О строении морфизмов категории универсальных планарных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.713.2, 512.534

В. А. Молчанов

О СТРОЕНИИ МОРФИЗМОВ КАТЕГОРИИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ

В работе рассматриваются автоматы над категорией конечных проективных плоскостей.

Под автоматом [1] понимается алгебраическая система А = = 3, В, 6, Л), состоящая из множества состояний Q, полугруппы входных символов 3, множества выходных символов В, функции переходов 6 : 3 х Q ^ ^ ^ выходов Л : 3 х Q ^ В, для которых при любых значениях д € Q, в1,в2 £ 3 выполняются равенства: 6(д, з^) = 6(6(д, в2), Л(д, в^) = Л(6(д, в\), в2). Для каждого входного символа в € 3 определяются функция переходов 65 : Q ^ Q и функция выходов Л5 : Q ^ В то формулам: 68(х) = 6(х,в) и ЛДх) = Л(х,в), где х € Q.

Под проективной плоскостью [2] понимается система вида П = = (X, Ь), где X - непустое множество точек и Ь - семейство его подмножеств, именуемых прямыми, удовлетворяющее следующим аксиомам: (Аг) через любые две точки проходит одна и только одна прямая; (А2) каждая прямая содержит по крайней мере три точки; (А3) в множестве X есть три точки, не лежащие на одной прямой; (А4) любые две

П

конечно ее множество точек.

Пусть П = (X, Ь), П' = (X', Ь') - проективные плоскости. Отображение р : X ^ X' называется гомоморфизмом П в П' и обозначается р : П ^ П', если оно прямые плоскости П отображает в прямые плоскости П'. При этом гомоморфизм р называется эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом) плоскости П на плоскость П', если

р(П) = П' (соответственно, если р - биекция X па X', которая сохра-

П П'

обозначим Нот(П, П').

Множество всех конечных проективных плоскостей образует категорию Р1, морфпзмамн которой являются гомоморфизмы таких плоскостей [3].

Следуя [1], автомат А = ^,3, В, 6, Л) называется автоматом над категорией Р1, если его множество состояний Q и множество выходных сигналов В наделены такими структурами плоскостей Пд = = Ьд), Пв = (В, Ьв), что Пд, Пв являются объектами категории Р1

и все отображения 5s,Xs (s £ S) являются морфизмами категории Pl. Такой автомат будем называть также планарным автоматом и символически обозначать A = (Пд, S, Пв, 5, Л).

Гомоморфизмом планарного автомата A = (ng,S, Пв, 5, Л) в пла-нарный автомат A' = (Пд/, S', Пв/,5', Л') называется упорядоченная тройка y = (f, п, g), состоящая из гомоморфизмов f : Пд ^ Пд/, п : S ^ ^ S', д : Пв ^ Пв/, для которых при любых значениях q £ Q, s £ £ S выполняются равенства: f(5(q,s)) = 5'(f(q),n(s)), g(Л(q,s)) = = Л'^(q),n(s)). Гомоморфизм y = (f,п,д) называется эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом) автомата A на автомат A', ес-

f, п, g

изоморфнзмами).

П

П

зует полугруппу End П. Для проективных плоскостей П, П' обозначим S(П, П') полугруппу с основным множеством EndП х Нот(П, П') и операцией умножения (см. [1]) • (^>1,^1) = (^1,^1), где £ £ End П и £ Нот(П, П').

Для любых проективных плоскостей Пд = (Q,Lg),Пв = (B,Lb) автомат A = (Пg,S(Пд, Пв), Пв, 5, Л) с полугруппой входных сигналов S(Пд,Пв), функцией переходов 5(q,s) = ^(q) и выходной функцией Л^^) = ^(q) (здесь q £ Q и s = £ S(Пд,Пв) ) является планарным автоматом и обозначается Л1т(Пд, Пв). Такие автоматы называются универсальными планарными автоматами (см. [1]), так как их подавтоматы охватывают гомоморфные образы всех планарных автоматов. Основной результат работы [4] показывает, что универсальные планарные автоматы полностью определяются (с точностью до изоморфизма) своими полугруппами входных сигналов.

Класс универсальных планарных автоматов образует категорию Kpi, морфизмами которой являются гомоморфизмы таких автоматов. Важность изучения таких морфизмов определяется тем, что гомоморфизмы автоматов играют важную роль в задачах моделирования автоматов, минимизации автоматов, факторизации автоматов и многих других.

Kpi

Atm (Пд, Пв), которые определяются парой объектов Пд, Пв

Pl

S(Пд, Пв) категории полугрупп Sg, морфизмами которой являются гомоморфизмы таких полугрупп. Морфизмами ка-Kpi

Y = (f,п,д) : ЛШ(Пд, Пв) ^ Atm (Пд/, Пв/), которые состоят из

гомоморфизмов проективных плоскостей / : Пд ^ Пд/, д : Пв ^ Пв' и гомоморфизма полугрупп п : 3(Пд, Пв) ^ 3(Пд/, Пв'). Легко видеть, что соответствие

^ : АШ (Пд, Пв) ^ 3(Пд, Пв), 7 = (/,п,д) ^ п

определяет ковариантный функтор (см. [3]) категории универсальных планарных автоматов Кр1 в категорию полугрупп Sg. Этот функтор позволяет исследовать свойства категории Кр1 с помощью изучения категории Sg. Так, основной результат работы [4] дает описание строения изоморфизмов категории Кр1 и показывает, что функтор ^ устанавливает взаимно однозначное соответствие между изоморфизмами универсальных планарных автоматов и изоморфизмами полугрупп входных сигналов таких автоматов. В настоящей работе исследуется строение эпиморфизмов категории Кр1, устанавливается взаимосвязь между эпиморфизмами универсальных планарных автоматов и морфизмами полугрупп входных сигналов таких автоматов и доказывается, что все такие эпиморфизмы являются изоморфизмами.

Теорема 1. Пусть Пд, Пв, Пд/, Пв/ - конечные проективные плос-3, 3'

ных автоматов А1т (Пд, Пв), А1т (Пд/, Пв/) над плоскостями Пд, Пв и Пд/, Пв/ соответственно. Тогда, от,ображение п : 3 ^ 3' б том и

3

пу 3', если найдутся такие изоморфизмы / : Пд ^ Пд/ и д : Пв ^ Пв/,

что для каждого входного символа в = (р,^) € 3 значение п(в) опре-

-1 -1

деляется по формуле: п(в) = п(р,^) = (/ р/, / ^д).

Доказательство этой теоремы опирается на технику работы [4] и следующий результат.

Теорема 2. Пусть П = (X, Ь), П' = (X', Ь') - конечные проек-

П

П'

С помощью этих теорем доказывается основной результат настоящей работы.

Теорема 3. Пусть Пд, Пв, Пд/, Пв/ - конечные проективные плоскости, А1т(Пд, Пв), А1т (Пд/, Пв/) - универсальные планарные автоматы над плоскостями Пд,Пв и Пд/,Пв/ соответственно и 7 = (/,п,д) - эпиморфизм автомата А1т(Пд,Пв) на автомат А1т (Пд/, Пв/). Тогда, справедливы следующие утверждения:

1) отображения / : Пд ^ Пд/ ,д : Пв ^ Пв/ являются изоморфизмами проект,иены,х плоскостей и отображение п : 3(Пд, Пв) ^

^ S(Пд/, Пв/) является изоморфизмом полугрупп, для которого

при, любых £ S(Пд, Пв) выполняется равенство: ) =

-1 -1 = (f , f ^д);

2) упорядоченная тройка отображений y = (f, п,д) является изоморфизмом автомата Atm (Пд, Пв) на автомат Atm (Пд/, Пв/).

Kpi

физмами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Плоткип Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов, М, : Высш. шк,, 1994, -191 е,

2, Картеси Ф. Введение в конечные геометрии, М, : Наука, 1980, -320 е,

3, Кон П. Универсальная алгебра, М, : Мир, 1968, -359 с,

4, Molchanov V. A. A universal planar automaton is determined by its semigroup of input symbols // Semigroup Forum, 2011, Vol, 82, P. 1-9,

УДК 519.7

В. E. Новиков

ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ КОНЦЕПТОВ В КОНТЕКСТЕ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ МНОЖЕСТВАМИ АТРИБУТОВ

В работе представлен алгоритм вычисления множества оптимальных концептов однозначного контекста с линейно упорядоченными множествами атрибутов.

Пусть задан однозначный контекст K = (G, (Mi), р), где G - конечное множество объектов |G| > 2, (Mi) - семейство конечных линейно упорядоченных множеств атрибутов |Mi|> 2, 1 < i < n, с порядка ми <i5 и р _ некоторое (n + 1)-арпое отношение. Тогда любое Mjk (jk С n) можно рассматривать как упорядоченное множество с порядком <jk, для которого:

%k = (аЛ , ..., ajk) <3k bJk = (bji, ..., ) ^ j <ji bji Л ... Л ajk <jk bjk.

Ясно, что порядок <jfc в общем случае не является линейным. Этот порядок естественным образом индуцирует изоморфный порядок на множестве концептов G/jk:

(%fc) <jk (bjfc) ^ % <Jk bh.