Моделирование диаграммы рассеяния вторых гармоник взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.222

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГРАММЫ РАССЕЯНИЯ ВТОРЫХ ГАРМОНИК ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА ВЫТЯНУТОМ СФЕРОИДЕ

© 2006 г. И.Б. Аббасов

In this work the investigation and simulation of the second harmonics scattering field is carried out. The scattering for the high-frequency second harmonics has purely geometrical character.

При дистанционной диагностике водной среды актуальной становится задЗача рассеяния взаимодействующих акустических волн на телах вытянутой формы. Вопросы рассеяния на вытянутых сфероидах в линейном случае исследуются достаточно давно, в частности в [1 - 3]. В работах [4, 5] были проведены исследования вторичного поля волн разностной и суммарной частот при рассеянии нелинейно взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде. Однако для получения полного представления о волновых процессах вторичного поля необходимо исследовать также поле вторых гармоник исходных падающих волн. В этом случае волновые процессы охватывают только область геометрического рассеяния и могут дополнить информативность принимаемого сигнала.

В данной работе проводится исследование и моделирование поля вторых гармоник взаимодействующих плоских акустических волн на вытянутом сфероиде. Постановка задачи была сформулирована в [4]. Задача представлена в системе вытянутых сфероидальных координат п, Р- Фокусы сфероида совпадают с фокусами сфероидальной системы координат. Вытянутый сфероид образуется вращением эллипса £0 вокруг большой оси, совпадающей с осью х декартовой системы координат.

На сфероид падают взаимодействующие плоские волны с единичными амплитудами давления под произвольным полярным в0 (в0=атссо8по) и азимутальным р0 углами. В нашем случае сфероид является акустически жестким. После рассеяния на сфероиде в окружающее пространство распространяются акустические волны со сфероидальным волновым фронтом. Эти волны при распространении взаимодействуют также с падающими плоскими волнами.

В результате нелинейного взаимодействия за некоторым сфероидальным слоем среды будут распространяться волны вторичного поля. Нелинейные волновые процессы, происходящие между падающими и рассеянными волнами вокруг сфероида, описываются нелинейным уравнением [6]:

Л 1 д2 Р Ь д Л

Ар —2~Т + ~2—ЛР = -б > со2 дг2 с2Л) д

„ 1 (др ^2 е-1 д2 р2 р0 . 2 г. г

где б = -г-+---+ ^ду2 +рооУДу -

со4ро ) со4ро дг2 2 группа нелинейных членов; с0- скорость звука в среде (в нашем случае среда водная); е - параметр квадратичной нелинейности; ро - плотность невозмущенной среды; Ь - диссипативный коэффициент среды; у -колебательная скорость.

Данное уравнение решается методом последовательных приближений р = р(1) + р(2). В первом приближении нелинейные члены не учитываются, т.е. б = 0 и задача становится линейной. Решением первого приближения является выражение для полного акустического давления первичного поля р (1) :

р(1) = р„1 + рт , где рш и рш - акустические давления падающей и рассеянной волн, п = 1,2 для волн с частотами ®1 и ®2 .

Во втором приближении решается линейное неоднородное уравнение (без учета поглощения и дифракции волны)

V2) - 1 д р

c02 dt2

2 р(2) _ е 52р(1)

_ -Q _ —

4 ъЛ c0 Po dt

(1)

где р(1) и р(2)- полное акустическое давление исходного и вторичного полей. При нахождении решения во втором приближении правая часть будет состоять из четырех частотных составляющих: вторых гармоник 2а 1, 2®2 и волн комбинационных частот

®2 ±®1.

Вторичное поле на разностной частоте было исследовано в [4], на суммарной частоте - в [5]. Для полноты представления вторичного поля рассмотрим выражение для объемной плотности источников б на второй гармонике исходной волны - 2®!

Q2® _

8eat

c04P0

Е Е Bml (kiho)cos(2®it - In) +

m-0l>m

+ Z X 2Bml (klh0)Dml (k1h0)cos(2®1t - П/ 2 - mp) +

m=0l>m

<x <x 2

+ Z Z Dm I (kiho)cos(2®it - 2m p) , (2)

m=01 >m _

где Bml (knh0 ) = 2Sml (knh0, П0 )Sml (knh0, П) x

x R(mi (knh0, #) cosm(p - <0) ,

Dml (knh0 ) = 2Aml (knh0, #0 )Sml (knh0, П0) x

xRmi(knh0,i)cosmp -коэффициенты для представления падающей и рассеянной волн в сфероидальных координатах [4].

Решение неоднородного волнового уравнения (1) с правой частью (2) во втором приближении будем искать в комплексной форме

р2® _ 1 Р2(® exp(/(2®it + S) + (к.с.).

(3)

ТО ТО

После подстановки выражения (3) в неоднородное волновое уравнение (1) оно преобразуется в неоднородное уравнение Гельмгольца:

Р» + ^»Р» = ^ (4, V, Ф), (4)

где k2» = 2^ - волновое число волны второй гармоники 2»1,

8ecof

соРо

S XBml (k1ho)exp(i(2®1t -ln)) +

m=0l>m

G(ri) = exp(-ik2ar{)/ri « exp

-ho#V(1 -П)(1 -П ) xcos(^-^)

Y

= C

1

2rn

k2rnh0n

4s , , ,

J sin(k2^ho# n)d| -

Ig

JS srn^fy/nO а

Ig 4

где C2® =

3 2

32П?ое®1 exp(-ik2fflho|) coPo4

T =

S S Bml (kiho)exp(-iln) +

m=01 >m

+ Е Е 2Bml (klho)Dml (к^0)ехр(/(2®^ -П/2 -тф)) +

m=0I>т ю ю 2

+ Е ЕDш21 (к^0)ехр(/(2» - 2шф))

ш=01>т

Решение неоднородного уравнения Гельмгольца (4) записывается в виде объемного интеграла от произведения функции Грина на плотность источников вторичных волн [6, 7]

р2(»}(4ПФ) =

= / q2»(4',ф)G(rl)hг■hлhфd4 ёп' dф , (5)

V

где 0(г1) - функция Грина; Г1- расстояние между текущей точкой объема М (4 , г), <р ) и точкой наблюдения М(4,п,ф); h4^, hn , hф - масштабные множители (коэффициенты Ламэ) [8].

Функция Грина в дальней зоне г << г определяется асимптотическим выражением

+ Е Е2Вш1 (к^0)ехр(-/(П/2 + тф)) +

ш=01>т

ю ю 2

+ Е ЕDmI(к1Ьо)ехр(-2т<>)

т=01>т

(временной множитель ехр(/'2®^) здесь и далее опускаем).

В отличие от разностной и суммарной волны выражение (6) для полного акустического давления второй гармоники Р^»»(4, V, Ф) состоит из трех пространственных слагаемых. Следовательно, вклад отдельных слагаемых в общее поле будет возрастать. Рассмотрим физическую суть этих пространственных слагаемых.

Первое слагаемое р2»}(4, 7!,Ф) соответствует той части полного акустического давления второй гармоники, которая формируется в сфероидальном слое области нелинейного взаимодействия падающей плоской высокочастотной волной »1. Второе слагаемое

Р^еоП (4,П,Ф) описывает взаимодействие падающей плоской волны с рассеянной сфероидальной волной частоты »1. Третье слагаемое Р»1П (4, V, Ф) соответствует самовоздействию рассеянной сфероидальной волны частоты »1 .

Необходимо подчеркнуть, что здесь происходит нелинейное взаимодействие волн, имеющих как одинаковую, так и разную пространственную конфигурацию волнового фронта.

Для получения окончательного выражения полного акустического давления второй гармоники

р2»» (4, V, Ф), рассмотрим первое пространственное

слагаемое выражения (6) Р»» (4, п, <) , которое характеризует нелинейное самовоздействие падающей плоской высокочастотной волны

Интегрирование в выражении (5) ведется по объему V, занимаемому источниками вторичных волн и ограниченному по сфероидальным координатам соотношениями: 40 -4 -48 , -1 -V —1, 0 << < 2п .

Координата 4% определяется длиной области нелинейного взаимодействия исходных высокочастотных волн. Длина этой области обратно пропорциональна коэффициенту вязкого поглощения звука на соответствующей частоте накачки. За данной областью считаем, что исходные волны практически полностью затухают.

После интегрирования по координатам < и г) (с учетом высокочастотного рассмотрения), выражение (5) преобразуется к виду

р2(»(4,П,Ф) = = Р2(»1 (4 ПФ)+Р»п (4 ПФ)+Р»ш (4 п Ф) = (6)

р^а^Ф) =

C

2ю

(k2ahGn)

4S <Х <Х 2

J S S B2ml (kiho)exp(-iln) X

Ig m=01>m

X 4 sin(k2a)ho4 n)d4 -

OO oo

oo oo

2

£S х х -

"I Е I Вт I (k1ho)exp(-;7n)

£0 m=01>m

x sin(k2mh0£ n) £ £

(7)

С учетом представления плоской волны в сфероидальной системе координат и подстановкой значений параметров Бт1 (кк) выражение (7) преобразуется к виду

C

2ю

(k2ih0n)

£s

I exp

£0

_ ¡k2ih0£n

sin(k_h0£ n)

£

d£

(8)

х 5т(к2®И0% -

& ,

- | ехр[-1к2®/?0# П

&

После окончательного интегрирования по координате & выражение для первого слагаемого (8) примет вид

'2). ").. (9) С2а

P2l (£ПМ =

где Р2ю11,2ю1 2 = ±

р (2) + р (2) + р(2) + P(2) + 21 2 + r2rnI3 + 214

2(k2ihon(no +n))(k2ihon) [S exP[_ ¡k2®h0 (П0 +n)£S ] _ £0 exP[k2ih0 (П0 + П)£0 ]

C2

P(2) = + 2iI3,2l4 +

мого P

ных волн

= 300 и

P2coII =

C

k2ih0n

x exp[_ ¡(¡я/2 + mp)]' ът^^ n)d£ _

£s

_ 2 |I Е Bmi (kiho)Dml (kiÄ0):

£0 m=01 >m

hconst

+90

2Кк 2ак0п)

х [- ш[- Iк2®/?0 (П0 + ] + е[-'к2ак0 (П0 + Ф&0]].

После анализа полученного выражения (9) для первого слагаемого Р® (&,п,Р) полного акустического давления второй гармоники можно отметить, что диаграмма рассеяния данного слагаемого будет определяться поведением функций 1(п0 ± п). Данная функция зависит от координаты П0, т.е. от угла падения 6*0 плоских высокочастотных волн в полярных координатах. Диаграммы рассеяния первого слагае-

Щ &, п, Р) представлены на рис. 1 в плоскости х0х, при углах падения плоских высокочастот-

= 900 (к2®к0 = 74, к-к0 = 5

для разностной волны).

По направлению угла падения (а также симметрично относительно оси х) диаграммы рассеяния имеют основные максимумы. Увеличение волнового размера сфероидального рассеивателя приводит к незначительному изменению уровня дополнительных максимумов.

Рассмотрим второе слагаемое Рщц (& п, Р) полного акустического давления второй гармоники, которое характеризует нелинейное взаимодействие падающей плоской волны с рассеянной сфероидальной:

& да да

2 / X XБт1 (к1к0)Р>т1 (к1к0) х

& т=0¡>т

2iC2iA(k1h0,£0) k 2mhlnk1>i2(1 _П)

£s

I exP

£0

_¡(kih0n0 _kih0)£

sin(k2ih0£ n)d£ _

sin(k2ih0£n)

р(2)(гпф) = P(2) + P(2) + P(2) + P (2)

r2e>l№>4>4}) \T2a>II1^ 2a>II 2 ^ r2mII 3 ^ r2mII 4 где

3(2) = + ¡C2iA(k1h0)

Pw = +

2a>II1,2a>II 2 +

2k1k2®hoW (1 _n)(1 _П0)

ISO0

Рис. 1. Диаграмма: рассеяния первого пространственного слагаемого Р^®® (&, п, Р) полного акустического давления

х ехр [- /{¡ж/2 + т р)]х 5Ш( к&°&п) . (10)

Подставляем значения параметров Бт1 (к^) и Бт1 (к1к0) в выражение (10), также воспользуемся разложением плоской волны по сфероидальным функциям. С учетом осесимметричности задачи рассеяния на вытянутом сфероиде применим высокочастотные асимптотики угловой сфероидальной функции первого рода (кпк0),п) и радиальной сфероидальной функции третьего рода Ктт3}(кпк0& ) [9, 10]. Тогда выражение (10) преобразуется к виду

ехр[-г(к1к0п0 -к1к0)& \х'....."Щ'0* ''' d& . (11)

& &

После окончательного интегрирования выражение для второго слагаемого полного акустического давления второй гармоники будет иметь вид

x

X

X

X

да да

exp(-iu2®4S ) - exp("iu2®40 )

u2rn

P

(2)

= ±-

C2aA(k1h0)

2a>II3,2a>II4 " -

где зависимость от угла падения

1/ П (1 -%)(! -V)

00 (т.е. от г)0) не столь ярко выражена. Диаграммы рассеяния этих слагаемых представлены на рис. 2, при

6>0=30°и6Ь=900 (^2гА=74).

! / ат\} 10

180°

--2ю

k2ah0n

4s

J S SDml(k1ho)exp(-2^)x 4 sin^^l n)d4 -

Ig m=0 l>m

dl

(13)

Щ^^оЧл/(1 -П0)(1 -П)

ехР(-'«2»48 ) _ ехР('«2»40) _ 4% 40

- '«2» [Щ-и2»48 ) - ^(-^2»40 )]

и2» = 'уЬК'П -k1h0 + k2юh0n) . Анализируя выражение (12), можно отметить, что поведение диаграммы рассеяния второго слагаемого

Р»]] (4,П,Ф) определяется в основном функцией

48 ю ю 2

- I Е Е D¿mI (Л1Й0)ехр(-2Ушф)

40 ш=01>т

После соответствующих подстановок и преобразований выражение (13) примет вид

sin(k2>04 П)

4

р'

■(2)

2aIII1

■ 90

Рис. 2. Диаграммы рассеяния второго пространственного слагаемого Р»// (4,П,Ф) , 4=3

Эти диаграммы имеют основные максимумы в обратном и боковых направлениях (00 ; ± 900), а также дополнительные максимумы, не зависящие от угла падения плоских высокочастотных волн.

Рассмотрим далее третье слагаемое Р»]]] (4,П,Ф)

общего акустического давления второй гармоники, которое характеризует нелинейное самовоздействие рассеянной сфероидальной волны с частотой »1:

(4,ПФ) = - ^

P^III (4ПФ) =

где

P(2) = +

2a>III1,2a>III2 ~ m

+ P

(2)

2тш 2

+ P

(2)

2a>III3

+ P

(2)

2аШ 4

(14)

C2^A2(k1ho)

2ik 2rnhlkll(1 -По)(1 -П)

: [- u3m [El(-lu3m4S ) - El'(-lu3®40 )]];

P(2) = +

2a>III 3,2a>III 4 m

С2ЮА2(^о)

4ik 2»ho3k12n(1 -По)(1 -П)

lu3m

( exp(-lu3®4S ) exp(lu3ffl40) Л

4s

4o

+ u3m [El(-lu3m4S) - El(—lu3ю40)] u3® = (k2fflh0 + k2ah0n)-

Диаграммы рассеяния третьего слагаемого

P

(2)

2a>III

(4,П,Ф) представлены на рис. 3, при д0) = 30 и

00 = 900 (к2»И0 = 74). Вид диаграмм рассеяния определяется преимущественно функцией 1/(^(1 — П))(1 -Ц)) выражения (14), которая имеет основной максимум в обратном направлении и слабо зависит от угла падения.

{4,1],ф) /xconst

■ 90'

Рис. 3. Диаграммы рассеяния третьего пространственного слагаемого P^ii (4, П, ф)

На рис. 4 представлены диаграммы рассеяния полного акустического давления второй гармоники

Р» (4, V, Ф). При этом угол падения составляет 00 = 30° и 00 = 900 (к2»/г0 = 74), а координата 4 = 3.

х

X

X

+

х

да да

Рис. 4. Диаграммы рассеяния полного акустического давления второй гармоники Р^ (£, г/, р)

Диаграммы рассеяния имеют максимумы в обратном направлении, по направлению угла падения, в боковых направлениях. В прямом направлении имеются максимумы по углам, симметричным углам падения плоских волн. Падающие плоские высокочастотные волны при этом формируют поле рассеяния в обратном и прямом направлениях, а рассеянные сфероидальные волны - в боковых направлениях.

Увеличение волнового размера сфероидального рассеивателя приводит к изменению уровней максимумов, а увеличение размеров области взаимодействия вокруг вытянутого сфероидального рассеивателя (в пределах зоны затухания) приводит к сужению этих максимумов.

Диаграмма рассеяния полного акустического давления второй гармоники имеет общие закономерности, как и для волны суммарной частоты [4]. Эти особенности связаны геометрическим характером рассеяния для этих волн.

На рис. 5 представлена пространственная трехмерная модель диаграммы рассеяния полного акустического давления Р^® (£, г), р) второй гармоники при

угле падения = 300, координате £ = 3 и волновом размере к2аЬ0 = 74.

Трехмерная модель диаграммы рассеяния является поверхностью вращения и приведена для наглядности с вырезом четвертой части. Данная поверхность образуется вращением плоской кривой диаграммы рассеяния, находящейся на плоскости хОх, вокруг оси вращения х. Ось х является большей осью вытянутого

сфероида. Направление падения исходных плоских волн указано стрелкой. Пространственная модель дает наглядное представление о распределении акустического давления второй гармоники при рассеянии взаимодействующих плоских акустических волн на жестком вытянутом сфероиде.

Рис. 5. Трехмерная модель диаграммы рассеяния полного акустического давления второй гармоники P^ rj, р) на жестком вытянутом сфероиде при: f =880 кГц; /2=1000 кГц; h0 =0,01 м; £0 =1,005, ^=3: 2/1=1760 кГц, *2<А=74, 00 = 30°

Литература

1. Cpence R., Ganger S. // Journ. Acoust. Soc. Amer. 1951.Vol 23. № 6. P. 701-706.

2. Клещев А.А., Шейба Л.С. // Акуст. журн. 1970. Т. 16. № 2. С. 264-268.

3. Тэтюхин М.Ю., Федорюк М.В. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 1. С. 126-130.

4. Аббасов И.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 46-52.

5. Аббасов И.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. № 3. С. 27-29.

6. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л., 1981.

7. Лямшев Л.М., Саков П.В. // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 1. С. 100-107.

8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966.

9. СкучикЕ. Основы акустики. Т. 2. М., 1976.

10. Клещев А.А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики. Л., 1987.

W

Таганрогский государственный радиотехнический университет_7 февраля 2006 г.