О выборе параметра при восстановлении функций с интегральным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

гиперграфические автоматы над гиперграфами И, Н1 соответственно. Тогда, полугруппы 1пр(А), ¡пр^^ входных сигналов этих автоматов элементарно эквивалентны в том и только том случае, если элементарно эквивалентны автоматы А и А1.

Таким образом, универсальные гиперграфические автоматы над эффективными гиперграфами с р-определимыми ребрами с точностью до элементарной эквивалентности определяются своими полугруппами входных сигналов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зыков А. А. Гиперграфы // УМН. 1974. Т. 29, №6. С. 89-154.

2. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М, : Высшая школа, 1994.

3. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М, : Наука 1987,

4. Хворостухина Е. В. Об относительно элементарной определимости класса гиперграфических автоматов в классе всех полугрупп // Компьютерные науки и информационные технологии : тезисы докладов Международной научной конференции, Саратов, 1-4 июля 2009 г, Саратов : Издательство Саратовского университета, 2009, С. 210-212.

УДК 517.51

А. А. Хромов

О ВЫБОРЕ ПАРАМЕТРА ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

В данной статье построенное ранее семейство операторов для приближения непрерывной функции с интегральным условием применяется в случае, когда функция задана с погрешностью в среднеквадратичной метрике и выясняется вопрос о согласовании параметра, от которого зависит данное семейство, с погрешностью исходных данных.

Пусть /(х) е С[0,1], р(х) е С 1[0,1], р(1) = 0 и

1

и (/) = 1 р(г)! = о

о

и пусть вместо /(х) нам известна (х) такая, что — /||ь2[0д] ^

Рассмотрим семейство операторов из [1]:

114

-rRrf = J Kr(x,t)f (t)dt, 0

где

Kr (x,t) = ^ 0r(x-t)

er(x-t) y(r,t) t < x

e Д(г) , 1 — x,

e

r + y(r,t)

Д(г) t

„(r,t) = p(0) + J p\r )erT dT, 0

1

A(r) = /p(t)ertdt'

0

, t > x,

и множество

M = {f G C[0,1] : U(f) = Ui(f) = 0},

i

Ui(f) = p(1)f (1) - p(0)f (0) — J p (t)f (t)dt.

0

Лемма 1. Справедливы оценки, асимптотические nor при r ^ ж:

t

„(r, t) = O (£) , A(r) = O (£) , f p'(T)erTdT = O (£) .

0

Лемма 2. Справедлива двусторонняя оценка, асимптотическая по r при r ^ ж:

- ^(r) — II- rRr ik —у 2+^^

(r) = O(1). Доказательство. Пользуемся формулой

1/2

— rRr= J<a<a I ^ K2(x,t)dt

Используя оценки, приведенные в лемме 1, получаем утверждение леммы 2.

Согласно [1] для функций / (х) € Ми только для них выполняется сходимость

тЯг/ — / ||С ^ 0 при г ^ то. (1)

Теперь применим операторы — тЯг к функции / (х) и рассмотрим величину

Д(5, —гЯг.,/) = — т-Яг/б — /Ус[0,1] : у/г — /уь2 < 5}.

Из общей теории некорректно поставленных задач, леммы 2 и сходимости (1) следует

Теорема. Для любой /(х) € М сходимость

Д(5, —гЯг, /) ^ 0 при 5 ^ 0, т ^ то

выполняется тогда и только тогда, когда г = т(5) так, что т(5) ^ то и, (т(5))1/25 ^ 0 щи, 5 ^ 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ЕШ-ЩЗ.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. А., Хромова Г. В. Приближение непрерывных функций е интегральными граничными условиями // Современные методы теории функций и смежные вопросы : материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 25 янв, - 4 февр, 2011 г, Воронеж : Издательеко-полиграфичеекий центр Воронежского университета, 2011, С. 345.

УДК 517.51

Г. В. Хромова

О СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИИ С «РАЗМАЗАННЫМ» ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

В [1] доказана сходимость одного метода приближения непрерывной функции с интегральным условием:

1

и (/) = 1 р(г)/(гуи = 0, (1)

0

где р(£) € С 1[0,1], р(1) = 0 и при этом

1

J р(г)б,г = 0. (2)

0

ив