CC BY
12
при в ^ то. Итак, Sk = 0 и поэтому функция f = 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект МД-300.2011.1) и РФФИ (проект 10-01-00097).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Терехин П. А. О сходимости биортогоиальиых рядов по системе сжатий и сдвигов функций в пространствах Ьр[0,1] // Математические заметки, 2008, Т. 83, Вып. 5. С.'722 710.
УДК 519.713.2, 512.534
В. А. Молчанов
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ КЛАССА УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ В КЛАССЕ ПОЛУГРУПП
Под плоскостью [1] будем понимать систему вида П = (X, Ь), где X- непустое множество точек иЬ - семейство его подмножеств, именуемых прямыми, удовлетворяющее следующим аксиомам: (А1) через любые две точки проходит одна и только одна прямая; (А2) каждая прямая содержит по крайней мере три точки; (А3) в мпожестве X есть три точки, не лежащие па одной прямой. В частности, плоскость П = (X, Ь) является проективной, если любые две ее прямые имеют общую точку, и аффинной, если для любой прямой I £ Ь и любой точки х £ X \ I существует единственная прямая I' удовлетворяющая условиям х € V и I П I' = 0.
По определению [2] планарные автоматы являются структурированными автоматами А = ^^ 5*, X2, 6, А) с множеством состояний XI и множеством выходных сигналов X2, наделенными структурами плоскостей П1 = (XI, Ь1) и П2 = ^2,Ь2), полугруппой входных сигналов 5*, функцией переходов 6 : XI х S ^ XI и выходной функцией А : XI х S ^ X2, для которых при каждом фиксированном в € S преобразование 6(х, в) : XI ^ XI является эндоморфизмом плоскости П1 и отображение А(х, в) : X1 ^ X2 вляется гомоморфизмом плоскости П1 в плоскость П2.
Для любых плоскостей Щи П2 автом ат А = (П1, П2, 6, А) с полугруппой входных сигналов состоящей из всех пар в = эндоморфизмов ^плоское ти П1 и гомоморфи змов ^ плоское ти П1 в плоское ть П2, функцией переходов 6(х, в) = ^(х) и выходной фупкцией А(х, в) = ^(х)
(здесь х € Х\, в = £ 3) является планарным автоматом. Та-
кие автоматы обозначаются символом А1ш(Щ, П2) и называются универсальными планарными автоматами, так как их подавтоматы охватывают гомоморфные образы всех планарных автоматов.
Основной результат работы [3] показывает, что универсальные пла-нарные автоматы полностью определяются (с точностью до изоморфизма) своими полугруппами входных сигналов.
В настоящей статье доказана относительно элементарная определимость (см. [3]) класса универсальных планарных автоматов в классе всех полугрупп. Полученный результат дает возможность проанализировать взаимосвязь важных свойств элементарных теорий классов планарных автоматов и элементарных теорий классов полугрупп, таких как проблема элементарной эквивалентности алгебраических систем, проблема алгоритмической разрешимости элементарных теорий классов алгебраических систем и др.
Для описания свойств планарных автоматов А = = (П1,3, П2,5, А) на языке УИП будем рассматривать А в виде пятисортной алгебраической системы А = = ((Х1, Ь1, €1), (3, •), (Х2, Ь2, €1), 5, А) с пятью базисными множествами Х1,Ь1, 3, Х2, Ь2 и сигпатурой О = {€1, •, £2,5, А}. Напомним, что здесь Х1 и Ь1 (соответственно Х2 и Ь2) множества точек и прямых плоскости состояний П1 (соответственно плоскости выходных сигналов П2), 3 _ множество входных символов автомата А, £1 (соответственно, £2) — символ бинарного отношения принадлежности точек плоскости состояний П1 (соответственно плоскости выходных сигналов П2) ее прямым, • — символ бинарной операции полугруппы 3, 5 и А — символы бинарных операций функции переходов и выходной функции А
Элементарная теория планарных автоматов определяется в стиле аксиоматики Гильберта геометрии плоскости с помощью языка УИП с пя-тисортными переменными Ьд Алфавит такого языка состоит (1) из счетного множества индивидуальных переменных А, В,... (соответственно А', В ',...) для обозначения точек плоскости состояний (соответственно плоскости выходных сигналов) автоматов; (2) из счетного множества индивидуальных переменных а, Ь,... (соответственно а', Ь',...) для обозначения прямых плоскости состояний (соответственно, плоскости выходных сигналов) автоматов; (3) из счетного множества индивидуальных переменных в,Ь,.. для обозначения входных сигналов автоматов; (4) из двухместного предикатного символа €1 (соответственно £2)для обозначения отношения принадлежности точек плоскости состояний (соответственно
плоскости выходных сигналов) автомата ее прямым; (5) из двухместного функционального символа • для обозначения операции умножения полугруппы входных сигналов автоматов; (6) из двухместных функцио-
5А
функции автомата; (7) из конечного множества логических и технических символов, таких как —, Л, V, V, 3, =, (,).
Для языка Ьд термы трех сортов получаются обычным комбинированием символа • — с двумя переменными третьего сорта и символов 5 А
А, а, А', а', в, • £2, 5(£, £3), А(£, £3), где А и £ — переменная и терм первого
сорта, а — переменная второго сорта, в и £1,£2,£3 — переменная и термы А' а'
получаются термы 5(£,£3), £1 • ¿2 й А(£,£3) первого, третьего и четвертого сорта соответственно. Термами второго и пятого сорта являются индивидуальные переменные второго и пятого сорта, обозначающие прямые, соответственно плоскости состояний и плоскости выходных сигналов автоматов.
Атомарные формулы языка Ьд получаются обычным комбинированием символа = с двумя термами одного сорта, символа £1 — с термом первого сорта и термом второго сорта и символа €2 — с термом четвертого сорта и термом пятого сорта, т.е. это выражения вида£ = £', £1 £1 £2 и £4 €2 £5, где £, £' — термы одного и того же сорта и £ — термы ¿-го сорта (где г = 1, 2,4, 5). Формулы языка Ьд определяются по индукции обычным образом (см., например, [4]).
Полученная в работе [5] конкретная характеристика универсальных планарных автоматов позволяет доказать, что класс Аи1 всех универсальных планарных автоматов относительно элементарно определим [6] в классе всех полугрупп 8еш.
Теорема. Существуют такие формулы
2 (х), Ек (х,у), 1к (х), Еду^ (х,у), 1пвк (х,у)
сигнатуры языка элементарной теории полугрупп Ьз
(здесь и далее к = 1,2, х = (х1,х2), у = (уъу2)),
что любой универсальный планарный автомат
А = А1ш(П1, П2) над плоскостями П1 = (Х1,Ь1), П2 = (Х2,Ь2)
и его полугруппа входных сигналов 3 = 1пр(А) удовлетворяют следующим условиям:
1) множества 2 = {х € 3 : 2(х)} и Ьк = {х € 32 : Ьк(х)} не
пусты;
2) формула Ek(x, y) задает, отношение эквивалентности Ek на множестве Z с классами эквивалентности Ek(x) = [x]k для элементов x G Z;
3) формула Eqvk (x; y) задает отношение эквивалентности Eqvk иа множестве Lk;
4) формула Insk(x,y) задает бинарное отношение Insk между элементами множества Z и множества Lk, которое согласовано с эквивалент,ноет,ям,и, Ek, Eqvk по следующей формуле:
(x,y) G Insk Л x = u(Ek) Л y = ¿(Eqvk) (u, z) G Insk;
5) автомат A = Atm(ni, П2) изоморфен планарному автомату A = (Hi, S, #2,5, Л), где Hk = (Z/Ek, Lk/Eqvk, ), бинарное отношение Щ С Z/Ek х Lk/Eqvk для элементов X G Z/Ek, Y G Lk/Eqvk определяется по формуле
(X, Y) G ^^ (x, y) G Insk npw любых x G X, y G Y,
w отображения 5 : Z/E1 х S ^ Z/E1, Л : Z/E1 х S ^ Z/E2 для элементов x G Z, s G S определяются, no формулам
5([x]i, s) = [x • s]i, Л([x]l, s) = [x • s]2;
6) для любой формулы Ф сигнатуры языка элементарной теории планарных автоматов LA эффективно строится такая формула Ф сигнатуры языка элементарной теории полугрупп LS, что Ф в том и только том случае истинна на универсальном планарном автомате A, если форм,ула Ф истинна на его полугруппе входных сигналов Inp(A).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Картеси Ф. Введение в конечные геометрии, М, : Наука, 1980,
2, Плоткип Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов, М, : Высшая школа, 1994,
3, Molchanov V. A. A universal planar automaton is determined by its semigroup of input symbols // Semigroup Forum, 2011, Vol, 82, P. 1-9,
4, Молчанов В. А. Нестандартные многообразия топологических алгебраических систем // Известия РАЕН, Сер. МММИУ. 1999. Т. 3, № 1. С. 14-45.
5, Молчанов В. А. Конкретная характеристика универсальных планарных автоматов // Математика. Механика : Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 67-69.
6, Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М. : Наука, 1980.
