О проблемах разрешимости элементарных теорий универсальных гиперграфических автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.53, 519.713

Е.В. Хворосту хина

О ПРОБЛЕМАХ РАЗРЕШИМОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЙ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ГИПЕРГРАФИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ

Рассматриваются так называемые гиперграфические автоматы, т.е. автоматы без выходных сигналов, у которых множества состояний наделены дополнительной алгебраической структурой гиперграфа. Это достаточно широкий и весьма важный класс автоматов, так как многообразие таких алгебраических систем охватывает, в частности, автоматы, у которых множества состояний являются плоскостями (например, проективными или аффинными), а также автоматы, у которых множество состояний разбивается на классы некоторой эквивалентности.

Данная статья посвящена исследованию проблем разрешимости элементарных теорий универсальных гиперграфических автоматов.

Согласно [1] гиперграфом называется система вида Н = (X, Ь), где X — непустое множество вершин гиперграфа и Ь — семейство произвольных подмножеств X, называемых ребрами гиперграфа. Вершины гиперграфа, принадлежащие некоторому его ребру, называются смежными. Гиперграф Н = (X, Ь) называется эффективным, если любая его вершина принадлежит некоторому ребру этого гиперграфа. Пусть р — произвольное натуральное число. Гиперграф Н будем называть гиперграфом с р-определимыми ребрами,

если в каждом его ребре найдется по крайней мере р + 1 вершина и, с

р

чем в одном ребре, т.е. каждое ребро однозначно определяется любыми р

Эндоморфизмом гиперграфа Н = (X, Ь) называется преобразование ^ множества вершин X, которое смежные в гиперграфе вершины переводит в смежные вершины этого гиперграфа, т.е. удовлетворяет следующему условию:

(V/ е Ь)(31' е Ь)((р(1) с У).

Н

композиции образует полугруппу Е^Н.

В настоящей статье под гиперграфическим автоматом понимается полугрупповой автомат без выходных сигналов [2] А = (X,S,5),

множество состояний которого X наделено такой структурой гиперграфа H = (X, L), что при любом входном сигнале s G S функция переходов 6s является эпдоморфизмом H. Например, для любого гиперграфа H алгебраическая система A = (H, EndH, 6) с функцией 6(^,ж) = ^>(ж), где G EndH х X, является гиперграфическим

автоматом, который обозначается Atm(H) и называется универсальным гиперграфическим автоматом.

Полугруппу входных сигналов автомата A = (X, S, 6) будем обозначать также Inp(A).

Пусть T — теория некоторой сигнатуры а. Согласно [3] теория T называется разрешимой, если существует эффективная процедура, позволяющая по любому предложению Ф сигнатуры а определить, принадлежит пли нет Ф теории T. Если теория T не является разрешимой, то она называется неразрешимой.

T

любая подтеория теории T той же сигнатуры а неразрешима.

Для формального языка L сигнатуры а символом Pl обозначим множество всех предложений этого языка. Для класса K алгебраических систем сигнатуры а символом Kfin обозначается класс конечных систем из K. Теория Th(K) называется эффективно неотделимой, если рекурсивно неотделимы множества Th(K) и Pl \ Th(Kfin), т. е. не существует таких непересекающихся рекурсивных множеств Ф, Ф С Pl, 4ToTh(K) С Фи PL \ Th(Kfin) С Ф.

Одним из важнейших методов доказательства неразрешимости теорий является метод относительно элементарной определимости [3].

Элементарная теория гиперграфических автоматов определяется в стиле аксиоматики Гильберта геометрии плоскости с помощью языка УИП с трехсортными переменными La, которые используются для обозначения входных сигналов автомата, состояний автомата и ребер гиперграфа состояний автомата. Формула Ф языка La истинна

A

A

этом автомате. Множество всех предложений языка La, истинных на

K

Th(K)

K

Построенная в [4] относительно элементарная интерпретация класса универсальных гиперграфических автоматов над эффективными гиперграфами с р-определимыми ребрами в классе полугрупп дает возможность проанализировать взаимосвязь важных проблем

алгоритмической разрешимости элементарных теорий классов универсальных гиперграфических автоматов и классов полугрупп.

Для класса гиперграфических автоматов К символом Inp(K) обозначается класс полугрупп вида Inp(A), где A £ К.

Теорема. Для любого класса универсальных гиперграфических автоматов над эффективными гиперграфами с p-определимыми К

К

то и элементарная теория класса полугрупп InpK наследственно неразрешима;

К

то и элементарная теория класса полугрупп InpK эффективно неотделима.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зыков Л.Л. Гиперграфы // УМН. 1974. Т. 29, № 6. С. 89-154.

2. Плоткин Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М,: Высш. шк,, 1994.

3.Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М,: Наука, 1980.

4.Хворостухина, Е.В. Об относительно элементарной определимости класса гиперграфических автоматов в классе всех полугрупп // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар, науч. конф. Саратов, Россия, 1-4 июля 2009г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 212-213.

УДК 517.51

A.A. Хромов

О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫМ СЕМЕЙСТВОМ РАЗРЫВНЫХ

В данной статье получена оценка погрешности приближения непрерывных функций семейством разрывных функций, построенных с помощью резольвенты оператора дифференцирования.

Рассматривается семейство операторов с разрывными образами:

Qr u = <

1

rj er(x-t)u(t)dt, x £ [0,1/2],

X (1)

rj e-r(x-t)u(t)dt, x £ [1/2,1].