Об определяемости универсальных проективно-планарных автоматов полугруппами их входных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2т, причем m<L2n-]. Тогда вложение M в N невозможно при:

с

1 ) С) > 0, с2 < 0 ; 2) С] < 0, с2 < 0 и с2 < 4с ; 3) с, > 0, с2 > 0 и с2 S -. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Кибаяси LU., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 т. M Наука, 1981 Т.2

2 Ulsuki Т On the existence of solutions of a system of quadratic equations and its geometrical applications // Proc of Japan Acad 1953. Vol. 29 P 99-100

3 Cartan E. Sur les variétés de courbure conctante d'un espace euclidien ou non-euclidien//Bull Soc Math. France 1919 Vol 47 P 125- 160, 1920 Vol. 48. P 132-208

УДК 519 4

С. И. Ишииа

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПРОЕКТИВНО-ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ ПОЛУГРУППАМИ ИХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ'

В настоящей статье рассматривается задача об определяемое™ универсальных проективно-планарных автоматов (сокращенно Л-планарных автоматов) полугруппами их входных сигналов.

Под /'-плаиарным автоматом понимается полугрупповой автомат без выходных сигналов ^"(Л'.Г.б) с множеством состояний X, наделенным структурой проективной плоскости, полугруппой входных сигналов Г и функцией переходов 5. Важным примером /'-планарных автоматов является так называемый универсальный [1] Р-планарный автомат, обозначаемый АйпП=(П, Нпс1П, 5), где &(х,ф)=ф(л:) для хеХ, феЕпёП Таким автоматам в статье уделяется главное внимание, так как для всякого Р-планарного автомата А=(П, Г, 5) существует, и притом, единственный гомоморфизм по входным сигналам этого автомата в автомат АипП

Для описания на языке узкого исчисления предикатов (УИП) свойств Л-планарного автомата будем рассматривать такой автомат в виде трехсортной алгебраической системы А=((Х,Ь,е), Г, 5) с тремя основными множествами X, Ь, Г и сигнатурой П={е,5,х}, где Хи Ь - множества точек и прямых проективной плоскости, Г - множество входных сигналов автомата А, е - символ бинарного отношения принадлежности точек проективной плоскости её прямым, 5 - символ бинарной операции функции переходов автомата их- символ бинарной операции умножения полугруппы Г.

Работа выполнена при поддержке [NTAS, грант № 99-1224

61

Элементарная теория /'-планарных автоматов определяется в стиле аксиоматики Гильберта геометрии плоскости с помощью языка LA УИП с трехсортными переменными Алфавит такого языка состоит:

1) из счетного множества индивидуальных переменных 1-го сорта для обозначения точек проективной плоскости,

2) из счетного множества индивидуальных переменных 2-го copia для обозначения прямых проективной плоскости,

3) из счетного множества индивидуальных переменных 3-го сорта для обозначения входных сигналов автомата;

4) из двухместного предикатного символа е для обозначения отношения принадлежности точек проективной плоскости её прямым,

5) из двухместного функционального символа 5 для обозначения функции переходов автомата,

6) из двухместного функционального символа х для обозначения операции умножения входных сигналов автомата,

7) из конечного множества логических и технических символов, таких как -л, л, v, =>, <=>, V, 3, = , (,).

Обычным образом [2] с помощью функциональных символов 5 и х определяются термы трех сортов, и с помощью символа = и предикатного символа е определяются атомарные формулы языка LA Затем с помощью атомарных формул по индукции [2] определяются формулы языка La.

Интерпретируется язык LA в Р-планарном автомате А=(П, Г, 6), рассматриваемом как трехсоргная алгебраическая система A=((X,L,e), Г, 5), с помощью тройки отображений (/ь/2,/3), которые отображают множества индивидуальных переменных 1, 2 и 3-го сортов в множества X, 1. и Г соответственно. Предикатный символ е интерпретируется как отношение принадлежности точек проективной плоскости её прямым Функциональный символ 8 интерпретируется как функция переходов автомата. Функциональный символ х интерпретируется как умножение элементов полугруппы Г. Остальным (техническим и логическим) символам языка LA придается их обычное значение Также обычным образом (по индукции) определяется истинностное значение формул этого языка В результате каждая формула языка La образует утверждение (истинное или ложное) о Р-гтланарном автомате А=(П, Г, Ô).

Формула Ф языка LA истинна на /Митнарном автомате А, если при любой интерпретации этого языка в автомате А она образует истинное утверждение об этом автомате.

Основной результат статьи показывает, что класс всех универсальных /'-планарных автоматов относительно элементарно определим [2] в классе всех полугрупп Г.

ТЕОРЕМА 1. Существуют такие формулы

С(х), L{x), Eqv(x,n Ins{x,y)

языка Ls элементарной теории полугрупп (где л=(*|Л), У-(У\лУг)), что для любого универсального Р-планарного автомата с множеством состояний П=(Х^) полугруппа входных сигналов r=F,ndFI удовлетворяет следующим условиям:

1) множества ЛГ={хеГ: С(х)} и ¿={х еГ2: L(x)} не пусты;

2) формула Eqv(x ,у) задает отношение эквивалентности е на множестве L ;

3) формула Ins(x, у) задает бинарное отношение р между элементами множеств X и L , которое согласовано с эквивалетностью е по следующей формуле:

(х, х)е р л хшу (е) => (х, у) ер,

4) проективная плоскость П=(Х£,е) изоморфна трехсортной алгебраической системе П =(X,L /е, ц) с бинарным отношением ц сXх L /г, которое для элементов хеХ, YeL/z определяется по формуле

(х, У)е (.i <=> (х, х )ер при любых х еУ,

5) для любой формулы ¥ языка LA эффективно строится такая формула Ф языка Ls, что 4* в том и только в том случае истинна на универсальном Р-планарном автомате А, если формула Ф истинна на его полугруппе входных сигналов, т. е. выполняется условие

А (=ТоГ (=Ф.

Данная теорема позволяет решить следующие задачи:

ТЕОРЕМА 2. Универсальные Р-планарные автоматы /4|=(rii,Endrii,Si) и Л2=(П2,Еп<1П2,82) совпадают тогда и только тогда, когда совпадают полугруппы их входных сигналов

ТЕОРЕМА 3. Универсальные Р-планарные автоматы )=(П 1 ,Endn| ,5|) и /bKrb.Endn^) изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы их входных сигналов

ТЕОРЕМА 4 Если для универсальных Р-планарных автоматов /Ji=(n],Endri|,5i) и /42=(n2,Endn2,52) полугруппы их входных сигналов элементарно эквивалентны, то сами автоматы А\ и Аг также элементарно эквивалентны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Ппоткин Б.И , Гринглаз ЛИ, ГварамияАА Элементы алгебраической теории автоматов М : Высшая школа, 1994

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Плоткин Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия А А Элементы алгебраической теории автоматов М : Высшая школа, 1994

2. Ершов ЮЛ Проблемы разрешимости и конструктивные модели М Наука,

1980.

УДК 519.21

С. И. Козлова, В. Н. Михайлов

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ ОДНОРОДНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

1. Рассмотрим однородную цепь Маркова с конечным числом состояний п и матрицей перехода вероятностей Р - I,] = \,п , где /7у ^ 0 - вероятность перехода из состояния ; в состояние ] , и

2></=1 у=1

Пусть х1 (к) - вероятность перехода за к шагов из начального состояния в состояние ¡, х(к) - вектор-столбец с компонентами 0. Для известного начального распределения вероятностей д:(0) вектор х(к) при любом к можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения [1]

х(к + \)=РТх{к), Л = 0,1,2,..., (1)

Р1 - матрица, транспонированная к Р. Пусть а - некоторый /7-мерный вектор-столбец, а е - л-мерный вектор, компоненты которого равны 1 Запишем (1) в эквивалентной форме

х(к + \) = [рт -~аеТу(к)+аеТх{к).

Так как еТх(к)= *,(&)+ х2(к)+ ■■■ + *„(£)= 1, то

]с(* + 1)=Дх(*)+а, В = Рт-ае (2)

Применяя (2) при к - 0,1,2,..., получаем

х(£ + 1)=й*+1х(о) + (й* + Вк~х +- + Е)а, (3)

где Е - единичная матрица.

Цепь Маркова называется эргодическои, если х(к)-^х при к—>оо для любого начального распределения вероятностей состояний х(0); век-