элементов Vх, V%, ползаем:

К. + ® X=.VX■ + MV X*\=

= ^((1 + X + (м +t + ^ ^)

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда 1 + t|м = 0, t2 +1 +1 = 0, т.е. |м = t_1 = = t +1, t - примитивный элемент поля F4. Это

аёК„

adЬ1

0

01

V

X4?-11

X? 0

айи„

(

01 0

XГ1 0

X4? 1

Таким образом, ограничение присоединенного представления на Ь_1 дает изоморфизм Ь0 и gl(2). Мы не будем строить изоморфизм Ь(64) и sl(3,64), а воспользуемся теоремами вложения транзитивных алгебр Ли в алгебру векторных полей Ж (см., например, [4-6]) над Р64. Согласно этим теоремам Ь(64) реализуется как градуированная подалгебра алгебры Ли Ж(2), при этом Ж_1 = Ь_1, Ж0 = Ь0.

Рассмотрим 6-мерный Ж0 -модуль Ж1 =

= {/1д1 + /ід2 , /1, /і Є< х1(2), х1, х2 , х22) >}. Он раскладывается в прямую сумму трех двумерных подмодулей:

Ж = и © и2 ® Ж (2:1,1)1,

и =< х1(2)Э1 + х1х2д2, х{2)д2 >, и2 =< х<2)д2 + х1х2д1, х22)д1 >,

Ж (2 :1,1)1 =< х1х2д1,х1х2д2 > .

Модули и1,и2 изоморфны. Для любого двумерного подмодуля и с и1 © и2 алгебра Ли Ж_1 + Ж0 + и не является простой. Поэтому Ь1 = = Ж (2:1,1)1 и, значит, Ь(64) = Ж (2:1,1) =

= sl (3,64).

4. Изоморфизм Ь 0^ F4 и sl(3,4)

Пусть R = {±а1, ±а2, + (а1 +а2)} - система корней типа А2, {еу, у є Я; к1, к2} - базис Шевал-ле алгебры Ли А2 .

Обзор по теории форм классических алгебр Ли можно найти в [4]. Там же изложена теория форм классических алгебр Ли над конечными полями в предположении, что характеристика р Ф 2,3. Ограничение на характеристику в [4] обусловлено нестандартным строением группы

автоморфизмов классических алгебр Ли некоторых типов при p = 2,3. Однако согласно [7]

группа автоморфизмов алгебры А2 имеет стандартное строение, т.е. для поля k характеристики 2 группа автоморфизмов A(k), алгебры Ли А2 , является полупрямым произведением групп Г графовых автоморфизмов, соответствующих автоморфизмам схемы Дынкина, |Г| = 2, и связной нормальной подгруппы

G = TG , где T - группа диагональных автоморфизмов относительно фиксированной подалгебры Картана, G' - группа Шевалле типа А2. Для удобства читателя мы рассмотрим основные утверждения теории, изложенной в [4], чтобы показать их справедливость для А2 при p = 2 .

Согласно общей теории форм (см. [8]), формы алгебры Ли L над полем k, расщепляющиеся над расширением Галуа E / k, описываются некоммутативными когомологиями Галуа H1 (<Gal(E / k), A(E)) , где Gal (E / k) - группа Галуа расширения E / k , A(E) - группа автоморфизмов алгебры Ли Le = L ®tE . Далее считаем, что k - конечное поле, L - алгебра типа А2.

Применяя теорему Ленга [9] о тривиальности когомологий Галуа с коэффициентами в связной группе и точную последовательность когомологий для точной последовательности коэффициентов (см. [8]) 1 ^ G ^ A(E) ^ Г ^ 1, получаем

вложение H1 (Gal(E/k),A(E)) в H1 (Gal(E/k), Г), где Г - тривиальная Gal(E / k)-группа. Очевидно, H1 (Gal (E / k), Г) = Hom(Gal(E / k), Г). Так как |Г| = 2, а Gal(E/k) - циклическая группа, то в случае, когда [E: k ] четно, имеется самое большее две неизоморфных k -формы алгебры Ли типа A2, расщепляющиеся над E. Одна из них sl(3, k), соответствующая тривиальному гомоморфизму Gal(E / k) ^Г. Пусть H - ядро нетривиального гомоморфизма Ф: Gal(E / k) ^ Г , K = EH - поле неподвижных относительно H элементов в E . Тогда [K : k]= 2, и L расщепляется над K, т.е.

LK = sl (3,K) (см. [4], гл. IV, §6). В нашем случае k = F2, E = F64, [e : k] = 6,K = F4. Таким образом, для L = V8 LP4 = sl(3, k).

Второй из авторов с помощью компьютера нашел изоморфизм ф: sl(3,4) ^ LP , используя

базис х1,...,x8 в L , построенный М. Воэн-Ли [1]:

ф(Я1) = xj + х5 + x6, ф(Н 2) = t~1х1 + х3 + х4 + х7,

фОо^ ) = х1 + хз + х4 + х7 , ф(е-а1) = х2 + х5 + х6 + х7 + х8 ,

ф(е ) = х1 +14 х2 + tx3 + х4 + х5 +1-1 х6 +14 х7 + х8, ф(е ) = t-1 х1 +1-1 х2 +1-1 х3 + tx4 + х5 +1-1 х6 + х8,

ф(еа1 +а2 ) = tx1 + tx2 + tx3 + t^ x4 + x5 + tx6 + x8 ,

ф(е-а1-а2 ) = x1 + tx2 +1-1 x3 + x4 + x5 + tx6 + tx7 + x8. Здесь t e P4, t2 +1 +1 = 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ (шифр заявки 1.1907.2011).

Список литературы

1. Vaughan-Lee M. Simple Lie algebras of low dimension over GF(2) // London Math. Soc. J. Comput. Math. 2006. V. 9. P. 174-192.

2. Eik B. Some new simple Lie algebras of characteristic 2 // J. Symb. Comput. 2010. V. 45(9). P. 943-951.

3. Lin L. Non-alternating Hamiltonian algebra P(n, m) of characteristic two // Commun. Algebra. 1993. V. 21. P. 399-411.

4. Seligman G.B. Modular Lie algebras / Erg. Math. Grenzgeb.: 40. Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin, New York, 1967. 165 p.

5. Кострикин А.И., Шафаревич И.Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1996. Т. 33. № 2. С. 251-322.

6. Кузнецов М.И. Усеченные индуцированные модули над транзитивными алгебрами Ли характеристики р // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1989. Т. 53. С. 557-589.

7. Steinberg R. Automorphisms of classical Lie algebras // Pac. J. Math. 1961. V. 11. P. 1119-1129.

8. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. М.: Мир, 1968. 208 с.

9. Lang S. Algebraic groups over finite fields // Amer. J. Math. 1956. V. 78. P. 555-563.

ON VAUGHAN-LEE ALGEBRA V8 M.I. Kuznetsov, A.A. Shmelev

It is proved that 8-dimensional simple Lie algebra V8 over F2 constructed by M. Vaughan-Lee is a form of a classical simple Lie algebra of type ^2 split over F4 . An isomorphism of sl(3,4) and V8 over F4 obtained by computer calculations is given.

Keywords: simple Vaughan-Lee algebra over the field F2, forms of the Lie algebra ^2, Galois cohomology.

References

1. Vaughan-Lee M. Simple Lie algebras of low dimension over GF(2) // London Math. Soc. J. Comput. Math. 2006. V. 9. P. 174-192.

2. Eik B. Some new simple Lie algebras of characteristic 2 // J. Symb. Comput. 2010. V. 45(9). P. 943-951.

3. Lin L. Non-alternating Hamiltonian algebra P(n, m) of characteristic two // Commun. Algebra. 1993. V. 21. P. 399-411.

4. Seligman G.B. Modular Lie algebras / Erg. Math. Grenzgeb.: 40. Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin, New York, 1967. 165 p.

5. Kostrikin A.I., Shafarevich I.R. Graduirovannye algebry Li konechnoj harakteristiki // Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1996. T. 33. № 2. S. 251-322.

6. Kuznecov M.I. Usechennye inducirovannye moduli nad tranzitivnymi algebrami Li harakteristiki p // Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1989. T. 53. S. 557-589.

7. Steinberg R. Automorphisms of classical Lie algebras // Pac. J. Math. 1961. V. 11. P. 1119-1129.

8. Serr ZH.-P. Kogomologii Galua. M.: Mir, 1968. 208 s.

9. Lang S. Algebraic groups over finite fields // Amer. J. Math. 1956. V. 78. P. 555-563.