Об A-представляющих системах. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 1, С. 43-53

УДК 517.9

ОБ А-ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ. I

Ю. Ф. Коробейник

В работе изучаются некоторые свойства А-представляющих систем, введенных автором в 1975 г. в

одной из его статей и с тех пор нигде не рассматривавшихся.

Ключевые слова: А-представляющие системы, оператор представления и правый обратный к нему,

линейные преобразования представляющих систем.

1. Пусть H — полное отделимое локально выпуклое пространство (ПОЛВП) над полем скаляров Ф, где Ф = C или Ф = R, с топологией P, определяемой набором (непрерывных) преднорм p: P = {p}.

Пусть, далее, П — некоторое счетное множество индексов и )Х=1 — неубывающая последовательность его конечных (т. е., состоящих из конечного числа индексов) подмножеств, исчерпывающая П и такая, что:

х / х \

V n ^ 1 Un С Un+1 С П = У U У I У (Ufc+1 \ шк ) .

fe=i V fc=1 )

Возьмем какое-либо счетное множество X ненулевых элементов xa из H таких, что любая (конечная) система элементов (xa : a € Um), m = 1, 2,... линейно независима в H. Если c = (са)а6п — произвольное числовое семейство (са £ Ф, Va £ П), то Vm ^ 1 положим Sm(c) : = ^а&шт c«xa. Образуем векторное пространство А1 (X, H) числовых семейств c = (ca), ca € Ф (Va € П), для которых в H существует предел lim Sm(c).

Очевидно, что ^(X, H) содержит все «орты» е(в) = (е7,вгде ß € П и е7,в = 0 при Y = ß, ев,в=1.

Пусть теперь А — (векторное) подпространство H). Назовем X А-представля-

ющей системой в H (А-ПС в H), если любой элемент y из H допускает представление

y = lim Sm(c), (1)

т^х

в котором предел берется в H и c = (ca)a6n € А.

В дальнейшем для краткости А1 (X, H) — ПС в H называется представляющей системой (ПС) в H.

Введем в пространстве ^(X, H) топологию Т1 набором преднорм Qp = {qX}pgp, где qX(c) := supp(Sm(c)). Заметим, что из отделимости пространства H следует, что

m>1

(^(X, H),Т1) также отделимо. Действительно, если d € ^(X, H) и qX(d) = 0 (Vp € P)

то

(Vp € P) (Vm ^ 1) p(Sm(d)) = 0.

© 2009 Коробейник Ю. Ф.

Но тогда при любом фиксированном m ^ 1 и всех p £ P p(Sm(d)) = 0, и в силу отделимости H, Sm(d) = 0, m = 1, 2,...

Так как по исходному предположению система (жа)а6Шт линейно независима и = 0, то da = 0, V а £ um, V m ^ 1. Окончательно, d = 0.

Предположим, что в подпространстве A пространства Ai(X, H) введена локально-выпуклая топология т такая, что (A, т) ^ (Ai(X, H),Ti). Тогда (A, т) — ОЛВП (над полем скаляров Ф).

Наиболее важными представителями А-ПС являются, пожалуй, представляющие системы (ПС) и абсолютно представляющие системы (АПС) в ОЛВП H. Для первых A = Ai(X, H), а для вторых A = A2(X, H), где

A2(X,H) := j c = (c«)«6n : (Vp £ P) qj2)(c) := ^ |cQ|p(xQ) < то l .

I aen )

(2) (2)

Если в A2(X,H) ввести топологию T2 набором преднорм Qp = {qp : p £ P}, то

(A2(X, H),T2) ^ (Ai(X,H),Ti).

Из этих определений следует, что любая А-ПС, где (A, т) ^ (Ai(X, H),Ti) (в частности, любая АПС) в H подавно будет ПС в H. Заметим еще, что если H — ОЛВП, то A2(X, H), т2 — ПОЛВП; если же H — ПОЛВП, то Ai(X, H) — также ПОЛВП.

Понятие представляющей системы впервые введено, по-видимому, А. А. Талаля-ном [1] для пространств Фреше вещественнозначных функций, определенных на некотором промежутке вещественной оси. Класс АПС в произвольном ПОЛВП H был рассмотрен автором в его статье [2], а общее определение А-ПС было дано в его работе [3]. Следует заметить, что к настоящему моменту имеется довольно большое число журнальных публикаций, в которых изучаются свойства ПС и (особенно) АПС и их приложения в анализе и дифференциальных уравнениях. Однако работ (кроме исходной статьи [3]), посвященных общим А-ПС, в литературе обнаружить не удалось. В настоящей статье этот пробел частично восполняется.

2. Введем оператор представления

LX : Vc = (ca)a6n £ A ^ LX(c) = lim V" сажа £ H.

m^ra \ f ^ I

m

Очевидно, что — линейный оператор из А в Н. Кроме того, в силу того, что (А, т) ^ А1 (X, Н), для любой преднормы р из Р найдутся конечная постоянная Ь < то и преднорма Ь из набора преднорм, определяющих топологию т в A, такие, что

(V c € A) qpX (c) < bt(c).

Но

Vc е Ap(LXc) ^ sup p caxJ = qp (c),

m>1 J

и LX — линейный непрерывный оператор из (A, т) в H. Очевидно, что X — А-ПС в H тогда и только тогда, когда H — эпиморфизм ((A, т) на H).

Заметим, что в определении А-ПС X не требуется единственность представления элемента y из H в виде (1) по системе X с коэффициентами из A. Если такая единственность имеет место для любого y из H, то соответствующую A-ПС X естественно назвать

А-базисом (при А = А2(Х, Н) — абсолютным базисом, а при А = А^Х, Н) — просто базисом в Н).

Очевидно, что любой А-базис в Н (соответственно, абсолютный базис или (просто) базис) будет А-ПС (соответственно, АПС или ПС) в Н. Обратное заключение, вообще говоря, неверно, в чем можно убедиться на, возможно, не самом общем, но довольно простом примере (пример подобного рода приводился автором в его лекции, прочитанной на Зимней Саратовской математической школе в 1971 г.).

Пусть Н — ПОЛВП функций, определенных на каком-либо множестве Q из Вр, где р ^ 1 и Вр = Ср или Вр = Мр. Будем считать, что пространство Н инвариантно относительно дифференцирования в том смысле, что все операторы частного дифференцирования д", ] = 1, 2,.. .р, где £ = (¿1, ¿2,... ¿р) £ Вр, действуют непрерывно из Н в Н.

Обозначим, далее, символом Л множество всех точек А из Ср таких, что ел(£) : = ехр < А, £ >р£ Н, и предположим, что множество Л бесконечно. Допустим еще, что для некоторого собственного счетного подмножества Л1 множества Л система экспонент |еЛ : А £ Л1} = |еЛп : п = 1, 2,...} является А-ПС в Н. Тогда, если Ао £ Л \ Л1, то

)оо

, где Л1 = 1 I , ¿>1 С ¿2 с ... С Л1. ¿=1

При этом |в«}лабЛ1 £ А и 3кь 3то к1 £ ¿т и @к1 = 0 (здесь (Vк ^ 1) ¿¿к := Л1 Пшк). Так как Ао = Ак1, то 3^' ^ р: Ао,^ = Ак^. Продифференцировав равенство

ело (¿) = Иш [ ^ вкелк ) (2)

т,—I ' ^ к I

Л к

по , получим

А0,^ еЛо (£)= I X) вкеЛк • Ак,о I . (3)

Лк

Лкбо) т

Умножив обе части равенства (2) на Ао,о и вычтя полученное соотношение из (3), найдем:

0 = Иш | V" (Ак,о - Ао,^ )вкел

т—х I <

т—х _

Лк т

Так как предел справа существует, то |(Ак,^ — Ао,о)вк}лкел1 £ А, причем при к = к1 (Ак1;о — Ао,о )вк1 = 0, и мы получили нетривиальное представление нуля в Н по системе Ел1 := (елк : Ак £ Л1). Отсюда следует, что единственность представления в Н по системе Ел1 не имеет места, и Ел1 — не А-базис в Н.

Во многих работах рассматривались функциональные пространства Н, инвариантные относительно дифференцирования и содержащие совокупность экспонент {ел : А £ Л}, где Л имеет мощность континуума. Из приведенных рассуждений следует, что во всех таких пространствах ни одна А-ПС экспонент не будет А-базисом. В частности, любая представляющая система экспонент в таком пространстве Н (существование подобных ПС установлено во многих работах), не будет базисом в Н.

к

3. В связи с тем, что в общей ситуации единственность представления элементов из H в виде (1), с коэффициентами из A, может не иметь места, дадим определения некоторых подклассов A-ПС.

1. Если коэффициенты хотя бы одного представления (1) произвольного элемента y из H с коэффициентами (уа)аеп из A могут быть найдены эффективно (т. е., определены конструктивно), то X называется эффективно A-представляющей системой (обозначение: ЭА-ПС) в H .В случае, когда A = Ai (X, H), используется обозначение ЭПС, а при A = A2(X, H) — обозначение ЭАПС.

2. Если оператор представления LX является эпиморфизмом A на H, имеющим линейный непрерывный правый обратный (ЛНПО), то X называется правильной А-ПС (ПА-ПС) (соответственно, ППС и ПАПС).

3. Наконец, если LX — эпиморфизм A на H, имеющий конструктивно определяемый ЛНПО, то X называется эффективно правильной А-представляющей системой (ЭПА-ПС) (при A = A1 (X, H) — ЭППС, а при A = A2 (X, H) — ЭПАПС).

4. Рассмотрим теперь общие линейные преобразования А-ПС. Всюду далее предполагается (и впредь особо не оговаривается), что выполнены следующие условия:

а) при j = 1, 2 Hj — ПОЛВП с набором преднорм Pj = {pj}, определяющим топологию в Hj;

б) T — линейный непрерывный из Hi в H2 оператор;

в) X = (ха)аеп — некоторое счетное множество элементов (ха) из Hi таких, что любая конечная подсистема X линейно независима в Hi, а любая конечная подсистема множества TX := (Тжа)а6п линейно независима в H2.

Отметим сначала один почти очевидный результат.

Лемма 1. Aj(X, Hi) ^ Aj(TX, H2), j = 1, 2.

< Действительно, прежде всего, если предел lim а6Шт Саха) имеется в Hi, то (в силу непрерывности оператора T)

T I fclim ^ СаХа I = Jim I Ca ТЖа I £ H2.

\ a€aifc ) \ aeaifc )

Следовательно, Ai(X, Hi) С Ai (TX, H2). Далее,

(Vp2 £ P2) (3pi £ Pi) (36 < V x £ Hi p2(Tx) < 6pi(x).

Отсюда Vc = (ca)a6n £ Ai(X, Hi) имеем

(c) := sup p2 CaTXa

Vae^m J

= sup P2 T ^ СахЛ ^ b sup Pi ^ СахЛ = 62<?X (c), V Чае am // /

и, следовательно, Ai(X, Hi) ^ Ai(TX, H2).

Аналогично, и притом еще более просто, показывается справедливость второго вложения. >

Приведем теперь некоторые (используемые в дальнейшем) простые результаты о линейных преобразованиях общих А-ПС и введенных выше трех их подклассов.

Теорема 1. Если X — А-ПС в Hi и T — эпиморфизм Hi на H2, то TX — А-ПС в H2.

< Для любого у £ Н2 в Н1 имеется элемент х такой, что Тх = у. Так как X — А-ПС в Н, то найдется сходящееся в Н1 представление х по системе X с коэффициентами из А:

X = Ит У^ СаХа •

\а6шт /

Отсюда

У = Тх = Ит У^ саТхЛ ,

т^х \ —' I

\абШт /

и ТХ — А-ПС в Н2. >

Перед тем, как установить (неполное) обращение этой теоремы, дадим одно определение.

Пусть Т — оператор из ПОЛВП Н1 в ПОЛВП Н2 и X = (ха)абп — некоторая система ненулевых элементов из Н1. Говорят, что семейство X(А, Т)-инвариантно относительно пары Н1, Н2, если из существования предела в Н2 последовательности с«Тха| (с коэффициентами (са)абп из А) следует, что последовательность

саха} имеет предел в Н1. Из этого определения вытекает, что если Т — линейный непрерывный оператор из Н1 в Н2 и система X (А, Т)-инвариантна относительно пары Н1 , Н2, то любая последовательность вида | с«х^ , в которой (са)абп £ А, имеет предел в Н1 тогда и

только тогда, когда последовательность саТха| имеет предел в Н2 (иными

словами, A(X, Н1) = A(TX, Н2)).

Теорема 2. Пусть ха £ Н1, а £ П; Т — линейный непрерывный оператор из Н1 в Н2; система X = (ха)абп (А, Т)-инвариантна относительно пары Н1, Н2 и TX = (Тха)абп — А-ПС в Н2. Тогда Т — эпиморфизм Н1 на Н2.

< Напомним вначале, что А С Al(TX, Н2) = А1^, Н1). Далее, если у — произвольный элемент из Н2, то найдется хотя бы одно представление вида у = Ит ^ уаТха,

в котором (уа)абп £ А (и, следовательно, в Н2 существует предел Ит ^ уаТха). Но

тогда в Н1 существует предел Ит ^ уаха =: х, откуда

Тх = Ит У"" уаТха = у,

к^х *—'

и Т — эпиморфизм Н1 на Н2. >

Аналогичным образом формулируются и доказываются три пары утверждений, относящихся к введенным выше подклассам А-представляющих систем.

Теорема 3. Пусть X — ЭА-ПС в Н1 и Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий конструктивно определяемый правый обратный В. Тогда TX — ЭА-ПС в Н2.

< Действительно, для любого у из Н2 Ву £ Н1 и ТВу = у. При этом Ву =

Ит 7аха, где (7а)абп £ А С А1^, Н1) С Al(TX, Н2) и коэффициенты (Та)абП определяются конструктивно. Отсюда

у = Т ^а) = £Х £ ТаТхс

причем последний предел берется в Н2 и (7г)гбп € А. >

Теорема 4. Пусть Т — линейный непрерывный оператор из Н1 в Н2, а ТХ — ЭА-ПС в Н2. Пусть, далее, система X (А, Т)-инвариантна относительно пары Н1, Н2. Тогда Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий эффективно определяемый правый обратный.

Теорема 5. Пусть Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий ЛНПО, и пусть X — ПА-ПС в Н1. Тогда ТХ — ПА-ПС в Н2.

Теорема 6. Пусть Т — линейный непрерывный оператор из Н1 в Н2. Пусть, далее, ТХ — ПА-ПС в Н2 и система X (А, Т)-инвариантна относительно пары Н1, Н2. Тогда Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий ЛНПО.

Теорема 7. Если Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий конструктивно определяемый ЛНПО, а X — ЭПА-ПС в Нь то ТХ — ЭПА-ПС в Н2.

Теорема 8. Если Т — линейный непрерывный оператор из Н1 в Н2, система X (А, Т)-инвариантна относительно Н1, Н2, а TX — ЭПА-ПС в Н2, то Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий эффективно определяемый ЛНПО.

< Доказательство теоремы 5. По теореме 1 TX — А-ПС в Н2. Далее, так как X — ПА-ПС в Н1, то оператор представления (ОП)

¿х : А ^ Н1, V с € А ^ Ьхс = Иш У аажа € Н1,

ае^к

имеет ЛНПО

В : Н1 ^ А, ¿XВ1Ж = ж (Vж € Н1).

Запишем ОП для системы TX в Н2:

V ё € А2 ^ d = Иш V ^аТжа € Н2.

к—ж —'

По предположениям теоремы оператор Т имеет ЛНПО

Тг-1 : ТТг-1ж = ж (Vж € Н2).

Тогда оператор В2 := В1Т 1 линеен и непрерывно действует из Н2 в А, причем Vж € Н2 В2ж = У(В1Т"1ж)«Тж„.

к—ж —'

абШк

Так как В действует из Н2 в А, то {(В1Т 1ж)абп| € А, и, следовательно, в Н1 существует предел

к—Ж I Т«жа = у, 7« := (£1Тг-1ж)а, а € П.

\аб^к /

Но тогда

Ту = Т

11ш

к—ж

/ J 7ажа , аба>к /

= 11ш Т

к—ж \

\ аб^к

^ 7«ж« = ТЬХВ2ж

= ТЬХВ1Тг-1ж = ТТг-1ж = ж = 11ш V 7«Тж« = В2ж.

к—ж \ ^—' I

\ аб^к /

Таким образом, В2 — ЛНПО для ОП ¿АХ, и TX — ПА-ПС в Н2. Заметим еще, что если ЛНПО для Т определяется эффективно, а X — ЭПА-ПС в Н1, то оператор В1, а с ним и В = В1Т—1 также определяется конструктивно, и, следовательно, TX — ЭПА-ПС в Н2. Тем самым доказана и теорема 7. >

< Доказательство теоремы 6. По теореме 2 Т — эпиморфизм Н1 на Н2. Далее, по предположению теоремы ОП имеет ЛНПО

В2 : ¿АХВ2ж = ж (Vж € Н2)

и, кроме того, для любого ё из А С Al(X, Н1) С Al(TX, Н2) в Н2 существует предел

11ш I Тжа 1. Но тогда для любого ё € А в Н1 существует предел жо последова-

к—ж V абшк '

тельности ^ ёажа > такой что

ГмС./ , |7 ' к=1

ка6 Шк

xo = lim ( 22 d«xa = LX (d).

\«ешк

В силу непрерывности оператора T имеем

TLX(d) = Txo = Um ( ^ d«Tx« ) = L^X(d) (Vd G A).

V а€ш>к /

Возьмем теперь любой элемент y из H2 и положим d = B2y. Тогда d G A и TLX d =

,аешк /

^ь любой элемент у из Н2 и положим ё — В2у. Тогда ё € А и т ± Х

В2У = у, т. е.

Т(ж) = у, где ж = ¿Xё = ¿XВ2У € Нь

Таким образом, В — ЛНПО для эпиморфного оператора Т. При этом, если еще ЛНПО В для оп ¿АХ

определяется эффективно (т. е., если TX — ЭПА-ПС в Н2), то оператор В также определяется эффективно, и справедлива теорема 8. > Аналогично доказывается и теорема 4. 5. Остановимся отдельно на случаях, когда

А = А1 (X, Н1) и А = А2 (^Н2).

В этих случаях теорема 1 принимает следующий вид

Теорема 9. Если X — А1 (X, Н1)-ПС или A2(X, Н1)-ПС в Н1 и Т — эпиморфизм Н1 на Н2, то TX — A1(X, Н1)-ПС (соответственно, А2^, Н1)-ПС) в Н2.

Утверждение X — А1^, Н1)-ПС в Н1 (X — A2(X, Н1)-ПС в Н1) равносильно тому, что X — ПС в Н1 (соответственно, X — АПС в Н1). Но по лемме 1, если TX — А1^, Н1)-ПС или A2(X, Н1)-ПС в Н2, то TX — ПС (соответственно, АПС) в Н2. Таким образом, из теоремы 9 вытекает более грубое утверждение:

Теорема 10. Если Т — эпиморфизм Н1 на Н2 и X — ПС или АПС в Н1, то TX — ПС (соответственно, АПС) в Н2.

Точно так же формулируются аналоги теорем 2-8. Приведем в качестве примера формулировки теорем, соответствующих теоремам 7 и 8.

Теорема 11. Если Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий конструктивно определяемый ЛНПО, и если X — ЭП А^, Н1 )-ПС или ЭП А2^, Н1)-ПС в Н1, то TX — ЭП Al(X, Н1)-ПС в Н2 (соответственно, ЭП A2(X, Н1 )-ПС в Н2).

Теорема 12. Если Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий эффективно определяемый ЛНПО, и если X — ЭППС или ЭПАПС а Н1, то ТХ — ЭППС (соответственно, ЭПАПС) в Н2.

Теорема 13. Если Т — линейный непрерывный оператор из Н1 в Н2, система X (А1 (X, Н1), Т) -инвариантна (или (А2 (X, Н1), Т) -инвариантна) относительно пары Н1, Н2 и если TX — ЭП А1^, Н{)-ПС (соответственно, ЭП Н{)-ПС) в Н2, то Т — эпи-

морфизм Н1 на Н2, имеющий эффективно определяемый ЛНПО.

Теорема 14. Если Т — линейный непрерывный оператор из Н1 в Н2, А1^, Н1) = A1(TX, Н2) или А2^, Н1) = A2(TX, Н2) и если TX — ЭППС (соответственно, ЭПАПС) в Н2, то Т — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий конструктивно определяемый ЛНПО.

5. Изложенные общие результаты используются далее в частном случае, когда при ^ = 1, 2 Н? — ПОЛВП функций, определенных на некотором компакте ^ из Ср (или из Мр), р ^ 1, причем ^2 С и Н1 ^ Н2. В качестве оператора Т берется вначале оператор Т^2 «сужения» с на ^2:

Vу £ Н1 ^ Т12У := У

42

и предполагается, что этот оператор (очевидно, линейный) непрерывен и действует из Н1 в Н2. Допустим, что Q — правый обратный для Т^. Тогда

Т1;2(^ж) = х (Vх £ Н2) или ^х) = х (Vх £ Н2).

42

Таким образом, оператор Q всегда совпадает с оператором «подъема» из Q2 в Ql, т. е. с оператором, который каждую (определенную на Q2) функцию у из Н2 продолжает (из Q2 в Ql) до некоторой функции у1 из Н1 такой, что

У1

= Т1,2 У1 = У-

42

Такой оператор назовем оператором продолжения из Н2 в Н1 .

Очевидно, что ЛПО (Т^)-р для оператора «сужения» Т^ существует тогда и только тогда, когда имеется оператор М2Д продолжения из Н2 в Н1, причем всегда оператор (Т1,2)-р (если он существует) совпадает с М2Д.

Ясно также, что Т^ — эпиморфизм Н1 на Н2, имеющий ЛНПО, тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный оператор продолжения М2Д.

Выясним еще, что означает в данной конкретной ситуации (А, Т^)-инвариантность системы X относительно пары Н1, Н2. Нетрудно убедиться (в предположении о непрерывности оператора Т^), что система X (А, ^^-инвариантна относительно пары Н1,

Н2 в том и том случае, если любая последовательность | ^ саха| , в которой

(Са)аеп £ А, сходится (т. е. имеет конечный предел) в Н1 тогда и только тогда, когда последовательность ^ ^ сахс

1 сходится в Н2.

саха г ка€о>к Я-2> к=1

Легко переформулировать теоремы 1-8 для рассматриваемой частной ситуации. Мы ограничимся здесь только формулировками двух из этих результатов, предоставив читателю сформулировать остальные.

Теорема 15. Пусть оператор «сужения» Т^2 непрерывен из Н1 в Н2 и существует конструктивно определяемый линейный непрерывный оператор М^2 «подъема из Q2 в Ql». Пусть, далее, X — ЭПА-ПС в Нь Тогда TX — ЭПА-ПС в Н2.

Теорема 16. Пусть

(1) оператор Т^2 непрерывен из И в И2;

(2) А С А1 (X, И1); ^

(3) любая последовательность < ^ СаХа г , В которой (Са)а€ш ^ А, сходится В И1

^абШк ^ к=1

тогда только тогда, когда последовательность | ^ Сажа | сходится в И2;

(4) {xi-ЭПА-ПСв H2.

Тогда Ti,2 — эпиморфизм Hi на H2, имеющий эффективно определяемый ЛНПО ( совпадающий с Mi ,2).

Следствие. Пусть выполнены предположения (1)-(3) теоремы 16 и, кроме того, X — ЭПА-ПС в Hi. Тогда равносильны такие утверждения:

(1) Существует и конструктивно определяется линейный непрерывный (из H2 в Hi) оператор Mi,2 «подъема из Q2 в Qi ».

(2) Ti,2X = {ж«|д2 }«бП — ЭПА-ПС в H2.

Заметим, что изложенный в этом пункте материал обобщает результаты из более ранних работ автора (см., например, [4, 6]).

6. Приведем один довольно общий пример, в котором имеет место предположение в), сформулированное в начале п. 4.

Пусть выполнено условие а) из п. 4 и пусть T — линейный оператор, действующий из Hi в H2 (в отличие от б) непрерывность T из Hi в H2 не предполагается). Пусть, далее, X = (жа)а6п — некоторое счетное множество собственных элементов xa оператора T с попарно различными собственными значениями:

Тжа = Л axa ; Ла = Лв при a = в

(ясно, что если Ла = 0, то xa G Hi П H2).

Покажем, что в данной ситуации любая конечная подсистема X линейно независима в Hi. Доказательство проведем методом полной математической индукции. Так как по определению собственный элемент оператора T отличен от нулевого, то при n = 1 нужное нам утверждение верно. Допустим теперь, что любая совокупность n элементов xaj, j = 1, 2, ...n, из X линейно независима в Hi, и докажем, что произвольная система (x«j)a=i элементов из X, где an+i G fi, также линейно независима в Hi. Рассуждая от противного, предположим, что некоторая система вида

(xaj : xaj G X, aj G fi, j = 1, 2,..., n + 1 j линейно зависима в Hi, т. е., что существует {cj j+Î:

n+i n+i

ElCjI > 0, x«j =0. (4)

j=i j=i

Применяя к равенству (4) линейный оператор T, получим

n+i j=i

Пусть ко ^ к ^ п + 1, ко = тш{т : 1 ^ т ^ п +1, ст = 0}. Вычитая из равенства (5) предыдущее, предварительно умноженное на Аако, найдем:

п+1

У ск(А«к — А«ко )х«к = 0-к=ко+1

В силу исходного предположения математической индукции система {хак : 1 ^ к ^ п +1, к = ко} линейно независима в Нь Поэтому

Ск(Аак - Аако) = 0, ко + 1 ^ к ^ п + 1.

Так как Аак = Аако при к = ко, то из последних соотношений следует, что

ск = 0, 1 ^ к ^ п + 1, к = ко.

Но тогда равенство (4) примет такой вид:

с^ох«к0 =0, где с^о =0.

Следовательно, хако = 0, что невозможно. Этим доказательство по индукции завершается.

Заметим еще, что если Аа =0, а £ П, то в предположениях данного пункта любая конечная совокупность элементов из X линейно независима в Н1, а из TX := (Ааха)а6п — в Н2. Это означает, что каждая конечная подсистема из X линейно независима и в Н1, и в Н2 .

Пожалуй, наиболее интересным для нас частным случаем только что описанной ситуации является случай, когда при ] = 1, 2 Н? — ПОЛВП функций от р (вещественных или комплексных) переменных, а Т — оператор свертки:

Т(ехр(А, г)р) = а(А) ехр(А, г)р; А, г £ Ф, где Ф = или Ср.

Пусть для любого А £ П С Ф

ехр(А, £ Н1 П Н2; а(А1) = а(А2), если А1, А2 £ П и А1 = А2.

Пусть еще оператор Т действует из Н1 в Н2. Тогда по доказанному, любая конечная совокупность элементов системы {ехр(А, линейно независима и в Н1, и в Н2.

В заключение отметим, что применение общих результатов о линейных преобразованиях А-ПС, изложенных в данной статье, к некоторым конкретным функциональным пространствам в случае, когда А = А1 или А = А2, дано в работах [4-7].

Литература

1. Талалян А. А. Представление измеримых функций рядами // Успехи мат. наук.—1960.—Т. 15, вып. 5.—С. 77-141.

2. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб.—1975.—Т. 97, № 2.—С. 193-229.

3. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной связи // Мат. анализ и его приложения.—1975.—Т. 7.— С. 200-208.

4. Коробейник Ю. Ф. О некоторых классах представляющих систем и их преобразованиях. I // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского.—Казань, 2002.—Т. 14.—С. 171-185.

5. Коробейник Ю. Ф. Эффективно представляющие ^-тригонометрические системы и их приложения. Часть I.—1999.—35 с. Деп. в ВИНИТИ 29.06.99, № 2132; часть 11.—1999.—35 с. Деп. в ВИНИТИ 24.11.99, № 3474.

6. Коробейник Ю. Ф. Линейные преобразования представляющих и абсолютно представляющих систем // Изв. вузов. Математика.—2005.—№ 9.—С. 19-28.

7. Коробейник Ю. Ф. Аппроксимативные свойства ^-тригонометрических систем // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды».— 2004.—С. 150-153.

Статья поступила 10 декабря 2008 г.

Коробейник Юрий Федорович Южный федеральный университет, проф. каф. матем. анализа

РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-А; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, гл. научн. сотр. лаб. комплексного анализа E-mail: [email protected]