CC BY
21О ЯВЛЕНИИ ДИСПЕРГИРОВАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ МГНОВЕННОМ СНЯТИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВСЕСТОРОННЕГО СЖАТИЯ
Жекамухов М. К., Шухова Л. З. (lyu246@mail.ru) Кабардино-Балкарский госуниверситет
Как показывают экспериментальные исследования [1], твердое тело, находящееся под достаточно высоким напряжением всестороннего сжатия, после мгновенного снятия давления превращается в мелкодисперсный порошок с размерами частиц от долей микрометра до десятков микрометров. При этом пороговое давление, при котором начинается процесс диспергирования, для каждого вещества свое. Повышение давления за пределами порогового приводит к увеличению дисперсности образующихся частиц.
Диспергирование вещества имеет место также при высокоскоростных ударах частиц о поверхность мишени. Так, например, в [2] приводятся интервалы скоростей удара, при которых появляются продукты "разбрызгивания" или распыления материала ударника в микрократерах, образованных в натриево-известковом стекле и плавленом кварце ударниками из различных материалов.
Однако, теоретическое исследование явления диспергирования твердых тел при разгрузке веществ, насколько нам известно, еще не проводилось.
В данной работе на основе теории одномерных неустановившихся движений сплошных сред рассматривается процесс диспергирования тел при мгновенном снятии напряжений всестороннего сжатия. Этот процесс моделируется на примере течения, которое возникает при снятии заслонки трубы, в которой под высоким давлением находится твердое тело.
Пусть твердое тело заключено в трубу с жесткими стенками и находится под высоким давлением (рис.1, а). Мы будем предполагать, что стенки трубы выдерживают сколь угодно большие давления и не поддаются растяжению. Левый конец трубы наглухо закрыт, а на правом конце имеется заслонка. В момент времени t = 0 заслонка мгновенно открывается. При этом волна разгрузки бежит влево по веществу со скоростью, равной пластической скорости звука в сжатом веществе, а само разгружающееся вещество устремляется вправо. На рис.1, б схематически показаны профили давления и скорости вещества в зоне разгрузки.
В этой зоне течение является центрированной волной разгрузки и, независимо от термодинамических свойств вещества, описывается следующими формулами [3, 4]:
x
u - о = —, t
u
+ fdp = const, (2)
J pc
где x - координата, отсчитываемая от правого конца трубы вниз по течению, t - время, c - скорость звука в зоне разгрузки вещества, p - плотность, p -давление, и - скорость течения.
а
У/////////////А
Р-Р5, и=в
У/////////////У.
О л-
-Z
t
_4_ > "Г
"2,1 1 ,
Г'1 0 х
Рис.1. Схема истечения сжатого вещества из трубы. Исходное состояние сжатого вещества (а), распределение давления р и скорости потока и в волне разгрузки (б).
В дальнейшем будем предполагать, что уравнение состояния твердого тела приближенно можно аппроксимировать формулой
p = A
/ \n _p_
p0
где p0 - плотность тела при давлении p = 0, A и n -
>2
скорость
постоянные, связанные соотношением Ап = р0с0, с 0 = к/
пластических волн при нормальных условиях, К - модуль всестороннего сжатия. В [4] приводятся значения А для ряда металлов, а показатель п принимается равным 4. Кроме того, параметры среды в сжатом невозмущенном состоянии будем обозначать индексом б. Тогда для скорости с в зоне разгрузки вещества получим следующую формулу
п-1
c=c
1 + Р
A
2n
Принимая во внимание, что на стыке волны разгрузки и сжатого невозмущенного вещества р = р8 , и и = 0, из равенства (2) будем иметь:
1
и
_ 2с0
п -1
1+р. А
п-1 ' 2п
1 +
Р
А
п-1 4 2п
2
п -1
( - С0 ).
(4)
При этом максимальная скорость течения в волне разгрузки
достигается при р = 0 и определяется (
эормулой
2с0
и
max
п -1
1 + *
А
п-1 ' 2п
2
п -1
( - С0 )
(5)
В отличие от газа, далее вниз по течению скорость вещества
*
уменьшается до значения и = и , после чего дальнейшее растяжение приводит к разрыву тела.
В зоне растяжения материала отношение |р| / К << 1, и скорость звука с определяется приближенной формулой
п -1 р л
с ^ с
1 +
2К
При этом равенство (4) можно переписать в виде
|р|
и ^ и
max
Кс0
Отсюда на фронте диспергирования будем иметь
*
о с0
и _ и
max
К
(6)
(7)
Условие диспергирования материала сводится к неравенству
* *2 * р и 2 >о .
В силу равенства (7) это условие можно переписать в виде:
Р8 > Рь,
где
Рь _ А
1 * п -1 о
2 К
1 +
Л
ГК Р0 ^2
о р
V
2п п-1
/
-1
Поскольку отношение о* / К << 1, то имеем
1
Рь
Г V \
1 +
К
о
2
(8)
Заметим, что при более строгом рассмотрении задачи в формулы (4) и (5) должны быть внесены некоторые поправки.
Как известно [3], если давление р > рк _ 2(1 ^)/(1 - 2у)ок, где V -коэффициент Пуассона, ок - критическое напряжение сдвига, то волна
*
*
разгрузки расщепляется на две волны. Первая волна распространяется со
скоростью, равной продольной скорости звука сг = ((к + 43 ^)/р0 / , а вторая
1/2
волна бежит вслед за первой со скоростью пластических волн с0 = ( К / р0 ) . Массовая скорость за фронтом первой волны равна и'=рУр0сг; по веществу, движущемуся с этой скоростью, распространяется пластическая волна. С учетом этого обстоятельства постоянная в уравнении (2) должна быть найдена из условия: при р = р5 - р'к, и = и' = р'к / р0 сг. Тогда к правым частям формул (4) и (5) добавится слагаемое р'к / р0 сг.
Поскольку р'к << р5, то эти поправки не играют существенной роли. Из равенств (1) и (4) получим:
2
и =-с.
п +1 5
2
с
/ л
1
V 5 У
сД
(9)
п +1 5
^ 1 ^ 1 п -1 X
2 сЛ
V 5 У
Полагая и = и*, из первого из равенств (9) найдем закон движения фронта диспергирования материала
х*ф = - М С0 t, (10)
где
М = (п + 1) - 2с5 + (п + 1)а*
(п -1) с0(п -1) 2К
Решения (9) справедливы лишь до тех пор, пока фронт волны разгрузки не достигнет задней стенки трубы, т.е. пока t > ^ = Ь / с5.
При t > ^ отраженная волна бежит по веществу, возмущенному первой волной разгрузки. В зоне, охваченной отраженной волной, параметры течения, как известно, описываются общим решением [4]. Ввиду сложности этого решения, мы здесь его не рассматриваем. Отметим лишь, что давление р в этой зоне почти не зависит от координаты х и при п = 3 падает по закону
р / р. = ( Ь / с. t ) 3,
где t > ^ = Ь / с5.
Процесс диспергирования вещества будет продолжаться до тех пор, пока волна, отраженная от задней стенки трубы, не встретится с "фронтом диспергирования" вещества. Момент этой встречи может быть найден легко. Для этого рассмотрим сопряжение отраженной волны с падающей римановской волной. В отраженной волне возмущения распространяются вдоль характеристик
dx
— = и + с.
dt
Поскольку и и с не терпят разрыва, то на линии сопряжения они принимают значения, определяемые равенствами (9). Следовательно, уравнение линии сопряжения можно записать в виде
ёх 4с<, 3 - п х — = —- +--.
dt п +1 п +1 t Учитывая, что интегральная кривая должна проходить через точку с координатами Ь и отсюда получим:
3-п
х
2cst
п +1
п+1
1 1 ь т . (11)
п -1 п -1 ^ 1
Приравнивая (10) и (11), найдем момент времени t = при котором прекращается процесс диспергирования вещества
^ «t1c
(п+1)/2(п-1)
Ь
1+
nPs К
3-п ' 4п
- ^ где с = ^
К этому моменту времени диспергируется материал, занимающий участок трубы длиной
3-п
Ь = МЬ
1+
пР5
К
4п
а масса диспергированного вещества при этом определяется формулой
1
т
Р0и
maxt2
т (с - 1)(с )
'-\(3-п)/2(п-1)
1+
К
где ms - первоначальная масса вещества в трубе.
При t = ^ давление в отраженной волне для п = 3 равно
Р = Ps(с )-3.
Отсюда видно, что при t > t2 диспергирование вещества в трубе практически будет прекращаться, поскольку к этому моменту времени давление р становится меньше критического.
В дальнейшем, фронтом диспергирования будем называть сечение в
* *2 *
зоне растяжения материала, в котором выполняется условие р и = о .
В системе координат, движущейся вместе с фронтом диспергирования вещества, законы сохранения массы, импульса и энергии принимают вид:
р* + и* )=р2 ( + и2 ), (12)
* * / * \2 , ч
-о +р ^+и; =р 2 (uf+и2 л
о* + (+_и*) = ^ + (и1+_и2)2
р* 2 р 2 2 ' где и2 - скорость частиц относительно фронта диспергирования, и - скорость фронта диспергирования.
Для замыкания системы уравнений (12) - (14) необходимо иметь еще одно дополнительное соотношение между искомыми величинами. Таким
(13)
(14)
с
0
п
соотношением, естественно, может служить связь между давлением р5 и размерами частиц, которые могут образоваться при диспергировании вещества. Согласно Френкелю [5], минимальное давление, при котором трещина, содержащаяся в твердом теле, начинает удлиняться (а тело
1
разрываться), равно
2
, где Е - модуль Юнга, d - размер трещины.
Принимая во внимание, что размер частиц, образующихся при диспергировании твердого тела, того же порядка, что и размеры трещин в этом теле, следовательно, для образования частиц размером d должно выполняться условие
1
р. ^
2уЕ
Это условие и замыкает систему уравнений (12) - (14).
Принимая во внимание, что скорость фронта диспергирования равна и f = и - с , из (13) и (14) получим:
и2 = с0 ^
2
1
2а
р.
л ~ *
п -11 - 2а
р.
1+ь.
А
п-1 ' 2п
а
2Р5
-1
а
р.
а
К
При р. << А это равенство принимает вид
и-
К
1
2а
* л
р8
* л 1 -0_ р.
-1
а
* л
1 -а_
р.
-1
а
р.
с0.
В случае, когда р8 ~ К, имеем и2 ~ (р8 / К)с0, а абсолютная скорость частиц равна
*
(п - 3) а с0
ua ~ и2 - uf
К
Из равенств (13) и (14) будем иметь:
w * =а
Р0
11
Р Р0
с * \ 1 -р.
Здесь (uf + и* )= 2и
* * с = с0 ^
4
-
п -1
Р0
1+р
(( + и* /
(15)
/
п-1 2п
V
А
/
-1
* * Ра
1 -— ~ —, и равенство (15) можно переписать в виде Р0 К
2
2
*
*
1
* 1 * 2о* + о*
2
4
п -1
1 + ^ А
п-1 ' 2п
-1
-1
При ps << А отсюда получим
- 2о'
1 +1 2
Жл 2
ЧК/
Таким образом, в грубом приближении размеры частиц ё - у / 2о . Это соотношение по форме совпадает с известной формулой Лапласа для давления внутри газового пузырька.
Для оценки величины давления ps в трубе, которая необходима, чтобы при диспергировании вещества получились частицы размером ~ ё, в формулу (8) вместо pb нужно подставить выражение (2уЕ/ё)1/2. Тогда получим приближенную оценку
1
Рs > К
2 у Е
Отсюда, для стали при ё ~ 10
ё ~ 10 - 4 ст,
ps > -1010 N / т2.
5 ст получим: ps > 21010 N / т2, а при
Полученные выше результаты полностью применимы к процессу разгрузки вещества при выходе ударной волны на плоскую поверхность тела. При этом разгрузку вещества нужно рассматривать в системе координат, движущейся вместе с веществом за фронтом ударной волны. Если давление в ударной волне выше порогового, определяемого равенством (8), то будет иметь место откольное явление, при более высоких давлениях процесс разгрузки вещества будет сопровождаться диспергированием, а в мощных ударных волнах - плавлением и испарением.
В случае, когда ударник и мишень из одного материала, зависимость
между скоростью удара и давлением, как известно, дается формулой
2
Р(16)
4
1 -Р0 р
где
р0
V ■ /
степень сжатия вещества в ударной волне.
С учетом уравнения состояния (3) формула (16) может быть переписана в
виде
у2 = 4£ р0
1 + р
А
Подставляя сюда вместо p значение pb, определяемое формулой (8), найдем пороговое значение скорости удара, при которой ударник будет разрушаться.
2
2
1
В таблице приводятся некоторые характеристики металлов при нормальных условиях, откольная прочность материала, давление в ударной волне, необходимое для начала разрушения ударника при разгрузке вещества до атмосферного давления, а также соответствующая скорость удара тела о мишень.
К сожалению, мы не располагаем прямыми экспериментальными данными, с которыми можно было бы сравнить приведенные в таблице значения Уь. Экспериментальные данные [2] показывают, что в случае, когда ударник сделан из алюминия или железа, а мишень - из натриево-известкового стекла, разбрызгивание ударника начинается уже при скоростях удара (1,8 - 2) км/с. Если иметь в виду, что для диспергирования материала мишени требуются более высокие скорости, то приведенные в таблице значения Уь представляются вполне реальными.
Из расчетов следует также, что при разгрузке вещества в ударной волне диспергируется лишь сравнительно небольшая часть материала.
Проведенные выше исследования позволяют раскрыть физический механизм, который лежит в основе метода диспергирования кристаллизующих реагентов - йодистого серебра и йодистого свинца -методом подрыва их в смеси с взрывчатыми веществами. При этом за короткий промежуток времени создается большое количество мельчайших льдообразующих кристалликов, способных закристаллизовать переохлажденные облачные капли при отрицательных температурах (от -6 до -7)°С. Из существующих методов диспергирования кристаллизующих реагентов в облаке наиболее простым и оперативным является артиллерийский метод. В этом методе в специально изготовленных противоградовых снарядах кристаллизующий реагент, спрессованный в форме цилиндра, находится внутри взрывчатого вещества. При подрыве снаряда в объеме, занятом продуктами детонации, создается давление порядка нескольких сотен килобар. При этом по реагенту, находящемуся внутри продуктов детонации, бежит сходящаяся ударная волна. В момент схлопывания этой волны давление в реагенте может существенно превысить давление в продуктах детонации. Далее начинается разлет продуктов взрыва. Когда волна разгрузки достигает поверхности реагента, срабатывает механизм диспергирования, описанный выше. Отличие состоит лишь в том, что в данном случае волна разгрузки является цилиндрической (или сферической), и простого аналитического решения задачи, как выше, не существует. Тем не менее, основные закономерности диспергирования тел здесь такие же, как и в случае движения среды по трубе. Дисперсность частиц, образующихся при диспергировании реагента в процессе разгрузки вещества, находится в прямой зависимости от первоначального давления в веществе реагента и возрастает с увеличением последнего. Дальнейшее увеличение мощности заряда может привести к качественно иной картине диспергирования: сначала процесс диспергирования начнет сопровождаться плавлением и образованием отдельных капелек, затем к полному расплавлению и, наконец, при достаточно больших давлениях в центре
заряда - к полному испарению разгружающегося вещества. В последнем случае часть паров, образующихся при испарении кристаллизующегося реагента, в процессе расширения продуктов взрыва будет конденсироваться с образованием мельчайших капелек, а часть уйдет безвозвратно в пространство. Картина процесса конденсации пара в этом случае подробно рассмотрена в [3].
Следует отметить, что при мгновенной разгрузке первоначально сжатого вещества, согласно теории, диспергируется лишь небольшая часть сжатого вещества, а основная масса сохраняет целостность или приобретает более или менее рыхлую структуру. Отсюда следует, что при артиллерийском методе воздействия на град лишь часть реагента, доставляемого в облако, диспергируется с выходом льдообразующих частиц, а значительная же часть теряется бесполезно, что снижает эффективность этого метода. Поэтому для экономного использования реагента в противоградовых снарядах его следует поместить во внутрь другого более дешевого вещества, которое в процессе разгрузки составного материала будет оставаться в целостности, а реагент при этом полностью диспергируется.
Таблица.
Некоторые характеристики металлов при нормальных условиях, откольная прочность о , давление в ударной волне, в Н/м2, необходимое для начала разрушения при разгрузке вещества до атмосферного давления и соответствующая скорость удара о мишень.
Металл Р0-10-3 kg/m3 c0-103 m/sec K10 -10 N/m2 A-10-10 H/m2 g-10-9 N/m2 pb-10 -10 H/m2 Vb km/se c
Алюминий 2.73 5.20 7.2 2.03 2.65 1.65 1.83
Железо 7.80 4.63 16.7 4.50 1.66 1.83 1.60
Медь 8.93 3.95 13.5 2.50 1.60 1.63 0.93
Свинец 11.34 2.00 4.5 1.12 0.50 0.52 0.41
Литература
1. Федоров В. Т., Хоконов Х. Б. Явление диспергирования твердых тел при быстрой релаксации напряжений всестороннего сжатия.- ДАН СССР, 1998. Т. 300, №5. С 1126-1128.
2. Vedder J. F., Mandeville J. C. Microcraters formed in glass by projectile of various densities, Journal of Geophysical Research, 1974, N 23. P. 3247-3256.. Русский перевод: Веддер Дж. Ф., Мандевиль Ж. К. Микрократеры, образованные в стекле ударниками различной плотности. В кн:
«Механика», №12. Механика образования воронок при ударе и взрыве. М.: «Мир», 1977. С. 7-32.
3. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических течений. М.: Наука, 1966.
4. Баум Ф. А., Станюкович К. П., Шехтер Б. И. Физика взрыва. М.: Физматгиз, 1959.
5. Френкель Я. И. Введение в теорию металлов. М.: Физматгиз, 1958.
