CC BY
10
Согласно [1] для функций /(х) € Мн только для них выполняется сходимость
тЯг/ — /||С ^ 0 при г ^ ж. (1)
Теперь применим операторы — гЯг к функции /5 (х) и рассмотрим величину
—гЯг, /) = — гЯг/5 — /Ус[0,1] : у/5 — /уь2 < 5}.
Из общей теории некорректно поставленных задач, леммы 2 и сходимости (1) следует
Теорема. Для любой /(х) € М сходимость
Д(5, —гЯг, /) ^ 0 при 5 ^ 0, г ^ ж
выполняется тогда и только тогда, когда г = г(5) так, что г(5) ^ ж и (г(5))1/25 ^ 0 щи, 5 ^ 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ЕШ-ЩЗ.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А. А., Хромова Г. В. Приближение непрерывных функций е интегральными граничными условиями // Современные методы теории функций и смежные вопросы : материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 25 янв, - 4 февр, 2011 г, Воронеж : Издательеко-полиграфичеекий центр Воронежского университета, 2011, С. 345.
УДК 517.51
Г. В. Хромова
О СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИИ С «РАЗМАЗАННЫМ» ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ
В [1] доказана сходимость одного метода приближения непрерывной функции с интегральным условием:
1
и (/) = у р(г)/(гуи = 0, (1)
0
где р(1) € С 1[0,1], р(1) = 0 и при этом
1
J р(г)б,г = 0. (2)
0
ив
В данной статье снято ограничение (2). Указанный выше метод конструируется с помощью семейства операторов вида —гЯг (Ь), где Яг (Ь) -резольвента оператора дифференцирования с граничным условием (1), г > 0 - спектральный параметр. Условие (2) является ключевым в доказательстве сходимости.
|| — гЯгI — I||с ^ 0 при г ^ ж (3)
для функций I(х) го класса М, где
М = {I(х) е С[0,1]: и(I) = 0,и(I) = 0},
1
и (I ) = р(1)1 (1) — р(0)1 (0) — [ Р'(1)! т.
Мы здесь ограничимся доказательством леммы, позволяющей полу-
1
чить сходимость (3), если / р(Ь)(И = 0.
о
Лемма. Если р(Ь) е С[0,1] и не равна тождественно нулю, то существует ц > 0 такое, что
1
[ р(г)в^а = 0. (4)
Доказательство. От противного: пусть интеграл в левой части (4) равен нулю при любом ц > 0. Обозначн его через Г(ц). По теореме единственности аналитической функции Г(ц) = 0 при любом комплексном ц.
А по теореме единственности разложения в степенной ряд функции Г (ц)
1
коэффициенты этого ряда равны нулю, т.е. /р(г)гка = 0, к = 0,1,...
о
1
Значит, /р(г)Р(Ь)(И = 0, где Р(£) - любой многочлен. о
По теореме Вейерштрасса, существует последовательность многочле-
1
нов Рп(Ь), сходящаяся кр(Ь) в равномерной метрике. Из /р(Ь)Рп(Ь)(И = 0
о
1 1 следует, что Нш Гр(1)Рп(1)сИ = 0. Отсюда получаем Гр2(£)(£ = 0, а зна-
о о
чит, р(Ь) = 0, что противоречит условию леммы.
Отправляясь от этой леммы, мы повторяем схему доказательства теоремы о сходимости (3) в [1], заменяя всюду условие (2) условием (4), и приходим к теореме:
Теорема. При p(t) € C 1[0,1], p(t) = 0 для сходимости (3) необходимо и достаточно, чтобы п € M.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ИШ-ЩЗ.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А. А., Хромова Г. В. Приближение непрерывных функций е интегральными граничными условиями // Современные методы теории функций и смежные вопросы : материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 25 янв, - 4 февр, 2011 г, Воронеж : Издательеко-полиграфичеекий центр Воронежского университета, 2011, С. 345.
УДК 517.518
Т. С. Чикина
ПРИБЛИЖЕНИЕ СРЕДНИМИ ЗИГМУНДА — РИССА В р-ВАРИАЦИОННОЙ МЕТРИКЕ
Пусть 1 < р < ж, /(х) — измеримая, ограниченная, 2п—периодическая функция и £ = {х0 < х1 < ... < хп = х0 + 2п} - разбиение периода.
п
Введем р-вариационную сумму кР(/) = (Х^ I/(хг) — /(хг—1 )|р)1/р, и р-ва-
? г=1
риационные модули непрерывности [1J:
i (f,6) = sup Kp(f), | = max (x¡ - хг -i),
i (f,6)= sup 1 (Ah-1f (x), h), k e N, k ^ 2.
p o<h^s p
Здесь Ahf (x) = f (x + ¿^.Пространство Cp функций f,
удовлетворяющих равенству lim Wi_i(f',6) = 0, является банаховым с
s^o+ p
нормой ||f ||cp = max(||f i(f, 2n)), где ||f ||TO = sup |f (x)|. Если
p p xeR
f (x) имеет ряд Фурье а0/2 + ^°=1(ai cos ix + bi sin ¿x), то
Zk(f )(x) = a0/2 + ^(1 - ik/(n + 1)k)(ai cos ix + bi sin ix)
i=i
