О скорости сходимости приближений непрерывных функций некоторым семейством разрывных Текст научной статьи по специальности «Математика»

алгоритмической разрешимости элементарных теорий классов универсальных гиперграфических автоматов и классов полугрупп.

Для класса гиперграфических автоматов К символом Inp(K) обозначается класс полугрупп вида Inp(A), где A £ К.

Теорема. Для любого класса универсальных гиперграфических автоматов над эффективными гиперграфами с p-определимыми К

К

то и элементарная теория класса полугрупп InpK наследственно неразрешима;

К

то и элементарная теория класса полугрупп InpK эффективно неотделима.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зыков Л.Л. Гиперграфы // УМН. 1974. Т. 29, № 6. С. 89-154.

2. Плоткин Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М,: Высш. шк,, 1994.

3.Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М,: Наука, 1980.

4.Хворостухина, Е.В. Об относительно элементарной определимости класса гиперграфических автоматов в классе всех полугрупп // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар, науч. конф, Саратов, Россия, 1-4 июля 2009г. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2009, С, 212-213,

УДК 517.51

A.A. Хромов

О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫМ СЕМЕЙСТВОМ РАЗРЫВНЫХ

В данной статье получена оценка погрешности приближения непрерывных функций семейством разрывных функций, построенных с помощью резольвенты оператора дифференцирования.

Рассматривается семейство операторов с разрывными образами:

Qr u = <

1

rj er(x-t)u(t)dt, x £ [0,1/2],

X (1)

rj e-r(x-t)u(t)dt, x £ [1/2,1].

Известно[1], что для любой функции и(х) € С[0,1] выполняется сходимость:

||0Г и — и У [0,1] ^ 0 при г ^ то,

где

11 • уь^[0,1] = тах{| • 11 с[0,1/2], у • ус[1/2,1]}.

Выясняется вопрос о скорости этой сходимости. Лемма 1. Справедливо равенство

0 Г 1 — е-г(1—х), х € [0,1/2], 0г 1 = \ 1 — е—гх, х € [1/2,1].

Лемма 2. Имеет место оценка |0ги — и| < |0ги — 0Г1 • и(х)||^_х|<Н + |0ги — 0Г1 • и(х)1+ |и(х)|е—г/2. При этом для х € [0,1/2]

х+Н

(0Г и — 0Г1 • и(х))|^—х|<Н = г ег(х—^(и(£) — и(х))^,

1

(0,u - ° b„(x)W = r/e^W) -

x+h

для x е [1/2,1]

(0ru - 0r 1 • u(x))|t_x|<h = rj e r(x t)(u(t) - u(x))dt,

x h x—h

и _ °1 • u(x))|í_xlíh = r¡ e-r<x-t>(u(t) _ u(x))a,

0

h — произвольное положительное число, не превосходящее 1/2.

Теорема 1. Для любой непрерывной на отрезке [0,1] функции u(x) справедлива оценка:

|0ги - и| < w(h) + 2||u||C[0j1]e-rh + |u(x)|e-r/2, где ¡x>(h) — модуль непрерывности функции u(x), 0 < h < 1/2.

x

1 2Kr

Теорема 2. Если u(x) £ LipM 1, то при h = h(r) = ~ ln справедлива оценка

. M, 2 Kr M r/2

u - u| < — ln —- + — + Ke-r/2, rMr

г<?е K = ||uMc[0д]> x £ [0,1] - любое.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-4383.2010.1) и гранта РФФИ (проект 10-01-00270).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов A.A. Приближающие свойства степеней резольвенты оператора дифференцирования // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2009, Т. 9, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 3, С, 75-78,

УДК 517.984

А.П. Хромов

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ С РАЗРЫВНОЙ ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ

Пусть А — интегральный оператор:

1

А/ = / А(ж, £)/(£) й, о

ядро которого есть

А(ж, £) = £ (!, ж) £(£, х) + £ (ж, 1) £(ж, £),

где £(ж,£) = 1 при £ < ж, £(ж,£) = 0 при £ > ж. Ядро А(ж,£) терпит разрывы при ж = £ и ж = Область значений оператора А, вообще говоря, разрывна при ж = 2. Мы рассмотрим задачу разложения по собственным функциям (в дальнейшем с.ф.) этого

А

задача на собственные значения нерегулярна по Биркгофу и сходимость разложений по с.ф. обеспечивается специальным функциональным соотношением, которому должна удовлетворять разлагаемая функция. Функциональные соотношения в нерегулярных краевых задачах использовались и ранее [1, 2].