Об эпиморфизмах гиперграфических автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

имеют место соотношения

Нш

Г—7>00

2 1

&(/,х) - V 71? - ^1 (т3,х)

^Т ^ 3

3=1

[е,1 -е]

= 0,

Нш

г

& (/,х) - ^ 723 - 1 ( т13, 3=3 ш3 ^

3 ,Х 2

[ 1 +е,1-е]

где г € (0,1)7 Бг(/, х) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора А для тех характеристических чисел А^ для которих |А& | < г; ~

ча-

компоненты матрицы Г Г 1БГ = Б1 = Лад(ш-1,... ,ш4); аг(/,х)

стичная сумма ряда, Фурье по системе |ег4п^ж} на отрезке [0, 2], при

г

таких к € Ъ7 что |к| < —; т^ — компоненты т1(х).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А.П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. еб. 2006. Т. 197, №11. С. 115-142.

УДК 519.53, 519.713

Е.В. Хворосту хина

ОБ ЭПИМОРФИЗМАХ ГИПЕРГРАФИЧЕСКИХ

АВТОМАТОВ

В настоящей статье рассматриваются так называемые гиперграфические автоматы без выходных сигналов, т.е. автоматы, у которых множества состояний наделены дополнительной алгебраической структурой гиперграфа. Это достаточно широкий и весьма важный класс автоматов, так как многообразие таких алгебраических систем охватывает, в частности, автоматы, у которых множества состояний являются плоскостями (например, проективными или аффинными).

Напомним [1], что гиперграфом называется система вида Н = (X, Ь), где X - непустое множество и Ь - семейство произвольных подмножеств X. Элементы множества X называются вершинами, а элемен-Ь

принадлежагцие некоторому его ребру, называются смежными. Гиперграф Н = (X, Ь) называется эффективным, если любая его вершина принадлежит некоторому его ребру.

Пусть р - произвольное натуральное число. Гиперграф Н будем называть гиперграфом с р-определимыми ребрами, если в каждом ребре этого

гиперграфа найдется, по крайней мере, р + 1 вершина и, к тому же, любые р его вершин принадлежат не более чем одному его ребру.

Например, эффективный гиперграф с 1-определимыми ребрами — гиперграф, ребра которого образуют нетривиальное разбиение множества вершин без одноэлементных классов. С другой стороны, как проективная плоскость, так и аффинная плоскость с числом точек более четырех являются эффективными гиперграфами с 2-определимыми ребрами, вершинами которых являются точки этих плоскостей, а ребрами — соответствующие прямые (см., напр., [2]).

Гомоморфизмом гиперграфа Н = (X, Ь) в гпперграф Н1 = (Х1,Ь\) называется отображение р множества X в множество Х1, которое смеж-

Н

Н1

(Vг е Ь)(3т' е Ь1)(р(г) С г').

Гомоморфизм / : Н —> Н1 называется сюръективным, если образом множества вершин X гиперграфа Н является все множество вершин Х1 гиперграфа Н1? т.е. /(X) = Х1.

НН Н

образует полугруппу EпdH.

Гиперграфы Н = (X, Ь) и Н1 = (^1,Ь1) называются изоморфными, если найдется такая биекция / множества X па множество X!, которая сохраняет ребра этих гиперграфов, т.е. выполняется

^У С X)(У е Ь ^ /(У) е Ь1).

Н Н.

Множество всех автоморфизмов с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образуют группу А^Н.

Для отображения / : X —> У обозначим /2 отображение X2 в У2, которое для (а,Ь) е X2 определяется по формуле: /2(а,Ь) = (/(а),/(Ь)). Тогда для любого преобразования р : X —> X выполняется /2(р) = = /-1Р/.

В настоящей статье под гиперграфическим автоматом понимается полугрупповой автомат без выходных сигналов [3] А = ^,3,6), множество состояний которого X наделено такой структурой гиперграфа Н = (X, Ь), что при любом входном сигнале в е S функция переходов д8 является эпдоморфизмом Н. Например, для любого гиперграфа Н

алгебраическая система A = (H, EndH, ö) с функцией ö(p,x) = р(х), где (р, x) G EndH х X, является гиперграфическим автоматом, который обозначается AtmH и называется универсальным гиперграфическим автоматом.

Эндоморфизмом гиперграфического автомата A = (H, S, ö) называется пара отображений п = (f, g), где f - эндоморфизм гиперграфа H, g _ эндоморфизм полугруппы EndH и для любых x G X, s G S выполняется равенство f (ö(x, s)) = ö(f (x), g(s)). Эндоморфизм п : A —> A называется автоморфизмом автомата A на автомат A, если f : H —^ H, g : S S - автоморфизмы.

Теорема 1. Пусть H = (X, L) - эффективный гиперграф cp - определимыми ребрами. Для универсального гиперграфического автомата AtmH = (H, EndH, ö) и эндомоморфизма п = (f, g) автомата AtmH следующие условия эквивалентны:

1) п = (f, g) - сюрьективный эндоморфизм AtmH;

2) g - сюръективный эндоморфизм EndH g = f2;

3) g - автоморф изм EndH g = f2;

4) п - автоморфизм автомата AtmH;

5) f - автоморфизм Hg = f2-

Следствие. Полугруппа сюрьективных эндоморфизмов автомата AtmH совпадает с группой автоморфизмов Aut(AtmH)7 которая изоморфна декартову произведению группы автоморфизмов AutH w группы, автоморфизмов Aut(EndH).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зыков A.A. Гиперграфы // УМН. 1974. Т. 29, №6. С. 89-154.

2. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М,: Мир, 1970.

3. Плоткин Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М,: Высш. шк,, 1994.

УДК 517.51

A.A. Хромов

АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ СТЕПЕНЯМИ РЕЗОЛЬВЕНТ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Получен метод нахождения приближений к гладким решениям интегрального уравнения, имеющего структуру уравнения второго рода и вырожденное ядро в ситуации, когда обратный оператор неограничен.