Относительно элементарная определимость класса универсальных упорядоченных полуавтоматов в классе полугрупп Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.4

С.А. Акимова

ОТНОСИТЕЛЬНО ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ КЛАССА УНИВЕРСАЛЬНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛУАВТОМАТОВ В КЛАССЕ ПОЛУГРУПП

В настоящей статье рассматриваются универсальные упорядоченные полуавтоматы Atm(X) = (X, End X, 6) с упорядоченным множеством состояний X = (X, <), полугруппой входных сигналов End X (состоящей из эндоморфизмов упорядоченного множества X) и функцией переходов 6(x,p) = p(x) (здесь x Е X, р Е End X). В статье [1] для универсальных упорядоченных полуавтоматов решена задача о конкретной характеризации [2]. Главным инструментом решения задачи конкретной характеризации универсальных упорядоченных полуавтоматов является техника канонических отношений полугрупп преобразований, которые определяются в исходных полугруппах формулами языка узкого исчисления предикатов. В настоящей статье с целью последовательного изучения взаимосвязи абстрактных и элементарных свойств универсальных упорядоченных полуавтоматов и их полугрупп входных сигналов доказана относительно элементарная определимость [3] класса таких полуавтоматов в классе всех полугрупп. Это дает возможность с помощью соответствующего эффективного преобразования формул элементарной теории полуавтоматов в формулы элементарной теории полугрупп получить следующие результаты:

1) исследовать вопрос о том, как универсальные упорядоченные полуавтоматы определяются своими полугруппами входных сигналов;

2) проанализировать взаимосвязь различных проблем разрешимости элементарных теорий классов полуавтоматов и классов полугрупп.

Следующий результат доказывает относительно элементарную определимость [3] класса универсальных упорядоченных полуавтоматов в классе всех полугрупп.

Теорема 1. Существуют такие формулы

M(x), D(x,y,z), P(u,v; x,y)

сигнатуры языка элементарной теории полугрупп , что для любого универсального упорядоченного полуавтомата А = ЛЬт(Х) с нетривиально упорядоченным множеством состояний X = (X, <х) и полугруппой входных сигналов Б = Еи(!Х выполняются следующие условия:

1) множество X = {х £ Б : М(х)} не пусто;

2) формула Б(х, у, г) задает тернарное отношение 6 С X х Б х X, удовлетворяющее условию

(х,у,г1), (х, у, г2) £ 6 г! = ¿2;

3) в полугруппе Б входных сигналов полуавтомата А найдутся такие элементы х0,у0, что формула Р(хо,уо; х,у) задает отношение порядка < на множестве X, для которого упорядоченный полуавтомат А = изоморфен универсальному упорядоченному полуавтомату А = А);

4) для любой формулы Ф языка элементарной теории упорядоченных полуавтоматов эффективно строится такая формула Ф языка элементарной теории полугрупп, что если Ф истинна на универсальном упорядоченном полуавтомате А, то формула Ф истинна на его полугруппе входных сигналов 1пр(А) и, с другой стороны, если Ф истинна на полугруппе 1пр(А), то на универсальном упорядоченном полуавтомате А истинна формула Ф или двойственная ей формула Ф.

Следующий результат показывает, как универсальные упорядоченные полуавтоматы абстрактно определяются своими полугруппами входных сигналов. Полученный результат непосредственно связан с известным результатом Л.М. Глускина.

Теорема 2. Пусть X!,X2 - упорядоченные множества, причем порядок на одном из множеств X!,X2 отличен от тождественного. Тогда для универсальных упорядоченных полуавтоматов А! = Atm(X!),A2 = А^^^ следующие условия эквивалентны:

1) полугруппы 1пр(А!), 1пр(А2) входных сигналов полуавтоматов А!,А2 изоморфны,

2) полуавтомат А! изоморфен полуавтомату А2 или двойственному для него полуавтомату А2.

Доказанная в теореме 1 относительно элементарная определимость класса универсальных упорядоченных полуавтоматов в классе полугрупп дает

возможность проанализировать взаимосвязь проблем разрешимости [3] элементарных теорий классов универсальных упорядоченных полуавтоматов и классов полугрупп.

Для формального языка L некоторой сигнатуры Q символом Pl обозначим множество всех предложений этого языка. Теория T языка L называется разрешимой, если существует алгоритм для решения вопроса, принадлежит или нет произвольное предложение из Pl теории T. В противном случае теория T называется неразрешимой. Теория T называется наследственно неразрешимой, если любая подтеория теории T той же сигнатуры Q неразрешима. Для класса K алгебраических систем сигнатуры Q символом Kfin обозначается класс конечных систем из K. Теория Th(K) называется эффективно неотделимой, если рекурсивно неотделимы множества Th(K) и Pl\Th(Kfin), т. е. не существует таких непересекающихся рекурсивных множеств Ф, Ф С PL, что Th(K) С Ф и PL \ Th(Kfin) с Ф.

Теорема 3. Для любого класса K универсальных нетривиально упорядоченных полуавтоматов справедливы следующие утверждения:

1 ) если элементарная теория класса K наследственно неразрешима, то и элементарная теория класса полугрупп Inp K наследственно неразрешима [3];

2) если элементарная теория класса K эффективно неотделима, то и элементарная теория класса полугрупп Inp K эффективно неотделима [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Акимова С.А. О характеризации упорядоченных автоматов// Социально-экономическое развитие России: Проблемы, поиски, решения: Сб. науч. тр. Саратов: Изд. центр Сарат. гос. соц.-экон. ун-та, 2005. Ч. 2. С. 105-106.

2. Визинг В.Г. Некоторые нерешенные задачи в теории графов// УМН. 1968. Т. 23, № 6. C. 117-134.

3. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980. 320 с.

УДК 519.4

Д.А. Бредихин

О МНОГООБРАЗИИ ДИСТРИБУТИВНЫХ РЕШЕТОК С ДОМИНО ОПЕРАЦИЯМИ

В статье находится базис тождеств многообразия дистрибутивных решеток, порожденного классом решеток бинарных отношений, оснащенных домино операцией над отношениями.