О звуковом поле источника, расположенного вблизи твердого вытянутого сфероида Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2006, 19

А. Б. Майзель

ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова

Россия, 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44, e-mail: [email protected]

О звуковом поле источника, расположенного вблизи твердого вытянутого сфероида

Рассмотрена задача о звуковом поле точечного монополя, находящегося вблизи полюса или экватора абсолютно твердого неподвижного вытянутого сфероида. Установлено, что присутствие такого тела около источника звука может весьма существенно искажать его собственное дальнее поле, при этом наблюдаются области как ослабления, так и усиления звука. В то же время показано, что значение экранирующего эффекта в зоне акустической тени сфероида в исследованном диапазоне частот невелико.

ВВЕДЕНИЕ

В транспортной, промышленной и архитектурной акустике нередко возникает необходимость установления звукоэкранирующей способности разнообразных локальных препятствий. Это могут быть транспортные средства, предметы мебели, архитектурные объекты и конструкции. Такие тела могут иметь различные соотношения длины, ширины и высоты, поэтому их нельзя аппроксимировать детально обследованными с точки зрения дифракционных явлений бесконечным цилиндром или сферой. Зато представляется чрезвычайно заманчивым исследовать звукоэкранирующие свойства подобных локальных препятствий на примере тел типа сфероидов, в частности, вытянутых, у которых можно задать произвольное отношение длины к ширине.

Целью настоящей работы является определение, расчетно-теоретическим методом, звукоэкранирующей способности локальных отражателей в форме вытянутых сфероидов или, говоря шире, звукоизолирующей эффективности ограниченных акустических экранов вытянутой формы. Конкретные вопросы, на которые предстоит дать ответы: могут ли тела типа вытянутых сфероидов создавать значительный звукоэкранирующий эффект, насколько он зависит от волнового размера и относительного удлинения сфероида, целесообразно ли применять подобные тела специально в качестве акустических экранов.

Аппарат теории сфероидальных волновых функций предоставляет возможность найти точные решения задач о дифракции звука на вытянутых сфероидах и, таким образом, получить ответы на поставленные вопросы.

Получена 17.11.2006, опубликована 29.12.2006

І. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной работе будем исследовать звуковое поле, которое создает элементарный источник 0-го порядка — точечный монополь, находящийся в непосредственной близости от абсолютно твердого вытянутого сфероида. В дальнейшем будем говорить, что источник звука лежит «вблизи» поверхности сфероида, «вблизи» его экватора или полюса, понимая под этим, что источник лежит практически на поверхности тела, но не имеет непосредственного контакта с нею, так что взаимодействие источника с телом осуществляется через среду.

Аналогичная задача о звуковом поле элементарного источника І-го порядка — точечного диполя, расположенного вблизи полюса абсолютно твердого вытянутого сфероида, рассматривалась в работе [І]. Геометрия задачи, решаемой в настоящем случае, представлена на рис. І. Там же обозначена система вытянутых сфероидальных координат £, n, Р, связанных с декартовыми координатами x, y, z следующими соотношениями [2]:

* = f [(І-П2)(£2 -!)]cosp, (І)

y = 2 [(І -n2)(^2 - І)]тр, (2)

z = d n4, (3)

где d — межфокусное расстояние сфероида. Пределы изменения вытянутых сфероидальных координат: І < ^ < го, - І <n< І, 0 <p< 2п.

Л =o

х

L

проекция точка

на плоскость наблюдения

*°У (£. Л- Ф)

Рис. 1. Геометрия задачи о звуковом поле монополя в присутствии абсолютно твердого сфероида

Мы будем помещать источник на поверхность сфероида с радиальной координатой <^0. В первом случае расположим источник в плоскости экваториального сечения сфероида. Условимся считать, что источник лежит на положительной части оси х; его координаты в сфероидальной системе выразятся как

а в декартовой системе как

х = Я, у = г = 0,

где Я — полуширина сфероида (малая полуось).

Во втором случае поместим источник на полюс сфероида в точку со сфероидальными координатами

где Ь — длина сфероида.

Нас будет интересовать звуковое давление в дальней зоне. Под дальней зоной имеется в виду область, где расстояние от точки наблюдения до начала координат г0

много больше длины сфероида Ь и длины звуковой волны в среде. При этом в случае монополя, находящегося на экваторе сфероида, будем стремиться к определению экранирующего эффекта в двух перпендикулярных плоскостях: экваториального и меридионального сечений сфероида. Что же касается монополя, находящегося на полюсе сфероида, то в этом случае, естественно, возможно рассмотрение экранирующего эффекта только в плоскости меридионального сечения сфероида, а сама задача становится осесимметричной.

Здесь описана прямая постановка задачи, в которой монопольный источник находится в окрестности сфероида, а точка наблюдения — в удаленной области пространства, где и ищется экранирующий эффект тела. Однако возможно (и в ряде случаев это удобнее), воспользовавшись принципом взаимности, перейти к обращенной задаче, в которой монополь отнесен на большое расстояние от сфероида, а точка наблюдения расположена на его поверхности. При этом экранирующий эффект находят на теневой стороне поверхности тела. Прямая и обращенная задачи отличаются друг от друга деталями получения решения, однако результат его в обоих случаях оказывается идентичным. Добавим, что применение принципа взаимности и переход от прямой к обращенной задаче справедливы только для монополя, т.е. источника 0-го порядка, но не для излучателей более высоких порядков.

(4)

(5)

и декартовыми координатами

х = 0, у = 0, г = - Ь,

2

2. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Представим полное, или суммарное звуковое поле (давление) в виде суммы собственного, или падающего поля излучателя р0 и рассеянной волны ра :

Р = Р0 + Ра.

Звуковое давление в собственном поле монопольного излучателя зададим как

Ро =

е

У ( к|г-г' \-Фі )

\г - г I

где |г - г'| — расстояние от источника до точки наблюдения. В дальнейшем временной

множитель опустим. Решение поставленной задачи будет опираться на

представление как падающего, так и рассеянного звуковых полей в виде рядов по сфероидальным волновым функциям.

Функция Грина в сфероидальных координатах для граничных условий

д( Р0 + Ра )

= 0,

^=^0

отвечающих случаю твердого неподвижного сфероида, поверхность которого описывается радиальной координатой Л0, имеет следующий вид [2]:

ш ш 2 - Г

Р0 + Ра = 2#£ £„ И (И П)5шп (h, П ) С08[да(^ - ф,)] х

т=0 п=т ^ тп\)

X <

о.?) я^ш’) - я'»(и,{) м}‘)(н,о

. ЯП, (*.£,) :

с с*. ?’ ) я: с*. ?) - ят: (*, ? •)

(*?)

?>?’

(6)

Здесь Л, П, ф — вытянутые сфероидальные координаты монопольного источника, Л, п, ф — аналогичные координаты точки наблюдения, 8тп (И,п) — вытянутые угловые сфероидальные функции (в.у.с.ф.), Я(тП)(Ь,%) и Я(тП)(И,Л) — вытянутые радиальные сфероидальные функции (в.р.с.ф.) 1-го и 3-го рода соответственно,

Г г

Я^) (И,Л и ятп (И,Л) — их производные по радиальной координате Л,

+1

Nтп (И) = |[тп (И,п)]2Лп — норма в.у.с.ф., И = М/ 2 — волновой размер сфероида, к —

-1

волновое число звука в среде, 8от — символ Кронекера (Г00 = 1, Гот = 0 при т > 1).

Выражение (6) представляет собой результат решения задачи о рассеянии абсолютно твердым сфероидом звука, генерируемого монопольным источником. В этом выражении координаты источника и точки наблюдения произвольны. Первое

слагаемое, стоящее в квадратных скобках, соответствует собственному полю источника Р0 , второе — рассеянной волне Ра .

Выполним теперь предельные переходы в координатах точки наблюдения и источника, которые были оговорены при постановке задачи. Устремим точку наблюдения в дальнюю зону, где расстояние от точки наблюдения до источника и до начала координат (г0) много больше длины сфероида Ь и длины звуковой волны. Из свойств вытянутых сфероидальных координат (см. формулы (1) - (3) и рис. 1) вытекает, что в этой области

л>> 1, п -сов#, г ~а2Л,

и, следовательно,

ИЛ - кг0 >> 1.

Здесь справедлива асимптотическая формула [2]

(- /)п+1 еИ

Я») - ----, ИЛ >> 1. (7)

ИЛ

С учетом этой формулы в выражении (6) образуется множитель

еМ е1кг0

ИЛ кг0

Обозначим

* е]кг0

Р0 =--------

г0

звуковое давление, которое создавал бы монополь, помещенный в начало координат, в

отсутствие сфероида. Отличие Р* от р0 — только в фазе.

Кроме того, расположим источник на поверхности сфероида в плоскости экваториального сечения последнего (координаты этой точки имеют значения (4)). Теперь с учетом равенства Л' = Л разность, стоящая в квадратных скобках выражения

(6), может быть трансформирована с использованием формулы для вронскиана в.р.с.ф., которая имеет вид [2]

я™(ил) ят! (и,л) - ят! (и,л) я,»)=-гЛ-г, ■ (8)

И(Л -1)

Если выполнить все описанные здесь преобразования, вытекающие из предельных переходов в координатах точки наблюдения и источника и воспользоваться нижней ветвью выражения (6) (т.к. Л> Л ), получим в итоге:

Р0 + Ра = ."г0 £ £ (-7)п N 5(“, ^тп(И, С0в в) 5тп(И, 0) с°в(тф) (9)

И(Л0 -1) т=0 п=т Nтп(И) Я3 (И, Л)

В случае же второго варианта расположения источника — на полюсе сфероида — в общее выражение (6) следует подставить координаты источника в виде (5). Здесь также воспользуемся асимптотической формулой (7) и выражением для вронскиана (8), но, кроме этого, учтем еще, что 8тп (И,±1) = 0 при любых т, за исключением т = 0

(следствие осесимметричности задачи). В результате для данного случая размещения источника получим

Р + Р = 2р* £ Г1 ^п(И,совв)^(И, 1)

У0^ Ра 7 , ~ 2 1\ 2^ (3) ' ' (10)

И() -1) „* N0п(И)яп (и,л*)

При выводе последнего выражения было использовано также свойство четности-нечетности в.у.с.ф. [2, 3]

^тп (И,П) = (-1)п-т^тп (И,-П) ,

на основании чего осуществлен переход от 8оп (И,-1) к 8оп (И,+1) .

3. РАСЧЕТЫ ЗВУКОВОГО ДАВЛЕНИЯ, СОЗДАВАЕМОГО МОНОПОЛЕМ, РАСПОЛОЖЕННЫМ НА ЭКВАТОРЕ СФЕРОИДА, В ПЛОСКОСТИ ЕГО ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Выражение (9) может быть непосредственно использовано для выполнения расчетов угловых характеристик амплитуды полного (суммарного) звукового поля Р0 + Ра,

создаваемого расположенным на экваторе сфероида монополем. В том случае, если нас интересует такая характеристика в плоскости экваториального сечения сфероида, т. е. в плоскости х0у, в выражении (9) следует положить в = 90° (соэв = 0). При этом в выражении (9) останется один переменный параметр — угол ф. Изменяя его, найдем искомую характеристику. Согласно геометрии задачи (см. рис. 1), угол ф = 180° должен соответствовать направлению наиболее глубокой акустической тени, а угол ф= 0 — направлению максимально освещенной области пространства. Расчетная характеристика симметрична относительно плоскости х*2 .

Расчеты выполнялись с использованием таблиц сфероидальных волновых функций [4 - 6] для двух значений волнового размера сфероида (безразмерной частоты) И = 5 и И = 8 и для одного значения радиальной координаты сфероида )0 = 1.01 (отношение

длины к ширине Ь/ 2Я = 7.1).

Результаты расчетов представлены на рис. 2, 3. На этих рисунках в виде окружности единичного радиуса продемонстрирована угловая характеристика амплитуды собственного звукового поля монопольного источника Р0 в плоскости х0у. Сравнивая

результаты расчетов амплитуды Р0 + Ра с характерным для монополя единичным значением, можно судить об ослаблении или усилении звука в том или ином направлении.

Рис. 2.

Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на экваторе сфероида, в плоскости его экваториального сечения для случая ?0 = 1.01, * = 5:

1 — Р0;

2 — Р0 + Ра

Рис. 3.

Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на экваторе сфероида, в плоскости его экваториального сечения для случая ?0 = 1.01, * = 8:

1 — Р0;

2 — Р0 + Ра

Анализ результатов расчетов показывает следующее.

1. Обе рассчитанные характеристики близки друг к другу как по направленности, так и по величине суммы Р0 + Ра. Характеристика направленности поля оказывается

достаточно неравномерной, наблюдаются области как усиления, так и ослабления звука по сравнению с собственным излучением монополя. При этом увеличение амплитуды Р0 + Ра происходит не только в направлении максимальной освещенности ф= 0 , но и при других углах ф . В свою очередь, уменьшение Р0 + Ра регистрируется не только в направлении наиболее глубокой тени ф = 180° (см. рис. 2, 3).

2. Экранирующий эффект при угле ф = 180° составляет всего 2 - 3.5 дБ, причем зависимость эффекта от волнового размера сфероида И , судя по рис. 2, 3, слаба. Повышение звукового давления при ф = 0 выражается величиной 4-5 дБ.

3. В обоих случаях в исследованном диапазоне частот звукоэкранирующий эффект

в зоне акустической тени сфероида по величине существенно уступает эффективности

специальных акустических экранов, понижающих уровень звука на 10-20 дБ.

4. РАСЧЕТЫ ЗВУКОВОГО ДАВЛЕНИЯ, СОЗДАВАЕМОГО МОНОПОЛЕМ, РАСПОЛОЖЕННЫМ НА ЭКВАТОРЕ СФЕРОИДА, В ПЛОСКОСТИ ЕГО МЕРИДИОНАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

В случае выполнения расчетов угловой характеристики полного (суммарного) звукового поля Р0 + Ра , генерируемого расположенным на экваторе сфероида монополем, в плоскости меридионального сечения сфероида, т.е. в плоскости Х*2, в выражении (9) необходимо задать угол ф следующим образом:

- в верхней полуплоскости Х*2 ф = 0;

- в нижней полуплоскости Х*2 ф = 180°.

При этом переменным параметром в выражении (9) будет служить угол в. Направлению акустической тени должны соответствовать угловые координаты в = 90°, ф = 180°; направлению освещенной области — в = 90°, ф = 0 . Здесь расчетная характеристика симметрична относительно плоскости Х0 у .

Как и в предыдущем разделе, расчеты выполнялись для значений И = 5 и И = 8 , )0 = 1.01. Результаты расчетов представлены на рис. 4, 5.

1.

1.

0.

о

0.

1.

1.

1.

1.

0.

о

0.

1.

1.

Рис. 4.

Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на экваторе сфероида, в плоскости его меридионального сечения для случая <^0 = 1.01, И = 5:

1 — Ро;

2 — Ро + Рл

Рис. 5.

Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на экваторе сфероида, в плоскости его меридионального сечения для случая Л0 = 101, И = 8:

1 — Р0;

2 — Р0 + Рл

ісгочника, расположенного вблизи твердого вытянутого сфероида

Анализ этих результатов обнаруживает следующее.

1. Рассчитанные характеристики и по направленности, и по величине суммы р0 + ра мало отличаются друг от друга, несмотря на вариации значений Н.

Естественно, значения экранирующего эффекта в зоне акустической тени (р = 180°) и усиления звука в освещенной области (р = 0) точно такие же, как и в предыдущем случае (см. п. 2 в разделе 3).

2. В то же время, в отличие от результатов вычислений для экваториальной плоскости х0у, в рассматриваемой здесь меридиональной плоскости х0х характеристики направленности гладкие, т.е. не имеют характерных лепестков.

3. Этот факт можно объяснить тем, что на форму вычисляемых характеристик должно решающим образом влиять соотношение длины звуковой волны и поперечного или продольного размера сфероида. В исследованном диапазоне частот его ширина мала по сравнению с длиной волны (отношение 2Я/Я равно 0.23 при Н = 5 и 0.36 при Н = 8 ). Длина же сфероида сопоставима с длиной волны или превышает ее (отношение Ь/Я равно 1.6 и 2.6 при Н = 5 и 8, соответственно).

5. РАСЧЕТЫ ЗВУКОВОГО ДАВЛЕНИЯ, СОЗДАВАЕМОГО МОНОПОЛЕМ,

РАСПОЛОЖЕННЫМ НА ПОЛЮСЕ СФЕРОИДА

При рассмотрении задачи о монополе, расположенном на полюсе сфероида, угловая характеристика полного (суммарного) звукового давления р0 + ра рассчитывается с

помощью выражения (10). В силу осесимметричности задачи в выражении (10) отсутствует зависимость от угла р, поэтому определяемая характеристика идентична для плоскости любого меридионального сечения сфероида.

В отличие от предыдущих разделов, расчеты выполнялись для значений Н = 3 и Н = 5, но для значений Л0 = 1.01 и Л0 = 1.8 (отношение длины к ширине Ь/2Я

составляет 7.1 и 1.2 соответственно), с помощью таблиц [4 - 6]. Необходимость интерпретации результатов расчетов потребовала проведения вычислений не только суммы р0 + ра, но и амплитуды рассеянной волны ра. По результатам расчетов, представленным на рис. 6 - 9, могут быть сделаны следующие выводы.

1. Волна ра, рассеянная тонким сфероидом с координатой Л0 = 1.01, при Н = 3 (длина звуковой волны близка к длине сфероида) имеет дипольную направленность, мала по величине и практически не искажает собственное дальнее поле монопольного излучателя (см. рис. 6).

2. При увеличении частоты до Н = 5 (длина волны почти в 2 раза превышает длину сфероида) наблюдается некоторый рост амплитуды рассеянной волны, однако он еще не приводит к существенному отличию поля р0 + ра от р0 (см. рис. 7). Столь незначительный вклад рассеянной волны в суммарное поле при Н = 3 и Н = 5 объясняется тем, что в рассмотренном диапазоне частот ширина сфероида с координатой Л = 1.01 мала по сравнению с длиной звуковой волны.

3. Переход к сфероиду с координатой Л0 = 1.8, который по форме приближается к

сфере (его ширина сравнима с длиной звуковой волны или превышает ее более чем вдвое), сопровождается увеличением роли рассеянной волны в формировании суммарного поля. Из рис. 8, 9 видно, что поле p0 + pd существенно отличается от р0

как по амплитуде, так и по направленности. При 0 = 30° это отличие составляет -5 дБ, при 0 = 120° -150° — 4 - 5 дБ. Результаты расчетов поля в области острых углов не приведены на рисунке, так как в этой области использование имеющихся таблиц сфероидальных функций не обеспечивает требуемой сходимости ряда (10).

4. Отметим, что при условии Л = const угловые характеристики и рассеянной волны pd, и суммарного поля р0 + pd мало зависят от волнового размера сфероида h .

1,0

0,5

\Р/Ро | 0

0,5

1,0

180°

О°0

90°

Рис. 6. Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на полюсе сфероида, для случая <^0 = 1.01, Н = 3 :

1 — Ро; 2 — Ра ; 3 — Ро + Ра

1,0

0,5

\Р/Ро | 0

0,5

1,0

180°

О°0

I

90°

Рис. 7. Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на полюсе сфероида, для случая <^0 = 1.01, Н = 5:

1 — Р0; 2 — Ра ; 3 — Р0 + Ра

\Р/Ро |

90°

Рис. 8. Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на полюсе сфероида, для случая %0 = 1.8, Н = 3 :

1 — Ро; 2 — Ра ; 3 — Ро + Ра

180е

1,5

1,0 0,5

\Р/Ро

0,5 1,0

О о

т

150\ \/

N^5 XV

^^ о О

0° 0

90°

Рис. 9. Угловая характеристика амплитуды звукового поля монополя, расположенного на полюсе сфероида, для случая %0 = 1.8, Н = 5 :

1 — Ро; 2 — Ра ; 3 — Ро + Ра

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа преследовала своей целью установить, способны ли ограниченные удлиненные тела типа вытянутых сфероидов создавать значительный экранирующий эффект и имеет ли смысл использовать их как акустические экраны. Для достижения этой цели рассмотрена задача о звуковом поле точечного монополя, находящегося вблизи полюса и экватора абсолютно твердого неподвижного сфероида. Исследовался диапазон частот, в котором волновая длина сфероида kL изменяется от 6 до 18; варьировалось отношение длины сфероида к его ширине от 1.2 до 7.1. Расчеты свидетельствуют, что присутствие твердого вытянутого сфероида около источника звука может весьма существенно искажать собственное дальнее поле последнего, при этом наблюдаются области как ослабления, так и усиления звука. В то же время показано, что значение экранирующего эффекта в зоне акустической тени сфероида невелико, в границах исследованного частотного диапазона оно не превышает 5 дБ. Таким образом, тела типа вытянутых сфероидов нецелесообразно применять специально в качестве акустических экранов. Однако при решении конкретных вопросов архитектурной и промышленной акустики следует учитывать возможность искажения подобными телами звуковых полей размещенных в их окрестностях излучателей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Майзель А. Б. О динамическом взаимодействии движителя и корпуса судна. Техническая акустика, 1999, т. 5, вып. 3-4 (17-18), с. 3-10.

2. Скучик Е. Основы акустики (пер. с англ., в 2-х томах). М.: Мир, 1976, т. 2, 544 с.

3. Комаров И. В., Пономарев Л. И., Славянов С. Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976, 320 с.

4. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций (пер. с англ.). М.: ВЦ АН СССР, 1962, 140 с.

5. J. A. Stratton, P. M. Morse, L. J. Chu. Spheroidal wave functions. 1956, 613 p.

6. Таблицы сфероидальных волновых функций и их первых производных (в 2-х томах). Под ред. В. И. Крылова. Т. 2. Мн.: Наука и техника, 1976, 420 с.