Аппроксимация непрерывных функций степенями резольвент оператора дифференцирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

алгебраическая система A = (H, EndH, ö) с функцией ö(^>,x) = ^>(ж), где (^>, ж) Е EndH х X, является гиперграфическим автоматом, который обозначается AtmH и называется универсальным гиперграфическим автоматом.

Эндоморфизмом гиперграфического автомата A = (H, S, ö) называется пара отображений п = (f, g), где f - эндоморфизм гиперграфа H, g _ эндоморфизм полугруппы EndH и для любых ж Е X, s Е S выполняется равенство f (ö(x, s)) = ö(f (ж), g(s)). Эндоморфизм п : A —^ A называется автоморфизмом автомата A на автомат A, если f : H —^ H, g : S S - автоморфизмы.

Теорема 1. Пусть H = (X, L) - эффективный гиперграф cp - определимыми ребрами. Для универсального гиперграфического автомата AtmH = (H, EndH, ö) w эндомоморфизма п = (f, g) автомата AtmH следующие условия эквивалентны:

1) п = (f, g) - сюрьективный эндоморфизм AtmH;

^ g - сюрьективный эндоморфизм EndH g = f2;

3) g - автоморфизм EndH g = f2; п - автоморфизм авт,омата AtmH; f _ автоморфизм Hg = f2-

Следствие. Полугруппа сюрьективных эндоморфизмов автомата AtmH совпадает с группой автоморфизмов Aut(AtmH)7 которая изоморфна декартову произведению группы автоморфизмов AutH и группы автоморфизмов Aut(EndH).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зыков A.A. Гиперграфы // УМН. 1974. Т. 29, №6. С. 89-154.

2. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М,: Мир, 1970.

3. Плоткип Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М,: Высш. шк,, 1994,

УДК 517.51

A.A. Хромов

АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ СТЕПЕНЯМИ РЕЗОЛЬВЕНТ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Получен метод нахождения приближений к гладким решениям интегрального уравнения, имеющего структуру уравнения второго рода и вырожденное ядро в ситуации, когда обратный оператор неограничен.

В данной статье продолжено исследование приближающих свойств резольвенты оператора дифференцирования [1]. Рассмотрим операторы:

П(А) ( х е [0,1/2], г \ "1?, х е [1/2,1],

где

1

и = г / ег(х-£)и(;£}^.

Лемма 1. Операторы "2Г7 г = 1, 27 имеют, вид

X

"ь- = г"! е-(х-%т„ (1)

0

1

"2г = г" У ^^к-1 ег(х-£)и(^. (2)

X

Доказательство. Для к = 2 имеем

х £

и = г2 У е-г(х-^ У е-г(£-т)и(т}^т = 00

= г2е-гх / <Й } еГТи(тМт = А"" / еГТи(т^ / <Й =

0 0 0 т

= г2е-гх I (х - т}егти(т}^т = г2 / (х - т}е-г(х-т)и(т}^т.

00 Заменив обозначение т на получим (1) при к = 2.

Методом математической индукции получим формулу (1) для любого к.

Аналогично получается формула (2) для "2ги.

Лемма 2. Если, и е Сь[0,1], то операторы "2г7 г = 1,27 имеют представление

г" 1 1е гх 1

и =--————и(0} + и - и', (3)

(к - 1}! г

"кг и

г"-1 (1 _ х}"-1е-г(1-х) 1

г (1 -е—и(1}+"2г-1и+1""ги',

(к -1}! у у 2г г 2г

к2

к=2

"2Ги = гЧ (х - ¿}е-г(х-£)и(^}^^.

Интегрируем по частям:

(4)

" 1г и

г21 1[е-г(х-£) (х - *}и(*}] 1 [ е-г(х-£)[-г 0 г ]

0

[—и(^} + ((х -

=г

-хе-гхи(0} + е-г(х-£)и(£}^ - е-г(х-£)(х - ¿}и'(г}^

1

= -гхе гхи(0} + "1ги--"1Ги'.

Методом математической индукции доказываем формулу (3). И точно также получается формула (4).

Лемма 3. Для и(х} е С[0,1] справедливы соотношения:

|""ги - и||с[е,1] ^ 0 прм г ^ то, к = 1, 2,...;

(5)

|""ги - и||с[0,1-£] ^ 0 прм г ^ то, к = 1, 2,...

(6)

Доказательство. Для к = 1 соотношение (5) доказано в лемме 1 из работы [3]. Пусть к > 2, а и(х} е С2[0,1] Обозначим ^(г, х} = -г хЦ гх. Из (3) имеем

""ги - и|с[е,1] < ||^2-1(г,х}и(0}|с[е,1] + ||""г 1 и - и||с[£,1] +

+

"кг и

г

С[е,1]

< ||^2-1(г,х}и(0}|с[е,1] + ||^2-2(г,х}и(0}|с[е,1] +

+ ••• + ||^1 (г,х}и(0}|с [е,1] + ||"1г и - и||с [£,1] +

и

г

+

с [е,1]

х

х

х

х

+ ^ 1 г и + • • + г и

г с[е,1] г

с [е,1]

Далее, поскольку ^(г, ж) < г1 е—ге па отрезке [г, 1], то сумма слагаемых, содержащих функции (г, ж), / = 1,...,к — 1, имеет оценку О(г1—1е—ге||и||с[о;1]) Далее, ||^1ги — и||С[ед] ^ 0 при г ^ то для любой и(ж) е С[0,1].

Осталось показать, что слагаемые, содержащие и'(ж), могут быть как угодно малыми при г ^ то, если и(ж) е С1[0,1], т.е. что || 1 и'||^[е 1] ^ ^ 0 при г ^ то для / = 2,..., к.

Пусть / = 2. Тогда из (1.16) с заменой и на и' получим

и' = —же—гхи'(0) + и' — -1

г г г 2

Легко убедиться, что 1 и' и и'' имеют оценку О (1).

г

^ и' = 1 1(г,ж)и'(0) + 1 и' — -^г и''. (7)

г г г 1г г^ 1г

Из (1) имеем

X

'и' = г/—2/ е—г<х—'> и'(()А, (8)

о

х I 1

1 о/ „.// „„/-2 —г(х—(ж — 0

4и'' = г/—22 е—г(х—^ (ж и''(^. (9)

г2 ] (/ — 1)!

о

Берем интегралы в правых частях (8) и (9) по частям, каждый раз "перебрасывая"производную на функцию и'(£) в (8) и функцию и''(£) в

г

х

грируем / — 2 раза. Тогда в (8) мы придем к интегралу / е—г(х—^и(/—

о

х

а в ^ _ к интегралу / е—г(х—^(ж — £)и(/)(£)^£, которые имеют оценки

о

О (1 ||и(/—1)|с[0;1^ и О (1 ||и(/) ||с[0;1]) соответственно.

Подстановки, которые получаются при интегрировании, будут состоять из функций ^то(г, ж) т = 1,..., / — 3 в формуле (8); т = 1,..., / — 2 в

и(ж)

до (/ — 2) -го порядка включительно в формуле (8); до (/ — 1) -го порядка включительно в формуле (9). Общая сумма этих подстановок и первого

слагаемого, стоящего в правой части выражения (7), будет иметь порядок r1-1e-r£ на отрезке [г, 1].

Из вышесказанного следует, что соотношения (5) выполняются для любой u(x) Е C1[0,1]. Но множество функций, k раз непрерывно дифференцируемых, всюду плотно в пространстве C [0,1] по теореме Вейер-штрасса.

Далее, нормы операторов рассматриваемых как операторы из C[0,1] в C[г, 1], ограничены константами, не зависягцими от г, поскольку

ll^lrul|c [£,1] = ll^lr (^k-1)u||c [£,1] = ll^lr ... (^1ги)Ус[£,1] < | |uN C [0,1].

По теореме Банаха — Штейнгауза соотношение (5) справедливо для любой u Е C[0,1].

Аналогично доказывается сходимость (6).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов A.A. Решение интегральных уравнений е помощью резольвент простейших дифференциальных операторов // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2009, Т. 9, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 1, С, 52-58,

УДК 517.984

А.П. Хромов

ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С РАЗРЫВНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

Обозначим через Ь оператор: Ьу = р(х}у'(х}, х е [0,1], р(х} = а при х е [0,1 ], р(х} = & при х е [ 1, 1], а > 0 & > 0, с краевым условием:

у(0} = у(1}.

В настоящей статье получена теорема равносходимости разложений

Ь

тригонометрический ряд Фурье и аналог теоремы Жордана - Дирихле.

В случае знакопеременной р(х} оператор Ь изучался в работе [1]. А для самосопряженного оператора Штурма - Лиувилля с разрывной весовой функцией В.А. Ильин [2] получил теорему равносходимости в точке разрыва, а Н.П. Купцов [3, с. 201-205] получил аналог теоремы Дирихле.

Пусть у = Яд/ = (Ь - АЕ}-1/, где А — спектральный параметр, Е — единичный оператор. Тогда

Р(х}у'(х} - АУ(х} = /(х^ (1}