CC BY
47О ДИСПЕРГИРОВАНИИ ТЕЛ ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ УДАРАХ
Жекамухов М.К., Шухова Л.З. (lyu246@mail.ru) Кабардино-Балкарский госуниверситет
Исследование процессов, происходящих при высокоскоростных ударах тел, имеет большое значение в проблеме метеоритной безопасности космических полетов, в понимании природы и происхождения микрократеров на лунных образцах, механики кратерообразования, а также в ряде других областей науки и техники. Физические процессы, протекающие в ударных волнах при высокоскоростных ударах тел, весьма разнообразны.
Для практики большой интерес представляет диапазон скоростей удара от одного до (10-20) км/с. При таких скоростях в ударной волне развиваются давления от сотен тысяч до нескольких миллионов атмосфер, т.е. давления, которые являются типичными при детонации взрывных веществ, при ударе больших метеоритов о поверхность Земли и т. п.
Одним из наиболее характерных явлений, имеющих место при разгрузке тел, находящихся в диапазоне указанных выше давлений, является распыление тел, плавление и испарение. Так, например, в [1] приводятся оценочные значения давления в ударной волне, необходимого для начала дробления, плавления, полного расплавления и испарения тела при разгрузке его вещества, первоначально сжатого ударной волной, до атмосферного давления. В [2] указываются интервалы скоростей, при которых в микрократерах, образованных в натриево-известковом стекле и плавленом кварце ударниками из различных материалов, обнаружены "разбрызгивание" и распыление материала ударника.
Эти данные свидетельствуют о том, что диспергирование тел при высокоскоростных ударах является широко распространенным явлением. Поэтому представляет большой интерес исследование условий, при которых соударяющиеся тела диспергируются.
В данной работе на основе гидродинамического подхода в одномерном приближении проводится аналитическое исследование процесса диспергирования в зоне разгрузки вещества в ударной волне при высокоскоростных ударах.
Постановка задачи. Основные соотношения в ударной волне.
Предположим, что ударником является тело цилиндрической формы, поперечный размер которого намного больше продольного, а мишенью служит полуограниченное тело. После соприкосновения ударника с поверхностью мишени в месте их контакта возникают две ударные волны, одна из которых бежит по материалу мишени, другая - по материалу ударника. При этом материал ударника, охваченный ударной волной, подвергается боковому расширению, и волна разгрузки движется от поверхности ударника к его оси.
Будем предполагать, что за промежуток времени, в течение которого протекают процессы соударения тел, эта волна не успевает достигнуть центральной части ударника. Оценки показывают, что для этого необходимо, чтобы выполнялось условие d > 4 где d - диаметр, ^ - первоначальная толщина ударника. Таким образом, в центральной части зоны сжатия вещества, ударную волну можно считать плоской.
На рис.1 схематически показано проникание ударника в мишень, когда ударная волна еще не достигла тыльной стороны ударника.
Рис. 1. Схема проникание ударника в мишень. 1 - невозмущенная поверхность мишени; 2 - фронт отраженной ударной волны; 3 - контактная граница; 4 - фронт прямой ударной волны.
и Б2 - скорости ударных волн; и1 и и2 -- массовые скорости за фронтом ударной волны; V - скорость ударника.
Механические характеристики материалов ударника и мишени обозначим соответственно индексами 1 и 2, а их значения при атмосферном давлении -дополнительно еще индексом 0. Тогда законы сохранения вещества, импульса и энергии на фронте ударной волны, движущейся по материалу ударника, как известно [3], можно записать в виде:
РЮ^ =Р! ^ - и )
Ps = Рю а)
Ps и1 Е Е + и12 —- = Б1 -Е10
Р10 Б 1 10 2 Точно такие же соотношения записываются на фронте ударной волны, движущейся по мишени:
Р 20 °2 =Р 2 (°2 - и2 )
Ps =Р 20°2и2 (2)
Ре ^2 = Е - Е + Ц2
2
= Е2 - Е20 +
Р20 °2 2
где и1 и и2 - массовые скорости за фронтом ударной волны, и Э2 - скорости ударной волны, р - плотность, Е = су Т - внутренняя энергия единицы массы, Т - абсолютная температура, су - теплоемкость при постоянном объеме. Скорости и1 и и2 связаны соотношением
и + и2 = V, (3)
где V - скорость удара.
Из уравнений (1)получаются известные в теории ударных волн формулы
[1]:
г2
Р8
1 - (р10/ р1) 4-1
1+
р10 1 - (р20 р2 )
р 20 1 - (р1% 2 )
= и,
р1
1
р10
и1 = V
1+
II
р10 1 - (р20 р2 )
р20 1 - (р10 р1 )
-1
= и
и 2 = V
р2
р20
-1
1+
11
р20 1 - (р10/ /р! )
р10 1 - (р 20/ 'р 2)
-1
(4)
'1у
С2У АТ2
АТ1
V2
2
1 +
II
р10 1 - (р20 р10 )
р20 1 - (р10 р2 )
-2
= V2 Р10 1 - (р201 р2 )
1+
р10 1 - (р20 р2 )
Р 20 1 - (Рт/ Р1)
-2
2 Р20 1 - (Р10 Р1 ) где АТ1 и АТ2 - приращения температуры в ударной волне.
Таким образом, зная степень сжатия материалов ударника и мишени о = р / р0, по формулам (3)-(4) можно определить все динамические характеристики процесса соударения тел в зависимости от скорости ударника V.
Для замыкания системы уравнений (3)-(4) необходимо иметь уравнение состояния, связывающее параметры среды р, р, и в ударной волне. Имеются полученные экспериментально различные эмпирические формулы, которые описывают реальные свойства вещества в широкой области фазовой диаграммы. Нас в дальнейшем будут интересовать сравнительно небольшие амплитуды давления в ударной волне порядка до миллиона атмосфер. При таких условиях отличие ударной адиабаты от адиабаты Пуассона, как известно [4], незначительно. В силу этого, можем воспользоваться простейшим уравнением адиабаты вида
р = А
/ \п _р
чр0у
-1
(5)
где А и п связаны соотношением Ап = р0с02, в котором с0 = К/
I/р
скорость пластических волн при р = 0, К - модуль всестороннего сжатия. В
общем случае параметр А является функцией энтропии Б, однако, в рассматриваемых нами диапазонах давлений его можно считать постоянным.
По данным [4] для железа А = 4,5-1010, для меди 2,5-1010 и для дюралюминия -
10 2
2,03-10 Н/м , для металлов показатель п можно принять равным 4.
С учетом соотношения (5), равенства (4) могут быть записаны в следующем виде:
Ре 1 -(1 + П1р5 ) Ч 1 + _ ^ р10 0 2 р 2001 _
лМ 01 И2 = 1 Р'0Р5 Р20 02 0 =
01 = 1 -(1 + п1р5 )-1/ П1 . ) ■> -2 02 =1
:У2
и,
0Г
О
= И2 02
1 К1 -1 + 771 П2Ре
-1/ П2
(6)
ДТ1
2с
1у
1 + Р10 02
1_ V Р20 01 _
ДТ2
К
Чу
ДТ1
'2У
Р
где 01 и 02 - относительные сжатия материалов ударника и мишени (0 = —— 1),
Р0
К1 и К2 - их
модули всестороннего сжатия, р5 = р^К - безразмерное давление
в ударной волне, V = -V— безразмерная скорость удара, И1 = ; И2 = И2.
с10 с10 с10 В случае, когда ударник и мишень из одного материала, первое равенство (6) принимает простой вид:
V2 = 4р51 -(1 + пр5)
-1/ п
(7)
На рис.2 приводятся кривые зависимости р5 от V, построенные по формуле (7) при различных значениях п. В области применимости уравнения состояния вида (5) эти кривые являются универсальными.
Если скорость удара тела о поверхность мишени известна, то соотношения (6) позволяют найти все параметры среды в ударной волне.
Рис.2. Зависимость безразмерного давления в ударной волне от безразмерной скорости удара при различных значениях показателя п.
Расчет параметров течения в зоне разгрузки вещества. Ударная волна, движущаяся по материалу ударника, достигает его поверхности к моменту времени X = Х0 = / где - толщина ударника, сжатого ударной волной:
Ц =-^0 = Ц (1 + п1р5)П1 . р1
При этом ударная волна, движущаяся по материалу мишени, проникает в
о2
мишень на глубину И2 = Э2Х0 =—.
Ориентируясь на приведенную (рис.1) схему взаимодействия ударника (3) с мишенью (1), введем одномерную систему координат, в которой ось х направлена перпендикулярно к поверхности мишени в сторону разгрузки вещества (т. е. вправо), а начало координат х = 0 совмещено с положением поверхности ударника в момент выхода ударной волны на эту поверхность.
Принимая 10 за новую точку отсчета времени, приходим к следующей задаче: с момента времени 1 = 0 начинается разгрузка вещества, сжатого ударной волной. В системе координат, движущейся со скоростью и2 вместе с веществом за ударной волной, вещество ударника в зоне разгрузки устремляется вправо, а в противоположную сторону по сжатому веществу ударника бежит волна разгрузки с относительной скоростью с18, равной скорости звука в нем:
С„ = Сю (1 + п,Ь ) -1)/ 2П1.
Волна разгрузки является центрированной простой волной и в выбранной системе координат описывается уравнениями
х
V: - С1 = т;
VI +
2
п: -1
С: = СОПБ1,
(8)
где V1 и с1 - скорость потока и скорость звука в зоне разгрузки материала ударника.
Принимая во внимание, что на стыке волны разгрузки со сжатым веществом р = р8, V1 = 0 и с1 = с1з, из равенств (8) получим:
V,
2
^ + 1
С1е +-
х 1
С
2
1 = , С18 п1 + 1
п1 -1 х
п1 + 1 1
(9)
Исключая у^ , отсюда найдем:
Vl =
2 (с* -С1 )= 2С10
П1 -1
П1 -1
П1 -1
/ \ |1+р1 2п1 / 1 + 1
А1 ] А1)
V
П1 -1
2п]
(10)
Максимальная скорость V1m достигается при р = 0 и определяется формулой
П1 -1
1т
_ 2с10
П1 -1
1 + ^ А1
2п]
-1
(11)
Ниже по течению в области отрицательных давлений частицы вещества движутся по инерции, материал растягивается.
В зоне растяжения материала также выполняются равенства (8), но постоянная определяется уже из условия: с1 = с10 при V1 = V1m. Таким образом, в зоне разгрузки имеем:
V = Vlm
2
П1 -1
(с10 - С1 ).
Поскольку в этой зоне | р | << А, то для скорости звука с1 можно записать
С1 = c10
При этом равенство (12) принимает вид:
П1 -1 |Р
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/099.pdf \
2 A
1
p
V1 = V1m c10.
K1
Назовем "фронтом диспергирования" материала сечение, в котором растягивающее усилие достигает динамической прочности материала на откол. Параметры течения на "фронте диспергирования" будем обозначать со звездочками. Тогда условие диспергирования (откола) материала ударника можно записать в виде:
*л т * 2 _ *
Р V1 >0 ,
( 1 3)
где а1 -откольная прочность материала мишени.
Непосредственно перед "фронтом диспергирования" скорость течения
равна
V1*= V1m -О"С10: K1
а закон движения "фронта диспергирования" ударника дается формулой
x
:(t )=-
'1s
n1 +1V1*
2
t = -M1C10t:
где
M1
n1 +1 - 2 n1 -1 n1 -1
c1s +
л *
n1 +1 o1
2 K1 ,
1s
1s
10
Условие (13) принимает вид: ps > pk, где
Pk=A,
1+-
1 *
nx-1 Oj
2 K
1+
*1 Р10
* * Р*
2 n\ n\ -1
-1
есть пороговое давление в ударной волне, при котором начинается откол в материале ударника.
Поскольку отношение а1 / К << 1, последнее равенство существенно упрощается и принимает вид:
Рк =°1
1 + К1
1 V * °1 _
(14)
Заметим, что в акустическом приближении дополнительная скорость У1, приобретаемая веществом при разгрузке, приблизительно равна массовой
Р§/ • при этом вместо формулы (14) будем иметь
скорости и:
Рк
1*К1
Р0С0
Из равенств (6) и (14) следует, что пороговая скорость удара Ук, при которой начинается разрушение материала ударника, определяется формулой
Ук=(Рк )21 -(1+п1Рк ) П1 ]
[/2
(15)
где
Рк = К1 •
Ук = ^
с
10
Полученная формула не зависит от выбранной одномерной модели удара и справедлива при любом соотношении между продольным и поперечным размерами ударника и при любой его форме, т.е. она остается справедливой и при трехмерном рассмотрении задачи. При У > Ук разгрузка вещества по любому направлению будет сопровождаться его разрушением (разрывом). Таким образом, независимо от формы ударника, неравенство У > Ук является необходимым условием образования продуктов распыления веществ при соударении тел.
Формула (15) определяет значение скорости удара, при которой в материале ударника будут появляться трещины или произойдет откол. Дальнейшее увеличение скорости удара будет приводить сначала к распылению, а затем и к разбрызгиванию расплавленного в ударной волне материала, а далее и к его испарению.
В табл.1 приведены характеристики ряда металлов при нормальных условиях, а также откольная прочность а этих металлов. Значения а заимствованы из [5].
В табл.2 приводятся оценочные значения скорости удара и и давления р8 в ударной волне для тех же металлов, необходимые для начала диспергирования, плавления, полного расплавления и испарения при разгрузке вещества в ударной волне до атмосферного давления.
Значения пороговой скорости, необходимые для разрушения ударника в случае, когда материалы ударника и мишени различные, даются в табл.3.
Давления, необходимые для плавления, полного расплавления и испарения, взяты из [1]; соответствующие этим давлениям скорости удара получены из графика зависимости р5 от И, который приводится на рис.1. Пороговые значения давления в ударной волне и скорости удара вычислены по формулам (14) и (15).
Как видно из таблиц, значения р и И, при которых будет иметь место тот или иной из перечисленных выше процессов, меняется в сравнительно широких диапазонах для различных металлов. Так, например, при скоростях удара от 400 до 900 м/с о полубесконечную мишень из железа, алюминия и меди свинцовая пуля будет дробиться, а поверхность мишени при этом не разрушится. Значение пороговой скорости удара зависит в основном от соотношения плотностей материалов ударника и мишени: пороговая скорость возрастает с уменьшением плотности материала мишени.
При скоростях удара, существенно превышающих пороговую, вещество ударника плавится, а затем и испаряется. Для испарения вещества необходимо,
чтобы максимальная удельная энергия превышала энергию связей
атомов и молекул в веществе ударника, т.е. должно выполняться условие
И 2
> О,
2
где О - удельная теплота испарения материала ударника.
При скоростях удара, когда происходит плавление и испарение веществ, в уравнении состояния (5) зависимостью параметра А от энтропии уже нельзя пренебрегать. Однако, это уравнение еще может быть использовано для грубой оценки порогового давления рк, при котором вещество начнет испаряться.
Подставляя значение Umax =V2Q в (11), найдем
1
Pk =-n
_ 2n
' n -1 [2Qp0+1Л
2 V K
n-1
-1
(1 6)
Согласно экспериментальным данным [1], оценочное давление в ударной
11 2
волне, при котором свинец начинает испаряться, составляет 10 Н/м ;
10 2
соответствующее давление Р'к, рассчитанное по формуле (16) - 6-10 Н/м . Таким образом, расхождение теории с экспериментом составляет для свинца около 40 %, что связано с заменой ударной адиабаты уравнением (5) и, по-видимому, неточностью экспериментального значения Р'к.
Ук2
Для приведенных в табл.1 металлов отношение к/2р ~ 48. С другой
стороны, для полного испарения вещества в ударной волне, естественно, требуются скорости удара, превышающие пороговую. Так, по оценкам [2], для полного испарения при разгрузке вещества в ударной волне, удельная энергия
У/2 примерно в 10 раз должна превосходить удельную теплоту испарения, т.е.
скорость удара примерно в 42 раз должна превосходить пороговую, определяемую из формул (11) и (16). При меньших скоростях удара точность расчетов будет выше.
Все это говорит в пользу того, что рассмотренная выше одномерная модель диспергирования тел достаточно хорошо воспроизводит реальную картину разгрузки вещества в ударной волне в области умеренных давлений порядка 109 - 2-1010 Н/м2, при которых уравнение состояния можно аппроксимировать формулой (5).
Литература
1. Vedder J. F., Mandeville J.-C. Microcraters formed in glass by projectiles of varions densities, Journal of Geophysical Research, 79, № 23, 3247-3256 (1974): русский перевод:
Веддер Дж. Ф., Мандевилль Ж.-К. Микрократеры, образованные в стекле ударниками различной плотности, в книге "Механика", № 12, Механика образования воронок при ударе и взрыве, "Мир", М. 1977, С. 7 - 32.
2. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических течений. М.: Наука, 1966.
3. Gehring J. W., Jr., Theory of impact on their targets and shields and correlation with experiment, in "High-velcity impact phenomenon" (ed. R. Kinslow),Acadeimic Press, N. Y., 1970, p. 105-156; русский перевод:
Геринг Дж. Теория соударения с тонкими мишенями и экранами в сопоставлении с экспериментальными данными, в кн. "Высокоскоростные ударные явления", "Мир", М., 1973, С. 112-163.
4. Баум Ф. А., Станюкович К. П., Шехтер Б. И. Физика взрыва. Госиздат. М., 1959.
5. Канель Г. И., Разоренов С. В., Уткин У. В., Фортов В. Е. Ударноволновые явления в конденсированных средах М. "Янусь-К", 1996.
Таблица 1. Некоторые характеристики металлов при нормальных условиях и откольная прочность их по данным непрерывной регистрации профилей скорости свободной поверхности
Металл Р0-10-3, кг/м3 с0-10-3, м/с К-10—10, Н/м2 А-10—10, Н/м2 а-10-9, Н/м2
Алюминий 2.73 5.2 7.2 2.03 2.65
Железо 7.8 4.63 16.7 4.5 1.66
Медь 8.93 3.95 13.5 2.5 1.60
Свинец 11.34 1.91 4.5 1.12 0.50
Таблица 2. Оценочные значения скорости удара и давления в ударной волне, необходимые для начала дробления, плавления, полного расплавления и испарения при разгрузке вещества до атмосферного давления; ударник и мишень из одного материала
Металл Скорость удара, м/с (верхняя строк 2 и давление, Н/м (нижняя строка) л)
Начало дробления Начало плавления Полного расплавления Испарения
Алюминий 2-103 5.3-103 8.0-103 —
1.6-1010 6-1010 9-1010 —
Железо 0.92-103 — 6.0-103 —
1.8-1010 — 20-1010 —
Медь 0.9-103 4.7-103 > 5.5-103 —
1.63-1010 14-1010 > 18-1010 —
Свинец 0.38-103 1.7-103 1.8-103 3.8-103
0.52-1010 3-1010 3.5-1010 10-1010
Таблица 3. Оценочные скорости удара, необходимые для откола при разгрузке вещества до атмосферного давления; ударник и мишень из различных материалов
Ударник Алюминий Железо Свинец Железо Медь Железо
Мишень Железо Алюминий Железо Свинец Железо Медь
У*, км/с 1.31 2.66 0.34 1.84 1.63 1.6
