CC BY
12
УДК 517.9.28
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
© 2013 г. Ю.Ф. Коробейник
Коробейник Юрий Федорович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор-консультант, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; главный научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, е-mail: [email protected].
Korobeinik Yurii Fedorovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Professor-Consultant, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090; Main Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027, e-mail: [email protected]. ru.
Пусть E — полное отделимое локально выпуклое пространство (ПОЛВП) над полем скаляров C с топологией, определяемой набором преднорм Р = {р}. Пусть далее Q — произвольное подмножество C и C(Q) — векторное пространство всех непрерывных в каждой точке Q комплекснозначных функций. В работе выделяется один класс ПОЛВП E со следующим свойством: если
X = {хк — абсолютно представляющая система в E, то для любого элемента v(t) из E, зависящего непрерывно (в топологии
да
E) от параметра t е Q , найдется его представление в виде абсолютно сходящегося в E ряда по X: у(:) = £ Ук (7)хк, в котором
к=1
Ук > 1 Ук е С^).
Ключевые слова: абсолютно представляющая система, полное отделимое локально выпуклое пространство, непрерывные функции.
Let E be a complete separated locally convex space (CSLCS) over the field O of scalars where O = C or O = R. The paper describes one class of CSLCS with the following property: if v(t) is an arbitrary element of E depending continuously on the parameter t on the set
Q c O and if X = {xt is an absolutely representing system in E, then there exists the representation of v(t) in the form of the series
to
v(t) = ^ v^ (t) x^, absolutely converging in E and such that all functions vk (t) are continuous on Q. k=1
Keywords: absolutely representing systems, complete separated locally convex space, continuous functions.
1. Пусть Е - полное отделимое локально выпуклое пространство (ПОЛВП) над полем скаляров Ф, где Ф = С или Ф = Я . Для определенности считаем далее, что Ф = С, хотя все приведенные ниже результаты справедливы и в случае, когда Ф = Я . Определение ПОЛВП можно найти, например, в [1] или [2]. Будем считать, что топология в E задается набором преднорм Р = {р}.
Пусть далее X = {хк - некоторая последовательность ненулевых элементов из E. Следуя [3, 4] назовем X абсолютно представляющей системой (АПС) в E, если для любого у е Е найдется (не обязательно единственное) представление в виде абсолютно сходящегося в E ряда по системе X:
у = £ Укхк; £ I у к I р(хк) <да ур е Р■ (!)
к=1 к=1
В настоящей статье исследуется один вопрос, возникающий при исследовании некоторых задач в теории уравнений в частных производных, но имеющий, по-видимому, и самостоятельный интерес.
Пусть X = {хк }да=1 - АПС в E и у(0 - элемент E, зависящий непрерывно (по топологии £) от параметра t, принадлежащего некоторому множеству Q из С Можно ли для любого такого элемента найти его представление в виде ряда (1)
да да
V© = £ ук (Г)Хк, £ | Ук (1) I р(хк) < да, t е Q , р е Р, (2)
к=1 к=1
такое, что Ук > 1 ук (0 е С(О). Если ответ на этот вопрос положителен, то скажем, что данная АПС X в E обладает свойством непрерывности представления по параметру. Если же такое свойство имеется у любой АПС в ПОЛВП E, то будем говорить, что E обладает универсальным свойством непрерывности представления по параметру. В данной работе описывается один класс подобных пространств, а также приводится достаточное условие для того, чтобы некоторая фиксированная АПС X в ПОЛВП обладала свойством непрерывности представления по параметру.
2. Введем для любого ПОЛВП E с определяющим топологию в нем набором преднорм Р = {р} и любой
последовательности V = (ук )да=1 ненулевых элементов из E векторное пространство последовательностей
А2Е(V) := |с = (ск)да=1 е Ф" : др(с) := £\оп\р(хп) < да,Ур е р}
Если в пространстве АЕ (V) ввести топологию набором преднорм ВР := {¡р : р е р}, то, как известно (см.,
например, [3, 4]), АЕ (V) - ПОЛВП.
Будем говорить, что Е обладает свойством (М), если для любой АПС X = {хк }да=1 в Е линейный оператор Ь , отображающий АЕ (X) на Е и названный в [3, 4] оператором представления Ус = {ск }да=1 е АЕ (X)
Lc = 2 ckxk , имеет непрерывный правый обратный
k=1
(не обязательно линейный) оператор (НПО) l : Llx = x, Vx e E.
Теорема 1. Пусть E - ПОЛВП над полем Ф, обладающее свойством (М) и имеющее АПС
X = {хк}Г=1, хк e E, xk Ф 0, k = 1,2,... Тогда для любого элемента v(t) из E, непрерывно зависящего от некоторого параметра t из множества T ç Ф , найдется представление в виде (2), в котором все коэффициенты vk (t) непрерывны на множестве T .
Доказательство. Пусть t0 e T . Элемент v(t) из E
можно представить в виде
v(t) = Llv(t ) = ±(lv(t))nxn.
Зафиксируем произвольно номер k0 > 1 и рассмотрим оператор Jko , действующий из ФN в Ф = С :
Ve = (ck )Г=1 е ФN ^ Jk0 c = ckQ e С. Так как xiQ ф 0 , то 3p0 e P : p0 (xkQ ) = a> 0, откуда J cl < — q (c). Таким образом, если, как 101 a
обычно, в пространстве С всех комплексных чисел ввести норму ||d|| =| d |, Vd е С, то Vk0 > 1 Jkf¡ -
линейный непрерывный оператор из Af (X) в В-пространство С . Если еще учесть, что l - непрерывный оператор из E в (X), то (lx)kQ = JkQl - непрерывное (но не обязательно линейное) отображение ПОЛВП E в С . Но тогда, если t e Q и t ^ t0, то
v(t) ^ v(to) (в E ), откуда (lv(t))ko - (lv^))k0 = = Jk0 [lv(t) - lv(t0)]^ 0, t ^ t0.
Замечание. Если непрерывный правый обратный к оператору представления L : AE (X) ^ E существует, то для любого y e E его представление в виде
да
ряда ^ (ly)k xk по АПС X будем называть канониче-
k=1
ским.
3. Среди пространств E, обладающих свойством (М), пожалуй, наиболее простым является пространство Фреше. Как было доказано еще Майклом [5], любое линейное непрерывное отображение одного пространства Фреше F на другое пространство Фреше F имеет непрерывное правое обратное (уже
не обязательно линейное) отображение.
Учитывая, что согласно, например, [3, 4], если Е -
пространство Фреше и X = {xk }"=1 - произвольная последовательность каких-либо его ненулевых элементов, то пространство AE (X) также является пространством Фреше, непосредственно из теоремы 1 получаем
Теорема 2. Пусть E - пространство Фреше; X = {Xk }Г=1 - какая-либо АПС в E и v(t) - элемент
раметра t, пробегающего некоторое множество Q из C . Тогда найдется представление v(t) (а именно каноническое) в виде абсолютно сходящегося в E ряда
да
по системе X : v(t) = 2 vk (t)xk , в котором все «ска-
k=1
лярные» коэффициенты vk непрерывны на множестве Q.
Теорему 2 можно перефразировать так: любое пространство Фреше обладает свойством универсальной непрерывности представления по параметру.
4. Поиск других общих классов пространств E, обладающих свойством (М), затрудняется тем обстоятельством, что нам известна лишь одна работа, в которой получен аналог теоремы Майкла о непрерывном правом обратном, - статья О.В. Епифанова [6]. Приведем здесь один достаточный для нашей ближайшей цели результат, который является частным случаем более сложно сформулированной, но более общей теоремы из [6]. Предварительно назовем LF -пространством любое ПОЛВП E, представимое в виде объединения последовательности пространств
Фреше E таких, что Vn > 1 En с^ En+1, с топологией внутреннего индуктивного предела пространств
En : E = indEn.
n^
Теорема 3 [6]. Пусть E,F - пара LF -пространств, причем F обладает системой подмножеств
t \ да
{Kn }да=1 такой, что: a) Kn с Kn+l, Vn > 1 ; б) F = UKn ;
n=1
в) Vn > 1 Kn замкнуто в Kn+l (в индуцированной из F топологии); г) Vn > 1 найдется некоторое пространство Фреше Фп, непрерывно вложенное в F, содержащее K и индуцирующее на K ту же топологию, что и F ; д) любое подмножество M пространства F замкнуто в F тогда и только тогда, когда множество M Kn замкнуто в KB при каждом Vn > 1 . Тогда любое линейное непрерывное отображение E на F обладает непрерывным правым обратным (НПО).
Пусть теперь F - так называемое LN* -пространство (в терминологии [7, 8]), т.е. такое LF -пространство F = indF , что Vn > 1 пространство Фре-
n^
ше F вложено вполне непрерывно в FB+1, n = 1,2,.... Как показано Д.А. Райковым [8, определение 6, теорема 2], каждое LN* -пространство обладает свойствами а)-д).
Непосредственно из теоремы 3 получаем Следствие [6]. Если F - LN* -пространство над полем Ф, где Ф = С или Ф = R , а Л - любое подмножество Ф, то F обладает свойством (М).
Заметим еще, что если G - LF-пространство:
G = ind Gn, где Vn > 1 Gn с^ Gn+1 и Gn - простран-
ство Фреше с определяющим топологию в О набором (непрерывных) преднорм Рп = {р("> : р("> е Рп}, а Е, зависящий непрерывно (по топологии Е) от па- X = {хт }"=1 - произвольная последовательность не-
n=1
n^
нулевых элементов из G, то соответствующее пространство Ag (X) также является LF -пространством:
AG (X) = indAGn (X), где Vn > 1, AGn (X) =
= {c = (c„)e Ф: q (n) (c) := Z| ca | p(n)(xa) <да, Vp(n) e Pn} -
L p aeA J
пространство Фреше.
Таким образом, из теорем 1 и 3 следует Теорема 4. Пусть E - LN* -пространство над полем скаляров Ф и X = {xm }"=1 - какая-либо АПС в E . Пусть далее v(t) - элемент E, зависящий непрерывно от параметра t, принадлежащего некоторому множеству Q из Ф. Тогда существует абсолютно сходящийся в E к v(t) ряд по системе X:
да
v(t) = Z vm (t)xm такой, что все функции
m=1
vm ■ Q ^ Ф непрерывны (в Q).
5. В связи с тем, что до настоящего времени известно довольно мало общих классов пространств со свойством (М), естественно возникает вопрос о выделении тех АПС, для которых имеются разложения с непрерывными по параметру коэффициентами. Здесь мы ограничимся одним результатом в этом направлении, предварительно напомнив, что, согласно [9], АПС X в ПОЛВП E называется правильной, если соответствующий оператор представления Le2 (X): Ae (X) ^ E имеет линейный непрерывный
правый обратный (ЛНПО) l: Llx = x, Vx e E. Имеются работы, в которых указаны условия (в некоторых случаях критериального характера), при выполнении которых АПС в ПОЛВП E будет правильной. Так, в [10, 11] получен критерий наличия ЛНПО у
оператора представления L2(X) для случая, когда E = H(G) - пространство Фреше всех функций, аналитических в выпуклой ограниченной области G с опорной функцией g (-р), а X = (eAkz )i=1 - система экспонент специального вида. Именно пусть K -компакт в С с опорной функцией k(-в) и L(l) -целая функция экспоненциального типа вполне регулярного роста, все нули {рк } которой - простые, причем limi т(1п1 L'(Mn) 1 -g(arg Hn) - k(arg Hn)) [ = 0 .
[|<"n| J
Рассмотрим систему X0 := (exp jukz)^, которая, согласно [12], будет АПС в H(G + K) и H(G). Зафиксируем конформное отображение р единичного круга D1 :={z ■] z |< 1} на область G и конформное отображение области С \ D на С \ K такое, что у(<х>) = да. Согласно [10, 11], оператор представления LX0 (H (G)) имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда supl р(z)|<w, inflw'(z)l> 0 . (3)
|z|<1 |z|>1
Так как наша ближайшая цель - выяснить, когда АПС X0 в H(G) будет правильной, то компакт K
можно всегда выбрать так, чтобы второе из условий (3) выполнялось (например, положить K = D , и тогда z) = z ). Таким образом, для того чтобы среди всех систем Х0 экспонент описанного выше вида (с переменным компактом K ) нашлась правильная АПС, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое из условий (3)
sup | (ру (z) |< œ, (4)
|z|<1
которое зависит только от области G и не для всякой ограниченной выпуклой области G выполняется. Соответствующие примеры приведены в [11, с. 294, п. 4.4]. К сожалению, другие критерии наличия в ПОЛВП E правильной АПС нам неизвестны. На наш взгляд, поиск конкретных правильных АПС (разумеется, отличных от базисов) в различных ПОЛВП E является достаточно актуальной задачей.
Для правильных АПС справедлив такой аналог теоремы 1:
Теорема 5. Пусть X = - правильная АПС
в ПОЛВП E и пусть v(t) - элемент E, непрерывно зависящий от параметра t, принадлежащего некоторому множеству Q из С . Тогда найдется представление v(t) в виде абсолютно сходящегося в E ряда по системе X (его каноническое представление
да
v(t) = 2 (lv(t))к xk ), коэффициенты которого зависят
k=1
непрерывно от t на множестве Q .
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1 и даже проще, так как при любом k0 > 1 коэффициент (lv(t))k «канонического» представления является уже линейным непрерывным оператором JkQl из E в С. Более того,
если X = (% )^=1 - правильная система в ПОЛВП E, то появляется возможность оценки зависимости роста модулей коэффициентов (lv(t)) канонического представления любого элемента v(t) в зависимости от номера k , исходя из соотношения: Vpj e P 3p2 e P,
да
3A < œ : 2 | (lv(t)) k | pi (xk ) < Ap 2 (v(t)), Vv(t) e E.
k=1
Литература
1. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М., 1969. 1071 с.
2. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М., 1967. 257 с.
3. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб. 1975. Т. 97(139), № 2(6). C. 193 - 229.
4. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т. 36, № 1(217). C. 73 - 126.
5. Michael E. Continuous selections. II // Annals of Mathem. 1956. Vol. 63, № 2. P. 361 - 382.
6. Епифанов О.В. О существовании непрерывного правого обратного для оператора в одном классе локально выпуклых пространств // Изв. СКНЦВШ. Естеств. науки. 1991. № 3. C. 3 - 4.
7. Себастьян-и-Силва Х. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика : сб. переводов. 1957. Т. I, № 1. С. 60 - 70.
8. Райков Д.А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Тр. семинара по функциональному анализу. Воронеж, 1957. № 5. С 22 - 34.
9. Коробейник Ю.Ф. О некоторых классах представляющих систем и их преобразованиях. I // Тр. мат. ин-та им. Лобачевского. Казань, 2001. С. 503 - 517.
10. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непре-
Поступила в редакцию
рывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 70 - 84.
11. Korobeinik Yu.F., Melikhov S.N. Linear continuous right inverse for representation operator and application to convolution operator // Коробейник Ю.Ф. Избранные труды. Т. I. Владикавказ, 2011. С. 280 - 298.
12. Коробейник Ю.Ф., Леонтьев А.Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Мат. зам. 1980. Т. 28, № 2. C. 243 - 254.
8 апреля 2013 г
