CC BY
30Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск б, 1999
УДК 515.12
О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ,
ДЛЯ КОТОРЫХ еХ = (ЗХ
К. В. Матюшичев
В статье показано, что класс вполне регулярных пространств X, для которых наибольшая полу регулярная е-компактифика-ция еХ совпадает с расширением Стоуна—Чеха /ЗХ, не замкнут относительно операций взятия сумм, прямых произведений и перехода к подпространству. С помощью пространств этого класса установлены некоторые свойства е-компактификации еХ. Вводится также счетная регулярность пространств, которая, подобно е-компактифицируемости, является усилением регулярности.
Введение
Рассматриваются только хаусдорфовы пространства. Расширение У пространства X называется е-компактификацией пространства X, если из любого открытого покрытия пространства У можно выделить конечное подсемейство, покрывающее X. Пространства, обладающие е-компактификациями, называются е-компактифицируемыми. В [1] К. П. Харт и Дж. Вермеер показали, что е-компактифицируемые пространства занимают промежуточное положение между вполне регулярными и регулярными пространствами. Для каждого е-компак-тифицируемого пространства можно определить наибольшую полу-регулярную е-компактификацию еХ, обладающую следующим характеризующим ее свойством: для каждой полурегулярной е-компактификации аХ найдется ^-непрерывное отображение (р : еХ —> аХ, тождественное на X. В [1] показано, что не для всех вполне регулярных пространств выполнено равенство еХ = /ЗХ, и тем самым
© К. В. Матюшичев, 1999
выделен новый класс вполне регулярных пространств, для которых это равенство выполняется. В [2] А. В. Иванов описал для произвольного вполне регулярного пространства X все его полурегулярные е-компактификации У, в которых оно ^-вполне регулярно, то есть для любой точки у Е У пространство {у} и X вполне регулярно. В [3] автор показал, что для вполне регулярного пространства выполнено равенство еХ = /ЗХ в том и только в том случае, если оно ^-вполне регулярно в любой своей е-компактификации. С помощью этой характеристики в данной работе установлено, что свойство еХ = (ЗХ не сохраняется при взятии (бесконечных) сумм, прямых произведений и переходе к подпространству. На простом примере показано также, что х-нормальность (то есть отделимость дизъюнктными окрестностями дизъюнктных канонических замкнутых множеств), фигурировавшая в [1] как достаточное условие равенства еХ = /ЗХ, не является его необходимым условием. Пространства, для которых еХ = (ЗХ, позволяют легко усмотреть некоторые свойства операции взятия наибольшей полурегулярной е-компактификации, определенной для любого, не обязательно вполне регулярного, е-компактифицируемого пространства. Поскольку е-компактифицируемые пространства занимают промежуточное положение между регулярными и вполне регулярными пространствами, имеет смысл рассматривать другие классы пространств с тем же свойством: установление связей между ними и е-компактифицируемыми пространствами позволит лучше понять место, занимаемое е-компактифицируемостью в ряду аксиом отделимости. Один из таких классов (а именно счетно регулярные простан-ства) рассматривается в §3.
§ 1. Пространства со свойством еХ = (ЗХ
Напомним, что система О = {Р} множеств в топологическом пространстве X называется (вполне) регулярной, если для любого Р\ Е О найдется Р2 Е О такое, что [Р2] С (Р1) (Р2 и X \ Р\ функционально отделимы), и свободной, если П{^ : Р Е #} = 0.
Определяемое ниже пространство служит основным элементом для построения нужных нам примеров; оно обладает свойством еХ = (ЗХ и вместе с тем не х-нормально. Символом аХ обозначается здесь не александровская компактификация, а пространство регулярных концов пространства X с обычной топологией (см. [4]).
Пример 1. В [5] на X* = I х I \ {(0; 0)} (здесь I = [0; 1]) была определена топология с помощью задания системы окрестностей:
1) все точки (х,у) с х > 0, у > 0 объявляются изолированными;
2) окрестностью точки вида (ж, 0) объявим любое множество вида
{(*,0)}и(({*}х1)\Л0,где \к\<к0;
3) окрестностью точки вида (0, у) объявим любое множество вида {(0,?/)} и ((/ х {у}) \ К), где 1*1 < Ко.
Множество Ь = ({0} х I) ПХ* назовем левым краем пространства X*, а множество Я = (I х {0}) П X* — правым краем пространства X*. Справедливо следующее свойство пространства X*:
Если система непустых открытых множеств пространства X* свободна , регулярна и замкнута относительно конечных пересечений, то она и вполне регулярна.
Доказательство. Пусть £ = {С/} — система открытых множеств пространства X*, удовлетворяющая условию. Возможны два случая:
1) для любого и Е £ множество и П (Ь и Я) бесконечно;
2) найдется 11 Е £ такое, что множество С/ П (Ь и Я) конечно.
Рассмотрим первый случай. Пусть С/о Е £. Найдется С/1 Е £ такое,
что [С/1] С С/о- Так как |С/1 П (Ь и Д)| > Ко, то либо |С/1 П Ь\ > К0, либо |С/1 П Д| > Ко. Предположим, для определенности, что |С/1 П Ь| > Ко. Пусть {(0,2/гг)}ггем — попарно различные точки, лежащие в С/1 П £. Тогда для п Е N найдутся такие Кп, что (/ х {^/п}) \ С С/1 и |ХП| < К0. Далее, 11Х Кп | ^ Ко и все точки из .К, кроме, возможно, счетного их множества, имеют абсциссы, не совпадающие ни с одной из абсцисс точек из и^=1 Понятно, что все такие точки из Я принадлежат [С/1], а значит, и С/о- Итак, для любого множества С/ Е £ пересечения 11 П Ь и II П Я бесконечны. Повторяя рассуждение, получаем, что для любого С/ Е £ справедливо: \Ь \и\ < Ко и |Д \ и\ < Ко. Докажем больше: для любого С/ Е £ множества Ь \ С/ и Я\11 конечны. Предположим противное. Тогда найдется С/о Е £, для которого, положим, \L\U\ > Ко. Пусть {(0,уп)}пеп — попарно различные точки, не принадлежащие С/о- Найдем С/1 Е £ такое, что [С/1] С С/о- Для любого п Е N найдется конечное множество Кп такое, что ((/ х {уп}) \ Кп) П С/1 = 0. Так как | х #п| < «о и |Д \ ^| < Ко, то найдется точка (жо,0) ЕС/1 такая, что хо не совпадает ни с одной из абсцисс точек из и^=1 Точка хо лежит в С/1 с некоторой своей окрестностью, и в то же время любая ее окрестность имеет
непустое пересечение с х {Уп})\Кп- Противоречие. Докажем,
наконец, что система £ = {С/} вполне регулярна. Пусть С/о Е £ и найдем С/1 Е £ такое, что [С/1] С С/о- Имеем: £ \ [С/1] = {(0,2/*)}^=1, Д \ [С/1] = {(ж?, 0)}^_1. Находим конечные множества г = 1,..., п, и = 1,..., ш, такие, что ((/ х {г/{}) \ Щ) П [С/1] = 0, % — 1,..., п, и
(({ж?} х /) \М7-) П [С/1] = 0, ^ = 1,..., ш. Искомую функцию / : X* —>• I определяем следующим образом: она равна 1 на множестве
п га
и({(0,1,0}и (/ X Ы) \ЛГ<) и и ({(*,-, 0)}и ({*,•} х I) \М,0 и (X* \С/0).
*=1 .7=1
В остальных точках положим функцию / равной 0. Легко видеть, что / непрерывна и функционально отделяет [С/1] от X* \ С/о-
Рассмотрим второй случай. Пусть С/о Е £ такое, что С/о П (I и Д) конечно. Так как система £ свободна и замкнута относительно конечных пересечений, то найдется С/1 Е £ такое, что С/1 П(ЬиД) = 0. Пусть теперь Уо Е £. Найдем Ух Е £ такое, что [Ух] С Уо П С/1 С УЬ-Функцию f : X* I определяем следующим образом: она равна 0 на [У\] и 1 во всех остальных точках пространства X*. Функция /, как легко видеть, непрерывна и функционально отделяет [У\] от X* \ Уо-Доказательство завершено.
Ясно теперь, что всякий регулярный конец пространства X* вполне регулярен, то есть аХ* = /ЗХ*. Так как аХ* компактно, то оно является е-компактификацией X*, откуда (см. [3]) аХ* = еХ*. Итак, для пространства X* установлено аХ* = /5Х* = еХ*. Покажем теперь, что пространство X* не х-нормально. Положим С/1 = [1/4; 1/2] х [1/4; 1/2] и С/2 = [3/4; 1] х [3/4; 1] — открытые множества в X*. Очевидно, что [С/1] и [С/2] — дизъюнктные канонические замкнутые множества в X*. Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что [С/1] и [С/2] нельзя заключить в дизъюнктные окрестности. В рассуждениях, в которых участвуют непрерывные вещественные функции, определенные на X*, основную роль будет играть следующее легко проверяемое утверждение: любая такая функция постоянна на Ьи Д, кроме, быть может, счетного множества точек.
Покажем теперь, что сумма вполне регулярных пространств со свойством еХ = (ЗХ может не обладать этим свойством. Пусть X*
— пространство, определенное в примере 1. Для п Е Ъ положим
Хп = X* х {п}. В сумме ^=1Х{ отождествим правый край Х{ с левым краем Х;+1, то есть каждую точку вида (ж,0) из Х{ с точкой (0,ж) из Х{+\] полученное пространство обозначим Уп(п Е М). Пусть <рп : аВ™=1Х{ —У Уп — соответствующее фактор-отображение. Образ левого крал пространства Х\ при отображении <рп назовем левым краем пространства Уп, а образ правого крал пространства Хп
— правым краем пространства Уп. Легко видеть, что еУп = /ЗУп (см. пример 1) длл любого п. Однако пространство 0™=1Уп этим свойством уже не обладает. Рассужденил в целом аналогичны приведенным в [3,6]. Левым краем в 0^=1Уп назовем объединение левых краев пространств Уп,п Е М; аналогично определяем правый край в 0^_1УГП. В [3,6] топология на множестве У[0д] = 0^_1УГП и I введена так, что О Е I невозможно функционально отделить от правого края пространства 0^_1У^г; само пространство У[о,1] ПРИ этом е-компактифицируемо. Ясно, что любая е-компактификация пространства У[од] будет е-компактификацией и пространства 0^_1У^г, в которой оно не з-вполне регулярно, откуда (см. Введение) следует, что пространство (&^=1Уп не обладает свойством еХ = (ЗХ. Аналогично определяются и пространства У[п?п+1] = (&^=1Уп и [п, п + 1] для п Е Ъ. Однако конечная сумма пространств со свойством еХ = /ЗХ обладает этим свойством, что сразу следует из равенства е(®™=1Х{) = 0™=1еХ;, доказанного ниже для произвольных
е-компактифицируемых пространств.
Сохраняя прежние обозначения, приведем пример, показывающий, что свойство еХ = (ЗХ не сохраняется при переходе к подпространству.
Пример 2. В сумме 0^^г отождествим правый край Х{ с левым краем Х{+\ для г Е Ъ (см. выше) и определенное таким образом пространство обозначим У*. Покажем, что еУ* = /ЗУ*, для чего достаточно проверить, что У* ^-вполне регулярно в любой своей е-компактификации (см. Введение). Пусть ср : 0*^Х"г у У* — соответствующее фактор-отображение. Образ правого края Х{-\ (или левого края Х{) назовем г-м ребром пространства У*. Пусть Е — произвольная е-компактификация пространства У*. Для г-го ребра (г — произвольное) пространства У* найдется точка Zi Е Z \ У*, любая окрестность которой содержит бесконечное множество точек г-го ребра. Для любой точки г Е Z \ У* система {Ог П У* : О г — окрестность г в Е} свободна, регулярна и замкнута относи-
тельно конечных пересечений, и рассуждения, аналогичные приведенным В примере 1, ПОЗВОЛЯЮТ заключить, ЧТО ^ = 2^+1 = для любого г Е ^ и что любая окрестность точки 2:* содержит все точки г-го ребра (г — любое), кроме, возможно, конечного их множества. Аналогично доказывается и полная регулярность систем {Ог П У* : О г — окрестность г в Е} для любого г Е Е \ У*. Итак, еУ* = /ЗУ*. Легко видеть, что пространство 0^1УП можно вложить в У* как каноническое замкнутое множество. Таким образом, свойство еХ = /ЗХ не сохраняется при переходе даже к каноническим замкнутым множествам. Удалив из ф^^Уп левый и правый края, по-прежнему получим пространство, не обладающее свойством еХ = /ЗХ, которое очевидным образом вкладывается в У* в качестве открытого множества (и даже всюду плотного), так что свойство еХ = /ЗХ не наследуется и открытыми, и всюду плотными множествами.
Произведение пространств со свойством еХ = /ЗХ может уже им не обладать.
Пример 3. Подобную пару образуют пространства У*, определенное выше, и N (с дискретной топологией). Для п Е N положим Zn = У* х {п} и получим У* х N = Относительно
пространства и будем вести рассуждение. Левым и пра-
вым краями пространства У[п?п+1] = Ф^У; и [п,п + 1] назовем объединение левого края пространства Ф^У; и точки п и объединение правого края пространства Ф^У; и точки п + 1 соответственно. Теперь в пространстве ®пе!У[щп+1] отождествим правый край У[п—1,п] с левым краем У[п,п+1] Для любого п Е Ъ и полученное пространство обозначим Z. Очевидно, пространство ф^_1^п содержится в 2 в качестве всюду плотного открытого подмножества. Понятно, что в любой е-компактификации пространства 2 пространство (&^=12п не з-вполне регулярно (см. соответствующее рассуждение для пространства У[о,1]) ? следовательно, не обладает свойством еХ = /ЗХ. Итак, осталось показать, что пространство Z е-компактифицируемо. Действительно, учитывая вложение ф^_1^п в Z, можно представить Z в виде дизъюнктной суммы следующим образом: Z = М и ^п, причем все Zn открыты в Z. Для п Е N
пусть Zn и {^п} — александровская компактификация Zn. Пусть 'Ф ’• ®п<е.1У[п,п+1] ~* Z — естественное фактор-отображение. В пространстве У[п?п+1] = Ф^У; и [п,п + 1] (п — произвольное целое)
определим: = У[п?п+1] \ \JlZi Теперь положим в простран-
стве г для те М: Мт = гШ{ф{{}п>тМ™ и Цг<-(т+1) Мп))- На множестве 2 и {хп}^=1 и зададим топологию следующим образом: Z будет открытым в этом множестве, базу окрестностей точки £п(п Е М) образуют ее окрестности в ^пи базу окрестностей
точки образуют множества Мт,ш Е N. Стандартными рассуждениями показывается, что Е и {гп}^=1 и — е-компактификация пространства Е.
§ 2. О наибольшей полурегулярной е-компактификации
Сделаем теперь несколько замечаний об операции взятия наибольшей полурегулярной е-компактификации, определенной на произвольных (необязательно вполне регулярных) е-компактифицируемых пространствах.
ПрЕДложение . Для конечного множества е-компактифицируемых пространств , г = 1,..., п, справедливо равенство е(ф^=1Х{) = 0™=1еХ;.
Доказательство. В [1] для каждого е-компактифицируемого пространства X определена е-компактификация еХ со следующим свойством: любая е-компактификация аХ пространства X допускает непрерывное продолжение отображения id : X —у аХ на гХ, то есть / : еХ -► аХЛх = Напомним еще следующее (см. [2]): если
У — е-компактификация пространства X, то У^, полурегуляризация У, и Уг, базу которого образуют множества вида {у} и (С/ П X), где у Е У, а и — окрестность точки у в У в исходной топологии, суть снова е-компактификации пространства X. Легко видеть (см. [3]), что (еХ)т = еХ.
Итак, пусть X*, % — 1,..., п, — е-компактифицируемые пространства. Пусть, далее, У — е-компактификация пространства ®^=1Х{. Так как [Х*]у, % — 1,..., п, — е-компактификации пространств X*, % —
1,... ,п, то найдутся непрерывные отображения /* : (еХ*)г —> [Х;]у, тождественные на Х*,г = 1,... ,п, и определяется непрерывное отображение Vr}l=1fi : (В™=1(еХ^т —у У, тождественное на ®™=1Х{. Таким образом, 0^=1(еХг)г = е(0^_1Х*). Теперь имеем:
__________________е(ФГ=1^») = (£(®?=1Хг))а =
ХВ [1] е-компактификация еХ обозначалась еХ, но поскольку у нас подобные е-компактификации встречаются эпизодически, то через еХ обозначается наибольшая полу регулярная е-компактификация.
= (0?=1(еХ<)т)а = ((0"=1еХОт)а = (®?=1еХ^ = ®?=1еХ>. Предложение доказано. □
Как известно (в доказательстве предложения мы уже пользовались этим), если У — е-компактификация пространства X, то для любого В С X пространство [В] у является е-компактификацией пространства В. Покажем, что, вообще говоря, [В]ех ф еВ. Действительно (мы пользуемся обозначениями примера 2), пусть В = ср(Х 111X4) С У. Так как В = Х\ 0 Х4, то еВ = /ЗВ. Кроме того, еУ = /ЗУ, и [В\ру Ф /ЗВ, так как, очевидно, не всякая непрерывная на В функция имеет непрерывное продолжение на У. Итак, [В]еу / еВ. Заметим, наконец, что, вообще говоря, е(Х\ хХ2) ф ъХ\ х 6-Х2- Действительно, взяв хг = Х2 = М, имеем еМ = /Ш, е(МхМ) = /З(МхМ) / /Шх/Ш = еМхеМ (насчет неравенства ^(М х М) / /ЗМ х /ЗМ см. [7]).
§ 3. (7Д-пространства
В [8] (там же содержатся ссылки на более ранние источники) X. Бранденбург и А. Мысьор дали короткое доказательство следующей теоремы.
Теорема. Пространство X вполне регулярно тогда и только тогда, когда в пространстве X существует база /3, удовлетворяющая следующему условию (полной регулярности): для любого 11 Е /3 найдутся ип,Уп Е /3,п Е N такие, что II = Ц^=1 11п и 11п С X \УП С II для каждого п Е N.
Регулярные пространства характеризуются наличием в них регулярной базы: базу /3 в пространстве X назовем регулярной, если для любого 11 Е /3 найдутся такие 11а Е /3, что II = [3 IIа и [11а\ Е II для каждого а. Сравнивая определения регулярности и полной регулярности, данные выше для баз, нельзя не придти к определению счетной регулярности баз: базу /3 в пространстве X назовем счетно регулярной, если для любого и Е (3 найдутся такие IIп Е (3,п Е М, что II = иГ=1 ип и [ип\ С II для каждого п. Кратко будем говорить о (7Д-базах и (7Д-пространствах, то есть пространствах, обладающих (7Д-базой 2. Очевидно, (7Д-пространства регулярны, а вполне регулярные пространства суть С К. Следующие утверждения легко проверяются.
2С11 — соип1аЬ1у regular.
1) Свойство (7Д наследственно.
2) Сумма, произведение и предел обратного спектра (7Д-пространств обладают свойством С К.
Класс (7Д-пространств строго содержится в классе регулярных пространств, но автору неизвестно, положителен или отрицателен ответ на следующий
Вопрос 1. Каждое ли (7Д-пространство вполне регулярно?
Известные автору регулярные не вполне регулярные пространства не имеют (7Д-баз (пример см. ниже). Отметим еще, что свойство (7Д не сохраняется совершенными отображениями ни в сторону образа, ни в сторону прообраза. В сторону образа: любое регулярное не счетно регулярное пространство X и его абсолют НХ с совершенным естественным отображением ттх '• ЬХ —у X (определения абсолюта и естественного отображения см., например, в [9]). В сторону прообраза: не вполне регулярный совершенный прообраз вполне регулярного пространства (см. [6] ) не обладает (7Д-базой (рассуждение в основных чертах повторяет приведенное ниже в примере 4). Поскольку е-компактифицируемость переходит к совершенным прообразам (см. [1] ), то мы получаем пример е-компактифицируемого не счетно регулярного пространства.
ВОПРОС 2. Влечет ли счетная регулярность е-компактифицируемость?
Покажем теперь на типичном примере (восходящем к А. Н. Тихонову) регулярного не вполне регулярного пространства, какое рассуждение доказывает отсутствие (7Д-баз. С теми или иными модификациями это рассуждение проходит для многих подобных пространств.
Пример 4. Ординалы рассматриваем как топологические пространства с естественной порядковой топологией. Пусть Т = (001 + 1) х (оо + 1) \ {(с<^1, с^)} — плоскость Тихонова. Пусть, далее, Д обозначает фактор-пространство пространства Тх^, когда точки п)
и (ш1 ,у,п + 1) отождествляются при нечетном п, и точки (ж, си,п) и (х, оо, п+1) отождествляются при четном п. Пусть (р : Т х Ъ —> Д — соответствующее фактор-отображение. Положим Тп = (р(Т х {п}),п Е Z. Пусть теперь *5 = Ди{оо}. В множестве *5 положим Д открытым; базу в оо образуют множества Уп = ш^(ит>п Гт), п Е Ъ. Пространство *5 регулярно, но не счетно регулярно.
Введем обозначения К = {(а,(3) Е Т : /5 = с<;}, Ь = {(а,(3) Е Т : а = Сс^}. Пусть 11 открыто в Т и \и П К\ =001. Докажем, что тогда
|L \ [U]\ < uj. Действительно, предположим, что |L \ [U]\ = ш, то есть L \ [U] = {(^i,^fc)}&Li и пк / п/, если к ф I. Для каждого к Е N найдется otk Е такое, что ((a^,^i] х {п&}) П U = 0. Найдется a Е такое, что (а, и) е U ПК и а > supotk. Точка (ск,с<;) лежит в С/ вместе с некоторой окрестностью, которая в то же время пересекает множество Ufcli (аЬ ^i] х {пк}, — противоречие. Так же просто доказать и обратное: если U открыто в Т и \U П L\ = и, то \[U] П К\ =
Предположим, что в S найдется (7Д-база /3 = {С/}. Для Vo найдем U Е/?иУп такие, что {оо}иУп С U С {oo}UVo. Положив (п — любое целое) Кп = х {n}), Ln = х {п}), видим, что найдется четное по такое, что |Kno nU\ = ui. По определению счетной регулярности и = Ufeli Uk, [Uk\ с С/, к Е N. Найдется &0 такое, что |КПоПС40| = Еще раз свойство (7Д: Uk0 = Uz^i [^/] С Uk0,l Е N. Найдется /о такое, что |КПо П Е//0| = Cl?i. По доказанному выше |Lno \ [Ui0]\ < ш, откуда |Lno = Lno-i \ C/fcol < w, и снова |[С40] П КПо-г = #П(>-2| = откуда \КПо-2 П U\ = ui. Итак, равенство |КПо П U| = ui влечет \КПо-2 П £7| — uji и т. д., что противоречит включению U С {oo}U Vo-
Resume
Let еХ denote the largest semiregular e-compactification of an e-compactifiable space X. In [1] K. P. Hart and J. Vermeer presented an example of a completely regular space X for which eX / f3X, thus distinguishing a new class of completely regular spaces having the property eX = f3X. This paper shows that this property is not preserved by sums, subspaces and Cartesian products. A few remarks are made about eX itself. Finally, we introduce countably regular spaces that are presumably intermediate between completely regular and regular spaces. A space X is called countably regular (CR) if it has a countably regular (CR) base, i. e., a base /3 such that for every U E (3 there exists a sequence {Un}^Li in /3 such that U = U^=i Un and [Un\ С U for each n E N. Most widely known regular non-completely regular spaces are not CR. Every time there is machinery killing complete regularity it also kills CR. Two questions arise. Does there exist a CR space that is not completely regular? Does countable regularity imply e-compactifiability as is the case with complete regularity?
Литература
[1] Hart K. P., Vermeer J. Non-Tychonoff e-compactifiable spaces// Proc.
Amer. Math. Soc. 1983. V. 89. P. 725-729.
[2] Иванов А. В. Относительно компактные расширения вполне регулярных пространств// Труды ПетрГУ. Серия математика. 1996. Вып. 3. С. 79-87.
[3] Матюшичев К. В. О е-компактификациях и е-компактификацируемых пространствах// Препринт: http : //www.karelia.ru/psu/Chairs/
КМ А/math/arh-a.html
[4] Александров П. С. О понятии пространства в топологии// УМН. 1947. Т. 2(17). С. 5-57.
[5] Матюшичев К. В. Простейший пример вполне регулярного не нормального пространства// Труды ПетрГУ. Серия математика. 1997. Вып. 4. С. 97-98.
[6] Chaber J. Remarks on open-closed mappings// Fund. Math. 1972. V. 74. P. 197-208.
[7] Энгелькинг P. Общая топология. М.: Мир, 1986.
[8] Brandenburg Н., Mysior A. Short proof of an internal characterization of complete regularity// Canad. Math. Bull. 1984. V. 27(4). P. 461-462.
[9] Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.
Петрозавозаводский государственный университет, математический факультет,
185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33
